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1、第 一 周 找 规 律（一）专题简介：观察是解决问题的根据。通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：1.根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；2.根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；3.要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律;4.数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。例1:先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。1,4,7,10,(),16,19分析：在这列数中，相邻的两个数的差都是3,即每一个数加上3都等于后面的数。根据这一规律，括
2、号里应填的数为：10+3=13 或 16-3=13像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。练习一：先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。(1)2,6,10,14,(),22,26(2)3,6,9,12,(),18,21(3)33,28,23,(),13,(),3(4)55,49,43,(),31,(),19(5)3,6,12,(),48,(),192(6)2,6,18,(),162,()(7)128,64,32,(),8,(),2(8)19,3,17,3,15,3,(),(),1 1,3例2：先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。1,2,4,7,(),1 6,2
3、2分析：在这列数中，前4个数每相邻的两个数的差依次是1,2,3 o由此可以推算7比括号里的数少4,括号里应填：7+4=1 1。经验证，所填的数是正确的。应填的数为：7+4=1 1或1 6-5=1 1练习二：先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。(1)1 0,1 1,1 3,1 6,2 0,(),3 1(2)1,4,9,1 6,2 5,(),4 9,6 4(3)3,2,5,2,7,2,(),(),1 1,2(4)5 3,4 4,3 6,2 9,(),1 8,(5)8 1,6 4,4 9,3 6,(),1 6,(),1 1,9,8),4,1,0(6)2 8,1,2 6,1,2 4,1,
4、(),(),2 0,1(7)3 0,2,2 6,2,2 2,2,(),(),1 4,2(8)1,6,4,8,7,1 0,(),(),1 3,1 4例 3：先找出规律，然后在括号里填上适当的数。23,4,20,6,1 7,8,(),(),1 1,12分析：在这列数中，第一个数减去3的差是第三个数，第二个数加上2的和是第四个数，第三个数减去3的差是第五个数，第四个数加上2的和是第六个数依此规律，8后面的一个数为：1 7-3=1 4,1 1 前面的数为：8+2=1 0练习三：先找出规律，然后在括号里填上适当的数。(1)1,6,5,1 0,9,1 4,1 3,(),()(2)1 3,2,1 5,4,1
5、 7,6,(),()(3)3,29,4,2 8,6,2 6,9,2 3,(),(),1 8,1 4(4)2 1,2,1 9,5,1 7,8,(),()(5)3 2,2 0,29,1 8,2 6,1 6,(),(),2 0,1 2(6)2,9,6,1 0,1 8,1 1,5 4,(),(),1 3,4 8 6(7)1,5,2,8,4,1 1,8,1 4,(),()(8)3 2 0,1,1 6 0,3,8 0,9,4 0,2 7,(),()例 4：在数列 1,1,2,3,5,8,1 3,(),34,55.中，括号里应填什么数？分析：经仔细观察、分析，不难发现：从第三个数开始，每一个数都等于它前面两
6、个数的和。根据这一规律，括号里应填的数为:8+1 3=2 1 或 3 4 1 3=2 1上面这个数列叫做斐波那切(意大利古代著名数学家)数列，也 叫 做“兔子数列”。练习四：先找出规律，然后在括号里填上适当的数。(1)2,2,4,6,1 0,1 6,(2)3 4,2 1,1 3,8,5,(3)0,1,3,8,2 1,(4)3,7,1 5,3 1,6 3,(5)3 3,1 7,9,5,3,(6)0,1,4,1 5,5 6,(7)1,3,6,8,1 6,1 8,(),(),2,(),1 4 4),()(),(),76,7 8(8)0,1,2,4,7,1 2,2 0,()例5：下面每个括号里的两个数
