《2021年（文科数学）（乙卷）高考数学试卷真题+答案解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年（文科数学）（乙卷）高考数学试卷真题+答案解析.pdf（19页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2021年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（5 分）已知全集。=1,2,3,4,5,集合 M=1,2,T V =3,4,则电（M U N）=（）A.5 B.1,2 C.3,42.(5 分)设 iz=4+3 i,则 z=()A.-3-4Z B.-3+4z C.3-4i3.（5 分）己知命题 p:h wR,sin x l；命题,D.1,2,3,4)D.3+4i则下列命题中为真命题的是（）A.pA q B.p/q C.p人 一q D.-/?v(?)4.(5 分)函 数 f(x)=sing
2、+cosg的最小正周期和最大值分别是()A.3%和 V2 B.37 和 2 C.6万和A/2 D.6万和 2戈 +y.4,5.（5 分）若 x,y 满足约束条件%2,则 z=3 x+y 的最小值为（）为 3,D.4A.18 B.10 C.66.(5 分)c o s2-万-cos 2 5万=/()、12 12A.1R 6C.D2327.(5 分)在区间（0,g）随机取1 个数，则取到的数小于g 的概率为（4 3A.-B.-C.-D4338.(5 分)下列函数中最小值为4 的是（)2A.y=x2+2x 4-44B.y=|sin x|+-C.y=2+22X4D.y=lnx-9.（5 分）设函数f（x
3、）=|smx|上w,则下列函数中为奇函数的是（）+xInxA./(x-l)-lB.f(x 1)+1C./(x+l)-lD./(x +l)+l10.（5 分）在正方体ABC。-4 A G 2 中，P 为 4 R 的中点，则 直 线 依 与 A R 所成的角为（）A.-B.-C.-D.-24631 1.（5分）设 8 是椭圆C:+V=l 的上顶点，点尸在C上，则|P8|的最大值为（）A.-B.V 6 C.x/5 D.221 2.（5分）设a*0,若 x=a 为函数/（x）=a（x-a）2（x-b）的极大值点，贝 U（）A.a b C.abcr二、填空题：本题共4小题，每小题5 分，满分2 0分。1
4、 3.（5 分）已知向量2 =（2,5）,1 =（,4）,若 G/历，则/=.2 21 4.（5分）双曲线=1 的右焦点到直线x+2 y-8=0 的 距 离 为.1 5.（5分）记A A B C 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为6，3=6 0。，a2+c2 3 a c,则b=_1 6.（5分）以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.2图2图三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根
5、据要求作答。（一）必考题：共 60分。1 7.（1 2 分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 1 0件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.81 0.31 0.01 0.29.99.81 0.01 0.11 0.29.7新设备1 0.11 0.41 0.11 0.01 0.11 0.31 0.61 0.51 0.41 0.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为工和了，样本方差分别记为s：和s；.（1）求 1,y,s；,s；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果了-工.
6、2,当/,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.18.(12分)如 图，四棱锥P-/W C D 的底面是矩形，P_L底面ABCD,M 为 3 c 的中点，S.P B 1 A M .(1)证明：平面BLW1.平面(2)若P D=D C =l,求四棱锥P-A 3 8 的体积.19.（12分）设%是首项为1 的等比数列，数列 ,满足=岸，已知q,3%,9%成等差数列.（1）求 q 和 ,的通项公式；q（2）记 S,和 7；分别为%和 0 的前”项和.证明：T“彳.2 0.(1 2分)已知抛物线。:？2=2内(0)的焦点/到准线的距离为2.(1)求C的方程；(
7、2)已知O为坐标原点，点尸在C上，点。满 足 用=9而，求直线。斜率的最大值.21.(12 分)已知函数/(x)=x-x+or+l.(1)讨论f(x)的单调性；(2)求曲线y=/(x)过坐标原点的切线与曲线y=/(x)的公共点的坐标.(二)选考题：共 10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程(10分)22.(10分)在直角坐标系xOy中，G)C的圆心为C(2,l),半径为1.(1)写出0 c 的一个参数方程；(2)过点尸(4,1)作 G)C的两条切线.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.
