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1、 微 积 分 几 何 复 习 题 本 科 第 一 某 些：练 习 题 库 及 答 案 一、填 空 题(每 题 背 面 附 有 核 心 词;难 易 度;答 题 时 长)第 一 章 1.己 知 a=(l,l,l),b=(l,O,l),则 这 两 个 向 量 夹 角 余 弦 c o s 8=2.己 知 a=(O,l,l),b=(l,O,l),求 这 两 个 向 量 向 量 积 axb=(-l L-l).3.过 点 尸(1,1,1)且 与 向 量 a=(1,0,1)垂 直 平 面 方 程 为 在 Q4.求 两 平 面 为：x+y+z=0与 7 2：x y+2z=l 交 线 对 称 式 方 程 为 2
2、F=5.计 算 lim(3/+l)i/j+k=13i-8j+k./-2 _6.设 f(/)=(sinf)i+(j,g(/)=(t2+l)i+erj,求 lim(f(r)g)=0r-07.已 知 r(,v)=(+匕 一 匕,其 中=,v=sinr,则 一=(2t+cos t,2t-cos r,2vt+u cos t)dt-8.已 知=r,6=F,则 日(2)=(-。sin os 3-2at cos(p sin 0,-a sin sin 6+2at cos 9 cos 仇 a cos(p)dt-4 69.已 知 Jr df=(l,2,3),jr(r)dr=(-2,l,2),求 2 44 6jax
3、r(r)d r+b-ja-r(/)d r=(3,-9,5),其 中 a=(2,1,1),b=(l,-l,0)2 210.已 知 rQ)=a(a 为 常 向 量)，求 r)=/a+c11.已 知(，)=，a,(a 为 常 向 量)，求 r)=L?a+c212.已 知 f=(2+力 j+(logr)k,g(r)=(sinr)i-(cosz)j,r 0=2-6 co s4.4 d,则 J丁(f-g)dfo S第 一 早 13.曲 线 r(f)=(I t,te)在 任 意 点 切 向 量 为(2,3产,/)14.曲 线 r)=(a cosh t,a sinh 在 t=0 点 切 向 量 为(0,a,a
4、)15.曲 线 r Q)=(q cos r,a sin 初)在/=0 点 切 向 量 为(0,a,b)1y 16.设 有 曲 线 C:x=e,=e，z=产，当 1=1时 切 线 方 程 为=e _ 1 2e17.设 有 曲 线 彳=ecost,y=esinf,z=e,当/=()时 切 线 方 程 为 x-l=y=z 1第 三 章 18.设 r=r(,v)为 曲 面 参 数 表 达，如 果 r“xr、,w O,则 称 参 数 曲 面 是 正 则；如 果 r:G f r(G)是 一 一，则 称 参 数 曲 面 是 简 朴.19.如 果“-曲 线 族 和 丫-曲 线 族 处 处 不 相 切，则 称
5、相 应 坐 标 网 为 正 规 坐 标 网.(坐 标 网；易；3 分 钟)20.平 面 r(“,v)=(,匕 0)第 一 基 本 形 式 为 ck?+d、,面 积 元 为 dMdu21.悬 链 面 r(u,v)=(cosh u cos v,cosh 5泊 匕)第 一 类 基 本 量 是=cosh2 uF-0 _G=cosh2 u222.曲 面 z=axy上 坐 标 曲 线 x=x0,y=外 交 角 余 弦 值 是 一 7-型-_5(1+/2)(1+42%2)23.正 螺 面!*(#)=(ucos v,u sin v.hv)第 一 基 本 形 式 是 d/+(/+/?2)dv2.24 双 曲 抛
6、 物 面 r(w,v)=(a(u+v),b(u-v),2wv)第 一 基 本 形 式 是(4+4y2)d 2+2 a J+4 y)d dv(*2h-42z25.正 螺 面 r(,u)=(cosu.sinu.bu)平 均 曲 率 为 0.(正 螺 面、第 一 基 本 量、第 二 基 本 量；中；3 分 钟)26.方 向(d)=(1：8 是 渐 近 方 向 充 要 条 件 是 勺(1)=0 或 1 2+2h1(加+凡 1/=027.两 个 方 向(d)=：du 和(6)=3%:3V 共 较 充 要 条 件 是 II(dr,8r)=0 或 Ldudu+M(d8v+dv5w)+7Vdv8v=028.函
