《2021年中考数学分类突破09 圆中的长度与面积、动点问题(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年中考数学分类突破09 圆中的长度与面积、动点问题(解析版).pdf（32页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专 题 0 9 圆 中 的 长 度 与 面 积、动 点 问 题 1.定 义：三 角 形 一 个 内 角 的 平 分 线 和 与 另 一 个 内 角 相 邻 的 外 角 平 分 线 相 交 所 成 的 锐 角 称 为 该 三 角 形 第 三 个 内 角 的 遥 望 角.(1)如 图 1,/E 是 A 8C中/A 的 遥 望 角，若 N A=a,请 用 含 a 的 代 数 式 表 示/E.(2)如 图 2,四 边 形 ABC。内 接 于。，俞=俞，四 边 形 ABC。的 外 角 平 分 线。尸 交。于 点 凡 连 结 8 F并 延 长 交 C D的 延 长 线 于 点 求 证：N 2EC是 A 5
2、C中/8 A C 的 遥 望 角.(3)如 图 3,在(2)的 条 件 下，连 结 AE,A F,若 A C是。的 直 径.求 NAE。的 度 数；若 AB=8,C)=5,求：厂 的 面 积.解：(1)BE平 分/A B C,CE平 分/A C C,：.Z E Z E C D-ZEBD=(ZACD-ZABC)=Z A 2 2 2(2)如 图 1,延 长 BC到 点 T,图 1/四 边 形 FBCD内 接 于。O,工 Z FDC+Z FBC=180,又 Z FDE+Z F D C=80,:./F D E=/F B C,。/平 分 NAOE,NADF=NFDE,丁 ZA D F=NABF,I.NA
3、BF=NFBC,3 E是 N A 3C的 平 分 线，AD=BD，/A C D=/B F D,ZBFD+ZBCD=S001 ZDCT+ZBCD=S00,，/DCT=NBFD,:.NACD=NDCT,，。七 是 ABC的 外 角 平 分 线，NBEC是 ABC中 NBAC的 遥 望 角.(3)如 图 2,连 接 CT,图 2ZB EC是 ABC中 ZB A C的 遥 望 角,；.NBAC=2NBEC,：NBFC=NBAC,:/B F C=2/B E C,/ZBFC=NBEC+NFCE,:./B EC=N FC E,；NFCE=NFAD,：.ZBEC=ZFAD9又：NFDE=/FDA,FD=FD,
4、：./F D E/F D A CAAS),:.DE=DAf：.ZAED=ZDAE,A C是。的 直 径，:.N A OC=90。，J ZAED+ZDAE=90,ZAED=ZDAE=45t 如 图 3,过 点 4 作 于 点 G,过 点 尸 作 bM_LCE于 点 M,AC是。的 直 径，NA8C=90。，BE 平 分 NABC,：.Z F A C=Z EBC=4 ZABC=45,2,:NAED=45。，:.ZAED=ZFAC.：NFED=NFAD,A ZAED-ZFED=ZFAC-ZFADf:.ZAEG=ZCADf NEG4=NAQC=90。，/.EGAAADC,A E J G而 F，在 Rt
5、AABG 中，A8=8,NA8G=45。,V?L.,MG=A B=4/2，在 RtzAE 中，.&A D V 2-AC 5.AD _4,AC 5在 RlAADC 中，AD1 2-DC2=AC2f1 9R:&DEF=D E FM=R.2 9,设 AQ=4 JG AC=5xf 则 有(4x)2+52=(5x)2,.5 x=一，3：.ED=AD=f335：.CE=CD+DE=f3/BEC=NFCE,：.FC=FE,VFM C,EM=4E=号，2 6R：.DM=DE-E M f6；NFDM=45。,5：FM=DM=W，62.如 图，在 Rt/kABC中，ZACB=90,0 是 线 段 B C 上 一
