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1、2020-2021学年下学期期末原创卷(沪教版)03卷高二数学全解全析1.1【分析】由纯虚数的概念得实部为o,且虚部非o,可解得?=1.【详解】因为复数(m2-1)+(根2-m-2)i为纯虚数，m2 1 =0所以2，解得加=1.m-m-2 *0故答案为：1.2.i【分析】利用等比数列求和公式求和，再根据复数的乘方运算可得结果.【详解】l +i+i2+i3+-+i2 0 1 01-z2 0 1 一泮5。2+3 31-z1-i_ 1 +z _(l+i)2 _ 2z _ _故答案为：i3.如【分析】求出二-2%的坐标，利用向量的模长公式可求得结果【详解】:=(2,3)2(1,2)=(4,1),因此，
2、|-2 S|=42+(-l)2=V 1 7.故答案为：J万.7-1 3-4 .m+n4 8【分析】根据平面向量基本定理进行求解即可.【详 解】设 =尤。+y B,则有.p =3 +2石=x(2a-3杨+y(4。-2h)=(2x+4 y)+(-3 x-2y)h,2%+4 y =3-3x-2y=2得7x =-“1 3y =一.-8,所以 p-一m+n4 87 1 3 -故答案为：m H-n4 85.【分 析】举例说明 错 误；由两复数相等的充要条件说明错误；由集合间的关系说明正确.【详 解】解：对于，若两个复数为实数，则能比较大小，故 错 误；对 于 ，当且 仅 当x,y WR,x+W=l+i的充
3、要条件是x=y=L故 错 误；对 于 ，当。=0时，0，=0不是纯虚数，故 错 误；对 于 ，实数集和虚数集构成复数集，所以实数集相对复数集的补集是虚数集，故正确.故答案为：.6.71 4,571 与-F 一42 J(ZwZ)【分 析】联立函数解析式即可求解.【详 解】JI 5 7 r由题，令si nx =c o sx,B P t a nx =l ,解 得x =+2万或x =+2 Z万，k e Z,4 4当 了=2+2人)时，y=,当=9 +2攵 万时，y=-2/E ,4 2 4 2所 以 函 数 =5 3%和丁=8)5 1的图像的交点坐标为与 +2k7T,-4 2(ZGZ).7.2【分 析】
4、3由l+cosx=求解即可得出.2【详 解】令 l+cosx=2,B P cosx=-,/x e 0,2句，或?，2 2 L 3 33所 以 函 数y=l+cosx,0,2句 的 图 像与直线y=2的 交 点 有2个.故答案为：2.8.7600【分 析】利用诱导公式求出cos a的值，利用同角三角函数的基本关系求出Sina、tana的值，再结合诱导公式可求得结果.【详 解】24因 为cos(2乃一。)=石，所 以cosa24253因 为 一 万 4 2 ，所 以tan a 0,2sin a 0,所 以，sin a=-yl-cos2 a=-sin a 7tan a=-=-cos a 24故1门(
5、+2)+$足(+0)=1 11二一5 E二二7 7-1-24 257600故答案为:76009.二【分 析】Cf根 据a是第三象限角，求 得 一 的 范 围，分 别 令 人=3加，攵=3机+1,左=3加+2,(加？Z)可 判 断 上 终 边3 3所在象限，即可得答案.【详 解】由题意得：匕 3600+180。a%3600+270。,(e Z),所 以 人 120+60?h 120+90,(%e Z),a(X当 左=3根,(根？Z)时，m-360o+600-y/-360o+90,(m eZ),则 三 的 终 边 在 第 一 象 限；a a当=3m+1,(根？Z)时，/.3600+1800|-/n
6、-3600+2100,(m e Z),则|的终边在第三象限；7c/当 左=3m+2,(根？Z)时，m-360+300 m-360+330,(me Z),则?的 终 边 在 第 四 象 限,所 以 与 的终边一定不在第二象限,3故答案为：二10.(1,2【分 析】利用诱导公式及二倍角、辅助角公式对函数化简可得/(x)=l+2 sin(2 x-1),由0 x 可求6 3sin(2x 乙)的范围，进 而 可 求F(x)得范围，而|/(x)-?|2即2-2 /(幻 3,可求m-2,0【详 解】解：,/(x)=2sin2 x-2y/3 sinxsin(x-=2sin2 x+2sinxcosx=1-cos
7、 2x+布sin 2x=1 +2sin(2x-令所以/(x)T +2sin(2x-。62K 71.71 171,/0 x .2x 3 66 6|jr-sin(2x-)1 即 0 /*),32 61 fM-m 2即加一 2 f(x)3.八 解 得1V 2机 一 Z,。故答案为：(1,2【点 睛】本题主要考查了函数的恒成立问题的求解，解题的关键是灵活利用三角函数的诱导公式、二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质求解.【分 析】Q zya先 由a的范围和sina=,求 得 丝 的 符 号 和cosa的值，再根据余弦的二倍角公式cosa=2cos2t 1 ,5 2 2求 得c
8、os 4的值.2【详 解】3乃 a 7万/.一 (),23又 因 为sina=一不,4所 以COS2=,。a又因为 cos。=2cos-1 =45解 得co sf噜故答案为：巫.10【点 睛】a易错点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，二倍角的余弦公式的应用，注 意COS 的符号,2这是本题的易错点.n1 2.3【分 析】将 重 心G满足的向量关系式代入已知向量等式，消去一个向量，得到两向量间的关系，再由平面向量基本定 理，得 到 对 应 系 数 为0,最后利用正、余弦定理求解.【详 解】如 图，设三边AB中 点 为D,是AABC的重心,:.G A-A D =-(A B +AC),B
