2021年天津卷数学高考真题.pdf

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1、2021年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 天 津 卷-数 学 第 I 卷 注 意 事 项：1.每 小 题 选 出 答 案 后，用 铅 笔 将 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑，如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号。2.本 卷 共 9 小 题，每 小 题 5 分，共 45分 参 考 公 式：如 果 事 件 4、5 互 斥,那 么 P(A U A=P(A)+P(8).如 果 事 件 4、3 相 互 独 立，那 么 P(A3)=P(A)P(8).球 的 体 积 公 式 丫=4万 7,其 中 R 表 示 球

2、的 半 径.3 圆 锥 的 体 积 公 式 V=S/?,其 中 S 表 示 圆 锥 的 底 面 面 积，人 表 示 圆 锥 的 高.3一、选 择 题：在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的.1.设 集 合 A=1,0,1,8=l,3,5,C=0,2,4,W J(A QB)U C=()A.0 B.0,1,3,5 C.0,1,2,4 D.0,2,3,42.已 知 a w R,则“a 6”是“/3 6”的()A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 C.充 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 3.函 数

3、 y=的 图 像 大 致 为()4.从 某 网 络 平 台 推 荐 的 影 视 作 品 中 抽 取 4 0 0部，统 计 其 评 分 数 据，将 所 得 4 0 0个 评 分 数 据 分 为 8 组：66,70),70,74),94,98,并 整 理 得 到 如 下 的 频 率 分 布 直 方 图，则 评 分 在 区 间 82,86)内 的 影 视 作 品 数 5.设 a=log?0.3,h=log10.4,c=0.4。，则 a,b,c 的 大 小 关 系 为()2A.a b c B.c a b C.b c a D.a c 0,6 0)的 右 焦 点 与 抛 物 线 y?=2 p x(p 0)

4、的 焦 点 重 合，抛 物 线 的 准 线 交 er b双 曲 线 于 A,8 两 点，交 双 曲 钱 的 渐 近 线 于 C、D 两 点，若 仁。|=夜|A 8|.则 双 曲 线 的 离 心 率 为()A.B.GC.2 D.3,|cos（27x-2;ra）.xa的 取 值 范 围 是（）5 112 T2021年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试（天 津 卷）数 学 第 II卷 注 意 事 项 1.用 黑 色 墨 水 的 钢 笔 或 签 字 笔 将 答 案 写 在 答 题 卡 上.2.本 卷 共 11小 题，共 105分.二、填 空 题，本 大 题 共 6 小 题，每 小

5、 题 5 分，共 30分，试 题 中 包 含 两 个 空 的，答 对 1个 的 给 3分，全 部 答 对 的 给 5 分.10.i是 虚 数 单 位，复 数 吃 二=.11.在（2 V+：）的 展 开 式 中，f 的 系 数 是.12.若 斜 率 为 6 的 直 线 与 y 轴 交 于 点 A,与 圆/+（-1）2=1相 切 于 点 B,则|4例=.13.若 a 0 0,则 L+二+/）的 最 小 值 为.a b14.甲、乙 两 人 在 每 次 猜 谜 活 动 中 各 猜 一 个 谜 语，若 一 方 猜 对 且 另 一 方 猜 错，则 猜 对 的 一 方 获 胜，否 则 本 次 平 局.已 知

6、 每 次 活 动 中，甲、乙 猜 对 的 概 率 分 别 为*和 1,且 每 次 活 动 中 甲、乙 猜 对 与 否 互 不 影 响，各 次 活 动 也 互 不 影 响，则 一 次 活 动 中，甲 获 胜 的 概 率 为；3 次 活 动 中，甲 至 少 获 胜 2 次 的 概 率 为.15.在 边 长 为 1 的 等 边 三 角 形 A B C 中，。为 线 段 B C 上 的 动 点，。_1_4?且 交 4 8 于 点 DF/AB且 交 A C 于 点 F,则 12而+赤|的 值 为；（D E+D F）D A 的 最 小 值 为.三、解 答 题，本 大 题 共 5 小 题，共 75分，解 答