7、都是按一定的规律组合的，在口里填上适当的数。(8,4)(5,7)(10,2)(,9)分析：经仔细观察、分析，不难发现：每个括号里的两个数相加的和都是12。根据这一规律，口里所填的数应为：129=3练习五：下面括号里的两个数是按一定的规律组合的，在口里填上适当的数。(1)(6,9)(7,8)(10,5)(口,)(2)(1,24)(2,12)(3,8)(4,)(3)(18,17)(14,10)(10,1)(,5)(4)(2,3)(5,9)(7,13)(9,)(5)(2,3)(5,7)(7,10)(10,)(6)(64,62)(48,46)(29,27)(15,)(7)(100,50)(86,43)
8、(64,32)(,21)(8)(8,6)(16,3)(24,2)(12,)第八周巧妙求和(一)专题简析：若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。通项公式：第口项=首项+（项数一1）X公差项数公式：项数=（末项一首项）+公 差+1例 1：有一个数列：4,10,16,2 2,，5 2,这个数列共有多少项？分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6,首项是4,末项是5 2,要求
9、项数，可直接带入项数公式进行计算。项数=(52-4)+6+1=9,即这个数列共有9 项。练 习 一1,等差数列中，首项=1,末项=39,公差=2,这个等差数列共有多少项？2,有一个等差数列：2,5,8,11,101,这个等差数列共有多少项？3,已知等差数列11,16,21,26,1001,这个等差数列共有多少项？例 2：有一等差数列：3,7,1 1,1 5,项是多少？，这个等差数列的第1 0 0分析与解答：这个等差数列的首项是3,公差是4,项数是1 0 0 o要求第1 0 0 项，可根据“末项=首项+公差X (项数一1)”进行计算。第 1 0 0 项=3+4*(1 0 0-1)=3 9 9练
10、习 二1,一等差数列，首项=3,公差=2,项数=1 0,它的末项是多少？2,求 1,4,7,1 0 这个等差数列的第3 0 项。3,求等差数列2,6,1 0,1 4 的第1 0 0 项。例3：有这样一个数列：1,2,3,4,，9 9,1 0 0 o请求出这个数列所有项的和。分析与解答:如果我们把1,2,3,4,9 9,1 0 0与 列1 0 0,9 9,，3,2,1 相加，则 得 到(1+1 0 0)+(2+9 9)+(3+9 8)+(9 9+2)+(1 0 0+1),其中每个小括号内的两个数的和都是1 0 1,一共有1 0 0个1 0 1相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2,就是所
11、求数列的和。1+2+3+-+9 9+1 0 0=(1 +1 0 0)X 1 0 0 4-2=5 0 5 0上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=(首项+末项)义项数+2这个公式也叫做等差数列求和公式。练 习 三计算下面各题。(1)1+2+3+-+4 9+5 0(2)6+7+8+7 4+7 5(3)1 0 0+9 9+9 8+6 1+6 0例4：求等差数列2,4,6,，48,50的和。分析与解答：这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：项数=(末项一首项)+公差+=(50-2)+2+1=25首项=2,末项
12、=5 0,项数=25等差数列的和=(2+50)义25+2=650练 习 四计算下面各题。(1)2+6+10+14+18+22(2)5+10+15+20+-+195+200(3)9+18+27+36+261+270例 5：计 算(2+4+6+1 0 0)-(1+3+5+-+9 9)分析与解答：容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1 1 0 0这1 0 0个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有5 0个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到5 0个差，再求出所有差的和。(2+4+6
