2021-2022学年广东省肇庆市高二(上)期末数学试卷【答案版】.docx

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1、考试真题资料word版2023年最新整理2021-2022学年广东省肇庆市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目第20页（共19页）要求的， ， ， ，1. 在数列 14382𝑛7），中， 是它的（325𝑛14A第 5 项B第 6 项C第 7 项D第 8 项，𝑏 = (12已知向量𝑎 = (1，2， 3)， ，3)，则（）1𝑎 𝑏 =A1B0C1D23. 设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S77，则 a4（

2、）A2B1C0D14. 已知 F1，F2 分别为双曲线 x2y22 的左、右焦点，点 P 在双曲线的右支上，且 |𝑃𝐹|2 = 8|𝐹 𝐹|，则|PF1|（）A6221 2B22C224D2225“𝑎 = 1”是“直线 x+2ay10 与直线（a1）xay10 平行”的（）2A. 充分不必要条件C充要条件B. 必要不充分条件 D既不充分也不必要条件6定义x表示不超过 x 的最大整数，例如：0.10，1.81，1，12若数列an的通项公式为= 𝑛1𝑎(𝑛 ⻓

3、3;)，前 n 项和为 Sn，则满足不等式 Sn93 的 n 的最大值为（）𝑛5A32B33C34D35𝐴𝐵7在四棱锥 SABCD 中， = (2，2，0)， ， 4，2)， ， ，则四棱锥的高为𝐴𝐷 = (2𝐴𝑆 = (110)（）11A112113BC115D28𝑥2椭圆𝑦2+= 1(𝑎𝑏0)的左、右焦点分别为 F ，F ，P 为椭圆上任意一点，且 PF PF ，线段 PF𝑎2𝑏212

4、121与 y 轴相交于点 Q，若 ，则椭圆的离心率为（）𝑃𝐹1= 3𝑃𝑄A2 3131BCD3 132二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9. 对于直线 l：x+y10，下列说法正确的有（）A. 直线 l 过点（0，1）B直线 l 与直线 yx 垂直C直线 l 的一个方向向量为（1，1）D直线 l 的倾斜角为 4510. 如图，在三棱柱ABCA B C 中，BACBAA90，ABACAA 1，设 = &#

5、119886;， ，1 1111𝐴𝐵𝐴𝐶 = 𝑏𝐴𝐴1= 𝑐，且向量𝑏与𝑐的夹角为 45，则（）AA1BBC2BBA1 与 AC 所成的角为 60C 𝐵𝐶1= 𝑎 + 𝑏 + 𝑐D当时，三棱锥 PABA 的体积为定值𝐴𝑃 = 𝑏 + 𝜆𝑐 (𝜆 𝑅

6、)111. 设 A（2，0），圆 B：（x2）2+y24（B 为圆心），P 为圆 B 上任意一点，线段 AP 的中点为 Q，过点 Q 作线段 AP 的垂线与直线 BP 相交于点 R当点 P 在圆 B 上运动时，点 Q 的轨迹为曲线 C1，点 R 的轨迹为曲线 C2，则下列说法正确的有（ ）A. 曲线 C1的方程为 x2+y21B. 当点 Q 在圆 B 上时，点 Q1的横坐标为4C. 曲线 C2 为双曲线的一支DC1 与 C2 有两个公共点12已知数列an满足 a18，a21，𝑎𝑎= 𝑛，𝑛为偶数，Tn 为数列an的前 n 项和，则

7、下列说法正确的有（）𝑛+2𝑎 2，𝑛为奇数，𝑛An 为偶数时，𝑎𝑛𝑛2= (1) 2B𝑇2𝑛= 𝑛2 + 9𝑛CT992049DTn 的最大值为 20三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分136 + 2与6 2的等比中项为14. 沙丘按照风力作用的方向和形态之间的关系可分为横向沙丘、纵向沙垄和金字塔形沙丘等抛物线状 沙丘（如图 1）是横向沙丘的一种，其边缘曲线可看成顶点为原点、焦点为（1，0）的抛物线

8、的一部分（如图 2），若两个翼角 A，B 到焦点的距离都为 5 米，则两翼角|AB|的长为米15. 已知圆 O：x2+y24、圆 P：x2+y2+3x+y60 相交于 A，B 两点，则AOB16. 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ADAA11，AB2，E，F 分别为棱 AB，BC 上一点，且 BE+BF2，P 是线段 B1F 上一动点，当三棱锥 B1EBF 的体积最大时，直线 D1P 与平面 B1EC 所成角的正弦值的取值范围为四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10 分）设等差数列an满足：a51，a73（1） 求数列an的通项