7、 应 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 成 演 算 步 骤.16.（本 小 题 满 分 14分）在 角 A,8,C所 对 的 边 分 别 为 a,反 c,已 知 sin4:sin8:sinC=2:l:JL b=五.（I）求。的 值；（II）求 8 S。的 值；（III）求 sin（2 C-4 的 值.I 6）17.（本 小 题 满 分 15分）如 图，在 棱 长 为 2 的 正 方 体 ABC。-A 4 G o 中，E 为 棱 B C 的 中 点，尸 为 棱 C O 的 中 点.(I)求 证：R F 平 面 A E G：(II)求 直 线 A G 与 平 面 A E 6 所 成 角 的

8、正 弦 值.(III)求 二 面 角 A-A G-E 的 正 弦 值.18.(本 小 题 满 分 15分)已 知 椭 圆 5+乌=1(ab0)的 右 焦 点 为 尸，上 顶 点 为 B,离 心 率 为 拽，且|BF|=石.a b 5(I)求 椭 圆 的 方 程；(II)直 线/与 椭 圆 有 唯 一 的 公 共 点 M,与 y 轴 的 正 半 轴 交 于 点 N,过 N 与 8尸 垂 直 的 直 线 交 x 轴 于 点 P.若 MPHBF,求 直 线/的 方 程.19.(本 小 题 满 分 15分)已 知 4 是 公 差 为 2 的 等 差 数 列，其 前 8 项 和 为 64.他,是 公 比

9、 大 于 0 的 等 比 数 列，=4也-d=48.(I)求 4 和 低 的 通 项 公 式；(II)记 cn=bn+,n G N.-hn(i)证 明 归 C?,是 等 比 数 列；(ii)证 明 力 0,函 数，(x)=or-xe.(I)求 曲 线 y=/(x)在 点(0J(0)处 的 切 线 方 程：(II)证 明/(x)存 在 唯 一 的 极 值 点(III)若 存 在。，使 得 f(x)4a+。对 任 意 x e R 成 立，求 实 数 人 的 取 值 范 围.2021年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 数 学 本 试 卷 共 4 页，22小 题，满 分 150

10、分，考 试 用 时 120分 钟。注 意 事 项：1.答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、考 生 号、考 场 号 和 座 位 号 填 写 在 答 题 卡 上。用 2B铅 笔 将 试 卷 类 型(B)填 涂 在 答 题 卡 相 应 位 置 上，将 条 形 码 横 贴 在 答 题 卡 右 上 角“条 形 码 粘 贴 处”。2.作 答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 28铅 笔 在 答 题 卡 上 对 应 题 目 选 项 的 答 案 信 息 点 涂 黑：如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案，答 案 不 能 答 在 试 卷 上，3.

11、非 选 择 题 必 须 用 黑 色 字 迹 的 钢 笔 或 签 字 笔 作 答，答 案 必 须 写 在 答 题 卡 各 题 目 指 定 区 域 内 相 应 位 置 上；如 需 改 动，先 划 掉 原 来 的 答 案，然 后 再 写 上 新 答 案：不 准 使 用 铅 笔 和 涂 改 液。不 按 以 上 要 求 作 答 无 效。4.考 生 必 须 保 持 答 题 卡 的 整 洁，考 试 结 束 后，将 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回。一、选 择 题：本 题 共 8 小 题，每 小 题 5 分，共 40分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目

12、要 求 的。1.设 集 合 A=x|-2x4).B=3,4,5,则 AnB=A.2 B.2,3)C.(3,4,)D.(2,3,42.已 知 z-2i,则(z(W+i)=A.6-2i B.4-2i C.6+2i D.4+2i3.已 知 圆 锥 的 底 面 半 径 为 其 侧 面 展 开 图 为 一 个 半 圆，则 该 圆 锥 的 母 线 长 为 A.2 B.2l C.4 D.4攵 4.下 列 区 间 中，函 数 f(x)=7sin(x-H)单 调 递 增 的 区 间 是 6A.(0,-)B.(壬，E)C.(吟 至)D.(,22 2 2 25.已 知 R,Fz是 椭 圆 C=+片=1的 两 个 焦

