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1、2021四 川 考 研 数 学 一 真 题 试 卷 一、选 择 题(本 题 共 1 0 小 题，每 小 题 5 分，共 5 0 分.每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 个 选 项 是 符 合 题 目 要 求，把 所 选 选 项 前 的 字 母 填 在 答 题 卡 指 定 位 置 上.)-1 函 数/(x X F-在 x=O 处 l,x=0(A)连 续 且 取 极 大 值.(B)连 续 且 取 极 小 值.(C)可 导 且 导 数 为 0.(D)可 导 且 导 数 不 为 0.D.因 为 lim/(x)=lim 匕 1=1=/(0),故/(x)在 x=0 处 连 续：3)r
2、f 0 X/一 1f(x)-f(O)1 x-ex-i-x 1,nl因 为 lim=lim-=lim-=-=，故/(0)=,正 确 答 案 为 D.1。x-0 7 x-0 1。k 2 2(2)设 函 数/(x,y)可 微，且/a+l,/)=xa+l)2,/(x,x2)=2x2l n x,则 或(1,1)=(A)dx+dy.(B)dx-dy.(C)dy.(D)-dy.C./(x+i,eQ+ra+L，)=a+i)2+2Hx+i)(x,x2)+2xf2(x,x2)=4x In x+2x(x=0 J C 1分 别 将(c，X，带 入 式 有 y=o I y=i4(i,i)+4(i,i)=i,工(/)+2
3、 8,1)=2联 立 可 得 工(1,1)=0,曲,1)=1,df(U)=fX,l)dx+fl,)dy=dy,故 正 确 答 案 为 C.c i rj y(3)设 函 数/(x)=-_在 X=O 处 的 3 次 泰 勒 多 项 式 为 以+2+c d,则-1+x27(A)67=1,Z?=O,C=-67(C)ci=-1,b=-1,c=-.6A.根 据 麦 克 劳 林 公 式 有 sin x x37(B)tz=1,Z?=0,c=_.6(D)4Z=-1,/?=-1,c=_?.63 1 2 3 7 3 3I-ri-x 6+o(x)=%-5+o(x)7故 a=0,c=_,本 题 选 A.6(4)设 函
4、数/(X)在 区 间 0,1 上 连 续,叫 J(x g=(2 1、1(A)_|一.f 澳 普(C)_|_.1。=1 2n)n/2人 力 1 l i m Z/|_.(D)lim Z/i 一|-t-0*=i In)nB.【解 析】由 定 积 分 的 定 义 知，将(0,1)分 成 份，取 中 间 点 的 函 数 值，则 f(x)dx=lim 2/_ _,即 选 B.10 T81 I 2(5)二 次 型 f(x,x,x)=(x+x)2+(x+x)2(x X)2的 正 惯 性 指 数 与 负 惯 性 指 数 依 次 为 1 2 3 1 2 2 3 3 I(A)2,0.(B)l,l.(C)2,l.(D
5、)l,2.B.f(x,x,x)=(x+尤 了+(x+x 了 一(x x)2=2x*+2x x+2x x+2x xI 2 3 I 2 2 3 3 I 2 I 2 2 3 I 3 0 1 1、所 以 A=1 2 1,故 特 征 多 项 式 为 J 1 02-1|在 一 个=一 1-2-1-1令 上 式 等 于 零，r n()已 知 a=故 特 征 值 为-1，3若 小，目，4 两 两 正 交，5 122=(4+1)(43)/10,故 该 二 次 型 的 正 惯 性 指 数 为 1,负 惯 性 指 数 为 1.故 应 选 B.则 4，4 依 次 为 5 1(B)-,2 2记 夕=a,p-a-k/3,
6、13-a-1/3-1/3,1 1 2 2 1(C)2 25 1(D)；-5-2 25 1利 用 斯 密 特 正 交 化 方 法 知=a 2息 他 2 2 1 1013 3 M 1 0 2-T-I I 2 2故/-=5 厂/=1 2_ 故 选 A.)O 2 2 切 2 设 为”阶 实 矩 阵，下 列 不 成 立 的 是(A 0(A ABw o A Z 尸(B%#=2()(ABA、(A 1。AA7尸(D)rl A,尸(A 0 1(A)r|=r(A)+r(A A)=2r(A).故 A 正 确.I A A J A*O)T(B)A B的 列 向 量 可 由 A 的 列 线 性 表 示，故 r=r=r(A