9、公式；（2） 若数列an的前 n 项和为 Sn，求 Sn 的最大值18（12 分）已知圆 C 过点𝑀(4，5)，𝑁(0，5)，且圆心在 x 轴上（1） 求圆 C 的方程；（2） 设直线 l：mxy+10 与圆 C 相交于 A，B 两点，若 MAMB，求实数 m 的值119（12 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，𝐴𝐴= 3，CACB3，𝐴𝐵 = 23，点 D 为棱 BC 上一点，且 ADBC1，E 为 BC1 的中点（1） 求证：平面 ADE平面 ABC1；（2） 求平面 AA1C1C

10、与平面 ADE 夹角的余弦值n20（12 分）已知数列a 满足𝑙𝑜𝑔 𝑎2 𝑛 𝑙𝑜𝑔2𝑎𝑛1= 1(𝑛 2， 𝑛 𝑁)，且𝑎 𝑎1 2 𝑎10= 255（1） 求数列an的通项公式；（2） 设数列bn满足 anbn2n，其前 n 项和为 Tn，请问：T2，Tk，Tm（2km）能否构成等差数列？ 若能，写出一组 k，m 的值；若不能，请说明理

11、由21（12 分）已知点𝐹(1 ，0)，直线 l 的方程为𝑥 = 1𝑥 21𝑦2= 1(𝑎0，𝑏0)的右焦点为 F，双曲线2（2，0），双曲线的两条渐近线与直线 l2𝑎23𝑏2（1） 求双曲线的方程；围成的三角形的面积为4（2） 直线 m 过点 F1 与双曲线相交于 A，B 两点，直线 FA 与直线 FB 分别与 y 轴交于 C，D 两点，证明：|OC|OD|（O 为坐标原点）22（12 分）已知椭圆𝐶： 𝑥2 + 𝑦2

12、 = 1(𝑎𝑏0)的右焦点为 F（2，0），左、右顶点分别为 A，B 直线 x𝑎2𝑏2m（m2）与椭圆 C 交于 M，N 两点，且直线 AM 与 BN（1） 求椭圆 C 的方程；1的斜率之积为 2（2） 设点 P 是直线 MF 与椭圆 C 的另一个交点，过点 F 作直线 NP 的垂线，垂足为 H，证明：点 H 必在一定圆上，并求出该圆的方程20212022学年广东省肇庆市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， ， ， ，

13、1. 在数列 14382𝑛7），中， 是它的（A. 第 5 项325𝑛1B. 第 6 项4C. 第 7 项D第 8 项解：由 2𝑛=𝑛1故选：C7，解得4n7，𝑏 = (12已知向量𝑎 = (1，2， 3)， ，3)，则（）1𝑎 𝑏 =A1B0C1D2，𝑏 = (1解：根据题意，向量𝑎 = (1，2， 3)， ，3)，则1𝑎 𝑏 = 1 12 1(3) 3 = 0，故选：B3. 设等差数列an的前 n 项

14、和为 Sn，若 S77，则 a4（）A2B1C0D1解：法一：设等差数列an的公差为 d𝑆7= 7𝑎176 𝑑 = 7，2a1+3d1，即 a412法二：因为 S7= 7(𝑎1𝑎7) =7a47，a41 故选：D4. 已知 F1，F2 分别为双曲线 x2y22 的左、右焦点，点 P 在双曲线的右支上，且 |𝑃𝐹|2 = 8|𝐹 𝐹|，则21 2|PF1|（）A62B22C224D222解：在双曲线 x2y22 中，𝑎 = 2，w

15、887; = 2，c22|PF2|28|F1F2|8432，|𝑃𝐹| = 42，又|𝑃𝐹1| |𝑃𝐹2| = 2𝑎 = 22，|𝑃𝐹1| = 22|𝑃𝐹2| = 62故选：A5“𝑎 = 1”是“直线 x+2ay10 与直线（a1）xay10 平行”的（）2A. 充分不必要条件C充要条件B. 必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解：若直线 x+2ay10 与直线（a1）xay10 平行，则有解得 a0 或

16、𝑎 = 1，21 (𝑎) = 2𝑎 (𝑎 1)，1 (1) (1) (𝑎 1)，所以当𝑎 = 1时，直线 x+2ay10 与直线（a1）xay10 平行，2当直线 x+2ay10 与直线（a1）xay10 平行时，a0 或𝑎 = 1，2故选：A6定义x表示不超过 x 的最大整数，例如：0.10，1.81，1，12若数列an的通项公式为= 𝑛1𝑎(𝑛 𝑁)，前 n 项和为 Sn，则满足不等式 Sn93 的 n 的最大值为（