13、 点，点 M 在 C 上，则 IMF|MFz|的 最 大 值 为 9 4A.13B.12 C.9 D.66.若 tan 9=-2,则 9(l+s insin 9+cos 9A.-5B.-5c.-5D.-57.若 过 点(a,b)可 以 作 曲 线 y=e”的 两 条 切 线，则 A.ebaB.eabC.0aebD.0be8.有 6 个 相 同 的 球，分 别 标 有 数 字 1,2,3,4,5,6,从 中 有 放 回 的 随 机 取 两 次,每 次 取 1个 球，甲 表 示 事 件“第 一 次 取 出 的 球 的 数 字 是 1，乙 表 示 事 件“第 二 次 取 出 的 球 的 数 字 是

14、2”，丙 表 示 事 件“两 次 取 出 的 球 的 数 字 之 和 是 8”,丁 表 示 事 件“两 次 取 出 的 球 的 数 字 之 和 是 7，则 A.甲 与 丙 相 互 独 立 B.甲 与 丁 相 互 独 立 C.乙 与 丙 相 互 独 立 D.丙 与 丁 相 互 独 立 二、选 择 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 20分。在 每 小 题 给 出 的 选 项 中，有 多 项 符 合 题 目 要 求。全 部 选 对 的 得 5 分，部 分 选 对 的 得 2 分，有 选 错 的 得 0 分。9.有 一 组 样 本 数 据 x xz,，X”由 这 组 数 据 得 到

15、新 样 本 数 据 y“人,y,其 中 yi=x1+c(i=l,2,n),c 为 非 零 常 数，则 A.两 组 样 本 数 据 的 样 本 平 均 数 相 同 B.两 组 样 本 数 据 的 样 本 中 位 数 相 同 C.两 组 样 本 数 据 的 样 本 标 准 差 相 同 D.两 组 样 本 数 据 的 样 本 极 差 相 同 10.已 知 0 为 坐 标 原 点，点 Pi(cos a,sina),Pz(cos 6,-sin0),P3(cos(a+p),sin(a+P),A(l,0),则 A.10|=|0|B.国=|国 C.O A*=O O RD.OA OPi=0殳 OR11.已 知

16、点 P 在 圆(x-5+(y-S)2=16 上，点 A(4,0),B(0,2),则 A.点 P 到 直 线 AB的 距 离 小 于 10B.点 P 到 直 线 AB的 距 离 大 于 2C.当 NPBA 最 小 时，|PB=3 gD.当 NPBA最 大 时，|PB=3企 12.在 正 三 棱 柱 ABC-A/iG中,AB=A4=1,点 P 满 足 丽=4近+西，其 中 A c 0,1,Me0,1,则 A.当 A=1时，4BJ的 周 长 为 定 值 B.当 H=1时，三 棱 锥 P-&BC的 体 积 为 定 值 C.当 人 三 时，有 且 仅 有 一 个 点 P,使 得 A/1 B PD.当 吟

17、 时，有 且 仅 有 一 个 点 P,使 得&B，平 面 AB1P三.选 择 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 20分 13.己 知 函 数 f(x)=xa-2X-2-x)是 偶 函 数，则 a=14.已 知 0为 坐 标 原 点，抛 物 线 C:/=2px(p0)的 焦 点 为 F,P为 C上 一 点，PF与 x轴 垂 直，Q为 x轴 上 一 点，且 PQ_L0P,若|FQ 1=6,则 C的 准 线 方 程 为 一 15.函 数 f(x)=|2x-l数 21nx的 最 小 值 为 16.某 校 学 生 在 研 究 民 间 剪 纸 艺 术 时，发 现 此 纸 时 经 常 会

18、沿 纸 的 某 条 对 称 轴 把 纸 对 折.规 格 为 20dmX12dm的 长 方 形 纸.对 折 1次 共 可 以 得 到 10dmX2dm.20dmX6dm两 种 规 格 的 图 形，它 们 的 面 积 之 和 又=240 dm2,对 折 2 次 共 可 以 得 5dmXl2dm,10dmX6dm,20dmX3dm三 种 规 格 的 图 形，它 仰 的 面 积 之 和 工=180dm；以 此 类 推.则 对 折 4 次 共 可 以 得 到 不 同 规 格 图 形 的 种 数 为 _:如 果 对 折 n 次，那 么 S s 上=_ _dm2J=1 四、解 答 题：本 题 共 6小 题，

