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1、第五章 直线与平面、平面与平面51 平行52 相交53 垂直54 综合作图PCDMN一、直线与平面平行51 直线与平面平行、两平面平行则 AB/PMN/CD CD PnmnmdcbadbaX Oc1.规则：若一直线与平面上任一直线平行，则此直线与该平面互相平行。反之成立。2 特殊情况：若直线与投影面的垂直面平行，则该平面的积聚投影与直线的同面投影平行。一、直线与平面平行51 直线与平面平行、两平面平行PHcbac bannmmX OPPHMNmnHP H PH mn 则 P MN3【例1】判别直线MN与三角形ABC平面是否平行?nmcbanm cbakkX O结果:MN/ABC4MN ABC
2、GH ABCnmnmdcbadcbagghh OX【例2】判别直线GH、MN与ABC平面的平行关系?5edcbaedcba【例3】过直线AB作三角形ABC平面平行于直线DE。O X6 过M点作直线 MN平行已知平面ABC。作图步骤：在平面ABC内任作一条水平线(AD)；过M点作直线MN/AD。cbaac bddXmmnnO过M点作水平线 MN平行已知平面ABC。【例4】无数解 一个解7【例5】已知直线MN平行于平面ABC，求mn。cbaac bdd作图步骤：在ABC内任作一V面投影(cd)/mn；由d求出d,连接cd;过m作mn/cd。XmmnnO8CBADFE二、平面与平面平行1.规则：若一
3、平面上的两条相交直线对应平行于另一平2.面上的两条相交直线，则该两平面互相平行。mnmngef abcabcefgXO51 直线与平面平行、两平面平行9【例6】试判别平面ABC和平面LMN是否互相平行。bcaklmnnmlback结果：否10np【例7】过点M作平面平行与已知面ABC。c ba cb a mmnpX O11 特殊情况：若两平面同时垂直于某一投影面时，则它 们的积聚投影（迹线）相互平行。PHQHXO二、平面与平面平行51 直线与平面平行、两平面平行f edbafedcbacOXPPHHQHQ12【例8】已知MN、PQ决定的平面与平面ABC平行，试补全三角形ABC的正面投影。qpn
4、mqpnma cba21 b2 c1X O13直线与平面相交求交点平面与平面相交求交线求解方法：1.积聚投影法 2.辅助平面法判别可见性关键：求直线与平面交点52 直线与平面相交、两平面相交14ppbabaPHO X一、直线与特殊位置平面相交平面有积聚投影PPHABabHKk kkk分析：利用平面的积聚性求交交点线面的公共点交点可见与不可见的分界点作图步骤：1、求交点（k为PH与ab的交点，求k）2、判别可见性（远离投影轴可见）52 直线与平面相交、两平面相交15【例1】求直线与平面的交点，并判别可见性。OXabcmn ka bcmnk212(1)QVkbakbaq q16二、垂直线与一般平面
5、相交直线有积聚投影分析：利用直线的积聚投影及平面上取点的方法求解。52 直线与平面相交、两平面相交nk mcba kcbam(n)11XO3 434()17n三、两特殊位置平面相交两平面均有积聚投影 mcbacbam(n)1(2)12分析：利用两铅垂面的交线一定为铅垂线进行求解。52 直线与平面相交、两平面相交p p18四、一般位置平面与特殊位置平面相交 平面有积聚投影52 直线与平面相交、两平面相交QABCabcHMNmnq立体示意图abcqnabcqmmnXO21(2)119abcnabcmmngfRHkk12f g341(2)3(4)五、直线与一般位置平面相交无积聚投影作图步骤：1.过已