7、 数；l是 主 曲 率 充 要 条 件 是 A E-LA F-MA F-MA G-N=029.方 向(d)=du:dv是 主 方 向 充 要 条 件 是 Edu+Fdv Ldu+MdvFdu+Gdv Mdu+Ndv30.依 照 罗 德 里 格 定 理，如 果 方 向(d)=(d：du)是 主 方 向，则 dn=-K.dr,其 中 仁 是 沿(d)方 向 法 曲 率 31.旋 转 极 小 曲 面 是 平 面 或 悬 链 面 第 四 章 32.高 斯 方 程 是 工=Z E q+4 n-i,/=l,2,魏 因 加 尔 吞 方 程 为 n,=i=l,2k j.k33.g“用 g”表 达 为 3）=丁
8、 置 g22 g|2 det（g）l g|2 g”J34.测 地 曲 率 几 何 意 义 是 曲 面 地 上 曲 线（C）在 点 测 地 曲 率 绝 对 值 等 于（C）在 点 切 平 面 且 上 正 投 影 曲 线（C*）曲 率 35.心 勺,“之 间 关 系 是*=勺 2+勺 2.36.如 果 曲 面 上 存 在 直 线，则 此 直 线 测 地 曲 率 为 0.37.测 地 线 方 程 为 燮+*叱=0=1,2d.y2 V d.s-d,s-38.高 斯-波 涅 公 式 为 J J/3 1 7+|勺（1 5+2（万 一）=2 G dG i=1k39.如 果 3 G 是 由 测 地 线 构 成
9、，则 高 斯-波 涅 公 式 为 0 K d eT+、2（万%）=2.G i=l二、单 选 题 第 一 章 40.41.已 知 a=b=（l,2,-l）,则 这 两 个 向 量 内 积 2 力 为（C）.（内 积；易；2 分 钟）A 2 B 1 C 0 D求 过 点 尸（1,1,1）且 与 向 量 a=（-1,0,-1）平 行 直 线 2方 程 是（A）.（直 线 方 程；易；2 分 钟）X=ZAy=lx-yB-=-2 3C x+1=y=z+1 Dx=yz=1z+142.已 知 a=(1,1,-1),b=(1,0,-1),c=(1,1,1),则 混 合 积 为（D）.（混 合 积：较 易：2
10、分 钟）B-1 D-243.已 知 r)=(d/e T),则/(0)为(A）.（导 数；易；2 分 钟）0,-1)44.已 知 r）=X r）,4 为 常 数,则 r 为）.（导 数；易；2 分 钟）A Ara C eAfa D eAaA 2 CA(1,0,1)C(0,1,1)B AaBD(-1,(1,C0,1)上 述 a 为 常 向 量.45.已 知 r（x,y）=（x,y,孙），求 d r（l,2）为（D）.（微 分；较 易；2 分 钟）A(dx,dy,dx+2dy)B(dx+dydr-dy,。)4D T-T*7-第 一 早 46.圆 柱 螺 线=（以”/了!1/,/）切 线 与 2 轴（
11、C）.（螺 线、切 向 量、夹 角；较 易、2 分 钟）B A 平 行 垂 直 T Tc 有 固 定 夹 角 工 4有 固 定 夹 角 工 rr3D47.设 有 平 面 曲 线 C:r=r（s）,s 为 自 然 参 数,a,p是 曲 线 基 本 向 量.下 列 论 述 错 误 是（C）.A a 为 单 位 向 量 a aC d=-/cp 0=-K d48.直 线 曲 率 为（B）.（曲 率；易；2 分 钟）A-149.关 于 平 面 曲 线 曲 率 C:r=r（s）不 对 的 是（D）.（伏 雷 内 公 式；较 易；2 分 钟）A K（S）=风 S）|B K(S)=|以 s)|,(p 为 a(
12、s)旋 转 角 D K(S)=|I50.对 于 平 面 曲 线，“曲 率 恒 等 于 0”是“曲 线 是 直 线”（D）.（曲 率；易；2 分 钟）B 0 C 1BDD 2C K($)=-a-BA 充 分 不 必 要 条 件 B 必 要 不 充 分 条 件 C 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 D 充 要 条 件 51.下 列 阐 述 不 对 的 是（D）.（基 本 向 量；易；2 分 钟）A a,%Y 均 为 单 位 向 量 B a pC P Y D a/p52.对 于 空 间 曲 线 c,“曲 率 为 零”是“曲 线 是 直 线”（D）.（曲 率；易；2 分 钟）充 分 不 必 要