7、)+r(A，)=2/(A).1 0 AT j 0 A(C)BA的 列 向 量 不 一 定 能 由 A 的 列 线 性 晒 区 必(A 0、(D)螂 的 行 向 解 可 申 A 的 行 军 性 表 示，r=r=r(A)+r(AT)=2r(A).1 O Ar 1 1 0 A7 1 i)本 题 选 C.(8)设 A,8 为 随 机 事 件，且 O P(8)P(A),则 P(A|B)P(A)(C)若 P(A|B)P(A B),则 P(A|B)P(A).(D)若 P(A|A B)P(A|A 8),则 P(A)P(B).D.=_P(A)_P(A|A B)一 P(A)+P(B)-P(AB)P(A B)P(A
8、|A 8)=P(&A B)p(衲=P-P(A B)=P(A B)P(A)+P(B)-P(A B)尸(A B)因 为 P(A|A B)P(A A 3),固 有 P(A)P(B)-P(A B),故 正 确 答 案 为 D.(9)设(乂/),(乂 2，丫 2)，(*“,匕)为 来 自 总 体 河,；4，凉 月 的 简 单 随 机 样 本，令 1 1 八 _.内 4-4，x=Z x,1=Z z,3 X-匕 则 I T(A)抽 儆 无 偏 估 计，。(今=2nn(台 振 是 附 勺 无 偏 估 计，D 6(=)-i2(C)n十，D O nC.+行)次 算%勺 无 偏 估 计，D q 二)2-上 因 为
9、x,y 是 二 维 正 态 分 布，所 以 x 与 丫 也 服 从 三 维 正 态 分 布，则 X-丫 也 服 从 三 维 正 态 分 布，即 E=E(X-y)=E(X)_ E(y)=4-H=gA c r+c r-2pio-D C)=D(X-K)=0(T)+D(F)-cov(r,D 2-12,故 正 确 答 案 为 C.n(10)设 X,X2,乂 6是 来 自 总 体 N(,4)的 简 单 随 机 样 本，考 虑 假 设 检 验 问 题：儿：那 1 0.(X)表 示 标 准 正 态 分 布 函 数，若 该 检 验 问 题 的 拒 绝 域 为 W=X N 11,_ 1 16其 中 歹=1 6 5
10、%则，U 11 5时，该 检 验 犯 第 二 类 错 误 的 概 率 为(A)l-O(0.5)(B)l-O(l)(C)l-(1.5)(D)l-(2)B.所 求 概 率 为 PX11 x N(11.5,1)，4.怨 1 1=尸 一 115 4 一 5；_ 似)I J J I-I 2 2 J故 本 题 选 B.二、填 空 题(本 题 共 6 小 题，每 小 题 5 分，共 3 0分.请 将 答 案 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.)-KO071(11)dxx+2x+24-KOdx 尸 dx,1、切 9=-；-=arctan(x+1)八 d+2 x+2 J o q+iy+iT C 冗 冗 2
11、 4 一 了(12)设 函 数 y=y(x)由 参 数 方 程 f 工=2/+.+1,尤 0 改 L=o=3dy由 dx4te+It d2y(4e+4fe+2)(2e+l)-(4/d+I t)2e将 f=0 带 入 得 2d+1d R=2得 cbc(2d+1)3dx202旬 3(13)欧 拉 方 程 V y+孙，4)，=0 满 足 条 件 M1)=1,(1)=2 得 解 为 y 包.2令 x=e，贝 1 孙=9，/=今 _ 也，原 方 程 化 为 心-4y=0,特 征 方 程 为 dt dx2 dx/？-4=0,特 征 根 为 4=2,/1=-2,通 解 为 y=C e 2+C e-dx2C
12、x2+C x-2,将 初 始 条 件 y(1)=L y(1)=2 带 入 得 C=l,C=0,故 满 足 初 始 条 件 的 解 为 y=f.2(14)设 Z 为 空 间 区 域 a,y,z)/+4y2 4,0 4 Z 4 2 表 面 的 外 侧，则 曲 面 积 分 jcdydz+y2dzdjc+zdxdy=_.4%由 高 斯 公 式 得 原 式=8(2x+2y+1)JV=J。J z jj dxdy=4%Q D(15)设 A=4 为 3 阶 矩 阵，4 为 代 数 余 子 式，若 A 的 每 行 元 素 之 和 均 为 2,且|A=3,A”+A,+A3l=-3“2 1 431A AA A u
