小学数学奥数基础教程(四年级)目30讲全.docx
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1、小学数学奥数基础教程(四年级)目30讲全小学数学奥数基础教程(四年级)目30讲全 本文关键词:四年级,小学数学,基础教程,奥数小学数学奥数基础教程(四年级)目30讲全 本文简介:-101-小学奥数基础教程(四年级)小学奥数基础教程(四年级)第1讲速算与巧算(一)第2讲速算与巧算(二)第3讲高斯求和第4讲4,8,9整除的数的特征第5讲弃九法第6讲数的整除性(二)第7讲找规律(一)第8讲找规律(二)第9讲数字谜(一)第10讲数字谜(二)第11讲归一问题与归总问题第12讲年龄问题第小学数学奥数基础教程(四年级)目30讲全 本文内容:-101-小学奥数基础教程(四年级)小学奥数基础教程(四年级)第1讲
2、速算与巧算(一)第2讲速算与巧算(二)第3讲高斯求和第4讲4,8,9整除的数的特征第5讲弃九法第6讲数的整除性(二)第7讲找规律(一)第8讲找规律(二)第9讲数字谜(一)第10讲数字谜(二)第11讲归一问题与归总问题第12讲年龄问题第13讲鸡兔同笼问题与假设法第14讲盈亏问题与比较法(一)第15讲盈亏问题与比较法(二)第16讲数阵图(一)第17讲数阵图(二)第18讲数阵图(三)第19将乘法原理第20讲加法原理(一)第21讲加法原理(二)第22讲还原问题(一)第23讲还原问题(二)第24讲页码问题第25讲智取火柴第26讲逻辑问题(一)第27讲逻辑问题(二)第28讲最不利原则第29讲抽屉原理(一)
3、第30讲抽屉原理(二)第1讲速算与巧算(一)计算是数学的基础,小学生要学好数学,必需具有过硬的计算本事。精确、快速的计算实力既是一种技巧,也是一种思维训练,既能提高计算效率、节约计算时间,更可以熬炼记忆力,提高分析、推断实力,促进思维和智力的发展。我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法,本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。例1四年级一班第一小组有10名同学,某次数学测验的成果(分数)如下:86,78,77,83,91,74,92,69,84,75。求这10名同学的总分。分析与解:通常的做法是将这10个数干脆相加,但这些数杂乱无章,干脆相加既繁且易错。视察这些
4、数不难发觉,这些数虽然大小不等,但相差不大。我们可以选择一个适当的数作“基准”,比如以“80”作基准,这10个数与80的差如下:6,-2,-3,3,11,-6,12,-11,4,-5,其中“-”号表示这个数比80小。于是得到总和=8010(6-2-3311-8009809。实际计算时只需口算,将这些数与80的差逐一累加。为了清晰起见,将这一过程表示如下:通过口算,得到差数累加为9,再加上8010,就可口算出结果为809。例1所用的方法叫做加法的基准数法。这种方法适用于加数较多,而且全部的加数相差不大的状况。作为“基准”的数(如例1的80)叫做基准数,各数与基准数的差的和叫做累计差。由例1得到:
5、总和数=基准数加数的个数+累计差,平均数=基准数+累计差加数的个数。在运用基准数法时,应选取与各数的差较小的数作为基准数,这样才简单计算累计差。同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够便利地计算出来,所以基准数应尽量选取整十、整一百零一的数。例2某农场有10块麦田,每块的产量如下(单位:千克):462,480,443,420,473,429,468,439,475,461。求平均每块麦田的产量。解:选基准数为450,则累计差=123073023211811251150,平均每块产量=4505010455(千克)。答:平均每块麦田的产量为455千克。求一位数的平方,在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟
6、知,如7749(七七四十九)。对于两位数的平方,大多数同学只是背熟了1020的平方,而21101的平方就不大熟识了。有没有什么窍门,能够快速算出两位数的平方呢?这里向同学们介绍一种方法凑整补零法。所谓凑整补零法,就是用所求数与最接近的整十数的差,通过移多补少,将所求数转化成一个整十数乘以另一数,再加上零头的平方数。下面通过例题来说明这一方法。例3求292和822的值。解:292=2929(291)(29-1)1230281840+1841。8228282(822)(822)22808446730+46734。由上例看出,因为29比30少1,所以给29“补”1,这叫“补少”;因为82比80多2,
7、所以从82中“移走”2,这叫“移多”。因为是两个相同数相乘,所以对其中一个数“移多补少”后,还须要在另一个数上“找齐”。本例中,给一个29补1,就要给另一个29减1;给一个82减了2,就要给另一个82加上2。最终,还要加上“移多补少”的数的平方。由凑整补零法计算352,得3535403052=1225。这与三年级学的个位数是5的数的平方的速算方法结果相同。这种方法不仅适用于求两位数的平方值,也适用于求三位数或更多位数的平方值。例4求10132和20042的值。解:10132=10131013(10137)(1013-7)+7310101016491016000491016049。20042=2