9、DC同理可得，GB=-(BA+BC),GC=-(CA+CB),3 3：.GA+GB+GC=6 即9=而 一 历，(56sin A)GA+(40sin 3)痂+(35sin C)GC=O56 sin A(-GB-GC)+40 sin BGB+35sinCGC=O(40sin B-56sin A)怎+(35sin C-56sin A)GC=0又 会 与 觉 不 共 线，由平面基本定理得,40sinB-56sin A=035sinC 56sin A=05b a由正弦定理得，5c=8ab即 7a58=a5TT又B为AA6C的内角，台=1.TT故答案为：.【点睛】关于AABC四心的向量关系式:。是AAB
10、C的 外 心 目 函1=1。力1=1阮|=砺2=丽2=方2；。是AABC的重心oE+丽+双=6；。是AABC的垂心=砺 砺=丽 反=方 函;。是AABC的内心oa西+匕 丽+C反=6.（其中。、b、C为AABC的三边）13.B【分析】利用复数的运算法则化简复数Z ,利用复数的模长公式可求得闾.【详解】*一1 =不；=（）（1乙）+1 =3（j）+l=4-3,则故选：B.14.B【分析】2 A 7 7,.1 .利用平面向量的线性运算法则求得40=4 ：+彳4尸，可得-3 31 t（2m n（1 t ,1 I-1 =一1 +；，展开后利用基本不等式可得 H-m n 3 3nJ m f Q+的最小值
11、为5列方程求解即可.m n 3【详解】A因为点0是BC的三等分点，|反1 =2而|则Ad=AB+BO=AB+-BC=AB+-A C-A B =-A B+-73 3 3 3 32 m n又由点E,0,尸三点共线，则+=1,3 3l+I=f+Y l+l k P +C+2L j 2+/m n I 3 3）n nJ（3 3J 3 3m 13 3J当且仅当2%?=/时，等号成立，即工+工的最小值为2+2庐，则有（2+1+2庐=m n 3 3j 9 （3 3j、9z|=J，+(-3)-=5.Im n 4 r +=1，则3 3产最小值为(|+；)+2杼 结合IC=-A E+-A F,3 3c 2mt n (
12、2 t y,历茄 +?+2后，8一/3解可得f=2或-18（舍），故r=2,故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则，以及利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握 一正，二定，三相等 的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值(和定积最大，积定和最小)；三相等是，最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立).15.D【分析】根据图象平移变换可判断，根据余弦函数的对称轴可判断【详解】JT TT 24 将函数y=4sin2图像向左平移y个单位得到函数y=4sin
13、2(x+y)=4sin(2x+y)，故假：/jr TT I c TT 7T 函 数y=cos 2x+”的图像的对称轴方程为2+一=左肛左w Z,解得x=-,k w Z,故假.k 6 7 6 2 12故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换，余弦函数的对称轴，属于中档题.16.C【分析】是第二象限的角，根据sin&的值，利用三角函数的基本关系求出c o s t的值，再用二倍角公式即可求出2 2sin a的值.【详解】TT 71(1 71解：a是第二象限的角，所以2左 万H cc 2女 万+肛 e Z,k7r 4 k7t H ,k wZ2 4 2 2a a 4 a所以竺是第一或第三象限
14、的角，又sin=0,丝是第一象限的角，2 2 5 2(Y 3 ct ct 4 3 24所以 cos,由二倍角公式可得 sin a=2sincos =2x x-=一.2 5 2 2 5 5 25故选：C【点睛】本题主要考查三角函数求值问题，解答本题需用到同角三角函数基本关系，和而二倍角角公式.1 7.(1)BF c i +b,D E ci b(2)A G c i H b.2 2 4 4【分析】(1)利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可；(2)利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可.【详解】(1)BF =BC+CF =A
15、 D +-C D=A D-A B =-a +b,2 2 2D E =15c+C E 7 +-C B =A B-M 5 =a-b-,2 2 2-1 -1 1 3-1 -3 -(2)A G =A D+D G =A D+-D B =A D+-(D A+A B)=-A B +-A D =-a +-b.4 4 4 4 4 41 8.(1)；(2)RL3 3【分析】(1)根据复数相等的条件可得人c o s C=(2一c)c o s B,a +c =4,再根据正弦定理边化角可解得结果;(2)根据余弦定理结合a +c =4求出招,再根据三角形的面积公式可求出结果.【详解】(1)4 =z2,/?c o s C
