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1、进阶训练8(范围5.1-5.2)一、基础达标1 .已知於)=也，则/(16)=()1AgB.gC.-4D.4答案B解析亚,/(16)=自$.(多选)已知函数兀x)在=1处的导数为3,则1%)的解析式可能为()Ax) = (x-1)2+3(x-1)B./(x) = 2(x1)= 2。- 1 产D.f(x) = 3x-l答案AD 解析 分别求四个选项的导函数分别为/(x) = 2(x-l) + 3； f(x) = 2； f(x)=4(x- 1); /(x) = 3.易知选 AD.2 .已知函数/(%)=sin(2%聿)，则/.) = ()1A.5B.lAC 雪D./3答案D( 兀、解析 了(X)=
2、 2cosJ, 则尼)=2cos(2= 2cos=5.4 .设|x)=xlnx,若/(处)=2,则xo的值为()A.e2B.eD.ln2-In 2答案B 解析由 /(x)=xln x,得 f(x) = In x+1 . 根据题意知，lnxo+1 =2,所以 lnxo=l,即 xo = e.5 .(多选)已知函数.八%)及其导函数力，若存在xo使得刈)=了(%0)，则称为o是八%) 的一个“巧值点”.下列四个函数中其中有“巧值点”的函数是()A 次 x)B .fix) =C.fx) = ln xD.#x) = tan x答案AC解析 A 中，/(jc)=x2, /(x)=2x,令 f=2x,则
3、x=0, x=2,有“巧值点”；B中，J(x)=erx9 /(x)=e-x,令一院”=广”,无解,无“巧值点”；C 中，“x) = ln x,八)=令 lnx=：,设 g(x) = lnx：,则以1)=一10, g(e)=1：0,由零点存在定理，知在(1, e)上必有零点，人幻有“巧值点”；D 中，/(x)=tanx, /()=耳上，令-r；=tanx,贝U sinxcosx= 1,即 sin2x=2, IU5 人 vOo Ji无解，所以兀X)无“巧值点”.所以有“巧值点”的是AC.6 .已知x) =*+ 34(0)，则/(D=.答案1解析 由于1(0)是常数，寸(%)=f+3/(0),令=0
4、,则八0)=0, .-./(1)= l2+3f (0)=1.7 .曲线=xln 在点(1, 7(I)处的切线的方程为.答案九一y-1=0解析/(x)=l+ln x,则在点(1,犬1)处切线的斜率上=*1)=1,又初1)=0,故 所求的切线方程为y0=1.(%1),即Xy1=0.8 .函数y=xe1-2x的导数/=.答案(12%)8一级解析 =82x+%-入丫=82+%61-2% 2x)f=e1 -2 H-xe1 -2v- ( 2) = (1 2x)e2x.求下列函数的导函数：2x 1尸/；(2)尸尸丁；(3)y=x(x+l)(x+2).解(1 )y=e-x+x(er)z=e-vA：e-v=e-
5、A(l %).(2)因为y=2x 1x+12 (x+1) -33x+12 x+13所以y=(%+i)2(3)法一 y=x(x+l)(x+2) 1=f(x+l)(x+2)+Mx+iy(x+2)+x(x+l)(x+2y = (x+ l)(x+2)+x(x+2)+x(x+ 1) = 3x2+6x+2.法二 因为1)(+2) = (x2+x)-(x+2)=x3 + 3x2+2x,所以 y=Q3 + 3%2+2xy=3f + 6x+2.9 .已知直线/i为曲线了=/+%2在点(1, 0)处的切线，/2为该曲线的另一条切 线，且/山2.求直线/2的方程；求由直线/1，/2和X轴所围成的三角形的面积.解(i
6、)/y=2x+i,直线Z1的斜率为2X1 + 1=3.设直线办与曲线y=f+x2切于点B(b, Z?2+Z?2),则曲线在点5处的切线的斜率为2b+l.12Vl-Lh, 2Z?+1 = t,即 /?=一?Q 出 .气3, 9小(20、(2、故直线h的方程为厂卜或一扣+于， 122即y= 一厂$(2)由(1)及直线的点斜式方程可得直线/1的方程为y=3%3.(一C1y=3x3,x=X，解方程组 122得 c片FF尸C(5、二.直线/1和/2的交点坐标为不一又/1, 与轴的交点坐标分别为(1, 0)，(一,，。)，故所求三角形的面积为1S=yX 1-1S=yX 1-(号125129二、能力提升11
7、 .曲线y=ln(2x1)上的点到直线2x-y+3 = Q的最短距离是()A.小B.2y5D.0D.0C.3小答案A 解析 设曲线y=ln(2x1)在点(x(),州)处的切线与直线2xy+3=。平行.2. 二2, 2x0-I-2，解得xo=1,Ayo=ln(2xo1)=0,即切点坐标为(1, 0).切点(1, 0)到直线2%y+3=0的距离为布,即曲线y=ln(2x1)上的点到直线2xy+3 = 0的最短距离是小.12.已知函数加c) = sin xcos x,且实数a满足/(a) = 3/(a),则tan 2a的值是答案一T解析 求导得，/(x) = cos x+sinx,cos a+sin
8、 a=3(sin acos a),即 2cos a sin a, tan a = 2,e八 2tan a 2X24则 tan2a=E=?13 .(1)已矢口兀)=。心仁山71X,求f(x)及丁(2)在曲线y=心上求一点，使在该点的切线平行于轴，并求切线方程.解(1) :x) = esin tlx ,.,*/(%) = 7168111 7Lx + 7ie7rAeOS 7TX = 7ien(sin TLX + COS 7LX).=7ie2l sin+cosTj=7ie2.（2）设切点坐标为P（xo, yo）9 由题意可知k=0.一2x又尸（1+f） 2,2冬_o (1+焉)2 。.解得沏=0,此时
9、yo=l.即切点坐标为P（0, 1）,切线方程为y1=0.三 创新拓展.（多选）给出定义：若函数r）在D上可导，即/（%）存在，且导函数了（x）在。上 也可导，则称/U）在。上存在二阶导函数，记尸a）=（/a）.若广（%）。在。上恒 成立，则称加I）在。上为凸函数.以下四个函数在（0,习上是凸函数的是（）Ay（x） = sin x+cos xBx） = ln x-2xCy（x）= x3+2% 1D.f（x）=xe x答案ABC 解析 若 x) = sin x+cos x,则 /z(x)= sin %cos x,上恒有（Q）v0；71若於) = lnx2x,则式(%)=_& 在(0上恒有广（x）v0；上恒有广（x）v0；若於）=T + 2xl,则尸（x）=一6羽 在（0,3若 = -xex,则广(x) = 2exxe-v=(2x)-e 一,在1o, 2上恒有广（幻0.