6、点，以。为 圆 心，0 C 为 半 径 作。0,AB 与。相 切 于 点 F,直 线 A 0 交 O O 于 点 E,D.(1)求 证：A 0 是 C4B的 角 平 分 线；(2)若 tan/力=5，求 色 的 值；2 AC(3)如 图 2,在(2)条 件 下，连 接 C尸 交 A。于 点 G,。的 半 径 为 3,求 CF 的 长.(1)证 明：连 接 0F,图 1,：A B与（D O 相 切 于 点 F,OFAB,V ZACB=90,OC=OF,：.Z 0 A F Z 0 A C,即 4 0 是 A A 3 C 的 角 平 分 线;(2)如 图 如 连 接 CE,图 2,E O是。的 直
7、径，A Z C D=9 0,，NECO+NOC=90。,:N A C 8=90。，ZACE+ZECO=90t：.ZACE=ZOCD,：OC=OD,：./O C D=/O D C,:./A C E=/O D C,a：ZCAE=ZCAEf：./AC E/AD C,.AE _CE-AC CDV ta n Z D=,.CE 1,CD 2.AE 1.-=;AC 2(3)由(2)可 知：啜 AC 2.设 AE=x,AC=2x,.ACEs ADC,.AE AC-，AC AD：.AC2=AE-ADf；(2x)2=x(x+6),解 得：1=2或 x=0(不 合 题 意，舍 去)，：.AE=2,AC=4,，AO=
8、AE+OE=2+3=5,如 图 3,连 接 C尸 交 4 0 于 点 G,VAC,A尸 是。的 切 线,：.AC=AFf ZCAO=ZOAFf：.CF.LAO,：.ZACO=ZCGO=90f:NC0G=NA0C,:CGOS X N C O,PC _0A OG OC:.OG=OG,OA,9.O G=三,，CG=12T:.C F=2 C G=245图 33.如 图，。是 ABC的 外 接 圆，BC 为。的 直 径，NBAC 的 平 分 线 交。于 点。，连 接 8力、C D,过 点。作 B C 的 平 行 线，与 A B 的 延 长 线 相 交 于 点 P.(1)求 证：尸。是。的 切 线；(2)
9、求 证：P B D s A D C A；(3)当 AB=2,AC=4 时，直 接 写 出 线 段 PB 的 长.解：(1)连 接。,B C是。的 直 径，ZBAC=90*：AD 平 分 NR4C,I.Z D A C=ZBAC=452:/D O C=2/D A C,/.ZD O C=2x45o=90,:PD/BC,NQOC=/尸 0 0=9 0。:.O D J D,。为。的 半 径，尸 力 是。的 切 线；(2)YPD BC,：.Z P=Z A B CfY ZABC=ZADC.:,/P=/A D C,NP8O+N/WO=180。,ZACD+ZABD=SO0,:.NPBD=NACD,:Z B D
10、s X D C k；(3):ABC为 直 角 三 角 形,.8C2=482+43=22+42=20,。垂 直 平 分 8C,:.DB=DC,BC为。的 直 径，：.ZBDC=90,在 R SO 8C 中，DB2+DC2=BC2,即 ZQGM B C M ZO,/.DC=DB=ylQ,：/P BD/D C A,.PB BDDC ACmi l p g-DCBD=VTo V10 _ _5AC 4 2,4.如 图，已 知 BC_L4C,圆 心。在 AC上，点 M与 点 C 分 别 是 AC与。的 交 点，点。是 MB与。的 交 点，点 尸 是 A。延 长 线 与 8 c 的 交 点，且 AZAO=AM
11、 AP.(1)连 接。P,证 明：AOMS ZAP。；(2)证 明：P力 是。的 切 线:(3)若 AO=12,A M=M C,求 P3 和。M 的 值.(1)证 明：连 接。、OP、CD.：AD-AO=AMAP,噜 喘 N A：.A D M A P O.(2)证 明：V/AD M/APO,：.ZAD M ZAPO,:.MD PO,：.ZDOP=ZM DO,NPOC=NDMO,:OD=OM,：.ZDM O=ZM DOf:./D O P=/P O C,：OP=OP,OD=OC9:.ODPQAOCP(S A S),：.ZODP=ZOCP,、:BC.LAC,：.ZOCP=90,J ODLAP,P。是