8、选修4-5：不等式选讲(10分)23.己知函数f(x)=|x-a|+|x+3|.(1)当a=l 时，求不等式f(x).6的解集；(2)若,求a 的取值范围.2021年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（5 分）已知全集。=1,2,3,4,5 ,集合M=1,2,N=3,4,则电（M U N）=（）A.5 B.1,2）C.3,4 D.1,2,3,4【解答】解：.全集U=1,2,3,4,5,集合M=1,2,N=3,4 ,，M UN=1,2,3,4,.Q,（M U N）=5
9、 .故选：A.【点评】本题考查集合的运算，考查并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题.2.（5 分）设 iz=4+3 i,则 z=（）A 3 4Z B.一 3+4i C.3 4/D.3+4i【解答】解：由 iz=4+3 i,得 z=，+3 =（4 +3?（/）=_3/_.=3 _ 47.故选：C.i-r【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题.3.（5 分）已知命题sin x l；命题/VX EH,网.1 ,则下列命题中为真命题的是（）A./?B.p/q C./?A 7 D.T p 7 g【解答】解：对于命题p:*wR,sinxl,当x=O时，sinx=O
10、l,故命题为真命题，p 为假命题；对于命题 7:Vx G/?,.1 ,因为|无|.0,又函数y=为 单 调递增函数，故 小.）=1,故命题q 为真命题，r 为假命题，所 以 为 真 命 题，为假命题，/r y 为假命题，为假命题，故选：A.【点评】本题考查了命题真假的判断，解题的关键是掌握全称命题和存在性命题真假的判断方法，考查了逻辑推理能力，属于基础题.4.（5 分）函数/（x）=sin +cos；的最小正周期和最大值分别是（）A.3万和 3B.3万和2C.6万和灰D.6万和2【解答】解：,./（x）=s i n 3 +c o S|=3 s i n c|+（）,7 =彳=6 乃.当 s i
11、n c 1 +（）=l 时，函数/（）取得最3大值夜；.函数/（龙）的周期为6 万，最 大 值 也.故 选：C.【点评】本题考查了辅助角公式、三角函数的周期性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.x+y.4,5.（5分）若x,y 满足约束条件%-为 2,则 z =3 x+y 的最小值为（）、为 3,A.1 8B.1 0C.6D.4【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联 立 仁 二，解得加 由z =3 x+y,得 y =-3 x +z,由图可知，当直线y =-3 x +z 过 A时,直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为3 x l+3 =6.故选：C.【点评】本题考查简单的线性规划，
12、考查数形结合思想，是中档题.6.(5 分)co s2-co s2 =()1 2 1 2c当【解答】解：法一、co s2 -co s2=-1 2 1 27t+COS 62i 5%1 4-COS _ _ _ _ _ _6 _21 1 71=+co s-1-lcos2 2 6 2 2 61 打=X-2 22 2 2V J_ _ _ o 7C 2 5 7r 2 .2%乃 V 3法一、co s-co s =co s-s in =co s=1 2 1 2 1 2 1 2 6 2故选：D.【点评】本题考查三角函数的化简求值和二倍角的余弦，是基础题.7.（5分）在区间（0,；）随机取1 个数，则取到的数小于g
13、的概率为（）D.6【解答】解：由于试验的全部结果构成的区域长度为-()=!,2 2构 成 该 事 件 的 区 域 长 度 为0=1,所以取到的数小于！的概率P=3 3 32-3=13-12故选B【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，其中根据已知条件计算出基本事件总数对应的几何量的大小，和满足条件的几何量的大小是解答本题的关键，属基础题.8.(5分)下列函数中最小值为4的是()4 4A.y=d+2 x +4 B.y=|sinx|d-C.y=2x+22x D.y=Inx H-I sin x|Inx【解答】解：对 于A,y=W+2x+4=(x+l)2+3.3,所以函数的最小值为3,故选项A错误；对
