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1、章末复习提升知识网络一贯通的及义 数念意 ,导概其（平均速度H瞬时速度） T平均变化率号装的几U曲线的割线斜率、切线斜率、何意义T基本初等函数的导数公式）一元函数的导数及其应用一4导数的运算）-（导数的四则运算法则）导数在 研究函 数中的 应用-（函数的单调性）-（函数的极值与最大（小）值素养培优口素养一数学运算数学运算主要表现为理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运 算结果.本章中数学运算体现在导数的计算.题组1导数的运算f+。21 .当函数y=一（。0）在x=xo处的导数为。时，那么回等于（）A. aB. aC. ciD. a2解析：选Bj，= (空=”L J+的宁,由 xia2
2、=0 得 xo=a.2 .函数jufcosZv的导数为()A. y1=Zrcos 2x-/sin 2xB. y=Zrcos 2x2f sin 2xC. y=fcos2x2xsin 2xD. /=2.vcos 2x+2x2sin 2x解析：选 B.ynCycos 2x+f(cos 2x=2xcos24-( sin 2x(2k)=2kcos 2x sin 2x.3 .己知函数./U）的导函数为/（外，且满足关系式/&）=一+及（1*+已，则/(I)的值等于.解析：由题意可得/a)=-3f+4(i)+令犬=1 得/(1)= -3 + 4(l)+e,解得/(l) = 3-e.答案：3 e图题技巧常见形
3、式及具体求导的六种方法连乘形式先展开化为多项式形式，再求导三角形式先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导分式形式先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导根式形式先化为分数指数嘉的形式，再求导对数形式先化为和或差的形式，再求导复合函数先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元素养二直观想象直观想象主要表现为建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何 直观理解问题.本章中直观想象体现在导数的几何意义.题组2导数的几何意义1 .函数x)=xlnx-9的图象在点(1,11)处的切线的倾斜角为a,则tana =( )A. -1B. 2C. 3D. 4解析：选B.由题意得了(x)=lnx
4、+l3舄所以切线斜率攵=1)=-2,所以tan a= -2.故选B.2 .曲线=(丁+1户在x=I处的切线方程为()A. y=7ex5eB. y=7ex+9eC. y=3ex+5eD. y=3e1-5e解析：选 A.y，=(3a2+2x)qx+(x3+.r)e所以yk=i = 7e,又因为当x=l时，y=2e,所以所求的切线方程为)，-2e= 7e(x 1), 即 y=7ex_5e.图题技巧(1)导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点 处的切线方程yyo=f(xo)(xxo),明确“过点P(xo,)心)的曲线y=/(x)的切线方 程”与“在点P(xo,和)处的曲线y=/
5、U)的切线方程”的异同点.(2)围绕着切点有三个等量关系：切点(xo,刈)，则2=/(xo),=/5), Uo, 和)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到.素养三逻辑推理逻辑推理主要表现为掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索 和表述论证过程.本章中逻辑推理体现在利用导数讨论函数的性质，研究不等式 及方程根等问题.题组3利用导数研究函数的单调性1 .函数7U)=-21nxx：的单调递增区间是()A. (0, + )B. (一3, 1)C. (0, 1)D. (1,+8)解析：选C.依题意，函数的定义域为(0, +),2, 3 -/-2x+3/= -1+?=-p=(x+3) (x 1
6、)-P ，故当ovxvi时，/(x)o,所以函数yu)的单调递增区间为()，1).2.已知函数人)的导函数y=/(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是 ()A. A-D=fi3)c. 3)(),所以函数兀)在(0, +8)上单调递增.当a()时，令/()得亭，所以函数/3)在(孽，+8)上单调递增；令/(x)V0,得OVxV孽，所以函数r)在卜)，啕上单调递减.综上，当。W0时，函数./(幻在(0, +8)上单调递增；当0时，函数J(x) 在停，+8)上单调递增，在(0, 等|上单调递减.图题技巧利用导数的符号判断函数的增减性，进而确定函数的单调区间，这是导数的 几何意义在研究曲线变化规律时