13、条 件 B 必 要 不 充 分 条 件 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 D 充 要 条 件 AC53.对 于 空 间 曲 线 C,“挠 率 为 零”是“曲 线 是 直 线”（D）.（挠 率：易；2 分 钟）A 充 分 不 必 要 条 件 B 必 要 不 充 分 条 件 C 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 D 充 要 条 件 54.t 71x=Q-sinf),y=a(l-cos/),z=4asin 在 点，二 万 切 线 与 z 轴 关 系 为(D).A 垂 直 B 平 行7TC 成 一 角 3D 成 工 角 4第 三 章 55.2 2 2椭 球 面 与+2+=1参 数 表 达
14、为（C）.（参 数 表 达；易；2 分 钟）a b-cA(x,y,z)=(cos x)s n，如)(p B(x,y,z)=(coscos0,/?cossin0,sin(p)C(x,y,z)=(a cos os 0,b cos(p sin O.c sin(p)D(x,y,z)=(acos?cos 0,bsin(pcos 0.csin 20)56.2 2 2如 下 为 单 叶 双 曲 面：+方-1r=1参 数 表 达 是（D）.（参 数 表 达；易：2 分 钟）A(x,y,z)=(acosh 质 in y&osh os,sinh)u B(x,y,z)=(cosh a cos v,cosh w si
15、n v,sinh w)C(x,y,z)=(Q sinh u cos v,b sinh u sin v,c cosh u)D(x,y,z)=(Q cosh“cos cosh sin v,csinh w)57.2 2 2如 下 为 双 叶 双 曲 面 3+方-1r=T 参 数 表 达 是（A）.（参 数 表 达；易；2 分 钟）A(x,y,z)=(tzsinh“QOS V Zxinh sin,v cosh)u B(x,y,z)=(Q cosh ucos v,Z?sinh usin v,ccosh)C(x,y,z)=(acosh ucos v,bcosh wsin v,csinh u)D(x,y,z
16、)=(cosh cos v,cosh sin v,sinh u)58.X2 y2如 下 为 椭 圆 抛 物 面 7+$=2z参 数 表 达 是（B）.（参 数 表 达：易：2 分 钟）A(x,y,z)=(wcos u i/sin y-4-B(x,y,z)=(an cos v,bu sin v,2C(x,y,z)=(au cosh v,bu sinh v,)D(x,y9 z)=(a cos v,b sin v,v)2y59.X2如 下 为 双 曲 抛 物 面 一 Ta2z参 数 表 达 是（C）.（参 数 表 达；易；2 分 钟）A(x,y,z)=(cosh%feinh)B(x,y,z)=(co
17、sh u,sinh u,u)C(x,y,z)=(a(u+v),h(u v),2wv)60.D(x,y,z)=(au,hv,u v)曲 面（一）=（2 匕，2+丫 2,1/3一/）在 点 加（3,5,7）切 平 面 方 程 为（8）.（切 平 面 方 程；易；2 分 钟）A 21x+3y 5z+20=0 B 18x+3y-4z-41=0C 7x+5y-6z-18=0 D 18x+5y-3z+16=061.球 面 r（,u）=（尺 8$以）$匕 7?8$巾 匕/?$111）第 一 基 本 形 式 为（D）.（第 一 基 本 形 式；中；2 分 钟）A/?2(dw2 4-sin2 A v2)B R2
18、(d/+cosh2 r/dv2)C R2(du2+sinh2 udv2)D R2(du2+cos2 wdv2)62.正 圆 柱 面 r(“,y)=(Rcos%Rsinv,)第 一 基 本 形 式 为(C).(第 一 基 本 形 式；中；2 分 钟)A du2+dv2 B dw2-dv2 C du2+7?2dv2 D du2-R2(iv263.在 第 一 基 本 形 式 为 I(d“,du)=d2+sinh2“d/曲 面 上，方 程 为=W 匕 4 v 为)曲 线 段 弧 长 为(B)2 分 钟)A cosh v2-cosh v(B sinh v2-sinh 匕 C cosh 匕-cosh v2