17、）𝑛5A32解：因为𝑎B33C34D35= 𝑛1 ，所以当 1n5，nN*时，an0；𝑛5当 6n10，nN*时，an1； 当 11n15，nN*时，an2； 当 16n20，nN*时，an3； 当 21n25，nN*时，an4； 当 26n30，nN*时，an5； 当 31n35，nN*时，an6𝐴𝐷 = (2𝐴𝑆 = (110)又因为 5（0+1+2+3+5）+3693，所以 nmax33， 故选：B𝐴𝐵7在四棱锥 SABCD 中，

18、 = (2，2，0)， ， 4，2)， ， ，则四棱锥的高为（）11A112113BC115D2解：设平面 ABCD 的法向量为𝑛 = (𝑥，𝑦，𝑧)，则 𝑛 𝐴𝐵 = 2𝑥 + 2𝑦 = 0，𝑛 𝐴𝐷 = 2𝑥 4𝑦 + 2𝑧 = 0取 x1，得𝑛 = (1，1，3)，四棱锥 SABCD 的高即为点 S 到平面 ABCD 的距离， |

19、19860;𝑆𝑛 |2211为|𝑛 |=1111故选：B8𝑥2椭圆𝑦2+= 1(𝑎𝑏0)的左、右焦点分别为 F ，F ，P 为椭圆上任意一点，且 PF PF ，线段 PF𝑎2𝑏212121与 y 轴相交于点 Q，若 ，则椭圆的离心率为（）𝑃𝐹1= 3𝑃𝑄A2 3131BCD3 1解：连接 QF ，由 32 ，知|QF |2|PQ|，2𝑃𝐹1= 3Ү

20、75;𝑄1设|PQ|x，|QF1|QF2|2x，2在 RtPQF 中，|𝑃𝐹2| = 3𝑥，2𝑎 = 3𝑥 + 3𝑥 = (3 + 3)𝑥，2𝑐 = 9𝑥2 + 3𝑥2 = 23𝑥，𝑒 =2𝑐 =2𝑎2 3𝑥= 3 1(3+3)𝑥故选：D二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项

21、符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9. 对于直线 l：x+y10，下列说法正确的有（）A. 直线 l 过点（0，1）B直线 l 与直线 yx 垂直C直线 l 的一个方向向量为（1，1）D直线 l 的倾斜角为 45解：直线 l：x+y10 化成斜截式为 yx+1，所以当 x0 时，y1，故 A 对； 由于直线 l 的斜率为1，故它的倾斜角为 135，故 D 错；由于直线 yx 的斜率为 1，（1）11，故直线 l 与直线 yx 垂直，故 B 对；由于直线 l 的一个方向向量为（1，1），故 C 错，故选：AB10. 如图，在三棱柱ABCA B C 中，BA

22、CBAA90，ABACAA 1，设 = 𝑎， ，1 1111𝐴𝐵𝐴𝐶 = 𝑏𝐴𝐴1= 𝑐，且向量𝑏与𝑐的夹角为 45，则（）AA1BBC2BBA1 与 AC 所成的角为 60C 𝐵𝐶1= 𝑎 + 𝑏 + 𝑐D当时，三棱锥 PABA 的体积为定值𝐴𝑃 = 𝑏 + 𝜆𝑐

23、; (𝜆 𝑅)11解：BACBAA190，ABACAA11，𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 2，A 错；由题可知， ， ，𝐵𝐴1= 𝑐 𝑎|𝐵𝐴 | =21|𝐴𝐶| = 1𝑎 𝑏 = 0 2𝐵𝐴1 𝐴𝐶 = (𝑐 𝑎) 𝑏 = 𝑐

24、; 𝑏 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑏 = 1 1 𝑐𝑜𝑠45 = 2 ，𝑐𝑜𝑠 ， = 𝐵𝐴1𝐴𝐶 = 1，𝐵𝐴1𝐴𝐶212BA1 与 AC 所成的角为 60，B 对；𝐵𝐶1= 𝐵𝐶 + 𝐶𝐶1= Ү