14、于 8,因为 04,故选项8错误；I sin x|对 于C,因为2，0,所以 y=2+22T=2 +.2 J 2，二=4,-2X V 2X当且仅当2=2,即x=l时取等号，所以函数的最小值为4,故选项C正确；1 1 4对 于 因 为 当x=-时，y=ln-+-=-1-4 =-5 4,所以函数的最小值不是4,故选项Z)错误.e e.e故选：c.【点评】本题考查了函数最值的求解，涉及了二次函数最值的求解，利用基本不等式求解最值的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，考查了转化思想，属于中档题.9.(5分)设 函 数f(x)=W,则下列函数中为奇函数的是()1+XA./
15、(x-l)-l B./(x-l)+l C./(x+l)-l D./(x+l)+l【解答】解：因为=上止2=-1+二 一，所以函数/(用的对称中心为(1,7),1+X 1+X X+1所以将函数/(无)向右平移一个单位，向上平移一个单位，得到函数y=/(x-1)+1,该函数的对称中心为(0,0),故函数y=/(%-1)+1为奇函数.故选：B.【点评】本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定“X）的对称中心，考查了逻辑推理能力，属于基础题.1 0.（5分）在正方体ABCD-ASGA中，P为g2的中点，则直线PB与AR所成的角为（）A.-B.-C.-D.-2 3 4 6解答解A R BC
16、,是直线P B与AR所成的角（或所成角的补角），设正方体ABCD-ASGO的棱长为2,则 P B/P C；=g ,2?+2 2 =J5 ,B C,=V 22+22=2 7 2 ,B P =7 22+()2=7 6 ,.-.co s Z P B C,=竺士蛆:-也二 虫,2 x P B x B C、2 x V 6 x 2 V 2 271：./PBC=-,直 线 与AR所成的角为生.故选：D.6【点评】本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力，是基础题.I I.（5分）设8是椭圆C:+y 2=i的上顶点，点p在c上，则|P 8|的最大值为（）A.-B.V 6 C.D.22【解答】解：3是
17、椭圆。：+丁=1的上顶点，所以8（0,1）,点尸在 C上，设尸（百c o s。,s i n。），0G 10,2/r）,所以I P 8 1=J(石c o s，-0)2+(s i n，-1产=V 4 c w20-2s i n/9 +2=J-4s 血浴-2 s i n 6+6=A/-4(s i n 0+)2+，V 4 4当s i n 6=-l时，|尸0取得最大值，最大值为9.故选：A.42【点评】本题考查椭圆的简单性质，椭圆的参数方程，三角函数最值的求法，考查转化思想以及计算能力,是中档题.12.(5 分)设”声0,若 x=为函数f(x)=a(x-a)2(x-。)的极大值点，则()A.ah C.ab
18、a2【解答】解：令/(x)=O,解得x=a 或 x=b,即x=及x=6 是/(x)的两个零点，当。0 时，由三次函数的性质可知，要使x=a 是/(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如下图所示,贝 iJOvavb；当。0 时，由三次函数的性质可知，要使x=。是 f(x)的极大值点，则函数/(x)的大致图象如下图所示,则 6 a /.故 选：D.【点评】本题考查三次函数的图象及性质，考查导数知识的运用，考查数形结合思想，属于中档题.二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，满分20分。O13.(5 分)已知向量d=(2,5),b=(Z 4),若/5,则；【解答】解：因为d=(2,5),6=(
19、44),a/b,所以8 5彳=0,解得几=?故答案为:.5【点评】本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标计算，属于基础题.2 214.(5 分)双曲线-、=1的右焦点到直线x+2y-8=0 的距离为_ 6 _.【解 答】解：双 曲 线！-?=1 的 右 焦 点（3,0）,所 以 右 焦 点 到 直 线 x+2y-8=0的 距 离 为d=J。!=/5.故答案为：5 .【点评】本题考查双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，是基础题.15.（5 分）记 A A B C 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,面积为G，8=60。，a2+c2=3 a c,则h=_2-j2_.【解答】解：.A A
20、 B C的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,面积为G，B =60。，2+c2=3a c,L e s i n B =G n a c x =5/3=（z c =4=o2+c2=12,2 2 2又c o sB=+c =b=2/2,（负值舍）故答案为：2五.lac 2 8【点评】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题.16.（5 分）以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为或 （写出符合要求的一组答案即可）.图 图 图图 图【解答】解：观察正视图，推出正视图的长为2 和 高 1,图形的高也为1,即可能为该三棱锥的侧视
