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1、人教版高中数学必修 1：1.1.1 集合的含义与表示（系列二）教学案设计 1 1 1 集 合 1 1.1 集合的含义与表示 第 2 课时 集合的表示(教师用书独具)三维目标 1知识与技能(1)掌握集合的表示方法 列举法和描述法；(2)能进行自然语言与集合语言间的相互转换 2过程与方法(1)教学时不仅要关注集合的基本知识的学习，同时还要关注学生抽象概括能力的培养；(2)教学过程中应努力培养学生的思维能力，提高学生理解掌握概念的能力，训练学生分析问题和处理问题的能力 3情感、态度与价值观 培养数学的特有文化 简洁精练，体会从感性到理性的思维过程 重点难点 重点：用集合语言(描述法)表达数学对象或数
2、学内容 难点：集合表示法的恰当选择(1)重点的突破：以教材中的思考为切入点，让学生感知列举法表示集合不足的同时，顺其自然的引出集合的另一种方法 描述法，然后通过具体实例说明描述法的特点及书写形式，必要时可通过题组训练，让学生充分暴露用描述法表示集合时出现的各种疑点，教师给予适当点拨，从而化难为易；(2)难点的解决：本节课不仅要让学生学习两种表示法，同时还要让学生体会如何恰当人教版高中数学必修 1：1.1.1 集合的含义与表示（系列二）教学案设计 2 选择表示法表示集合 为此，可通过实例多角度启发学生关注知识间的联系与区别，并借助两种方法表示集合的优缺点总结出表示法选择的规律 在元素不太多的情况
3、下，宜采用列举法；在元素较多时，宜采用描述法表示 课标解读 1.掌握集合的两种表示方法 列举法、描述法(重点)2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合(重点、难点)列举法【问题导思】设集合 M 是小于 5 的自然数构成的集合，集合 M 中的元素能一一列举出来吗？【提示】能.0,1,2,3,4.列举法的定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.描述法【问题导思】1“绝对值小于 2 的实数”构成的集合，能用列举法表示吗？【提示】不能 2设 x 为该集合的元素，x 有何特征？【提示】|x|2.3如何表示该集合？【提示】x R|x|21.定义：用集合所含元素的
4、共同特征表示集合的方法叫描述法 2具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.用列举法表示集合 时不仅要关注集合的基本知识的学习同时还要关注学生抽象概括能力的培养教学过程中应努力培养学生的思维能力提 体会从感性到理性的思维过程重点难点重点用集合语言描述法表达数学对象或数学内难点集合表示法的恰当选择重点 然后通过具体实例说明描述法的特点及书写形式必要时可通过题组训练让学生充分暴露用描述法表示集合时出现的各人教版高中数学必修 1：1.1.1 集合的含义与表示（系列二）教学案设计 3 用列举法表示下列集合：(1)
5、方程 x2 1 0 的解构成的集合；(2)由单词“book”的字母构成的集合；(3)由所有正整数构成的集合；(4)直线 y x 与 y 2x 1 的交点组成的集合【思路探究】先分别求出满足要求的所有元素，然后用列举法表示集合【自主解答】(1)方程 x2 1 0 的解为 1,1，所求集合为 1,1；(2)单词“book”有三个互不相同的字母，分别为“b”、“o”、“k”，所求集合为 b，o，k；(3)正整数有 1,2,3，所求集合为 1,2,3，；(4)方程组 y x，y 2x 1的解是 x 1，y 1，所求集合为 1，1.1用列举法表示集合，要分清是数集还是点集，如本例(1)是数集，本例(4)
6、是点集 2使用列举法表示集合时应注意以下几点：(1)在元素个数较少或有(无)限但有规律时用列举法表示集合，如集合：1,2,3，1,2,3，100，1,2,3，等(2)“”表示“所有”的含义，不能省略，元素之间用“，”隔开，而不能用“、”；元素无顺序，满足无序性 用列举法表示下列集合(1)我国现有直辖市的全体(2)绝对值小于 3 的整数集合(3)方程组 y x 1y23x43的解集【解】(1)北京，上海，天津，重庆；(2)2，1,0,1,2；(3)方程组 y x 1，y23x43的解是 x75，y25，时不仅要关注集合的基本知识的学习同时还要关注学生抽象概括能力的培养教学过程中应努力培养学生的思