13、+1 0 0)-(1+3+5+9 9)=(2 1)+(4-3)+(6-5)+(1 0 0 9 9)=1+1 +1+-+1二5 0练 习 五用简便方法计算下面各题。(1)(2 0 0 1+1 9 9 9+1 9 9 7+1 9 9 5)一(2 0 0 0+1 9 9 8+1 9 9 6+1 9 9 4)(2)(2+4+6+-+2 0 0 0)-(1+3+5+-+1 9 9 9)(3)(1+3+5+1 9 9 9)-(2+4+6+1 9 9 8)第二十八周周期问题专题简析:在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现，例如，人的生肖、每周的七天等等。我们把这种特殊的规律性问题称为周期问题。解
14、答周期问题的关键是找规律，找出周期。确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个；如果比整数个周期多n个，那么为下个周期里的第n个；如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是特球的个数后，再继续算。例 1:你能找出下面每组图形的排列规律吗？根据发现的规律，算出每组第2 0 个图形分别是什么。(1)口(2)口口分析与解答：第(1)题排列规律是“口”两个图形重复出现，2 0+2=1 0,即“口”重复出现1 0 次，所以第2 0 个 图 形 是 第(2)题的排列规律是“口 三 个 图 形 重 复 出 现，2 0+3=6 2,即“口 重 复 出 现 6次后又出现了两个图
15、形“口”，所以第2 0 个图形是练 习 一(1)第 2 8 个图形是什么？(2)盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一盼望祖国早日统-第 2 0 0 1 个字是什么字？(3)公园门口挂了一排彩灯泡按“二红三黄四蓝”重复排列，第 6 3 只灯泡是什么颜色？第 1 1 2 只呢?例2：有 一 列 数,按5、6、2、4、5、6、2、4排列。(1)第1 2 9个数是多少？(2)这1 2 9个数相加的和是多少？分析与解答：(1)从排列可以看出，这组数是按“5、6、4、2”一个循环依次重复出现进行排列，那么一个循环就是4个数，贝U 1 2 94-4=3 2-1,可知有3 2个“5、6、4、2”还剩一个。所以第1
16、 2 9个数 是5 o (2)每组四个数之和是5+6+4+2=1 7,所以，这1 2 9个数相加的和是1 7 X 3 2+5=5 4 9。练 习 二1,有一列数：1,4,2,8,5,7,1,4,2,8,5,7-(1)第5 8个数是多少？(2)这5 8个数的和是多少？2,小青把积存下来的硬币按先四个1分，再三个2分，最后两个5分这样的顺序一直往下排。(1)他排到第1 1 1个是几分硬币？(2)这1 1 1个硬币加起来是多少元钱？3,河岸上种了 1 0 0棵桃树，第一棵是蟠桃，后面两棵是水蜜桃,再后面三棵是大青桃。接下去一直这样排列。问：第1 0 0棵是什么桃树？三种树各有多少棵？例 3：假设所有
17、的自然数排列起来，如下所示39应该排在哪个字母下面？88应该排在哪个字母下面？A B1 25 69*C D3 47 8分析与解答：从排列情况可以知道，这些自然数是按从小到大4 个数一个循环，我们可以根据这些数除以4 所得的余数来分析。394-4=9-3 88+4=22所以，39应排在第10个循环的第三个字母C 下面，88应排在第 22 个循环的第四个字母D 下面。练 习 三1,有 a、b、c 三条直线，从 a 线开始，从 1 起依次在三条直线 上 写 数（如下图），22、59、2001各在哪一条线上？cb2,假设所有自然数如下图排列起来，36、43、78、2000应分别排在哪个字母下面？A B
18、 C D12 3 48 7 6 59 10 11 123,2001个学生按下列方法编号排成五列:二 三 四 五123 4 598 7 61011 12 1317 1615 14问：最后一个学生应该排在第儿列?例4：1991年1月1日是星期二，（1）该月的2 2日是星期几？该月2 8日是星期几？（2）1994年1月1日是星期几？分析与解答：（1）一个星期是7天，因此，7天为一个循环，这类题在计算天数时，可以采用“算尾不算头”的方法。（221）+7=3,没有余数，该 月2 2日仍是星期二；（28 1）4-7=3-6,从星期三开 始（包括星期三）往后数6天，2 8日是星期一。（2）1991年、199