19、 D sinh v,-sinh v264.设 M 为 R中 2 维 正 则 曲 面，则 M 参 数 曲 线 网 为 正 交 曲 线 网 充 要 条 件 是(B).A=0 B F=0 C G=0 D M=065.如 下 对 的 是(D).(魏 因 加 尔 吞 变 换；较 易；2 分 钟)A dn=W(dr)B dn=W(dr.)C dnH=W(drr)D dn=-W(dr)66.如 下 对 的 是(C).(魏 因 加 尔 吞 变 换；较 易；2 分 钟)A I(dr,W(8r)=-II(d i;5r)B I(dr,W(5r)=-I(W(5r),dr)C I(dr,W(8r)=I(W(dr),5r
20、)D I(dr,W(5r)=11(W(dr),3r)67.如 下 对 的 是(A).(魏 因 加 尔 吞 变 换；较 易；2 分 钟)A I(dr,W(&)=W(dr,&)B I(dr,W(8r)=1I(W(dr),5r)C I(dr,W(Sr)=-I(W(dr),5r)D II(dr,W(5r)=11(W(dr),8r).（弧 长；中；68.高 斯 曲 率 为 常 数 曲 面 叫（C）.（高 斯 曲 率；易；2 分 钟）A 极 小 曲 面 B 球 面 C 常 高 斯 曲 率 曲 面 D 平 面 第 四 章 B69.g g 户=-.（第 一 基 本 形 式；易；2 分 钟）iJA 1 B 2
21、C 0 D-1B70.工 g k 4=_.（第 一 基 本 形 式；易；2 分 钟）JA g B g H C gkj D g-A71.rj=.（克 氏 符 号；较 易：2 分 钟）A Z/(翳+答-答 B 2 疗(答 一 答 一 答)i 2 ouJ du du i 2 ou du duC Z 次 条+答+翳)D Z*莞 一 答+答)i 2 0 0 O L I j 2 0 On GitA 7 2.曲 面 上 直 线(如 果 有 话)测 地 曲 率 等 于.A 0 B 1 C 2 D 3B 7 3.当 参 数 曲 线 构 成 正 交 网 时，参 数 曲 线 u-曲 线 测 地 曲 率 为.(刘 维
22、 尔 定 理、测 地 曲 率；中；4 分 钟)A J ainE B _ L n E1 4 E du 2y/G dv1 SlnG 1 Sin EC-j=-D j=-2 V E dv 2 V G duA 7 4.如 果 测 地 线 同 步 为 渐 进 线，则 它 必 为.(测 地 曲 率、法 曲 率、曲 率；中；2 分 钟)A 直 线 B 平 面 曲 线 C 抛 物 线 D 圆 柱 螺 线 B 75.在 伪 球 面(K 三-1)上，任 何 测 地 三 角 形 内 角 之 和.(高 斯-波 涅 定 理；中；4 分 钟)A 等 于 万 B 不 大 于 万 C 不 不 大 于；r D 不 能 拟 定 三
23、、多 选 题 第 一 章 76.若)=(%(f),y,(f),z,C),i=l,2,3为 向 量 函 数，则 下 列 阐 述 对 的 是(AD).(导 数;易；4 分 钟)A r；(f)=(X(f),y；),z；(t)B r；(f)=(x；(f),y,Z)+(%,x(f),4(r)+(%Q),%”),z；(f)C a C Q)，=(r：(f),r；(t),r；(f)D a,弓(f),r3(0)z=(r：(f),三 口),j)+(r,(t),r；(f),q)+(r,(t),r2(t),r；(f)E(勺(。/2(力/3(。)=(章 力 士 士)77.m,n 为 常 向 量，r(f)为 向 量 函
24、数，则 下 述 对 的 是(ABC).(积 分 性 质；中；4 分 钟)b bA jm-r(/)df=m J r(z)dra ah hC j(m,n,r(r)dr=(m x n)J r(f)ckb bB j m x r(Z)d/=m x j r(r)d/b hD j(m,n,r(z)dr=(m n)j i 由b bE j(m,n,r(Z)dr=(m x n)x J r(r)dra a第 二 章 78.下 列 曲 线 中 为 正 则 曲 线 有(ACDE)。(曲 线 概 念：易；4 分 钟)A r(x)=(x,x3),x e(-oo,+oo)B r(x)=(x2,x3),x e(-oo,+oo)
25、C r(x)=(x2,x3),x e(0,+co)D r(%)=(cosx,x),x e(-oo,+oo)E r(x)=(x,x),x e(-1,2)79.下 列 曲 线 中 是 正 则 曲 线 有(ABCDE),(曲 线 概 念：易；4 分 钟)A r=(cosr,sin/,0，t G(-00,+00)Br=(sin 3z,3/,0),t e(-oo,+oo)C r=(cos r,cos2 r,sin t),t G(-00,+oo)D r=(cos Z,1-cos t-sint,-sin t),t G(-00,+00)E r=(2sin2 r,2sin2 r tan r,r),t G(-00