19、共 70分，解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。17.(10分)已 知 数 列 4 满 足%=1,*an+1 n 为 奇 数 3n+2,n 为 偶 数(1)记 bn=O2n，写 出 与，b2,并 求 数 列 4 的 通 项 公 式;(2)求 4 的 前 20项 和 18.(12 分)某 学 校 组 织 一 带 一 路 知 识 竞 赛，有 A,B 两 类 问 题 每 位 参 加 比 赛 的 同 学 先 在 两 类 问 题 中 选 择 类 并 从 中 随 机 抽 4X一 个 问 题 问 答，若 回 答 错 误 则 该 同 学 比 赛 结 束；若 回 答 正 确

20、则 从 另 一 类 问 题 中 再 随 机 抽 取 一 个 问 题 回 答，无 论 回 答 正 确 与 否，该 同 学 比 赛 结 束.A 类 问 题 中 的 每 个 问 题 回 答 正 确 得 20分，否 则 得 0 分：B 类 问 题 中 的 每 个 问 题 回 答 正 确 得 80分，否 则 得 0 分。己 知 小 明 能 正 确 回 答 A 类 问 题 的 概 率 为 0.8,能 正 确 回 答 B 类 问 题 的 概 率 为 0.6.且 能 正 确 回 答 问 题 的 概 率 与 回 答 次 序 无 关。(1)若 小 明 先 回 答 A 类 问 题，记 X 为 小 明 的 累 计 得

21、 分，求 X 的 分 布 列：(2)为 使 累 计 得 分 的 期 望 最 大，小 明 应 选 择 先 回 答 哪 类 问 题？并 说 明 理 由。19.(12 分)记 AABC的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a.,b.,c,已 知 川=ac,点 D 在 边 A C 上，BDsinZABC=asinC.(1)证 明：BD=b：若 AD=2DC.求 cosNABC.20.(12 分)如 图，在 三 棱 锥 A-BCD中.平 面 ABD _L平 面 BCD,AB=AD.0 t为 BD的 中 点./证 明:OA1CD：(2)若()是 边 长 为 1的 等 边 三 角 形.点 E在 棱

22、 AD上.DE=2EA.且 二 面 角 E-BC-D的 大 小 为 45,求 三 棱 锥 A-BCD的 体 积.21.(12 分)在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中，己 知 点&(W17,0),F2(J17,0),点 M 满 足|MFJ-1MR|=2.记 M 的 轨 迹 为 C.(1)求 C 的 方 程；(2)设 点 T 在 直 线 x=；上，过 T 的 两 条 直 线 分 别 交 C 于 A,B 两 点 和 P,Q 两 点，且|TA|TB;=|TP|TQ|,求 直 线 AB的 斜 率 与 直 线 PQ的 斜 率 之 和 22.(12 分)已 知 函 数 f(x)=x(1-lnx)(1)

23、讨 论 f(x)的 单 调 性(2)设 a,b 为 两 个 不 相 等 的 正 数,且 blna-alnb=a-b证 明：2 v 三+：v ea b新 高 考 I卷 数 学 答 案 解 析 1.B2.C3.B4.A5.C6.C7.D8.B9.CD10.AC11.ACD12.BD13.a=l14.x=-215.116.5；240(3-W)17.(1)解：由 题 意 得 bi=加 二 a】+l=2,b?二 a.产 a.3+1=5 bi二 a2=ai+1,*,32b 二 a.i=23+1=a2+3 a a2=3.同 理 a a尸 3bn32n-32n-2-3.叠 加 可 知 a2n-ai=l+3(n

24、-1):.a2n=3n-l二 b n=3 r)-l.验 证 可 得 b尸 a 2=2,符 合 上 式.(2)解：Y a?产 a2n-i+1 a2n-i=a2nl=3n2.，设 a j前 2 0 项 和 为 S20S2o=(a i+a 3+a i9)+(a z+a+,+20)=145+155=30018.(1)解：由 题 意 得 x=0,20,100.P(x=0)=0.2P(x=20)=0.8X0.4=0.32P(x=l 00)=0.48X 0 20 100p 0.2 0.32 0.48(2)解：小 明 先 选 择 B,得 分 为 y y=0,80,100P(y=0)=0.4P(y二 80)=0