19、3年是平年，1992年是闰年，从1991年1月2日到1994年1月1日共1096天，1096+7=1564,从星期三开始往后数4天，1994年1月1日是星期六。练 习 四1,1990年9月2 2日是星期六，1991年元旦是星期几？2,1989年12月5日是星期二，那么再过10年 的12月5日是星期几？3,1996年8月1日是星期四，1996年的元旦是星期几?例5：我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表年号，例如，第一年如果属鼠年，第二年就属牛年，第三年就是虎年。如果公元1年属鸡年，那么公元2001年属什么年？分析与解答：一 共 有12种动物，因 此12
20、为一个循环，为了便于思考，我 们 把“狗、猪、鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡”看作一个循环，从公元2年到公元2001年共经历了 2000年（算头不算尾），20004-12=166-8,从狗年开始往后数8年，公 元2001年是蛇年。练 习 五我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表年号。1,如果公元3年属猪年，那么公元2000年属什么年？2,如果公元6年属虎年，那么公元21世纪的第一个虎年是哪一年？3,公元2001年属蛇年，公元2年属什么年？第二十二周平均数问题专题简析:我们经常用各科成绩的平均分数来比较班级之间，同学之间成绩的高低，求出各科成绩的
21、平均数就是求平均数。平均数在日常生活中和工作中应用很广泛，例如，求平均身高问题，求某天的平均气温等。求平均数问题的基本数量关系是：总数量 总份数=平均数解答平均数问题的关键是要确定“总数量”以及与“总数量”相对应的“总份数”，然后用总数量除以总份数求出平均数。例1：二(1)班学生分三组植树，第一组有8人，共植树80棵；第二组有6人，共植树66棵；第三组有6人，共植树54棵。平均每人植树多少棵？分析与解答：因 为 二(1)班学生分三组植树，由问题可知“平均范围”是三个组，是按人数平均，因此所需条件是三个组植树的总棵数和三个组的总人数。三个组植树的总棵数为：80+66+54=200棵，总人数为：8
22、+6+6=20人，所以平均每人植树20020=10棵。练习一1,电视机厂四月份前10天共生产电视机3300台，后20天共生产电视机6300台。这个月平均每天生产电视机多少台？2,小明参加数学考试，前两次的平均分是85分，后三次的总分是270分。求小明这五次考试的平均分数是多少。3,Z1(1)班学生分三组植树，第一组有8人，平均每人植树10棵；第二组有6人，平均每人植树11棵；第三组有6人，平均每人植树9棵。二(1)班平均每人植树多少棵？例 2：王老师为四年级羽毛球队的同学测量身高。其中两个同学身高 1 5 3 厘米，一个同学身高1 5 2 厘米，有两个同学身高1 4 9 厘米，还有两个同学身高
23、1 4 7 厘米。求四年级羽毛球队同学的平均身高。分析与解答：这道题可以按照一般思路解，即用身高总和除以总人数。这道题还可以采用假设平均数的方法求解，容易发现，同学们的身高都在1 5 0 厘米左右，可以假设平均身高为1 5 0 厘米，把它当作基准数，用“基数+各数与基数的差之和 份数=平均数”。(1 5 3 X2+1 5 2+1 4 9 X2+1 4 7 X2)4-(2+1+2+2)=1 5 0 厘米或：1 5 0+(3 X2+2-1 X2-3 X2)4-(2+1+2+2)=1 5 0 厘米练习二1,五(1)班有7 个同学参加数学竞赛，其中有两个同学得了9 9 分，还有三个同学得了 9 6 分
24、，另外两个同学分别得了 9 7、8 9分。这 7 个同学的平均成绩是多少？2,气象小组每天早上8 点测得的一周气温如下：1 3、1 3、1 3、1 4、1 5、1 4、1 6 o 求一周的平均气温。3,敬老院有8个老人，他们的年龄分别是7 8 岁、7 6 岁、7 7岁、8 1 岁、7 8 岁、7 8 岁、7 6 岁、8 0 岁。求这8 个老人的平均年龄。例3：从山顶到山脚的路长36千米，一辆汽车上山，需要4小时到达山顶，下山沿原路返回，只用2小时到达山脚。求这辆汽车往返的平均速度。分析与解答：求往返的平均速度，要用往返的路程除以往返的时间,往返的路程是36X2=72千米，往返的时间是4+2=6
