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1、初 高 中 数 学 衔 接 教 材 现 有 初 高 中 数 学 知 识 存 在 以 下“脱 节”1.立 方 和 与 差 的 公 式 初 中 已 删 去 不 讲，而 高 中 的 运 算 还 在 用 2.因 式 分 解 初 中 一 般 只 限 于 二 次 项 且 系 数 为“1”的 分 解，对 系 数 不 为“1”的 涉 及 不 多，而 且 对 三 次 或 高 次 多 项 式 因 式 分 解 几 乎 不 作 要 求，但 高 中 教 材 许 多 化 简 求 值 都 要 用 到，如 解 方 程、不 等 式 等。3.二 次 根 式 中 对 分 子、分 母 有 理 化 初 中 不 作 要 求，而 分 子、
2、分 母 有 理 化 是 高 中 函 数、不 等 式 常 用 的 解 题 技 巧。4.初 中 教 材 对 二 次 函 数 要 求 较 低，学 生 处 于 了 解 水 平，但 二 次 函 数 却 是 高 中 贯 穿 始 终 的 重 要 内 容。配 方、作 简 图、求 值 域、解 二 次 不 等 式、判 断 单 调 区 间、求 最 大、最 小 值，研 究 闭 区 间 上 函 数 最 值 等 等 是 高 中 数 学 必 须 掌 握 的 基 本 题 型 与 常 用 方 法。5.二 次 函 数、二 次 不 等 式 与 二 次 方 程 的 联 系，根 与 系 数 的 关 系（韦 达 定 理）在 初 中 不
3、作 要 求，此 类 题 目 仅 限 于 简 单 常 规 运 算 和 难 度 不 大 的 应 用 题 型，而 在 高 中 二 次 函 数、二 次 不 等 式 与 二 次 方 程 相 互 转 化 被 视 为 重 要 内 容，高 中 教 材 却 未 安 排 专 门 的 讲 授。6.图 像 的 对 称、平 移 变 换，初 中 只 作 简 单 介 绍，而 在 高 中 讲 授 函 数 后，对 其 图 像 的 上、下；左、右 平 移，两 个 函 数 关 于 原 点，轴、直 线 的 对 称 问 题 必 须 掌 握。7.含 有 参 数 的 函 数、方 程、不 等 式，初 中 不 作 要 求，只 作 定 量 研
4、究，而 高 中 这 部 分 内 容 视 为 重 难 点。方 程、不 等 式、函 数 的 综 合 考 查 常 成 为 高 考 综 合 题。8.几 何 部 分 很 多 概 念（如 重 心、垂 心 等）和 定 理（如 平 行 线 分 线 段 比 例 定 理，射 影 定 理，相 交 弦 定 理 等）初 中 生 大 都 没 有 学 习，而 高 中 都 要 涉 及。另 外，像 配 方 法、换 元 法、待 定 系 数 法 初 中 教 学 大 大 弱 化，不 利 于 高 中 知 识 的 讲 授。目 录1.1 数 与 式 的 运 算 1.1.1 绝 对 值 1.1.2 乘 法 公 式 1.1.3 二 次 根 式
5、 1.1.4 分 式 1.2 分 解 因 式 2.1 一 元 二 次 方 程 2.1.1 根 的 判 别 式 2.1.2 根 与 系 数 的 关 系（韦 达 定 理）2.2 二 次 函 数 2.2.1 二 次 函 数 的 图 像 和 性 质 2.2.2 二 次 函 数 的 三 种 表 示 方 式 2.2.3 二 次 函 数 的 简 单 应 用 2.3 方 程 与 不 等 式 2.3.1 二 元 二 次 方 程 组 解 法 2.3.2 一 元 二 次 不 等 式 解 法 3.1 相 似 形 3.1.1.平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理 3.1.2相 似 形 3.2 三 角 形 3.2.