12、。的 切 线.(3)解：连 接 C D 由(1)可 知：PC=PD,B*：AM=MCf AM=2MO=2几 在 RtA AOD 中,OD2+AD2=OA2,，R2+122=9R2,.R=3y2,OD=3yf2,M C=6,.AD _ AM 2，AP AO.空 上,AP 3.P=1 8,，?=-4）=1 8-12=6,：。是 M C的 中 点，.CO CP.1一 而 既 至，点 P 是 B C的 中 点，：.PB=C P=D P=6,MC是。的 直 径，；.N B D C=N C D M=90。,在 RtABCM 中，：8C=2OP=12,M C=6叵 8例=佃 2+屁 2=爪 22+（6）2=
13、6遥,：M C M s X C D M,.MD MC m DM 672.而 加，诙 7 7 T:.DM=2 瓜5.如 图，点 尸 在 y轴 的 正 半 轴 上，。尸 交 x轴 于 8、C 两 点，交 y轴 于 点 A,以 AC 为 直 角 边 作 等 腰 RtA ACD,连 接 分 别 交 y轴 和 AC于 E、F 两 点，连 接 AB./IP f I/P(1)求 证：AB=AD-,(2)若 8尸=4,D F=6,求 线 段 CD 的 长；(3)当。P 的 大 小 发 生 变 化 而 其 他 条 件 不 变 时，理 的 值 是 否 发 生 变 化？若 不 发 生 变 化，请 求 出 其 值;若
14、 发 生 变 化，请 说 明 理 由.(1)证 明：且 04过 圆 心 点 P,：.OB=OC,fOA=OB在 AAOB和 AOC中，NAOB=NAOC，OA=OAA/AOB/AOC(SAS),：.AB=AC,/以 A C为 直 角 边 作 等 腰 RS ACD,：.AD=AC,：.AB=AD；（2）如 图 1,过 点 A 作。于 M,由（1）知，AB=AD,：.D M=BD12；BF=4,DF=6,：.B D=W,：.D M=5f：ZAA/D=90=ZD AFf NADM=NFDA,AD DM,DF AD.AD 5，6 ADA/ID=730，在 等 腰 直 角 三 角 形 ADC中，。=扬。
15、=2 J元；（3）塔 的 值 是 不 发 生 变 化，AO理 由：如 图 2,过 点。作 O _Ly轴 于”，作。，工 轴 于。,J ZAHD=900=ZCOAf NAO+N D 4/=90。,VZCAD=90,NCAO+ND4”=90。，ZADH=ZCAO,：AD=ACf：./A D H A C O(A 4 S),:,DH=AO,AH=OC,*/Z O H D=Z Q O H=/。=90。，四 边 形 OQD 是 矩 形，DH=OQ,DQ=OH,又：HO=AH+AO=OC+DH=OB+DH=OB+OQ=BQ,:.DQ=BQ,OB。为 等 腰 宜 角 三 角 形，：.ZD B Q=459工 N
16、DEH=NBEO=45。,/.sin ZD E/7=,DE.D H_一 V2,，DE 2,.,D丽 E Sr.DE而 切 r6.如 图，已 知 AC,3。为。0 的 两 条 直 径，连 接 AB,BC,0 E L A 8于 点 E,点 F 是 半 径 0 C 的 中 点，连 接 EF.(1)设。的 半 径 为 1,若 NBAC=30。，求 线 段 E F的 长.(2)连 接 BF,D F,设 0 B 与 E F 交 于 点 P,求 证：PE=PF.若 D F=E F,求/8 A C 的 度 数.(1)解：V OEABt ZBAC=30,0 4=1,NAOE=60。，0E得 0A=,A E=E
17、8=O E=苧,A C是 直 径,J ZABC=90f/.Z C=60,:OC=OB,OCB是 等 边 三 角 形,.OF=FC,：.BFACf：.NA尸 8=90。，,:AE=EB,：.EF=A B=&.2 2(2)证 明：过 点 尸 作 尸 G L 4 3于 G,交 OB于 H,连 接 V ZFGA=ZABC=90fJ.FG/BC,:OFHsAOCB,.FH OF 1 闩 工 田 OE 1.=,同 理=,BC 0C 2 BC 2:FH=OE,V OEAB,FHABf：.OE/FH,四 边 形 OE”厂 是 平 行 四 边 形,：.PE=PF.:OE/FG/BC,EG OF GB FC:.E