16、=(2a-c)c o s B,，Q+C=4 ，由得 2a c o s B=Z?c o s C+c c o s B在 A8 C 中，由正弦定理得 2s in Ac o s B=s in 3c o s c+s in Ce o s B,2s in Ac o s B=s in(B+C)=s in(乃-A)=s in A,1万-0 A 0,c o s B=,：QB。2+/一 =8 ,Q由得(+c)2-3。=8,得=,c 1 .R 1 8 6 2G.SAARr=acsinB=x x =.板 2 2323T T1 9./(x)=2s in x+3【分析】利用辅助角公式以及最低点(野,1 可得 =2版一与(左
17、Gz),a2+b2=c+l,从而可得T T/(x)=(c +l)s in x +c,结合函数的周期为6即可求解.【详解】原函数可化为y =+Z?2 s in(x+o)+c (其中夕为辅助角,a.b满足 =忑/),因为(野是它的最低点1 71 _.7C_=2k兀-7万 -所以彳6-2,解 得*=2攵 乃(左eZ),J/+/=0+1,-yja1+b2+c =-lT T 7 T所以 y =(C+1)s in(x-y)+c 按题给变换后得 f(x)=(c+1)s in y x+c ,方程/(x)=3的的正根就是直线y =3与y =/(x)的图象交点的横坐标，它们成为从小到大依次差3的一组数，即y =3
18、与y =/(x)相邻交点间的距离都相等.直线y =3满足以上要求只能有三个位置：一是过图象最高点且和x轴平行的直线4,二是过图象最低点且和x轴平行的直线/2,三是和4、4平行且等距的直线4,而图象最低点为(等故不可能是假若直线y =3在4,交点间隔为一个周期6,即正根的公差为6,不合题意，7 T所以y =3只能在4位置，所以c =3,/(x)=2s in y X +3,7 T此时由s in x =O得x =3左，正根可组成从小到大依次差3的一组数，符合题意.320.(1)y；(2)6【分析】(1)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得s in B+2s in 3c o s A=0,
19、由于s in B。,可求c o s 4的值，结合4e(0,乃)，可求A的值.(2)由已知利用余弦定理可求be的值，进而根据三角形的面积公式即可得解.【详解】解：czcosC+(c+2Z?)cosA=0,由正弦定理可得：sin Acos C+(sin C+2sin B)cos A=0,整理得 sin A cos C+sinCcos A+2 sin 8 cos A=0,即：sin(A+C)+2sinBcosA=0,所以 sin 3+2 sin 5 cos A=0,sinBw O,二 cosA=-2,/Ae(O,-),A=.(2)由Q=2JJ,/?+c=4,由余弦定理得标=尸+。2-2bccosA，
20、12=(/?+c)2bc cos,即有 12=16-be,bc=4,AASC的面积为S=8csinA=-x4xsin2 2 3【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.解题的过程中注意以下公式的灵活应用:a2=(b+c)2-2bc-2Z?ccos A sin(A+C)=sinB、cos(A+C)=-cosB.4 1 321.(1);(2)-;(3)tn-.5 2 m【分析】(1)利用向量夹角公式即可求出向 量 福+2/与向量2才工+泥1的夹角的余弦值;(2)根据已知条件求出线段AM的长，利用平
21、行四边形法则得到，O8+OC=2OM，UUO A O B +O C-丽表示成关于OA的二次函数,求二次函数的最小值，即可求出结果；(3)先用数量积定义把|通+A C +AP转化为Z C A P的三角函数的表达式，再利用基本不等式求AB+A C+而 的最小值,从而得所求.【详解】_ _ _ UUU UUU(1)设向量AB+2AC与向量2A3+AC的夹角为仇由，I荏 卜|恁|_ _ _ _ _ u u n u u m u i u,u u m,uin(AB+2 AC)(2 AB+A C)=2 AB+2 A C=4|A B|2-|A B +2A C|2=(A B +2A C)2u u n，u u u，
22、u u n=AB+4 A C =5|A B|2.|通+2恁|=6|而|,同理|2福+2*|=6|通|八(A B +2A C)(2A B +A C)4COS v .-=-=.=AB+2AC2AB+AC 5_ _ _ UUU n u ll _ 4二向量A 5 +2 A C与向量2A 5 +AC的夹角的余弦值二.(2),.卜目二卜。卜应AM|=1,设|QA|=%,()x|A C|=-mc o sa-*7C 1mABc o s(上一a)=1=|AB=；2 m-s i n aA+C+P=AB2+A C2+A P2+2 A B-A C+2 A C-A P+2 A P A B21,4 1 、A=2 H (+2)+6m cos a s i n-a2/1 /c o s 2 a+4s i n2 a s i n,a+c o s?。、=m2+6+(-5-+-)m c o s a s i r r a2/1 /4s i n 2 a c o s 2 a u、2/9 /3 x 2=m +6+(+5)m-+6+=(/?t +-rm c o s a s i n a m m当且仅当塔q=2,t a Y a =工,t a n a =正时，等号成立，s i n 2 a 2 2南+恁+丽 的最小值为加+、.【点睛】本题考查向量的夹角，数量积的最值以及模长的最值,是向量的综合应用;考查计算能力，推理能力，属于难度大的题目.