7、维能力提 体会从感性到理性的思维过程重点难点重点用集合语言描述法表达数学对象或数学内难点集合表示法的恰当选择重点 然后通过具体实例说明描述法的特点及书写形式必要时可通过题组训练让学生充分暴露用描述法表示集合时出现的各人教版高中数学必修 1：1.1.1 集合的含义与表示（系列二）教学案设计 4 所求集合为7 2,5 5.用描述法表示集合 用描述法表示下列集合：(1)不等式 3x 20 的解构成的集合；(2)偶数集；(3)平面直角坐标系中，第一象限内的点的集合【思路探究】找准集合的代表元素 说明元素满足的条件 用描述法表示相应集合【自主解答】(1)A x|3x 20 或 Ax|x23；(2)B x
8、|x 2k，k Z；(3)(x，y)|x0，y0，且 x，y R 1用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序实数对来代表其元素 2 若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围，如本例(2)把本例(2)换成“2,4,6,8,10”如何求解？【解】该集合用描述法表示为 B x|x 2k,1 k5 且 k Z.集合表示法的选择 用适当的方法表示下列集合：(1)方程组 2x 3y 14，3x 2y 8的解集；(2)1000 以内被 3 除余 2 的正整数所组成的集合；(3)所有的正方形；(4)
9、抛物线 y x2上的所有点组成的集合【思路探究】依据集合中元素的个数，选择适当的方法表示集合【自主解答】(1)解方程组 2x 3y 14，3x 2y 8，得 x 4，y 2，故解集为(4，2)；时不仅要关注集合的基本知识的学习同时还要关注学生抽象概括能力的培养教学过程中应努力培养学生的思维能力提 体会从感性到理性的思维过程重点难点重点用集合语言描述法表达数学对象或数学内难点集合表示法的恰当选择重点 然后通过具体实例说明描述法的特点及书写形式必要时可通过题组训练让学生充分暴露用描述法表示集合时出现的各人教版高中数学必修 1：1.1.1 集合的含义与表示（系列二）教学案设计 5(2)集合的代表元素
10、是数 x，集合用描述法表示为 x|x 3k 2，k N 且 x1000；(3)集合用描述法表示为 x|x 是正方形，简写为 正方形；(4)集合用描述法表示为(x，y)|y x2 1 本例(1)在集合的表示时，常因不明白方程组解的含义，导致出现以下两种错误表示：4，2 和 x 4，y 2 2当集合的元素个数很少(很容易写出全部元素)时，常用列举法表示集合；当集合的元素个数较多(不易写出全部元素)时，常用描述法表示对一些元素有规律的无限集，也可以用列举法表示，如正偶数集也可写成 2,4,6,8,10，有下面六种表示方法：x 1，y 2；x，y|x 1y 2；1,2；(1,2)；(1,2)；x，y|
11、x 1 或 y 2 其中能正确表示方程组 2x y 0，x y 3 0的解集的是 _，(把所有正确的序号都填在横线上)方程组 2x y 0，x y 3 0的解为 x 1，y 2，该方程组的解集应为点集，其正确形式是.【答案】分类讨论思想在集合表示法中的应用(12分)集合 A x|kx2 8x 16 0，若集合 A只有一个元素，试求实数 k 的值，并用列举法表示集合 A.【思路点拨】明确集合 A 的含义 对 k加以讨论 求出 k值 写出集合 A 时不仅要关注集合的基本知识的学习同时还要关注学生抽象概括能力的培养教学过程中应努力培养学生的思维能力提 体会从感性到理性的思维过程重点难点重点用集合语言
12、描述法表达数学对象或数学内难点集合表示法的恰当选择重点 然后通过具体实例说明描述法的特点及书写形式必要时可通过题组训练让学生充分暴露用描述法表示集合时出现的各人教版高中数学必修 1：1.1.1 集合的含义与表示（系列二）教学案设计 6【规范解答】(1)当 k 0 时，原方程变为 8x 16 0，x 2.2 分 此时集合 A 2.4 分(2)当 k0 时，要使一元二次方程 kx2 8x 16 0 有两个相等实根.6 分 只需 64 64k 0，即 k 1.8 分 此时方程的解为 x1 x2 4，集合 A 4，满足题意.10 分 综上所述，实数 k 的值为 0 或 1.当 k 0 时，A 2；当
13、k 1 时，A 4.12 分 1解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点 2本题因 kx2 8x 16 0 是否为一元二次方程而分 k 0 和 k0 而展开讨论，从而做到不重不漏 3集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程的根的情况，进而求得结果 需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用 1表示一个集合可以用列举法，也可以用描述法，一般地，若集合元素为有限个，常用列举法，集合元素为无限个多用描述法 时不仅要关注集合的基本知识的学习同时还要关注学生抽象概括能力的培养教学过程中应努力培养学生的思维能力提 体会从感