25、.6X0.2=0.12P(y=100)=0.6X0.8=0.48y0 80 100p0.4 0.12 0.48Ex=54.4 Ey=57.6 小 明 应 先 选 择 B.19.（1）由 正 弦 定 理 得-=,即 二”更 sinABC sine c又 由 B D szn4B C=asinc,得 BD-=asinc,c即 B?b=a c=BD=bbx=a c)(2)由 A D=2DC,将 而 二 2反，即 前 之 二 三 前 3 3=i丽 2 瓦?+4配 母 瓦 J E9 9 9c2+c2-b22ac=l l b:=3c2+6 1=6a2-llac+3c2=0b=ac)=a 金 c 或 a=-c

26、2 33a=-c2b2=ac,2 3 2,.a2+c2-b2=/=-c/ncos 4 8 C-:2 2ac7-2C*12 G=iC=ac於=#=c s 4 B C=-(x)6综 上 COS ABC=1220.(1)证 明：由 已 知，A A B D中 AB=AD且 0 为 B D中 点.-.AOBD又 平 面 八 1_1平 面 BCD.AO_L 平 面 BCD 且 CDu平 面 BCD.-.AOCD(2)由 于 A OCD为 正 三 角 形，边 长 为 1.-.OB=OD=OC=CDNBCD=90取 0D中 点 H,连 结 CH,则 CHJ_OD以 H 为 原 点，HC,HD,HZ为 x,y,

27、z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 由 可 知，平 面 BCD的 法 向 量 k=(0,0,1)设 C(2o,O),B(0,-,0),0(0,0)2 2 2贝 向 二(0,-1 vDE=2EA_ 2-2 2.D=-DA=(0,-,-).-.BE=DE-D S=(0$汨 且 近=(?，“)设 itL 平 面 BEC 和(x,y,z),fnB=0 即，与 3y=0(元 BE=0-y+-4z=0V3 3T L 2n=(V3,1,-)由 于 二 面 角-1-。为 452a f 彳 cos 45 0=|cos(n m)|=1-J3+1+7h=1与 Q X 公 二 x 丁 x 2 x l=21.(

28、1)c=VT7,2a=2,a=L b=4C表 示 双 曲 线 的 右 支 方 程：x2-2-=l(xl)16(2)设 设 直 线 AB 的 方 程 为 y=H(x，+m,A(jcvy),F(x2,)一(x-J+m,得 6X2 用(二-x+2ktm(x-工)+m2=1616x2-y2=16(16 k?)x2+(k?2klm)x-4 k?4-ktm?n2 16=0TATB=(1+kf)(x1-i)(x2-1)八 m2+12(1+用)用 一 16设 kpQ=4,同 理 可 得 lTPllr(?l=(i+k f)所 以(1+切 登=(1+切 藐 得 M 16kf=k；-16kf/.kf=fcf%,fc

29、x=k2即 七 十 用=022.(1)f(x)=x-xlnxf9(x)=1-Inx-1=-lnx(x 0)令 f(x)0,则 O V xV l,令 f(x)l f(x)的 单 调 增 区 间 为(0,1),单 调 减 区 间 为(1,+8).Inc In b 1 1(2)T-T=；-；即 阳=2,即 a b a b令 p=二 q=K 不 妨 设 O V p V IV q,下 面 证 明 2Vp+qVe.a.o 先 证 p+q 2,当 p 2 2 时 结 论 显 然 成 立.当 q(1,2)时，p+q 2,则 p 2-q,2-qV L 只 需 设 f(p)f(2-q).即 证 当 q(1,2)时

30、，由 f(p)f(2-q)令 g(x)=f(x)-f(2-x).g(x)=f(x)+f(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-ln-(x-l)2+l当 x(1,2)时，-(x-l)2+l 0,g(x)在(1,2)上 单 调 递 增，g(q)g 6=0，即 f(q)f(2-q)再 设 p+q 0,当+3)时，f(x)0 q eVO P e-l 1要 证 q/(e p)即 证 当 P e(0,1)时，有 f(P)f(e-p)设 h(x)=f(x)f(e 必，x G(0,1)h G O=f G O+f(e k)=Inx ln(e x)=lnx(e-x)设 ex x2=1 小 于 1的 根 为 则 K x)在(O,x0)单 调 递 增，在(x g l)单 调 递 减.抬)4(1)=f-/(e-1)0证 毕