21、图，图形的长为2,即可能为该三棱锥的俯视图，当为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为，当为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱锥的俯视图为.故答案为：或.【点评】该题考查了三棱锥的三视图，需要学生掌握三视图中各个图形边长的等量关系，以及对于三视图中特殊线条能够还原到原立体图形中，需要较强空间想象，属于中等题.三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。1 7.（1 2 分）某厂研制了一种生产高精产品
22、的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 1 0 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.81 0.31 0.01 0.29.99.81 0.01 0.11 0.29.7新设备1 0.11 0.41 0.11 0.01 0.11 0.31 0.61 0.51 0.41 0.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为元和了，样本方差分别记为s：和 学 .（1）求元，y,s；,s；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果5-五.2，片 卷，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著
23、提高).【解答】解：(1)由题中的数据可得,x=x(9.8+1 0.3 +1 0.0 +1 0.2 +9.9 +9.8+1 0.0+1 0.1 +1 0.2+9.7)=1 0,y =X(1 O.1 +1 0.4+1 0.1 +1 0.0+1 0.1 +1 0.3+1 0.6+1 0.5+1 0.4+1 0.5)=1 0.3 ,s：=专 x (9.8-1 0)2+(1 0.3-1 0)2+(1 0-1 0)2+(1 0.2-1 0)2+(9.9 -1 0)2+(9.8-1 0)2+(1 0 -1 0)2+(1 0.1 -1 0)2+(1 0.2 -I O)2+(9.7 -1 0)2 =0.0 3
24、 6 ；s；=x (1 0.1 1 0.3)2 +(1 0.4-1 0+(o _ io,3)2+(1 0.0-1 0.3)2+(1 0.1-1 0.3)2+(1 0.3-1 0.3)2+(1 0.6-1 0.3)2+(1 0.5-1 0.3)2+(1 0.4-1 0.3)2+(1 0.5-1 0.3)2 =0.0 4 ；八、_ _ s c 八 c 2 0.0 3 6 +0.0 4 “八”(2)y-x=1 0.3-1 0 =0.3,?-=-=0.0 0 7 6 ,1 0 1 0一 I2 2因为 )2=0.0 2 2 5 0.0 0 7 6 ,所以 y -x 2 J 1 2,故新设备生产产品的该项
25、指标的均值较旧设备有显著提高.【点评】本题考查了样本特征数的计算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了运算能力，属于基础题.1 8.(1 2 分)如 图，四棱锥尸-A B C D 的底面是矩形，P D_ L 底面A S C D,M 为 3c的中点，h P B l A M .(1)证明：平面E4 M _ L 平面P B D；(2)若 P D=D C =1,求四棱锥尸-A B C D 的体积.【解答】(1)证明：./，底面M C I),A V u 平面钻8,./J_ A M,又 rP B L A M ,PD PB=P,PB,P D u 平面 P30.J_ 平面 P8。.AW u 平面 R
26、UY,平面 P4M_L 平面 PB；(2)解：由P)_L底面AfiCO,.P D即为四棱锥P-4 3 8的高，AD/W是直角三角形：jA B C D底面是矩形，PD=D C =1,M为8 c的中点，且 依_L4W.设A)=8C=2 a,取CP的中点为F.作 所_L 8交于E,连接 A/尸，A F,A E,可得 M F/P B,E F/D P,那么 B.E F=.AE=l AD2+ED2=J-+4a2,AM=AB2+BM2=Va2+1,2 V4AF=E F +AE2.ADPB是直角三角形，根据勾股定理：BP=42+4a：则 用 尸=立 亘 匚；2由AAM F是直角三角形，可得A2+M尸=A尸，解