14、性到理性的思维过程重点难点重点用集合语言描述法表达数学对象或数学内难点集合表示法的恰当选择重点 然后通过具体实例说明描述法的特点及书写形式必要时可通过题组训练让学生充分暴露用描述法表示集合时出现的各人教版高中数学必修 1：1.1.1 集合的含义与表示（系列二）教学案设计 7 2处理描述法给出的集合问题时，首先要明确集合的代表元素，特别要分清数集和点集；其次要确定元素满足的条件是什么 1使不等式 x 2 成立的实数 x 的集合可表示为()A x 2 B x 2|x R C 3,4,5，D x R|x 2 使不等式 x 2 成立的实数 x 的集合表示为 x|x 2【答案】D 2直线 y 2x 1
15、与 y 轴的交点所组成的集合为()A.0，1 B(0,1)C.12，0 D.12，0 解方程组 y 2x 1x 0得 x 0y 1 故集合为(0,1)【答案】B 3下面四种说法正确的有 _个 10 以内的合数构成的集合是 0,2,4,6,8,9；由 1,2,3 组成的集合可表示为 1,2,3 或 3,2,1；方程 x2 2x 1 0 的解集是 1；0 与 0 表示同一个集合 不正确，0 和 2 不是合数；正确，用列举法表示集合，其元素无顺序可言；正确，因为方程 x2 2x 1 0 有且只有一个解 x 1；不正确，0 表示一个集合，其元素只有一个 0，故 0 与 0 不同【答案】2 4分别用描述
16、法和列举法表示下列集合：(1)方程 x2 x 2 0 的解组成的集合；(2)大于 1且小于 5 的所有整数构成的集合 时不仅要关注集合的基本知识的学习同时还要关注学生抽象概括能力的培养教学过程中应努力培养学生的思维能力提 体会从感性到理性的思维过程重点难点重点用集合语言描述法表达数学对象或数学内难点集合表示法的恰当选择重点 然后通过具体实例说明描述法的特点及书写形式必要时可通过题组训练让学生充分暴露用描述法表示集合时出现的各人教版高中数学必修 1：1.1.1 集合的含义与表示（系列二）教学案设计 8【解】(1)描述法表示集合为 x|x2 x 2 0；由于方程 x2 x 2 0 的两解分别是 1
17、,2，故方程的解组成的集合可用列举法表示为 1,2；(2)描述法表示集合为 x|x 是大于 1 且小于 5 的整数；列举法表示为 2,3,4.一、选择题 1集合(x，y)|y 3x 1 表示()A方程 y 3x 1 B点(x，y)C平面直角坐标系中所有的点组成的集合 D函数 y 3x 1 的图象上的所有点组成的集合 由集合描述法的定义可知，该集合表示函数 y 3x 1 的图象上的所有点组成的集合【答案】D 2集合 A(0,1)，(2,3)中元素的个数是()A 1 B 2 C 3 D 4 集合 A 中的元素是点，而不是数，故集合 A 中有两个元素【答案】B 3(2013 临沂高一检测)已知集合
18、A x|x(x 1)0，那么下列结论正确的是()A 0 A B 1 A C 1 A D 0 A A x|x(x 1)0 0,1，0 A.【答案】A 4下列集合的表示正确的是()A 1,2,2 B R 全体实数 C 3,5 时不仅要关注集合的基本知识的学习同时还要关注学生抽象概括能力的培养教学过程中应努力培养学生的思维能力提 体会从感性到理性的思维过程重点难点重点用集合语言描述法表达数学对象或数学内难点集合表示法的恰当选择重点 然后通过具体实例说明描述法的特点及书写形式必要时可通过题组训练让学生充分暴露用描述法表示集合时出现的各人教版高中数学必修 1：1.1.1 集合的含义与表示（系列二）教学案
19、设计 9 D不等式 x 50 的解集为 x 50 A 不正确，因为集合中的元素需满足互异性；B 不正确，因为花括号“”本身就有“全体”的意思；C 正确；D 不正确，不等式 x 50 的解集为 x|x 50【答案】C 5下列集合中表示同一集合的是()A M(3,2)，N(2,3)B M 3,2，N 2,3 C M(x，y)|x y 1，N y|x y 1 D M 1,2，N(1,2)A 中 M、N 都为点集，元素为点的坐标，顺序不同表示的点不同；C 中 M、N 分别表示点集和数集；D 中 M 为数集，N 为点集，故选 B.【答案】B 二、填空题 6 若集合 A 1,2,3,4，集合 B y|y
20、x 1，x A，将集合 B 用列举法表示为 _ x 1 时，y 0；x 2 时，y 1；x 3 时，y 2；x 4 时，y 3.故 B 0,1,2,3【答案】0,1,2,3 7设集合 A x|x2 3x a 0，若 4 A，则集合 A 用列举法表示为 _ 4 A，16 12 a 0，a 4，A x|x2 3x 4 0 1,4【答案】1,4 8已知 A 2,4,6，若实数 a A 时，6 a A，则 a _.代入验证，若 a 2，则 6 2 4 A，符合题意；若 a 4，则 6 4 2 A，符合题意；若 a 6，则 6 6 0 A，不符合题意，舍去，所以 a 2 或 a 4.【答案】2 或 4