26、,+oo)80.下 列 式 子 对 的 是（ABCE）.（伏 雷 内 公 式：中：4 分 钟）A y=a x 0 B y aC p=-ka+ry D y pE y.第 三 章 81.曲 面 z=/+y3在 点“（1,2,9）（AD）.（切 平 面、法 线；中；4 分 钟）A 切 平 面 方 程 为 3x+12y z 18=0B 切 平 面 方 程 为 3x+14y z+8=0C 法 线 方 程 为、，x1=2y-3=z 93 12-1D 法 线 方 程 为 土=上 2=三 心 3 12-1E 法 线 方 程 为 主 1=）二=二 4 12-182.正 螺 面 r=（cosR sinR4u）（A
27、C）.（切 平 面、法 线；中；4 分 钟）A 切 平 面 方 程 为 xasin u-yQcosu+z-a u=0B 切 平 面 方 程 为 wsin 一 yacos+zv-a u=0C 切 平 面 方 程 为 xasin u-ya cos u zv-auv=0、x-wcosv y-wsinv z-avD 法 线 方 程 为-=2-=-asinu-tzcos v uE 法 线 方 程 为 七 上 也=匕 竺 辿=三 丝 asinu-a cos u v83.下 列 二 次 形 式 中，（A B D）不 能 作 为 曲 面 第 一 基 本 形 式.（第 一 基 本 形 式；易；4 分 钟）A I
28、(dw,dv)=dw2+4dwdv+dv2B I(dw,dv)=dw2+4dwdv+4dv2C I(dw,dv)=dw2-4dwdv+6dv2D I(dw,dv)=du2+4di/dv-2dv2E I(di/,dv)=du2+4dwdv+5dv284.普 通 螺 面 r（#）=（cos匕 sin匕/（）+口）第 一 类 基 本 量 是（B C D）.（第 一 基 本 量;A E=l+（/（）2 B E=l+（r（）2C F=af（u）D G=a2+u2E G=a2 u285.下 列 曲 面 中，（BCD）是 旋 转 常 高 斯 曲 率 曲 面.（常 高 斯 曲 率 曲 面；易；4 分 钟）;4
29、 分 钟）A 正 螺 面 B 平 面 C 球 面 D 圆 柱 面 E 悬 链 面 第 四 章 ABC 86.对 于 曲 面 上 正 交 坐 标 网，测 地 曲 率 勺=（设 曲 线 切 方 向 与 r“夹 角 为。）.A电 一 金 cs，+与 sin。ds 2Ey/G 2Gy/EBdd 1 ainEds 2-jG 5Vcos6+H n G sin。2jE duCDEdO 八.八+K“COS 0+KO smjds 8u gvdO.八 八+K“Sin 夕+K。cos 夕 ds g 自 dO 八.n+K。COS 夕 一 K。sin 夕 ds g g87.曲 面 上 曲 线 是 测 地 线 充 分 必
30、 要 条 件 是 ABCD（测 地 线 慨 念；中；4 分 钟）A 满 足 方 程 d2ds2+黑 震=曲 线B 满 足 勺=0 曲 线 C 除 了 曲 率 为 零 点 外，曲 线 主 法 线 重 叠 于 曲 面 法 线 D 满 足 K=0 曲 线 E 满 足 勺=0 曲 线 四、论 述 题 第 三 章 88.曲 面。解 设 G 是 初 等 区 域，S U R 3,如 果 存 在 一 种 持 续 一 一 映 射 r:G f R 3 使 得 r(G)=S,则 称 S 是 一 张 曲 面，而 r=r(x)叫 S 参 数 表 达.89.坐 标 曲 线。【解】曲 面 S:r=r(,),(#)eG,r(
31、,%)像 叫 一 曲 线，r(人,v)像 叫 丫 一 曲 线，一 曲 线 和 丫 一 曲 线 都 叫 坐 标 曲 线.90.第 一 基 本 形 式。【解】称 二 次 型 I(d,dv)=EdM2+2Riadu+Gdy2(其 中 E=r“-r“，F=r rr,G=rv-r.)为 曲 面 第 一 基 本 形 式.而 E、F、G 叫 曲 面 第 一 类 基 本 量.91.内 蕴 量。【解】由 曲 面 第 一 类 基 本 量 所 决 定 量 叫 曲 面 内 蕴 量.92.第 二 基 本 形 式。【解】称 二 次 型 II(d“,dn)=Ld“2+2MdMdv+Nd/(其 中 L=r,“-n,M=r,(