25、60;𝐶 𝐴𝐵 + 𝐴𝐴1= 𝑏 𝑎 + 𝑐，C 错； ，点 P 在直线 C上由于 CC 平面 A BA，𝐴𝑃 = 𝑏 + 𝜆𝑐I11直线 CC1 上的点到平面 A1BA 的距离相等，又A1BA 的面积为定值，三棱锥 PA1BA 的体积为定值，D 对 故选：BD11. 设 A（2，0），圆 B：（x2）2+y24（B 为圆心），P 为圆 B 上任意一点，线段 AP 的中点为 Q，过点 Q

26、作线段 AP 的垂线与直线 BP 相交于点 R当点 P 在圆 B 上运动时，点 Q 的轨迹为曲线 C1，点 R 的轨迹为曲线 C2，则下列说法正确的有（ ）A. 曲线 C1的方程为 x2+y21B. 当点 Q 在圆 B 上时，点 Q1的横坐标为4C. 曲线 C2 为双曲线的一支解析：如图 1、图 2，连接 OQDC1 与 C2 有两个公共点因为点 Q 为线段 AP 的中点，O 为线段 AB 的中点，所以1，|𝑂𝑄| = 2 |𝐵𝑃| = 11所以点 Q 的轨迹为以 O 为圆心，l 为半径的圆，即曲线 C1 的方程为 x2+y21，

27、故 A 正确； 当点 Q 在圆 B 上时，圆 B 的方程与曲线 C 的方程联立，可得𝑥 = 1，故 B 正确；4连接 AR，由于直线 QR 为线段 AP 的中垂线，所以|RA|RP|，所以|RA|RB|RP|RB|BP|2，所以点 R 的轨迹为双曲线，故 C 错误；由题可知，曲线 C的方程为𝑥2 𝑦2 = 1，所以 C 与 C 有两个公共点，故 D 正确2故选：ABD31212已知数列an满足 a18，a21，𝑎𝑎= 𝑛，𝑛为偶数，Tn 为数列an的前 n 项和，则下列说法正确的有（

28、）𝑛2𝑎 2，𝑛为奇数，𝑛An 为偶数时，𝑎𝑛𝑛2= (1) 2B𝑇2𝑛= 𝑛29𝑛CT992049DTn 的最大值为 20解：由𝑎𝑎= 𝑛，𝑛为偶数，𝑛2𝑎 2，𝑛为奇数𝑛当 n 为奇数时，𝑎= 8(𝑛1，𝑛2) (2) = 9 𝑛

29、;当 n 为偶数时，𝑎𝑛= (1)𝑛22 ，故 A 对；𝑇2𝑛𝑛29𝑛，𝑛为偶数，= 故 B 错；𝑛29𝑛1，𝑛为奇数，𝑇= 𝑇99100 𝑎100= 5029 50 (1)10022= 2049，故 C 对；Tn 的最大值为 T721，故 D 错 故选：AC三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分1362与6 2的等比中项为2解：设等比中项为 G，则&#

30、119866;2 = (6 + 2)(6 2) = 2，𝐺 = 2故答案为：214沙丘按照风力作用的方向和形态之间的关系可分为横向沙丘、纵向沙垄和金字塔形沙丘等抛物线状 沙丘（如图 1）是横向沙丘的一种，其边缘曲线可看成顶点为原点、焦点为（1，0）的抛物线的一部分（如图 2），若两个翼角 A，B 到焦点的距离都为 5 米，则两翼角|AB|的长为 8 米解：抛物线的焦点坐标为（1，0），抛物线方程为 y24x；由于 A，B 到焦点的距离相等，A，B 两点关于 x 轴对称，设 A（x0，y0），根据抛物线的定义可知，x0+15，x04，代入抛物线方程得𝑦02 = 1

31、6，|AB|2|y0|8， 故答案为：815已知圆 O：x2+y24、圆 P：x2+y2+3x+y60 相交于 A，B 两点，则AOB120 解：两圆方程相减得直线 AB 的方程为3𝑥 + 𝑦 2 = 0，点 O 到直线 AB 的距离为 1，OAB30，AOB120（或𝐴𝑂𝐵 = 2𝜋）3故答案为：12016. 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ADAA11，AB2，E，F 分别为棱 AB，BC 上一点，且 BE+BF2，P 是线段 B1F 上一动点，当三棱锥B1EBF 的体积最大时，直

32、线D1P 与平面 B1EC 所成角的正弦值的取值范围为15 ， 653)=解：当三棱锥B1EBF 的体积最大时，EBF 的面积取最大值，𝑆= 1 𝐵𝐸 𝐵𝐹 1 (𝐵𝐸+𝐵𝐹 2𝐸𝐵𝐹2221，2当且仅当 BEBF1 时，等号成立，此时，E 为 AB 的中点，F 与 C 重合如图，以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 D （0，0，1），B