18、G=GB,EF=FB,；DF=EF,:DF=BF,:DO=OB,：FO上 BD,：.N A O 8=90。，：OA=OB,A O 8是 等 腰 直 角 三 角 形,N 84C=45.7.如 图，4 8 是 半 圆。的 直 径，A C 是 半 圆 内 一 条 弦，点。是 窟 的 中 点，交 A C 于 点 G,过 点 4 作 半 圆 的 切 线 与 8。的 延 长 线 交 于 点 连 接 A O.点 E 是 A B 上 的 一 动 点，Q E 与 A C 相 交 于 点 尸.(1)求 证：MD=GD；(2)填 空：当 N D E A=时，A F=F G；若/48。=30。，当 N O E 4=时
19、，四 边 形 O E B C 是 菱 形.证 明：(1)如 图，连 接 B C：.ZD A C Z A B D,：M A 是 半 圆。的 切 线,：.MAAB,是 半 圆。的 直 径，：.AD1DB,：.ZADM=90,ZM+ZM A D=NM AO+N3AO=90。,，Z M=NBAD=ZD AC-ZBAG=ZABD-ZBAG=ZAG D,：.A G=A MfM D M G,M D=GD；(2)若/G,/Z A D G=90,：.AF=FG=D F,：.Z D A F=Z A D Ff：.N A D F=N A B D,NADF+NEDB=90。,N A B D+/E D B=90。,：.Z
20、 D E A=90,故 答 案 为：90。；若 四 边 形 DEBC是 菱 形，：.Z D B A=ZD B C=30f D E/BC,：.ZAED=Z A B C=3O+3O=60,故 答 案 为：60.8.如 图，ABC内 接 于。，A。平 分 NB4C 交 8c 边 于 点 E,交。于 点 O,过 点 4 作 A凡 LBC于 点 尸,设。的 半 径 为 R,AF=h.(1)过 点。作 直 线 MN BC,求 证：M N 是。的 切 线;(2)求 证：AB，AC=2R h；设 NBAC=2a,求 维 泮 的 值(用 含 a 的 代 数 式 表 示).解：(1)如 图 1,连 接。平 分/B
21、AC,，NBAD=NCAD,，俞=而,又：。是 半 径,：.ODLBC,:MN/BC,J.ODLMN,是。的 切 线；(2)如 图 2,连 接 A 0并 延 长 交。0 于“，连 接 8”,是 直 径，ZABH=90=ZAFC,又：NAHB=NACF,.AC _ AF AH AB.A8 AC=AF A H=2 R/；(3)如 图 3,过 点。作。Q_LA8于,D P L A C,交 A C延 长 线 于 P,连 接 C,AVZBAC=2a,A。平 分 N8AC,N84)=NCAD=a,BD=CD，：BD=CD,N3AD=NCAD,DQ ABf DPAC,:,DQ=DP,/.RtA DQBgRt
22、A DPC(H L),：.BQ=CP,:DQ=DP,AD=ADt.RtA D Q AR l DPA(H L),：.AQ=APf：.AB+AC=AQ+BQ+AC=2AQ,VcosZfi4D=,AD：.A D=-cos a.-A-B-+-A-C-=Ao=22cosa.AD:cos a.9.如 图 示，A B是。的 直 径，点 尸 是 半 圆 上 的 一 动 点(/不 与 A,B 重 合)，弦 A D平 分 N 8 A F,过 点。作 D ELAF交 射 线 A F于 点 AF.(1)求 证：O E与。相 切:(2)若 AE=8,A 5=1 0,求。七 长;(3)若 AB=10,A尸 长 记 为 羽