32、i,-n,N=rw-n)为 曲 面 第 二 基 本 形 式.而 L,M,N 为 曲 面 第 二 类 基 本 量.93.【解】若 在 P 点 有 L N?(),则 称 p 点 为 曲 面 椭 圆 点.94.法 曲 率。【解】给 定 曲 面 S 上 一 点 P 处 一 种 切 向 量(d)=d：du,则 P 点 沿 方 向(d)法 曲 率 定 义 为 K“(d)=II(dr,dr)/I(dr,dr).95.主 曲 率。【解】使 法 曲 率,(d)达 到 极 值 方 向 叫 曲 面 在 该 点 主 方 向，而 主 方 向 法 曲 率 叫 该 点 主 曲 率.96.高 斯 曲 率。【解】曲 面 两 个
33、 主 曲 率 之 积 K=叫 曲 面 高 斯 曲 率.97.极 小 曲 面。【解】平 均 曲 率=0 曲 面 叫 极 小 曲 面.五、计 算 题 第 二 章 98.求 旋 轮 线 工=。一 5山)丁=。(1一：00/)04/42一 段 弧 长.(弧 长；中；5 分 钟)解】旋 轮 线 I解=一 sinr),tz(l-cos)切 向 量 为 rQ)=(a-acost.asint),则 它 0 W Y 27r一 段 弧 长 为:2乃 2九,5=j|rz(r)|dr=J 0 a j l-c o s fdf=8a.0 09 9.求 曲 线 x=Fsinf,y=/cos，,z=/在 原 点 切 向 量、
34、主 法 向 量、副 法 向 量.（基 本 向 量；中；10分 钟【解】由 题 意 知 r=(sinl+f cost,cost-t sin+以)，r(，)=(2 cos，T sin,-2 sin f，cos t,2el+fd),在 原 点 时 有 r(0)=(0,l,l),r(0)=(2,0,2)。又 _ 匚(r；r V-(r；r V _ r x r 同，Y-ir，xr，,r因 此 有 100.圆 柱 螺 线 为 r（，）=（acos，,Qsin/Z?f）。（基 本 向 量、曲 率、挠 率；中；15分 钟）求 基 本 向 量 a,0,y；求 曲 率 K 和 挠 率 z；【解】由 题 意 有 rQ
35、)=(-a sin t,a cos t.b),yQ)=(一。cos t,-a sin t.0),rf(r,r)r(r r)r又 由 公 式。=西 平=1 看 不 二|；lrl lrk lr x r Ir xr 一 广 际 ia=/(一。sin t,a cos t,b),P=(一 cost,-sin f,0),y-.(Z?sinz,-Zcos t,a).yla2+b2l x r l(rr d)a b 由 普 通 参 数 曲 率 公 式=及 挠 率 公 式=有 K=7=一|r f l x r f a2+h-a+b2第 三 章 101.求 正 螺 面 r3,v）=（cosn,sinn,bv）切 平
36、面 和 法 线 方 程.（切 平 面、法 线：中；5 分 钟）【解】r(/=(cos v,sin v,0),rv=(-usin v,wcosv,Z7),切 平 面 方 程 为法 线 方 程 为 七 3=匕 也 x-ucosv y-usinv z-bvCOS V sin v 0=0=bsinv-x-bcosu-y+uzhuv-0,-wsin v cosu bz-bvu102.求 球 面 r(0,。)=(4cos0cosaacossin&4sino)上 任 一 点 处 切 平 面 与 法 线 方 程.【解】%=(一。sin 夕 cos 仇-a sin(p sin 0.a cos cp),%-(-a
37、 cos 0 sin 仇 Q cos cpcos 仇 0),%e2 e3%xr。=-asin 8cos。一 asinesin。acos(p一 cos e sin。a cos(p cos 0 0=a2 cos 夕(一 cos(p cos 0,-cos e s i n 一 sin)二 球 面 上 任 意 点 切 平 面 方 程 为(x-a cos(p cos O.y-a cos*sin 8,z-a sin cp)er cos e(一 cos(p c o s-cos(p sin。，-sin 0)=0,即 cos 8 cos(p-x+cos sin 6 y+sin 0 z a=0,法 线 方 程 为(