33、（1，2，1），E（1，1，0），C（0，2，0）， = (1，1，0)， ， ，11𝐸𝐶𝐸𝐵1= (011)设平面 BEC 的法向量为𝑚= (𝑥，𝑦，𝑧)，𝑥 + 𝑦 = 0，x1，得𝑚= (1，1， 1)1可取𝑦 + 𝑧 = 0，设 ， ，0，1，P（，2，）， ， ，𝐶𝑃 = 𝜆𝐶𝐵1= (⼚

34、2;0𝜆)𝐷 𝑃 = (𝜆12𝜆 1)设直线 D1P 与平面 B1EC 所成的角为，𝑠𝑖𝑛𝜃 = |𝑐𝑜𝑠𝑚 ， 3=3𝐷 𝑃| =13𝜆2+4+(𝜆1)22𝜆22𝜆+50，1，当𝜆 = 1时，sin6的最大值为；当 0 或 1 时，sin15的最小值为，235直线 D P 与平

35、面 B EC 所成角的正弦值的取值范围为15 ， 6 1153 故答案为：15 ， 6 53 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10 分）设等差数列an满足：a51，a73（1） 求数列an的通项公式；（2） 若数列an的前 n 项和为 Sn，求 Sn 的最大值 解：（1）设等差数列an的公差为 d，首项为 a1，𝑎+ 4𝑑 = 1，𝑎= 9，由 a51，a73，得 1解得 1𝑎+ 6𝑑 = 3，𝑑 = 2，1an92（n1）112n（2）

36、9878;𝑛= 𝑛(9+112𝑛) = 𝑛2 + 10𝑛 = (𝑛 5)2 + 252当 n5 时，Sn 最大，最大值为 2518（12 分）已知圆 C 过点𝑀(4，5)，𝑁(0，5)，且圆心在 x 轴上（1） 求圆 C 的方程；（2） 设直线 l：mxy+10 与圆 C 相交于 A，B 两点，若 MAMB，求实数 m 的值 解：（1）设圆 C 的半径为 r，圆心 C（a，0），𝑟2 = (𝑎 + 4)2 + (5)2，𝑎

37、; = 2，由题意得解得𝑟2 = 𝑎2 + (5)2，𝑟 = 3，圆 C 的方程为（x+2）2+y29（2）点 M 在圆上，且 MAMB，直线 l 过圆心 C（2，0），2m0+10，解得𝑚 = 12119（12 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，𝐴𝐴= 3，CACB3，𝐴𝐵 = 23，点 D 为棱 BC 上一点，且 ADBC1，E 为 BC1 的中点（1） 求证：平面 ADE平面 ABC1；（2） 求平面 AA1C1C 与平面 ADE 夹角的余弦值（1）

38、 证明：ABCA1B1C1 为直三棱柱，CC1平面 ABC又BC平面 ABC，CC1BC𝐶𝐶1= 𝐴𝐴1=3，BC3，𝐵𝐶1= 23，同理𝐴𝐶1= 23，ABC1 为等边三角形又E 为 BC1 的中点，AEBC1 又ADBC1，ADAEA，BC1平面 ADEBC1平面 ABC1，平面 ADE平面 ABC1（2） 解：CC1平面 ABC，AD平面 ABC，CC1AD又 ADBC1，CC1BC1C1，AD平面 C1CB又 BC平面 C1CB，ADBC如图，以D 为原点，D

39、A，DB 所在的直线分别为 x 轴、y 轴，过点D 作 CC1 的平行线为 z 轴，建立空间直角坐标系在ABC 中，可求得𝐴𝐷 = 22，CD1，DB2，则𝐴(22，0，0)，B（0，2，0），C（0，1，0），𝐶1(0， 1，3)由（1）知平面 ADE 的一个法向量为 ， 3，3)𝐵𝐶1= (0设平面 AA C C 的法向量为𝑚= (𝑥，𝑦，𝑧)， ， ， ，0，3)，11，𝐶𝐴 = (2210)

40、19862;𝐶1= (0 𝑚 𝐶𝐴 = 0即 22𝑥 + 𝑦 = 0，x1，得𝑚= (1， 22，0)，可取，3𝑧 = 0.𝑚 𝐶𝐶= 01626|𝑐𝑜𝑠𝑚 𝐵𝐶1| = | =，9+31+83平面 AA CC 与平面 ADE611夹角的余弦值为3n20（12 分）已知数列a 满足𝑙𝑜w