6、知直线作一个辅助平面；2.求此辅助平面与已知平面的交线；3.确定此交线与已知直线的交点。4.判别可见性。52 直线与平面相交、两平面相交 RABCabcHGFgfMNKRHk20六、两一般位置平面相交无积聚投影52 直线与平面相交、两平面相交fedcbacbadf eQHRHnmn m1(2)213(4)43XO21ecbff abdecad【例2】求平面ABC与平面DEF的交线，并判别可见性。PHRVX Omnmn22PVRVa c f mnbdegacbdegmn1 23 41234RV567856 7 8OXMfgPVN六、两一般位置平面相交无积聚投影52 直线与平面相交、两平面相交23
7、一、直线与平面垂直53 直线与平面垂直、两平面垂直1.几何条件：若空间一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则此直线垂直于该平面。反之，若一条直线垂直于一个平面，则此直线垂直该平面上的一切直线。BACDFELP关键：直线与平面垂直24VXYZPVPHPWDCPdcSTst 平面的垂线，其H 投影 平面上水平线的 H 投影；其V 投影 平面上正平线的 V 投影；其W投影 平面上侧平线的 W投影。2.投影特性：一、直线与平面垂直53 直线与平面垂直、两平面垂直25【例1】过平面外一点M作平面ABC的垂线MN.b21cba2ca1mmn nXO求直线MN与平面的垂足26【例1】过平面外一点M作平面AB
8、C的垂线MN.求直线MN与平面的垂足求点到平面的距离 bcbacammn nXOPVkk距离作图步骤：（1）过M点作直线垂直于平面（2）求直线与平面的交点K（3）求MK的实长即为实距121227【例2】过点M作直线AB的垂直面。ddc c bb aam mX O12k 2 1 k PH求点到直线的垂线。实距求点到直线的距离。作图步骤：（1）过M点作平面垂直于直线（2）求平面与直线的交点K（3）求MK的实长即为实距28【例3】分别过点M作直线MK垂直平面Q。kkkk m m m m注：投影面垂直面的垂线为该投影面的平行线qqqq29二、两平面垂直1.几何条件：若空间一直线垂直于一平面，则包含此直
9、线所作的平面都垂直于该平面。反之成立。BA53 直线与平面垂直、两平面垂直PQ30【例4】过点M作平面垂直ABC.b21mcba2mcan1 nX O无 数 解 过点M作正垂面垂直平面ABC。PV31【例5】包含直线MK作平面垂直ABC平面。b21mcba2mcan1 nX Okk32 qqpp【例6】试判断下列两平面是否相互垂直。垂直33【例7】过点M作平面垂直ABC平面,且平行EF。b21mcba2mcan1 nX Oef efkk34142 3123 4aa【例8】过点A作平面垂直于四边形平面,且平行于平面内的正平线。mnmn35abak0X【例9】已知点K与点A、B等距，求k。b211
10、2d dk36PH【例10】过A 点作直线既平行BCD，又和直线MN 相交。（1）过点A作BCD 的平行面。（2）求MN与平行 面的交点K。（3）连接AK即为 所求。aamnmndcbdbc1212kk37d【例11】已知矩形ABCD的水平投影及一边BC的正面投影，试完成其正面投影。（1）过B作BC直线的垂直平面 BMN。（2）在垂直平面BMN上定A点。（3）连接a b，利用平行性 定d。cbadcb1nac2mm1238mVRdmnhdcc【例12】以直线AB为底边作一等腰三角形ABC，使其顶点C落在直线EF上。（1）求AB的中点D。（2）过D作AB直线的垂直面 DMN。（3）求EF直线与垂
11、直面DMN 的交点C，连接AB、AC。ef fababenhABCEFD39bcacdbadkk12HPn【例13】过K点作一直线与AB、CD均相交。（1）连接KA、KB构成一个 三角形平面KAB。（2）求CD与平面KAB的交 点N。（3）连接KN延长至M，KM 即为所求。mmn1240【例14】过点K作直线KL平行于ABC和平面P。klabc 12abc21PHkl 41【例15】作等腰ABC 的投影图，已知底边属于直线BM及腰AB的投影。1c bcbm aam212X 0RH42【例16】已知四边形ABCE的AE边为正平线,AB边为侧平线,完成ABCE的H面投影。ebac e abcdd43