6、1 三 角 形 的“四 心”3.2.2 几 种 特 殊 的 三 角 形 3.3 圆 3.3,1 直 线 与 圆，圆 与 圆 的 位 置 关 系 3.3.2 点 的 轨 迹 1.1数 与 式 的 运 算 1.1.1.绝 对 值 绝 对 值 的 代 数 意 义：正 数 的 绝 对 值 是 它 的 本 身，负 数 的 绝 对 值 是 它 的 相 反 数，零 的 绝 对 值 仍 是 零.即a.Q 0,|a|=0,。=0,-a.a4.解 法 一：由 x-l=0,得 x=l；由 3=0,得 x=3；若 x 4,解 得 xVO,又 xl,/.JC 0；若 l W x 4,即 14,.不 存 在 满 足 条
7、件 的 X；若 x N 3,不 等 式 可 变 为(xl)+(x3)4,即 2 x-4 4,解 得 x4.又 忘 3,、点 8 之 间 的 距 离|P8|,即|P8|=|A-3|.所 以，不 等 式 由|AB|=2,可 知 点 P 在 点 C(坐 标 为 0)的 左 侧、或 点 P在 点。(坐 标 为 4)的 右 侧.x4.练 习 1.填 空：(1)若 凶=5,则 4 _；若 闪=|-4:则 户.(2)如 果 时+帆=5,且 a=1,则 6=；若/一 d=2,贝 I j c=.2.选 择 题：下 列 叙 述 正 确 的 是(A)若 同=网，则 a=b(C)若 a b,则 同 5).(B)若 时
8、 问，则 ab(D)若 同=同，则 a=Z?1.1.2.乘 法 公 式 我 们 在 初 中 已 经 学 习 过 了 下 列 一 些 乘 法 公 式：(1)平 方 差 公 式(a+b)(a b)=a b；(2)完 全 平 方 公 式(a b)2=a2+2ab+b2.我 们 还 可 以 通 过 证 明 得 到 下 列 一 些 乘 法 公 式:(1)立 方 和 公 式(2)立 方 差 公 式(3)三 数 和 平 方 公 式(4)两 数 和 立 方 公 式(5)两 数 差 立 方 公 式(a+ah+h)=a，+匕；(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3；(a+Z?+c)+h+c-+2(ab+be+
9、a c)；(a+=a3+3a2b+3ab+b3；(a b)=a 3cib+3ctb.对 上 面 列 出 的 五 个 公 式,有 兴 趣 的 同 学 可 以 自 己 去 证 明.例 1 计 算：(X+1)(%-l)(x2-X+l)(x2+X+1).解 法 一：原 式=，1)(/+1)2一=(x2-l)(x4+x2+l)=x6-l.解 法 二：原 式=(x+l)(x2-X+1)(%-1)，+X+1)=(丁+1)，-1)=x6-l.例 2 已 知 a+Z?+c=4,ab+hc+ac=4,求 a?+/?+c?的 值.解：a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)=8.练 习 1.填 空
10、：1,1,1 1(1)a b=(-b+-a)()；9 4 2 3(2)(4m+)2=16m2+4m+()；(3)(a+2b-c)2=cr+4/?2+c2+().2.选 择 题：(1)若/+工 优+氏 是 一 个 完 全 平 方 式，则 左 等 于(2)(A)m2(B)nV(C)-m24 3(2)不 论 a,b 为 何 实 数，/+/一 2。一 48+8的 值(A)总 是 正 数(B)总 是 负 数 1 2(D)m16)(C)可 以 是 零(D)可 以 是 正 数 也 可 以 是 负 数 1.1.3.二 次 根 式 一 般 地，形 如 2 0)的 代 数 式 叫 做 二 次 根 式.根 号 下
11、含 有 字 母、且 不 能 够 开 得 尽 方 的 式 子 称 为 无 理 式.例 如 3a+yla2+b+2b,收+及 等 是 无 理 式,而 加/+曰 尤+,x2+s/2xy+y2,等 是 有 理 式.1.分 母(子)有 理 化 把 分 母(子)中 的 根 号 化 去，叫 做 分 母(子)有 理 化.为 了 进 行 分 母(子)有 理 化，需 要 引 入 有 理 化 因 式 的 概 念.两 个 含 有 二 次 根 式 的 代 数 式 相 乘，如 果 它 们 的 积 不 含 有 二 次 根 式，我 们 就 说 这 两 个 代 数 式 互 为 有 理 化 因 式，例 如 0 与&,与 夜，出+