7、的一个应用，它充分体现了数形结合思想.这部 分内容要注意的是人外为增函数=/ (x)20且了(幻=()的根有有限个，兀丫)为减函 数可, a)wo且/a)=o的根有有限个.题组4利用导数研究函数的极值和最值1 .下列函数中，既是奇函数又存在极值的是()A. J(x)=B. /(x)=fc. J(x)=xe xD. 7(x)=x4-1解析：选d.a中，yu)=r,由函数的图象得该函数是奇函数，但是不存在 极值，错误;B中，是偶函数，错误;C中，fix)=xcxt y(x)=(x)er /U),该函数不是奇函数，错误：d中，yu)=x+=,式-%)=-x：=一(五+目 =/U)，所以该函数是奇函数
8、，由函数的图象得该函数在(一8,一/)，(啦， + 8)上单调递增，在(一陋，0), (0,啦)上单调递减，所以该函数存在极值， 正确.2.已知m 为正实数，函数_/U)=aF+bx+2在(),1上的最大值为4,则 心)在-1，()上的最小值为()A. 0B.zC. -2D. 2解析：选A.因为a, b为正实数,所以/(幻=34/+/70,所以r)=o?+法+2在R上是增函数，所以函数7U)=o?+法+2在0, 1上的最大值为H1)=。+沙+2=4,即。+ b=2.所以y(力在-1, 0上的最小值为八一1)=一殖+3+2=0.3.已知函数段)=-+加+区在区间(一2, 1)内，当x= -1时取
9、极小值, 当时取极大值.(1)求函数y=/(x)在x=-2时对应的切线方程；(2)求函数y=/(.E)在- 2, 1上的最大值与最小值.解：(1)外幻=一3f+2如+42又因为当x= -1, x=，时，函数分别取得极小值、极大值，2所以一 1,彳为方程一3f+2at+b=()的两个根.GQIc所以14= -1+? 1=(-IB则火/)=一一%+2一 /(幻=一3/一工+2.当”=2时，人-2)=2,即切点为(-2, 2).又因为切线斜率z=/(2)= 8,所以，所求切线方程为y2=8。+2), 即 8x+)，+14=0.(2)当不变化时,/(x),人幻的变化情况如下表：X-2(一2,-1)-1
10、(f 1)23停)10+0於)2单调递减单调递增2227单调递减123所以，危)在-2, 1上的最大值为2,最小值为一会因题技巧极值和最值是两个迥然不同的概念，前者是函数的“局部”性质，而后者是函数的“整体”性质.另外函数有极值未必有最值，反之亦然.(2)判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则：确定函数r)的定义域；解方程/(x)=0的根；检验了(刈=0的根的两侧/(%)的符号：若左正右负，则/U)在此根处取得极大值；若左负右正，则/U)在此根处取得极小值.素养四数学建模数学建模主要表现为发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型， 分析和解决问题.本章中数学模型体现在利用导数解决实
11、际问题.题组5导数在实际生活中的应用1 .某汽车启动阶段的路程函数为S(/) = 2尸一5/2+2,贝h=2秒时，汽车的加 速度是()A. 14B. 4D. 6C. 10解析：选A.依题意。(，)=5) = 6产一1(,所以=(1)= 12/-1(),故汽车在1=2秒时的加速度为6/(2) = 24-10= 14.22.某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)=1 200+x3,且产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元.要使总利润最大，产量应定为()A. 15 件B. 20 件C. 25 件D. 30 件5003解析：选C.设产品单价为元，又产品单价的平方与产品件
12、数x成反比,250 2行, 由 y= 得 1=25,即 2工=攵，由题知=250 ()0(),则2工=25()()()(),所以=2总利润)，=5()以一天X3 1 20()U0), / J当 aG(0,25)时，/0,当 %e(25,+8)时，y0,所以当 x=25时，y 取得最大值.3.用长为90 cm、宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容71-器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90。，再焊接而成(如图所示).问该容器的高为多少时.，容器的容积最大？最大容积是 多少？解：设容器的高为xcm,容器的容积为VCOcrrP,则 V(.r) =x(9()2t)(482x)=4.
13、F276.F+4 320x(0 VxV 24).所以 r(x)= 12f55Zt+4 320= 2(x- 10)(x-36).令 外幻=。，得x=l()或x=36(舍去).当0x0,即V(x)单调递增;当10VxV24时，)(),即V(单调递减.因此，在定义域(0, 24)内，函数V(x)只有当x=10时取得最大值，其最大值 为 V(10)=19 600 cm3.因此当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cnP.偌题技巧解决优化问题的步骤分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域；(2)通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最大(小)值，提出优化方案, 使问题得以解决.在这个过程中，导数是一个有力的工具；(3)验证数学问题的解是否满足实际意义.