25、小时。所以，这辆汽车往返的平均速度是每小时行726=12千米。练 习 三1,小强家离学校有1200米，早上上学，他家到学校用了 15分钟，从学校到家用了 10分钟。求小强往返的平均速度。2,李大伯上山采药，上山时他每分钟走50米，18分钟到达山顶；下山时一，他沿原路返回，每分钟走7 5米。求李大伯上下山的平均速度。3,小亮上山时的速度是每小时走2千米，下山时的速度是每小时走6千米。那么，他在上、下山全过程中的平均速度是多少千米？例4：李华参加体育达标测试，五项平均成绩是85分，如果投掷成绩不算在内，平均成绩是83分。李华投掷得了多少他？分析与解答：先求出五项的总得分：85X5=425分，再算出
26、四项的总分：83X4=332分，最后用五项总分减去四项总分，就等于李华投掷的成绩：425 332=93分。练 习 四1,小军参加了 3次数学竞赛，平均分是84分。已知前两次平均分是82分，他第三次得了多少分？2,小丽在期末考试时，数学成绩公布前她四门功课的平均分数 是92分；数学成绩公布后，她的平均成绩下降了 1分。小丽的数学考了多少分？3,某班一次外语考试，李星因病没有参加。其他同学的平均分是95分，第二天他的补考成绩是65分，如果加上李星的成绩后,全班的平均分是94分。这个班有多少人？例5：如果四个人的平均年龄是23岁，四个人中没有小于18岁的。那么年龄最大的人可能是多少岁？分析与解答：因
27、为四个人的平均年龄是2 3岁，那么四个人的年龄和是23X4=92岁；又知道四个人中没有小于18岁的，如果四个人中三个人的年龄都是18岁，就可去求另一个人的年龄最大可能是92-18X3=38 岁。练 习 五b如果三个人的平均年龄是22岁，且没有小于18岁的，那么三个人中年龄最大的可能是多少岁？2,如果四个人的平均年龄是28岁，且没有大于30岁的。那么最小的人的年龄可能是多少岁？3,如果四个人的平均年龄是25岁，四个人中没有小于16岁的，且这四个人的年龄互不相等。那么年龄最大的可能是多少岁？第二十九周行程问题（一）专题简析：我们把研究路程、速度、时间这三者之间关系的问题称为行程问题。行程问题主要包
28、括相遇问题、相背问题和追及问题。这一周我们来学习一些常用的、基本的行程问题。解答行程问题时，要理清路程、速度和时间之间的关系，紧扣基本数关系“路程=速度X时间”来思考，对具体问题要作仔细分析，弄清出发地点、时间和运动结果。例1：甲乙两人分别从相距20千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米。两人几小时后相遇？分析与解答：这是一道相遇问题。所谓相遇问题就是指两个运动物体以不同的地点作为出发地作相向运动的问题。根据题意，出发时甲乙两人相距2 0千米，以后两人的距离每小时缩短6+4=10千米，这也是两人的速度和。所以，求两人几小时相遇，就是求20千米里面有几个10千米。因此，两
29、人204-(6+4)=2小时后相遇。练 习 一1,甲乙两艘轮船分别从A、B两港同时出发相向而行，甲船每小时行驶18千米，乙船每小时行驶15千米，经 过6小时两船在途中相遇。两地间的水路长多少千米？2,一辆汽车和一辆摩托车同时分别从相距900千米的甲、乙两地出发，汽车每小时行40千米，摩托车每小时行50千米。8小时后两车相距多少千米？3,甲乙两车分别从相距480千米的A、B两城同时出发，相向而行，已知甲车从A城 到B城 需6小时，乙车从B城 到A城需12小时。两车出发后多少小时相遇？例2：王欣和陆亮两人同时从相距2000米的两地相向而行，王欣每分 钟 行110米，陆亮每分钟行90米。如果一只狗与
30、王欣同时同向而行，每分钟行500米，遇到陆亮后，立即回头向王欣跑去；遇到王欣后再回头向陆亮跑去。这样不断来回，直到王欣和陆亮相遇为止，狗共行了多少米？分析与解答：要求狗共行了多少米，一般要知道狗的速度和狗所行的时间。根据题意可知，狗的速度是每分钟行500米，关键是要求出狗所行的时间，根据题意可知：狗与主人是同时行走的，狗不断来回所行的时间就是王欣和陆亮同时出发到两人相遇的时间，即 2000+(110+90)=10 分钟。所以狗共行了 500X10=5000 米。练 习 二1,甲乙两队学生从相隔18千米的两地同时出发相向而行。一个同学骑自行车以每小时15千米的速度在两队之间不停地往返联络。甲队每
31、小时行5千米，乙队每小时行4千米。两队相遇时，骑自行车的同学共行多少千米？2,A、B两地相距400千米，甲、乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行38千米，乙车每小时行42千米。一只燕子以每小时50千米的速度和甲车同时出发向乙车飞去，遇到乙车又折回向甲车飞去。这样一直飞下去，燕子飞了多少千米，两车才能相遇？3,甲、乙两个车队同时从相隔330千米的两地相向而行，甲队每小时行60千米，乙队每小时行50千米。一个人骑摩托车以每小 时 行 8 0 千米的速度在两车队中间往返联络，问两车队相遇时，摩托车行驶了多少千米？例3：甲每小时行7千米，乙每小时行5千米，两人于相隔18千米的两地同时相背而行，几小时