23、 E尸 长 记 为 y,求 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式，并 求 出 AF E尸 的 最 大 值.(I)证 明：连 接 如 图 1所 示:,:OD=OAf：.ZO AD=ZO D A1 A。平 分 N84F,：.ZOAD=ZFAD,：.ZO D A=ZFADf：.OD/AF,：DEAF,：.D E O D,又 是。的 半 径，.D E与 O。相 切：(2)解：连 接 8 D,如 图 2所 示：是(DO的 直 径，乙 408=90。，：D EA F,：.ZAED=90=ZADB,又/.丛 AEDs/ADB,：.AD-.A8=AE：AD,：.AD2=ABXAE=10X8=80,在 R
24、 S A E O 中，由 勾 股 定 理 得：O=V A D2-A E2=V 8 0-82=4：(3)连 接。尸，过 点。作 0G_LA8于 G,如 图 3所 示：ZAED=ZAGD=90在 4 AED 和 4 AGD 中，ZDAE=ZDAG,AD=AD.AEO也 AGO(A A S),：.A E=A G,D E=D G,：Z F A D Z D A B,.DF=DB，:,DF=DB,(DE=D G在 RtA DEF 和 RtA DGB 中，i lDF=DB/.RtA DEFRtA DGB(H L),：EF=BG,：.AB=AGBG=AF-EF=AF+EF+EF=AF+2EFf即：x+2y=0
25、f v_=-1 x+A521 1 95：AF EF=-4 X2+5X=-4(x-5)2+-,2 2 2.F E尸 有 最 大 值，当 x=5时，AF E尸 的 最 大 值 为 争.图 2DE.1 0.如 图，四 边 形 ABCQ内 接 于。O,对 角 线 AC、8。相 交 于 点 F,AC是。的 直 径，延 长 CB到 点 E,连 接 AE,Z B A E ZADB,ANA.BD,C M L B D,垂 足 分 别 为 点 N、M.(1)证 明：AE是。的 切 线；(2)试 探 究 0 M 与 BN的 数 量 关 系 并 证 明；(3)若 BD=BC,M N=2D M,当 AE=加 时，求。尸
26、 的 长.(1)证 明：；AC是。的 直 径,二/AQC=90,ZADB+ZBDC=90,:N8AC=ZBDC,NBAE=NADB,：.ZB AE+ZB AC=90,即/C 4E=90,：.A E A C,4 E 是。的 切 线：(2)解：D M=B N,理 由 如 下：:A N LB D,CMA.BD,N A DC=90。，ZA N D=N ANB=ND M C=Z A D C=90,ZAD N+ZM D C=ZM CD+ZM D C=90,:.N A D N=N M C D,:.丛 D M C s 丛 M D,.DMCD*AN ADV Z A B N=Z A C D,N A N B=N A
27、 O C=90。，.AOCS Z M NB,.AD CD PI|BN CDAN BN AN AD.DM=BN,国 一 国:.D M=B N；(3)解：由(2)知 D M=B N,则 设 D M=BN=a,:MN=2DM,BD=BC,:.M N=2a,BM=D N=3a,BD=BC=4a,ZB M C=90,*-CM=V BC2-B M2=V(4a)2-(3a)2=,；A C是 的 直 径，ANLBD,：.NABC=ZAND=90,/ZADB=ZACB,，/A D N s/A C B,.ANDN=3a=2瓦 一 而 一 瓦 一 W，设 AN=3。，AB=4b(6 0),；N4V8=NABC=9O,BN=a,：.Af+BN2=AB2,即(36)2+a2=(4/?)2,解 得：b=-y-a,:.A N=S-a,7 7*.*BC=4a,4c=VAB2+B C2=(-y-a)2+(4a)2=4acosZ A C B=cosZ A D B=c o s Z E A B=8/14=”,AC-a 4,：AE=,，o c=L c=,2 2NANF=NCMF=90,ZAFM=/M FC,:A A N F sA C M F,.AF ANCFMCV7aCF=-10 10C