2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学( 全国卷甲卷) 解析版.pdf

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1、2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)理科数学一、选择题1.设 集 合 河=0|0 4,N=x|:K xW 5,则M c N=()A.x|O x-B.x|gW x4C.x|4x5D.x|Ox5答案:B解析:由图知,M c N =x|gx4.032.为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:根据此频率分布直方图,下面结论不正确的是()A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于1 0.5万元的农户比率估计为1 0%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地

2、有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间答案:C解析:A.低于4.5万元的比率估计为0.0 2 x 1 +0.0 4 x 1 =Q 0 6 =6%,正确.B.不低于1 0.5万元的比率估计为(0.0 4 +0.0 2 X 3)X 1 =0。=1 0%,正确.C.平均值为(3 x 0.0 2 +4 x 0.0 4 +5 *0.1 +6 x 0.1 4 +7 x 0.2 +8 x 0.2 +9 *0.1 +1 0 x 0.1 +1 1 x 0.0 4 +1 2 x 0.0 2 +1 3 x 0.0 2+1 4 x 0.0 2)x 1 =7.6 8万元,不正确.D.4.5万到8.

3、5万的比率为0.1 x 1+0.1 4 x 1+0.2 x 1+0.2 x 1 =0.6 4,正确.3.己知(l-i)2 z=3 +2 i,贝iz=()A.-1-/2B.-l+-z2C.3 .-F I2D.32答案:B解析:3 +2 z 3 +2 z-2 +3 z,3 .Z=-=-=-=-1 H-1(1-z)2-2 z 2 24.青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量,通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L =5 +lgV.已知 某 同 学 视 力 的 五 分 记 录 法 的 数 据 为4.9 ,则 其 视 力 的 小 数 记

4、录 法 的 数 据 约 为(1.2 5 9 )()A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6答案:C解析:代入乙=5 +l g V,知lgV =4.9 5 =-().l,故V =1 0=30.8.5版5.己知g,B是双曲线。的两个焦点,P为C上一点,且/月P K=6()O,|P/=3|P E|,则。的离心率为()A.2岳D.-2C.SD.V 1 3答案:A解析:记4=|P耳I,r2=|PF21,由4=3 4及/-4 =2。,得彳=3 a,r2=a,又由余弦定理知r;+r-2r-cosAF,PF,=4 c2,得7/=4 c 2,从而e =且.a 26.在一个正方体中,过顶点A的三条棱的中点分别为E

5、,F,G,该正方体截去三棱锥A E F G后,所得多面体的三视图中,正视图如图所示,则相应的侧视图是()c.D.答案:D解析:由题可得直观图,如下图.故选D.7 .等比数列%的公比为q,前项和为S“,设甲:0,乙:S.是递增数列,则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必耍条件答案:B解析:若q =l,则S“=4.q0,则 S,单调递增;4 S”恒成立,an+l 0 n qq 0恒成立,q 0,q 0,.甲 =乙.综上:甲 =-6 b=2故g i a 95/(I)=/(-)=-.丐)=4-2 *2)=孑故

6、选D.二、填空题1 3.曲线y =3在点(一 1,一3)处的切线方程为.x+2答案:y=5x+2.解析:5-3r(x)=/(一 1)=5,/(-1)=-3.(x+2)1切线:y+3=5(x+l)=y=5x+2.1 4.己知向量Z =(3,l),f e =(l,O),c=a+kb.aA.c,则人.答案:1 0解析:=(3 +4,1),7 =0。3(3+%)+1 =0.所以=-3.31 5.已 知 斗 入 为 椭 圆C:+:=l的两个焦点,P,。为C上关于坐标原点对称的两点,且I尸QR耳61,则四边形P KQE的面积为.答案:8解析:如图,由|PQ|=|丹玛|及椭圆对称性可知,四 边 形 行 为

7、矩 形.设|/7+相,|相|=,则,厂、,t“得2mH=16.所以,四边形 机?+/=|耳居 =48 2-面积为加?=8.部 分 图像 如 图 所 示,则 满 足 条 件(/*)-/(-?)(/1)-/(竿)0的最小正整数x为.答案:解析:由图可知,/(x)的最小正周期T=g x(j|;r-攵=T,60=2.2*,/()=2,J 2cos(+e)=2,(p=-+2kjr,k Z.f(x)=2 cos(2 x-g),0,=1 6 3 4(/(X)-1)(/U)-0)0 /(x)v 0或 f(x)1的离y轴最近的正数区间(0,7),无正数;f(x)6.6 35.所以有9 9%的把握认为甲机床的产品

8、质量与乙机床的产品质量有差异.18 .已知数列 a,的各项均为正数,记S“为 ,的前”项和,从下面中选取两个作为条件,证明另外一个成立.数列 “是等差数列:数歹U 疯 是等差数列:4=3.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分,答案:见解析解析:,=,证明:设等差数列 4的公差为小 因为生=3 4,所以4+4 =3,则 d =2%.所以 S,=4 +=na,+n(n-l)al=n2at,所以7 st it=-(-1)弧=弧.所以 5:是 首 项 为,公 差 为 的 等 差 数 列.19.已知直三棱柱A B C A/C 中,侧 面 为 正 方 形,A B =B C =2,E,尸分别为