32、后两人相隔54千米？分析与解答：这是一道相背问题。所谓相背问题是指两个运动的物体作背向运动的问题。在相背问题中，相遇问题的基本数量关系仍然成立，根据题意，甲乙两人共行的路程应该是5418=36千米，而两人每小时共行7+5=12千米。要求几小时能行完36千米，就是求36千米里面有几个12千米。所以，3612=3小时。练 习 三1,甲车每小时行6千米，乙车每小时行5千米，两车于相隔10千米的两地同时相背而行，几小时后两人相隔65千米？2,甲每小时行9千米，乙每小时行7千米，甲从南庄向南行,同时乙从北庄向北行。经 过3小时后，两人相隔60千米。南北两庄相距多少千米？3,东西两镇相距20千米，甲、乙两
33、人分别从两镇同时出发相背而行，甲每小时的路程是乙的2倍，3小时后两人相距56千米。两人的速度各是多少？例 4：甲乙两人分别从相距24千米的两地同时向东而行，甲骑自行车每小时行13千米，乙步行每小时走5 千米。几小时后甲可以追上乙？分析与解答：这是一道追及问题。根据题意，甲追上乙时，比乙多行了 2 4 千 米（路程差）。甲骑自行车每小时行13千米，乙步行每小时走5 千米，甲每小时比乙多行135=8千 米（速度差），即甲每小时可以追上乙8 千米，所以要求追上乙所用的时间，就是求24千米里面有几个8 千米。因此，24+8=3小时甲可以追上乙。练 习 四1,甲乙两人同时从相距36千米的A、B 两城同向
34、而行，乙在前甲在后，甲每小时行15千米，乙每小时行6 千米。几小时后甲可追上乙？2,解放军某部从营地出发，以每小时6 千米的速度向目的地前进，8 小时后部队有急事，派通讯员骑摩托车以每小时54千米的速度前去联络。多长时间后，通讯员能赶上队伍？3,小华和小亮的家相距380米，两人同时从家中出发，在同一条笔直的路上行走，小华每分钟走65米，小亮每分钟走55米。3 分钟后两人相距多少米？例5：甲、乙两沿运动场的跑道跑步，甲每分钟跑290米，乙每分钟跑270米，跑道一圈长400米。如果两人同时从起跑线上同方向跑，那么甲经过多长时间才能第一次追上乙？分析与解答：这是一道封闭线路上的追及问题。甲和乙同时同
35、地起跑，方向一致。因此，当甲第一次追上乙时;比乙多跑了一圈，也就是甲与乙的路程差是400米。根 据“路程差个速度差=追及时间”即可求出甲追上乙所需的时间：4004-(290-270)=20分钟。练 习 五1,一条环形跑道长400米，小强每分钟跑300米，小星每分钟跑250米，两人同时同地同向出发，经过多长时间小强第一次追上小星？2,光明小学有一条长200米的环形跑道，亮亮和晶晶同时从起跑线起跑。亮亮每秒跑6米，晶晶每秒跑4米，问：亮亮第一次追上晶晶时两人各跑了多少米？3,甲、乙两人绕周长1000米的环形广场竞走，已知甲每分钟走125米，乙的速度是甲的2倍。现在甲在乙后面250米，乙追上甲需要多
36、少分钟？第二十六周巧算年龄专题简析:年龄问题是一类与计算有关的问题，它通常以和倍、差倍或和差等问题的形式出现。有些年龄问题往往是和、差、倍数等问题的综合，需要灵活地加以解决。解答年龄问题，要灵活运用以下三条规律：1,无论是哪一年，两人的年龄差总是不变的；2,随着时间的向前或向后推移，几个人的年龄总是在减少或增加相等的数量；3,随着时间的变化，两人的年龄之间的倍数关系也会发生变化。例 1：爸爸今年43岁，儿子今年11岁。几年后爸爸的年龄是儿子的3 倍？分析与解答：儿子出生后，无论在哪一年，爸爸和儿子的年龄差总是不变的，这个年龄差是43 11=32岁。所以，当爸爸的年龄是儿子 3 倍时，儿子是32
37、4-(3-1)=16岁，因此1611=5年后，爸爸的年龄是儿子的3 倍。练 习 一b妈妈今年36岁，儿子今年12岁。几年后妈妈年龄是儿子的2 倍？2,小强今年15岁，小亮今年9 岁。几年前小强的年龄是小亮的3 倍？3,爷爷今年60岁，孙子今年6 岁。再过多少年爷爷的年龄比孙子大2 倍?例 2：妈妈今年的年龄是女儿的4 倍，3 年前，妈妈和女儿的年龄和是39岁。妈妈和女儿今年各多少岁？分析与解答：从 3 年前到今年，妈妈和女儿都长了 3 岁，她们今年的年龄和是：39+3X2=45岁。于是，这个问题可转化为和倍问题来解决。所以，今年女儿的年龄是45+(1+4)=9岁，妈妈今年是9X4=36 岁。练