8、0042004(2004-4)(2004+4)4220002022164016000164016016。下面,我们介绍一类特别状况的乘法的速算方法。请看下面的算式:6646,7388,1944。这几道算式具有一个共同特点,两个因数都是两位数,一个因数的十位数与个位数相同,另一因数的十位数与个位数之和为10。这类算式有特别简便的速算方法。例58864?分析与解:由乘法安排律和结合律,得到8864(808)(604)(808)60(808)480608608048480608068048480(6064)8480(6010)848(61)101+84。于是,我们得到下面的速算式:由上式看出,积的末
9、两位数是两个因数的个位数之积,本例为84;积中从一百零一位起前面的数是“个位与十位相同的因数”的十位数与“个位与十位之和为10的因数”的十位数加1的乘积,本例为8(61)。例67791?解:由例3的解法得到由上式看出,当两个因数的个位数之积是一位数时,应在十位上补一个0,本例为7107。用这种速算法只需口算就可以便利地解答出这类两位数的乘法计算。练习11.求下面10个数的总和:165,152,168,173,148,156,169,161,157,149。2.农业科研小组测定麦苗的生长状况,量出12株麦苗的高度分别为(单位:厘米):26,25,25,23,27,28,26,24,29,27,2
10、7,25。求这批麦苗的平均高度。3.某车间有9个工人加工零件,他们加工零件的个数分别为:68,91,84,75,78,81,83,73,79。他们共加工了多少个零件?4.计算:131610+1117121512161312。5.计算下列各题:(1)373;(2)532;(3)912;(4)682:(5)1082;(6)31012。6.计算下列各题:(1)7728;(2)6655;(3)3319;(4)8244;(5)3733;(6)46101。练习1答案1.1596。2.26厘米。3.731个。4.147。5.(1)1369;(2)2809;(3)8281;(4)4624;(5)11664;(
11、6)157609。6.(1)2156;(2)3630;(3)627;(4)3608;(5)1221;(6)4554。第2讲速算与巧算(二)上一讲我们介绍了一类两位数乘法的速算方法,这一讲探讨乘法的“同补”与“补同”速算法。两个数之和等于10,则称这两个数互补。在整数乘法运算中,常会遇到像7378,2686等被乘数与乘数的十位数字相同或互补,或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的状况。7378的被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字互补,这类式子我们称为“头相同、尾互补”型;2686的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同,这类式子我们称为“头互补、尾相同”型。计算这两类题目,有特别简捷的速算方法
12、,分别称为“同补”速算法和“补同”速算法。例1(1)7674?(2)3139?分析与解:本例两题都是“头相同、尾互补”类型。(1)由乘法安排律和结合律,得到7674(736)(73+4)(736)73(736)473736737346473(7364)6473(7310)647(7+1)10164。于是,我们得到下面的速算式:(2)与(1)类似可得到下面的速算式:由例1看出,在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中,积的末两位数是两个因数的个位数之积(不够两位时前面补0,如1909),积中从一百零一位起前面的数是被乘数(或乘数)的十位数与十位数加1的乘积。“同补”速算法简洁地说就是:积的末两位是
13、“尾尾”,前面是“头(头+1)”。我们在三年级时学到的1515,2525,9595的速算,事实上就是“同补”速算法。例2(1)7838?(2)4363?分析与解:本例两题都是“头互补、尾相同”类型。(1)由乘法安排律和结合律,得到7838(738)(308)(738)30(738)87330+8307388873308(3073)8873101810188(738)10188。于是,我们得到下面的速算式:(2)与(1)类似可得到下面的速算式:由例2看出,在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中,积的末两位数是两个因数的个位数之积(不够两位时前面补0,如3309),积中从一百零一位起前面的数是两个
14、因数的十位数之积加上被乘数(或乘数)的个位数。“补同”速算法简洁地说就是:积的末两位数是“尾尾”,前面是“头头+尾”。例1和例2介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法。当被乘数和乘数多于两位时,状况会发生什么改变呢?我们先将互补的概念推广一下。当两个数的和是10,101,1010,时,这两个数互为补数,简称互补。如43与57互补,101与1互补,555与445互补。在一个乘法算式中,当被乘数与乘数前面的几位数相同,后面的几位数互补时,这个算式就是“同补”型,即“头相同,尾互补”型。例如,因为被乘数与乘数的前两位数相同,都是73,后两位数互补,7723101,所以是“同补”型。又
15、如,等都是“同补”型。当被乘数与乘数前面的几位数互补,后面的几位数相同时,这个乘法算式就是“补同”型,即“头互补,尾相同”型。例如,等都是“补同”型。在计算多位数的“同补”型乘法时,例1的方法仍旧适用。例3(1)732738=?(2)17381792?解:(1)(2)计算多位数的“同补”型乘法时,将“头(头+1)”作为乘积的前几位,将两个互补数之积作为乘积的后几位。留意:互补数假如是n位数,则应占乘积的后2n位,不足的位补“0”。在计算多位数的“补同”型乘法时,假如“补”与“同”,即“头”与“尾”的位数相同,那么例2的方法仍旧适用(见例4);假如“补”与“同”的位数不相同,那么例2的方法不再适