27、得。=丫.2底面A8C的面积5=四，则四棱锥P ABCD的体积V=L-S=2 x lx行=1.3 3 3【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，体积计算，考查运算求解能力,是中档题.1 9.（1 2 分）设%是首项为1 的等比数列，数列 ,满足=岸，已知q,3%,9%成等差数列.（1）求 q 和 2 的通项公式；q（2）记 S,和 7；分别为%和 0 的前”项和.证明：T“彳.【解答】解：（1）,/ax,3 a 2，9%成等差数列，6%=4+9%，.4 是首项为1 的等比数列，设其公比为q,则 6 q =l +9d，a“=a 0 =（；）”,，2=詈 =（g）3骞=l
28、 x(g)+2 x()2 +,(4,=1 X(；)2 +2 x (g)3 +.+-(r -得,:方=;一T-=-x -（I）-l x 0,；.T“0）的焦点F到准线的距离为2.（1）求 C的方程；（2）已知O为坐标原点，点 P在 C上，点。满足p 0 =9。尸，求直线OQ斜率的最大值.【解答】（1）解:由题意知，p=2,:.y2=Ax.（2 ）由（I）知，抛 物 线 C:y2=4x,尸（1,0）,设 点。的 坐 标 为（肛），则。尸=（1-见-），PQ=9QF=（9-9m,-9n）,二。点 坐 标 为（1 0 加一9,1 0 ），将 点。代入 C 得 1 0 0 1=4 0?-3 6 ,整理得
29、100+36 2 5+9m=-=-4010/c=-=当=3 时取最大值.故直线O。斜率的最大m 2 5/+9 25+2 3 5n值为L3【点评】本题考查抛物线的性质，考察基本不等式求最值，属于中档题.21.(12分)已知函数/-X?+以+1 .(1)讨论f(x)的单调性；(2)求曲线y=/(x)过坐标原点的切线与曲线y=/(x)的公共点的坐标.【解答】解：(1)/(X)=3X2-2X+,=4一 1为，当”()，即a.；时，由 于 的 图 象是开口向上的抛物线，故此时尸。).0,则/(x)在/?上单调递增;当(),即时，令 r(x)=o,解得玉=上 半 鱼,毛=匕 牛 豆，令/(尤)。，解得x
30、x 或，令r(%)v。，解得工 X，./。)在(-00,M)，(/,母)上单调递增，在(菁,王)上单调递减；综上，当时，f(x)在 R 上单调递增；当时，f(x)在(_ooJ-(1 +1-3+8)上单调递增，在(上，巨，匕正豆)上单调递减.3 3(2)设曲线y=/(x)过坐标原点的切线为/,切点为(Xo.Xo-k+aXo+D J a X S x j-Z x o+a,则切线方程为 y-(x；-x()2+ar0+1)=(3 9-2x0+a)(x 一/),将原点代入切线方程有，2xo3-V-l =O,解得=1,.切线方程为y=(a+l)x,令/-x?+ar+l=(“+l)x,B|J x3-x2-x
31、+l=0,解得 x=l 或 x=-l,曲线y=/(x)过坐标原点的切线与曲线y=/(x)的公共点的坐标为(l,a+l)和1).【点评】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题.(-)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程(1 0分)22.(10分)在直角坐标系xQy中，C的圆心为C(2,l),半径为1.(1)写出G)C的一个参数方程；(2)过点尸(4,1)作 G)C 的两条切线.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.【解答】解
32、：(1)0 C 的圆心为C(2,l),半径为1,则Q C的标准方程为(x-2)2+(y-1尸=1 ,O C的一个参数方程为x=2+cos 3y=1 +sin。0 为参数).(2)由题意可知两条切线方程斜率存在，设切线方程为 y-1=k(x-4),即 fcv-y-4Z+l=0,圆心C(2,1)到切线的距离d=12%-1一 4%1|=,解 得 心 土 且，V F7T 3所以切线方程为丫=土弓(x-4)+1,八因为x=pcos。，y=p s in 6,所以这两条切线的极坐标方程为/?sine=；(/?cose-4)+l.【点评】本题主要考查圆的参数方程，普通方程与极坐标方程的转化，考查运算求解能力，属于基础题.选修4-5：不等式选讲(10分)2 3.已知函数 f(x)=|x-a|+|x+3.(1)当a=l 时，求不等式f(x).6 的解集；(2)若求a 的取值范围.2.x 2,工，3【解答】解：(1)当。=1 时，f(x)=|-l|+|x+3|=4,-3 x l,2x+2,x.1 /(%).6,X,-3 或 1 一 3 c x -a，两边平方可得 6+6 +9 2，解得 _/，即。的取值范围是(-|,go).【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.