38、 习 二b 今年爸爸的年龄是儿子的4 倍，3 年前，爸爸和儿子的年龄和是44岁。爸爸和儿子今年各是多少岁？2,今年小丽和她爸爸的年龄和是41岁，4 年前爸爸的年龄恰好是小丽的10倍。小丽和爸爸今年各是多少岁？3,今年小芳和她妈妈的年龄和是38岁，3 年前妈妈的年龄比小芳的9 倍多2 岁。小芳和妈妈今年各多少岁？例 3：今年小红的年龄是小梅的5 倍，3 年后小红的年龄是小梅的2倍。小红和小梅今年各多少岁？分析与解答：小红和小梅的年龄差是不变的，因此两人的年龄差是小梅今年的51=4倍，也是3 年后小梅年龄的21=1倍，即：小梅今年的年龄+3=小梅今年的年龄义4。所以，小梅今年的年龄为:34-(4-
39、1)=1岁，小红今年的年龄为：1X5=5岁。练 习 三1,今年小明的年龄是小娟的3 倍，3 年后小明的年龄是小娟的2 倍。小明和小娟今年各多少岁？2,今年小亮的年龄是小英的2 倍，6 年前小亮的年龄是小英的5 倍。小英和小亮今年各多少岁？3,10年前父亲的年龄是儿子的7 倍，15年后父亲的年龄是儿子的2 倍。父亲和儿子今年各多少岁？例 4：甜甜的爸爸今年28岁，妈妈今年26岁。再过多少年，她的爸爸和妈妈的年龄和为80岁？分析与解答：两人的年龄和每年增加2 岁，先求今年爸爸和妈妈的年龄和：28+26=54岁，再求80比54多8054=26岁。26里面包含多少个2,就是经过的年数。所以，再过26+
40、2=13年爸爸和妈妈的年龄和为80岁。练 习 四1,蜜蜜的爸爸今年27岁，她的妈妈今年26岁。再过多少年,她爸爸和妈妈的年龄和为73岁？2,林星今年8 岁，爸爸今年34岁。当他们的年龄和为72岁时，爸爸和林星各多少岁？3,今年爸爸56岁，儿子30岁。当父子的年龄和为46岁时-，爸爸和儿子各是多少岁？例 5：小英一家由小英和她的父母组成。小英的父亲比母亲大3 岁，今年全家年龄总和是71岁，8 年前这个家的年龄总和是49岁。今年三人各多少岁？分析与解答：已知8 年前这个家的年龄总和是49岁，这个条件中8年与4 9 岁看上去有一个是多余的，有的同学可能认为8 年前这个家的年龄总和应该是71 (1+1
41、+1)*8=47岁，但这与题中所给的条件49不一致。为什么呢？这说明8 年前小英还没有出生。这相差的2 岁就是8 年前与小英年龄的差。由此可以求出小英今年是8-2=6岁。今年父母的年龄和为71-6=65岁。已知小英的父亲比母亲大3 岁，所以今年父亲(65+3)+2=34岁，母亲343=31岁。练习五1,父、母、子三人今年的年龄和为70岁，而 10年前三人的年龄和为46岁，父亲比母亲大4 岁。求三人今年各多少岁。2,全家四口人，父亲比母亲大3 岁，姐姐比弟弟大2 岁。4年前他们的年龄和为58岁，现在全家的年龄和是73岁。现在每个人各多少岁？3,吴琪一家由吴琪和他的挛生姐姐吴林还有他们的父母组成,
42、其中父亲比母亲大2 岁。今年全家的年龄和是64岁，5 年前全家的年龄和是52岁。求今年每人的年龄。第二十七周较复杂的和差倍问题专题简析：前面我们学习了和倍、差倍、和差三种应用题，有的题目需要通过转化而成为和倍、差倍、和差问题，这类问题叫做复杂的和差倍问题。解答较复杂的和差倍问题，需要我们从整体上把握住问题的本质，将题目进行合理的转化，从而将较复杂的问题转化为一般和倍、差倍、和差应用题来解决。例 1：两箱茶叶共重96千克，如果从甲箱取出12千克放入乙箱，那么乙箱的千克数是甲箱的3 倍。两箱原来各有茶叶多少千克？分析与解答：由“两箱茶叶共重96千克，如果从甲箱取出12千克放入乙箱，那么乙箱的千克数
43、是甲箱的3 倍”可求出现在甲箱中有茶叶964-(1+3)=24千克。由此可求出甲箱原来有茶叶24+12=36千克，乙箱原来有茶叶9 6-36=60千克。练 习 一b书架的上、下两层共有书180本，如果从上层取下15本放入下层，那么下层的本数正好是上层的2 倍。两层原来各有书多少本？2,甲、乙两人共储蓄2000元，甲取出160元，乙又存入240元，这时甲储蓄的钱数比乙的2 倍少20元。甲、乙两人原来各储蓄多少元？3,某畜牧场共有绵羊和山羊3561只，后来卖了 6 0 只绵羊，又买来山羊100只，现在绵羊的只数比山羊的2 倍多1 只。原来绵羊和山羊各有多少只？例 2：甲、乙、丙三个同学做数学题，已
44、知甲比乙多做5 道，丙做的是甲的2 倍，比乙多做20道。他们一共做了多少道数学题？分析与解答：甲比乙多5 道，丙比乙多20道，丙做的是甲的2 倍,因此，205=15道是丙的一半，也就是甲做的道数。丙做了 15X2=30 道，乙做了 155=10 道。他们共做了：(205)X(1+2)+(20-5)-5=55 道。练 习 二1,某厂一季度创产值比三季度多2 万元，二季度的产值是一季度产值的2 倍，比三季度产值多42万元。三个季度共创产值多少万元？2,甲、乙、丙三个人合做一批零件，甲比乙多做12个，丙做的比甲的2 倍少20个，比乙做的多38个。这批零件共有多少个？3,果园里的苹果树是桃树的3 倍，