41、892; 𝑎2 𝑛 𝑙𝑜𝑔2𝑎𝑛1= 1(𝑛 2，𝑛 𝑁)，且𝑎 𝑎1 2 𝑎10= 255（1） 求数列an的通项公式；（2） 设数列bn满足 anbn2n，其前 n 项和为 Tn，请问：T2，Tk，Tm（2km）能否构成等差数列？若能，写出一组 k，m 的值；若不能，请说明理由解：（1）log a log a1，a 0， 𝑎𝑛= 2，2 n2n1n

42、19886;𝑛1n数列a 是以 2 为公比的等比数列，𝑎 𝑎1 2 𝑎10= (𝑎 𝑎1 10)5 = 255，𝑎 𝑎1 10= 211，即𝑎2 29 = 211an0，a12，1𝑎= 2 2𝑛1 = 2𝑛𝑛（2）由（1）得，𝑏𝑛= 2𝑛 = 2𝑛，𝑎𝑛2𝑛𝑇=

43、1 +0 1 + + 3𝑛 + 2𝑛1 𝑇1013𝑛=+ +2𝑛 ，𝑛223𝑛12𝑛 ，𝑛234𝑛𝑛+12222222221𝑇111=+12𝑛1+=2𝑛222232𝑛2𝑛+121 (11)2𝑛𝑛两式作差，得 222𝑛1112=2𝑛+12𝑛+1，𝑇&

44、#119899;= 𝑛 2𝑛若 T ，T ，T成等差数列，则 T +T 2T ，即 2 + 𝑚2𝑘=2km2mk222𝑚2𝑘左右两边都乘 2m 得，2m1+mk 2mk+12m1，2mk+1 都为偶数，m 为奇数时，上式不成立，当 m4，k3 时上式成立，当 k3，m4 时，T2，Tk，Tm 成等差数列21（12 分）已知点𝐹(1 ，0)，直线 l 的方程为𝑥 = 1𝑥 2𝑦2= 1(𝑎0，𝑏0)的右焦点

45、为 F2（2，0），双曲线的两条渐近线与直线 l，双曲线2𝑎23𝑏21（1） 求双曲线的方程；围成的三角形的面积为4（2） 直线 m 过点 F1 与双曲线相交于 A，B 两点，直线 FA 与直线 FB 分别与 y 轴交于 C，D 两点，证明：|OC|OD|（O 为坐标原点）（1） 解：设双曲线的两条渐近线与直线l 围成的三角形为OMN，所以113𝑏所以 |𝑀𝑁| =，得|𝑀𝑁| = 3= 3224𝑎又 a2+b24，解得 a1，𝑏 = 3，所以双曲线的

46、方程为𝑥2 𝑦23= 1（2） 证明：若直线 m 的斜率不存在，根据对称性，显然有|OC|OD|； 若直线 m 的斜率存在，设为 k，则直线 m 的方程为 yk（x2），𝑦 = 𝑘(𝑥 2)，联立𝑥2 𝑦2 3= 1，得（3k2）x2+4k2x4k230，易知 k23，且0设 A（x1，y1），B（x2，y2），且 y1k（x12），y2k（x22），则𝑥+ 𝑥= 4𝑘2 = 4𝑘2，𝑥 𝑥

47、;= 4𝑘23 = 4𝑘2+3123𝑘2𝑘231 23𝑘2𝑘23若证|OC|OD|，可证OFCOFD，即证 kFA+kFB0，𝑦𝑦𝑘(𝑥2) 𝑘(𝑥2)即 𝑘𝐹𝐴+ 𝑘=𝐹𝐵1+2=1+2𝑥 1𝑥 1𝑥 1𝑥 112221222222=Ү

48、96;(𝑥12)(𝑥21)+𝑘(𝑥22)(𝑥11)𝑘2𝑥1𝑥25(𝑥1+𝑥2)+2(𝑥11)(𝑥21)(𝑥11)(𝑥21)= 02222由于54𝑘2+354𝑘22𝑥 𝑥1 2(𝑥221+ 𝑥2) + 2 = 2 𝑘23+ 2𝑘23= 8𝑘2+610𝑘2+2𝑘26 = 0，𝑘23所以 kFA+kFB0，从而|OC|OD|22（12 分）已知椭圆𝐶： 𝑥2 + 𝑦2 = 1(𝑎𝑏0)