13、u/节 正 值 为 川 L，u(向 1+An+A?1A+A+AA+A+A对 应 的 特 征 向 量 为 l(l即 A”+4 i+A3l=2(16)甲 乙 两 个 盒 子 中 各 装 有 2个 红 球 和 2个 白 球，先 从 甲 盒 中 任 取 一 球，观 察 颜 色 后 放 入 乙 盒 中,再 从 乙 盒 中 任 取 一 球.令 x,y 分 别 表 示 从 甲 盒 和 乙 盒 中 取 到 的 红 球 个 数，则 x 与 y 的 相 关 系 数 _.一 15I(0,0)(0,1)(1,0)(1)联 合 分 布 率(X,y)1 3 1 1 3 XLcov(x,y)=i,z)x=i,丫=i,即。=
14、L20 4 4 x r 5(ill D?I I12 2)o|e 1 sinx,1 I)12,1+fe 2dt、s in x-1-(e,dt解：lim I。，-4 4,=lim.一 x-o|e=i-sinx z0 一(e-1)sinx一 又 因 为 力=(1+。(b)d t=x+x3+o(x3),故。3)(1+尢+o ix1)原 式=lim 31X f 01 x2+O(X X=lim-3!x2x%2+o(d)21x-o x2 2(18)(本 题 满 分 12分)1e 1 oo+1设 4(x)=e+)(+)(=1,2,)，求 级 数 的 收 敛 域 及 和 函 数.0-*+I _e-y-(1 X)
15、ln(l x)(0,1)S(x)=S(x)=Z“(x)=A F+5+l)x，+lJ 收 敛 域(o,l，3(x)=濠=4,X e(0,lr=l n=l _ J n=lS(x)=X 1 f 工=-x ln(1-x)-ln(1-x)-x=i 2(+l)篙 n”i+l=(l-x)ln(l-x)+x,x G(0,1)S2(l)=lim S2a)=1XT le-x 4-+Gi_g-(1 x)ln(1 x)x,x(0,1)S=2 W 4 且/(D 尸 2de色 一 r)*dr=8兀.补 2：4+4 彳 孤)，取。的 方 向 为 顺 时 针 方 向，2J(xex+4y2+y)iZx+(4ye E-x)dy交
16、+4 4曲 1 5(xer+4 v+y)dx+(4 xr+4r-x)dyx2+4y2(X/MV+y)dx+(4 yer+4y-x)dyf+4y2-fr J xdx+4ydy-er2 J ydx-xdy-2d u-兀.dD2 dD2 r D2(21)(本 题 满 分 12分)I a已 知 A=i 11a-1-1-n-i.求 正 交 矩 阵 P,使 得 PAP为 对 角 矩 阵;求 正 定 矩 阵 C,使 得 C2=(a+3)E A.p,53；(2)C=-11正 55-101353 J4-a-1 由 p E-A 卜-1 A-a1 111=(/l-4+1)2(4-a-2)=02-a得 4=a+2,4
17、=4=o l当=a+2 时(2-1 i W i 0 H iM)(a+2)E A)=-1 2 1 r 10 1 1 的 特 征 向 量 为 a 1 1I 1 1 2八 0。0；l-lj当 4 二 4 二 Q-i所(2)PTC2P Pr(+3)-A)P=(+3)E-A=1 44n P CPPTCP=4|=prCP=2，故 C=P 2 Pr=l-1 5 1I 2|3-3(22)(本 题 满 分 12分)在 区 间(0,2)上 随 机 取 一 点，将 该 区 间 分 成 两 段，较 短 的 一 段 长 度 记 为 X,较 长 的 一 段 长 度 记 为 YX、令 Z=.X 求 X 的 概 率 密 度;(2)求 Z 的 概 率 密 度.I 严 f l,0 x 12”1f l,0 x 1(1)由 题 知：X6 小)=0,其 他；z)=(F z(z)，=&z+l)2 0,其 他.(3)1+2 In 2.2 X(2)由 y=2 X,即 2=X,、F(z)=P Z 4 z=PE(x)=八 甘 八 I 0,其 他，先 求 Z 的 分 布 函 数:=P 2-X 1?1当 z=1-P!X 4|=1一 可 公=1一 X f J 9 I z+ljc z+1口 加 z)=(F z(z)T(z+1。；4、。洪 他 序=E 1=5.lcZx=-l+2 1 n 2.yJ 12 x J