45、管理员每天能给25棵苹果树 和 15棵桃树洒农药。几天后，当桃树喷完农药时，苹果树还有140棵没有喷药。果园里共有多少棵树？例3：某工厂一、二、三车间共有工人280人，第一车间比第二车间多10人，第二车间比第三车间多15人。三个车间各有工人多少人？分析与解答：这是多量的和差问题，解题的时候确定的标准不同，解法也就不同。如果以第二车间的人数为标准，第一车间减少10人，第三车间增加15人，那么28010+15=285人是第二车间人数的3倍，由此可以求出第二车间有285+3=95人,第一车间有95+10=105人，第三车间有95 15=80人。练 习 三1,一个三层书架共放书168本，上层比中层多1
46、2本，下层比中层少6本。三层各放书多少本？2,一个三层柜台共放皮鞋120双，第一层比第二层多放4双,第二层比第三层多7双，三层各多皮鞋多少双？3,四个数的和是1 5 2,第一个数比第二个数多1 6,比第三个数多2 0,比第四个数少12。第一个数和第四个数是多少?例4：两个数相除，商是4,被除数、除数、商的和是124。被除数和除数各是多少？分析与解答：从124里去掉商，是1244=120,它是除数的1+4=5倍，除数是120+5=24,被除数是24X4=94。练 习 四1,在一个除法算式中，被除数、除数、商的和是123。已知商是3,被除数和除数各是多少？2,两个数相除，商是5,余数是7,被除数、
47、除数、商、余数的和是187,求被除数。3,两个数相除，商 是1 7,余 数 是8,被除数、除数、商和余数的和是5 0 1,求被除数和除数是多少。例 5：甲的存款是乙的4 倍，如果甲取出110元，乙存入110元，那么乙的存款是甲的3 倍。甲、乙原来各有存款多少元？分析与解答：由“乙存入110元，甲取出110元”，可知乙存入110元后相当于甲存款数的3 倍，取出110X3=330元；而由甲的存款是乙的4 倍，可知甲原有存款的3 倍相当于乙原有存款的4义3=12倍，乙现在存入110元后相当于甲原有的12倍，取 110X3=330元,所以，330+110=440元，相 当 于 乙 原 有 的 倍。所以
48、，乙原有存款44011=40元，甲原有存款40X4=160元。练 习 五1,甲的存款是乙的5 倍，如果甲取出60元，乙存入60元，那么乙的存款是甲的2 倍。甲、乙原来各有存款多少元？2,刘叔叔的存款是李叔叔的6 倍，如果刘叔叔取出1100元，李叔叔存入1100元，那么刘叔叔的存款是李叔叔的2 倍。刘叔叔和李叔叔原来各有存款多少元？3,有大、中、小三筐菠萝，小筐装的是中筐的一半，中筐比大筐少装16千克，大筐装的是小筐的4 倍。大、中、小三筐各装菠萝多少千克？第二十三周定义新运算专题简析:我们学过常用的运算加、减、乘、除等，如 6+2=8,6X2=12等。都是2 和 6,为什么运算结果不同呢？主要
49、是运算方式不同，实质上是对应法则不同。由此可见，一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。对应法则不同就是不同的运算。当然，这个对应法则应该是对应任意两个数。通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。这一周，我们将定义一些新的运算形式，它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不相同的。例1：设a、b都表示数，规定：aA b表示a的3倍减去b的2倍，即：aAb=aX3-bX2o 试计算：(1)5A6；(2)6A5O分析与解答：解这类题的关键是抓住定义的本质。这道题规定的运算本质是：运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍。(1)546=5 X36X 2=3(2)6A5=6X3-5X2=8显
50、然，本例定义的运算不满足交换律，计算中不能将前后的数交换。练 习 一1,设a、b都表示数,规定：aOb=6Xa2X bo试计算304。2,设a、b都表示数，规定：a*b=3Xa+2Xbo试计算：(1)(5*6)*7(2)5*(6*7)3,有两个整数是A、B,AVB表 示A与B的平均数。已知A 6=17,求 A。例2：对于两个数a与b,规定a b=a X b+a+b,试计算62。分析与解答：这道题规定的运算本质是：用运算符号前后两个数的积加上这两个数。6 2=6 X 2+6+2=2 0练 习 二1,对于两个数a与b,规定：a b=a X b (a+b)。计算35 o2,对于两个数A与B,规定：A