38、x-a cos(p cos 0,y-a cos e sin 9,z a sin(p)=A-a2 cos 火 一 cos os&-cos sin 8,-sin(/),x-acos(pcos0B|J-COS。COS。y-acos(psinO _ z a sin(pcos sing sin。103.求 旋 转 抛 物 面 Z=a(f+y2)第 一 基 本 形 式.(第 一 基 本 形 式：中：5 分 钟)【解】参 数 表 达 为 r(x,y)=(x,y,a(x2+y2),rv=(1,0,2ax),rv=(0,1,2ay),E=rv-rv=1+4a2x2,F=rv-rv=4a2xy,G=rv-rv=l
39、+4a2 y2,I(dx,dy)=(l+46z2x2)dr2+8tz2A,dxd+(l+46t2,2)dy2.104.求 正 螺 面 r(#)=(“cos匕“sin匕 bu)第 一 基 本 形 式.(第 一 基 本 形 式；中；5 分 钟)【解】rl t=(cos v,sin v,0),rv,=(-usin v,wcos v,h),E=ru-rlt=1,F=rw-rv.=0,G=rv-rv=w2+/?2,I（dw,dv）=du2+（2+Z?2）dv2.105.计 算 正 螺 面（,口）=（以）5%$后 匕 历 0 第 一、第 二 基 本 量.（第 一 基 本 形 式、第 二 基 本 形 式：中
40、；1 5分 钟）【解】rlt=(cos v,sin v,0),rv=(-wsin v,ucosv,b),rM M=(0,0,0),rM l,=(-sin v,cos v,0)，rvv=(-wcos v,-u sin v,0),rM x rv=cos v sin v 0=(Z?sin v,-/7cos v,w),-u sin v 4 cos y bru x rv._(/?sin v,-b cos v,w)n|rX r,l 扬+“2E=ru r=1,F=r“-r=0,G=rv-rv=u2+b2,bL=r“-n=0,M=rv-n=-=,N=r”n=0 y/h-+u106.计 算 抛 物 面 z=Y+
41、y 2高 斯 曲 率 和 平 均 曲 率.（高 斯 曲 率、平 均 曲 率；中；1 5分 钟）【解】设 抛 物 面 参 数 表 达 为 r（x,y）=Q,y,f+产）,则 rx=(1,0,2x),rv=(0,1,2 y),=(0,。,2),r,w=r、*=(0,0,0)r”,=(0,0,2),i j krv x rv=1 0 2x=(-2 x,-2 j,l),0 1 2yn=r、.xr,.2 x,2y,l)I j x r，4/+4:/+1 E=rv rx-1+4x2,F=r ry-4xy,G-rv-rv=1+4y2,2L=r n=,M=rvy-n=0,y4x+4y-+1、,2N=r n=.7
42、4/+4/+12 2 4 2 0“L N-M2 4X2+42+1 4K-=-jE G-F2(1+4/)(1+4/)_(4孙)2(4%2+4/+I)2 1 G L-2 F M+EN 4x2+4v2+2H-.2 E G-F2 2/2(4x2+4y2+l)2107.计 算 正 螺 面 r(,u)=(cosu,sin匕 v)高 斯 曲 率(高 斯 曲 率;中；15分 钟)【解】直 接 计 算 知 E=1,F=0 7 G=ir-cr,L=0 M=-.a,N=0,y/u2+a2“L N-M2 a2*K=-=-E G-F2(u2+a2)2,第 四 章 108.求 位 于 正 螺 面 X=MCOSV,y=“s
43、inn,z=4丫 上 圆 柱 螺 线 1=%8 5%,=(用 11丫,2=av(“0=常 数)测 地 曲 率.(测 地 曲 率、刘 维 尔 定 理；中：15分)【解】由 于 正 螺 面 第 一 基 本 形 式 为 I=d 2+(“2+4)du2,螺 旋 线 是 正 螺 面 V-曲 线 M=o,由。=工 得=0.由 正 2 ds交 网 坐 标 曲 线 测 地 曲 率 得 K=G“_=_ _8 2G4E M02+a2 六、证 明 题 第 二 章 109.证 明 曲 线 r=(dcos，,dsinr,()切 向 量 与 曲 线 位 置 向 量 成 定 角.(切 向 量、夹 角；较 易；5 分 钟)【
44、证】对 曲 线 上 任 意 一 点，曲 线 位 置 向 量 为 r=(dcos，,dsin1,0),该 点 切 线 切 向 量 为：r=(d(cos/-sin f),d(sin t+cos f),0),则 有：r f e21 V2|r|rr|2TT故 夹 角 为 工。由 所 取 点 任 意 性 可 知，该 曲 线 与 曲 线 切 向 量 成 定 角.4110.证 明：若 r和 r对 一 切 r线 性 有 关，则 曲 线 是 直 线.(曲 率；中；10分 钟)【证 明】若 I和 r对 一 切 线 性 有 关，则 存 在 恒 不 同 步 为 0/0),g(f)使/(f)r(f)+g(f)r(f)=