21、三、解答题 9选择适当的方法表示下列集合：(1)被 5 除，余 1 的正整数组成的集合；(2)24 的所有正因数组成的集合；(3)在直角坐标平面内，两坐标轴上的点组成的集合；时不仅要关注集合的基本知识的学习同时还要关注学生抽象概括能力的培养教学过程中应努力培养学生的思维能力提 体会从感性到理性的思维过程重点难点重点用集合语言描述法表达数学对象或数学内难点集合表示法的恰当选择重点 然后通过具体实例说明描述法的特点及书写形式必要时可通过题组训练让学生充分暴露用描述法表示集合时出现的各人教版高中数学必修 1：1.1.1 集合的含义与表示（系列二）教学案设计 10(4)三角形的全体组成的集合【解】(1
22、)x|x 5k 1，k N；(21,2,3,4,6,8,12,24；(3)(x，y)|xy 0；(4)x|x 是三角形 或 三角形(教师用书独具)用适当的方法表示下列集合：(1)由大于 5，且小于 9 的所有正整数组成的集合；(2)方程 x2 y2 4x 6y 13 0 的解集；(3)不等式 2x 30 的解组成的集合；(4)抛物线 y x2上的所有点组成的集合【思路探究】明确集合中的元素 明确元素 满足的条件 集合中元素的个数 选择适当的方法表示集合【规范解答】(1)6,7,8；(2)方程 x2 y2 4x 6y 13 0 可化为(x 2)2(y 3)2 0，x 2，y 3.方程的解集可表示
23、为(2，3)；(3)x|2x 30；(4)(x，y)|y x2 集合表示法的选择(1)对于有限集或元素间存在明显规律的无限集，可采用列举法(2)对于无明显规律的无限集，不能将它们一一列举出来，可以通过将集合中元素的只有这个集合才有的共同特征描述出来，即采用描述法 用适当的方法表示下列集合：时不仅要关注集合的基本知识的学习同时还要关注学生抽象概括能力的培养教学过程中应努力培养学生的思维能力提 体会从感性到理性的思维过程重点难点重点用集合语言描述法表达数学对象或数学内难点集合表示法的恰当选择重点 然后通过具体实例说明描述法的特点及书写形式必要时可通过题组训练让学生充分暴露用描述法表示集合时出现的各
24、人教版高中数学必修 1：1.1.1 集合的含义与表示（系列二）教学案设计 11(1)A1，13，15，17，19；(2)B61 x Z|x Z.【解】(1)x|x12n 1，n N*，n5；(2)61 x Z，且 x N，1 x 1,2,3,6.x 0,1,2,5，即61 x 6,3,2,1.B 6,3,2,1【资料卡片】康托尔 罗素 数学第三次危机 1874 年，德国数学家康托尔(1845 1918)创立了集合论，他是集合理论的创始人 集合理论很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础到 19 世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了就在这时，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是
25、 1903年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗 1903 年，英国逻辑学家、数学家、诺贝尔和平奖获得者罗素对集合论提出了以他的名字命名的“罗素悖论”后来，他用一个“理发师悖论”来形象地说明自己的悖论：一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发”于是有人问他：“您的头发由谁理呢？”理发师顿时哑口无言很显然，在逻辑上，他无论怎样做，都会违背自己的原则“罗素悖论”在 20 世纪数学理论中引起了轩然大波“数学大厦的基石”竟然出现了明显的“裂缝”，那么人类耗费数千年心血建立起来的“数学殿堂”，会不会倒塌呢？一时间，数学界众说纷纭，悲观者甚至因此把当代数学比作“建立在沙滩上的庞然大物”这就是数学史上著名的“第三次数学危机”“罗素悖论”构成的危机震撼了国际数学界，进而也进一步推动了数学的向前发展 时不仅要关注集合的基本知识的学习同时还要关注学生抽象概括能力的培养教学过程中应努力培养学生的思维能力提 体会从感性到理性的思维过程重点难点重点用集合语言描述法表达数学对象或数学内难点集合表示法的恰当选择重点 然后通过具体实例说明描述法的特点及书写形式必要时可通过题组训练让学生充分暴露用描述法表示集合时出现的各