16、用,因为没有简捷好用的方法,所以就不再探讨了。例428657365?解:练习2计算下列各题:1.6862;2.93101;3.2787;4.7939;5.4262;6.603607;7.693607;8.40856085。第3讲高斯求和德国闻名数学家高斯幼年时代聪慧过人,上学时,有一天老师出了一道题让同学们计算:1234101101?老师出完题后,全班同学都在埋头计算,小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢?原来小高斯通过细心视察发觉:11012101310149525051。1101正好可以分成这样的50对数,每对数的和都相等。于是,小高斯把这道题巧算为(1+101)10
17、125050。小高斯运用的这种求和方法,真是聪慧极了,简洁快捷,并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。若干个数排成一列称为数列,数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最终一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项之差称为公差。例如:(1)1,2,3,4,5,101;(2)1,3,5,7,9,101;(3)8,15,22,29,36,73。其中(1)是首项为1,末项为101,公差为1的等差数列;(2)是首项为1,末项为101,公差为2的等差数列;(3)是首项为8,末项为73,公差为7的等差数列。由高斯的巧算方法,得到等差数列的求和公式:和=(首项+末项)项数2。例
18、112311019?分析与解:这串加数1,2,3,11019是等差数列,首项是1,末项是11019,共有11019个数。由等差数列求和公式可得原式=(111019)11019211019000。留意:利用等差数列求和公式之前,肯定要推断题目中的各个加数是否构成等差数列。例211121331?分析与解:这串加数11,12,13,31是等差数列,首项是11,末项是31,共有31-11121(项)。原式=(11+31)212=441。在利用等差数列求和公式时,有时项数并不是一目了然的,这时就须要先求出项数。依据首项、末项、公差的关系,可以得到项数=(末项-首项)公差+1,末项=首项+公差(项数-1)
19、。例33711101?分析与解:3,7,11,101是公差为4的等差数列,项数=(1013)4125,原式=(3101)2521275。例4求首项是25,公差是3的等差数列的前40项的和。解:末项=253(40-1)142,和=(25142)4023340。利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式,可以解决各种与等差数列求和有关的问题。例5在下图中,每个最小的等边三角形的面积是12厘米2,边长是1根火柴棍。问:(1)最大三角形的面积是多少平方厘米?(2)整个图形由多少根火柴棍摆成?分析:最大三角形共有8层,从上往下摆时,每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表:由上表看出,各层的小三角形数成等差
20、数列,各层的火柴数也成等差数列。解:(1)最大三角形面积为(13515)12(115)8212768(厘米2)。2)火柴棍的数目为369+24(324)82=108(根)。答:最大三角形的面积是768厘米2,整个图形由108根火柴摆成。例6盒子里放有三只乒乓球,一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球,将它变成3只球后放回盒子里;其次次又从盒子里拿出二只球,将每只球各变成3只球后放回盒子里第十次从盒子里拿出十只球,将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球?分析与解:一只球变成3只球,事实上多了2只球。第一次多了2只球,其次次多了22只球第十次多了210只球。因此拿了十次后,多了
21、21222102(1210)255110(只)。加上原有的3只球,盒子里共有球1103113(只)。综合列式为:(3-1)(1210)32(110)1023113(只)。练习31.计算下列各题:(1)246200;(2)17192139;(3)58111450;(4)3101724101。2.求首项是5,末项是93,公差是4的等差数列的和。3.求首项是13,公差是5的等差数列的前30项的和。4.时钟在每个整点敲打,敲打的次数等于该钟点数,每半点钟也敲一下。问:时钟一昼夜敲打多少次?5.求101以内除以3余2的全部数的和。6.在全部的两位数中,十位数比个位数大的数共有多少个?第四讲我们在三年级已
22、经学习了能被2,3,5整除的数的特征,这一讲我们将探讨整除的性质,并讲解能被4,8,9整除的数的特征。数的整除具有如下性质:性质1假如甲数能被乙数整除,乙数能被丙数整除,那么甲数肯定能被丙数整除。例如,48能被16整除,16能被8整除,那么48肯定能被8整除。性质2假如两个数都能被一个自然数整除,那么这两个数的和与差也肯定能被这个自然数整除。例如,21与15都能被3整除,那么2115及21-15都能被3整除。性质3假如一个数能分别被两个互质的自然数整除,那么这个数肯定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如,126能被9整除,又能被7整除,且9与7互质,那么126能被9763整除。利用上面关于整
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