45、O。则 r(f)xr(t)=0 Vf okx r|又 K(7)=二 一，故 左(f)=OVf。于 是 该 曲 线 是 直 线.111.证 明 圆 柱 螺 线 1=。(：05人 丁=。5皿 人 2=初 主 法 线 和 2轴 垂 直 相 交.(主 法 线、夹 角：中：10分 钟)【证 明】由 题 意 有 rQ)=(-a sin t,a cos t,b),rw(f)=(-a cos t,-a sin t,0)。由 0=T；7；二 知 1=(一 c o s 一 sint,0)。另 一 方 面 z 轴 方 向 向 量 为 a=(0,0,l),而 a f=，故 2_10，|r|-|r xr|即 主 法 线
46、 与 z轴 垂 直.112.证 明 曲 线 x=asin,y=asinfcosz=acos/所 有 法 平 面 皆 通 过 坐 标 原 点.(法 平 面；较 易：5 分 钟)【证 明】由 题 意 可 得 rQ)=(qsin2，,4cos2，,-asin，)，则 任 意 点 法 平 面 为 asin 2r0(x-6zsin2+a cos 2t0(y-asmt0 cos t0)-asint0(z-a cosr0)=0 将 点(0,0,0)代 入 上 述 方 程 有 左 边 二 sin2()-sin?Zo)+6fcos2z()(0-tzsinr()cos%)-asin，()()一 cos%)=0=右
47、 边，故 结 论 成 立.113.证 明 曲 线 犬=三,丁=一 为 平 面 曲 线，并 建 立 曲 线 所 在 平 面 方 程。(挠 率；中；10分 钟)1-t 1-产 i+r【证 明】设 A 上 吆+8 方+C 匚+。=0,整 顿 比 较 两 边 同 次 项 可 得 1-z 1-r+tA D=0,2A C=0,A+B+C+D=0,则 有 A=D,B=-4O,C=2。，即 曲 线 为 直 线，且 有 x-4y+2z+l=0.第 三 章 114.求 证 正 螺 面 上 坐 标 曲 线(即-曲 线 族 丫-曲 线 族)互 相 垂 直.(坐 标 曲 线、夹 角；5 分 钟)【证 明】设 正 螺 面
48、 参 数 表 达 是 r(”#)=(“cos%asinv,M0，则 r“=(cos v,sin v,0),rv=(-wsin V,MCOS v,b),=r(/rv=(cos v,sin v,0)(-sin v,u cos u,b)=0,故 正 螺 面 上 坐 标 曲 线 互 相 垂 直.115.证 明 马 鞍 面 2=盯 上 所 有 点 都 是 双 曲 点.(点 分 类、第 二 基 本 量；中；15分 钟)【证 明】参 数 表 达 为 r(x,y)=(x,y,xy),则 r、.=(l,0,y),rv=(0,l,x),j=(0,0,0),%=(0,0,1),r,=(0,0,0),r*xrvrvx
49、 r,_(-y,-x,v)Ijxr 7x2+/+lL=%.n=0,M=%,n=，N=%.n=,+y+191 i.L N-M2=OX O-=一-0,厂+y+1 x+y+1故 马 鞍 面 z=xy上 所 有 点 都 是 双 曲 点.116.如 果 曲 面 上 某 点 第 一 与 第 二 基 本 形 式 成 比 例，即 U（d“,du）与 方 向 无 关,则 称 该 点 是 曲 面 脐 点；如 果 曲 面 上 所 有 I（dw,dv）点 都 是 脐 点，则 称 曲 面 是 全 脐.试 证 球 面 是 全 脐.（脐 点：难；15分 钟）【证 明】设 球 面 参 数 表 达 为 r(w,v)=(/?co
50、s vcosw,/?cos vsinu./?sin v),贝！JrM=(-/?cos vsinw,/?cos vcosw,0),rv=(一 Rsin vcosw,-/?sin vsin w,/?cos v),ruu=(-/?cos vcos u,-R cos vsin w,0),ruv=rV M=(/?sin vsin w,-/?sin vcos w,0),rvv=(-/?cos vcosw,-/?cos vsin w,-/?sin v),E=rlt ru=R2 cos2 v,F=r、,=0,G=rv-rv=7?2,L=(尸，,“)=R COS2 C,M=工、-)=o,y/E G-F2 y/E