9、A C 和 C G 的中点,。为棱4 月 上的点,B F(1)证明:B F L D E-,(2)当片。为何值时,面 8 B C C 与面。F E 所成的二面角的正弦值最小?答案:见解析;解析:(1)连 4 E,取 B C 中点A/连E M,由石M为 A C,3 c 的中点,则 E M/A B,又 A 8/A 4,A B J /E M ,则 A与M E 共面,故 OEu 面 A与M E.又在侧面 B C CtBt 中 F C B =A M B B,则 B F MB,B F L AB,又加与04片=4 ;nBF,面4瓦VE,则3歹1,。后.MB1,u 面ABME(2)B F 1 则 BFLABnA

10、R?=3/2+4 32=9又 A/7?=/。2 +A。2 nAe 2=&则.,8 c.如图以 B 为原点建立坐标轴,则 8(0,0,0),C(0,2,0),A(2,0,0),(1,1,0),尸(0,2,1).设。用=则0(/,0,2),0 4 n =(3,l +f,2-z)E D n =0则面B C C,用法向量为比=(1,0,0),对面D E F设法向量为五=(x,y,z),则而=(-1,1,1)E D=(?-1,-1,2)则 c os(玩,n337 32+(l +O2+(2-r)2。2/2,+1 4要求最小正弦值则求最大余弦值.当,=;时二面角余弦值最大,则用。=;时二面角正弦值最小.2

11、0.抛物线C的顶点为坐标原点。,焦点在x 轴上,直线1:x=l 交 C于 P,。两点,且O P L O Q,已知点M(2,0),且0M与/相切.(1)求 C,Q M的方程;(2)设 A,A2,4 是。上的三个点,直线44,44均 与 相 切,判断直线4 4 3,与 的 位 置 关 系,并说明理由.答案:见解析;解析:(1)C :y2=x,Q M:(x-2)2+y2=1 .(2)设 A 4/,。),A2(b2,b),A3(C2,C).LA:y-a-(1-2)=工-(+。),+。=0 ,所以a+b上+曲=1.J l +(a +b)2IAB:y-a =-(x-a)n x(a +c)y+a c =0,

12、所以a+cJ l +(a +c f所以b,c是方程1 2 +or|J l +(a +x)2=l=(a2-l)x2+2 a r-2+3=0WM.又/“:x-S+c)y+/?c =0 ,所以d=J 2+姐 =面 +i lJ l +S+c ll i(2a)2 yla4+2 a2+l所以d =r,即直线44与0M相切.2 1.已知a0且ao l,函数/(x)=(x 0).ax(1)当。=2时,求/(x)的单调区间;(2)若曲线y=/(x)与直线y=l有且仅有两个交点,求。的取值范围.答案:见解析;解析:x2(1)a =2时、/(x)-,22x-2x-2xln2-x2 _ x(2-xl n2)_ ln

13、2,%(-x)i =(F?=T =T 2 2当 X(0,)时,fx)0 ,/(%)单调递增;当 X(,+c o)时,ff(x)0.”八 In。1 所以 0 -1 且 a w e.a e四、选 考 题(2选1)2 2.在直角坐标系x Q y中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线。的极坐标方程为2=2后c os 6.(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点A的直角坐标为(1,0),M为C上的动点,点P满 足 入 户=夜4;写出P的轨迹G的参数方程,并判断C与G是否有公共点.答案:见解析解析:(1)p=2 2/7 co s=x,+y?=2 /2 x=(x /2)2+y2=

14、2.(2)设 P(x,y),M(xtt,y0),由=O M =AP+O A=(x-l,j;)+(l,0)=(x-+1,y).又M在C上,所以(x-|V2+l)2+(y)2=2 (x +V 2-3)2+y2=4.则G为(3-0,0)为圆心,半径为2的圆,所以cq i彳一引所以,两圆为内含关系,所以,圆C与圆G无公共点.2 3.已知函数/(x)=|x 2|,g(x)=|2 x+3|-|2 x-l|.(1)画出y=/(x)和y=g(x)的图象;(2)若/(x +a)2 g(x),求 a 的取值范围.见解析;解析:(2)当QWO时,恒不满足,此时/(2 a +a)=0 OEI寸,/(x+)N g(x)恒成立,必有“1 、/I、,3.1 1/(-+ci)g(-)c=la-l4a .当时,23X(O O,1)时,?(%)(),所以/(x)2 g(x).3 1四 一 支 时,g(x)=+2,/(x)=x+a-2,令 x)=/(x)-g(x)=-3x+a-4,所以尸(x)N F(;)=a X(g,+oo)时,f(x)=x-ha-2,g(x)=4.尸(%)=/(%)g(x)=%+一6,所以 F(x)F(-)0.所以,+oo).

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