12、而 与 6-布，2百-3夜 与 2 6+3夜，等 等.一 般 地，a五 与 ay/x+hy/y aJx-byy,a+b 与 a石 一 6 互 为 有 理 化 因 式.分 母 有 理 化 的 方 法 是 分 母 和 分 子 都 乘 以 分 母 的 有 理 化 因 式，化 去 分 母 中 的 根 号 的 过 程：而 分 子 有 理 化 则 是 分 母 和 分 子 都 乘 以 分 母 的 有 理 化 因 式，化 去 分 子 中 的 根 号 的 过 程 _ 在 二 次 根 式 的 化 简 与 运 算 过 程 中，二 次 根 式 的 乘 法 可 参 照 多 项 式 乘 法 进 行，运 算 中 要 运 用
13、 公 式&北=丁 法(。2 0,6 2 0)；而 对 于 二 次 根 式 的 除 法，通 常 先 写 成 分 式 的 形 式，然 后 通 过 分 母 有 理 化 进 行 运 算；二 次 根 式 的 加 减 法 与 多 项 式 的 加 减 法 类 似，应 在 化 简 的 基 础 上 去 括 号 与 合 并 同 类 二 次 根 式.2.二 次 根 式 G 的 意 义 1 1-a,a0.例 1 将 下 列 式 子 化 为 最 简 二 次 根 式：(1)Ji2b；(2)1a2b(a NO)；(3)-4x6y(x0).解：=2廊；(2)la2b-1|4b-a4ba 0)；(3)4-xby=2|x3|A/
14、y=-2x3A/y(x)-广 3-V373-(3+)(3-73)(3+73)_ 3/3+39-3_ 3(73+1)6_ V3+12-,73(73-1)1V3-1V3+1(V3-1)(V3+1)_ e+12解 法 二：A/3 4-(3/3)=-=3-V3例 3 试 比 较 下 列 各 组 数 的 大 小:（1）疵-V n 和 而 一 厢;(2)2V6+4和 2 0.解:(1)V V 1 2-V H而-y n(厄-而)(厄+而)11-v i 2+v n-V i 2+v n旧 _=(而-w)(v n+w)=1 v n+v i o-v n+V i o 又 疝+VTT ViT7 V H LVi2-/n2
15、啦，.6+4A/6+2,/2/3+V2)20()4.(V3-V2)2005=(V3+V2)2004(6-V2)2004-(V3-V2)=(73+。.(石-夜)7 4.(6 _ 扬=12叫(向 扬=G 一 夜 例 5 化 简：(1)9 4-y/s；(2)./x2+2(0 A1 1).解：(1)原 式=，5+4后+4=7()2+2 x 2 x 7 5+22=J(2 一 拘 2=|2-V5|=7 5-2.所 以，原 式=-x.X例 6 已 知 x=噌 二 噂，y=*+R l,求 3 f 5孙+3/的 值.V3+V2 V 3-V 2-解：工+尸 2+坐 哮=(百 一 扬 2+(6+扬 2=1 0,J3
16、+J2 V 3-V 2/3 V2 5/3+5/21,3x2-5xy+3y2=3(x+y)2-11A Y=3xlO2-11=289.练 习 填 空:$_;1+V3(2)若 J(5 X)(X 3)2=(x 3)7 7,则 x 的 取 值 范 围 是；(3)4/24-6A/54+3-2/1 5 0=；M m J x+l YX T/x+l+Jx l(4)若 兀=-：；-,则 i-1=+j=_ _2/%+1+J%1 X-yJX-2.选 择 题：成 立 的 条 件 是)3.4.(A)xw 2(B)x 0(C)x 2什 7 Jo2-1+J l 3 1 N 1 士 右 b=-,求。+人 的 值.比 较 大 小
17、：2小 _小 一,(填“，或(D)0 x 21.1.4.分 式 1.分 式 的 意 义 A A A形 如 一 的 式 子，若 8 中 含 有 字 母，且 3。0,则 称 一 为 分 式.当 A#0时，分 式 一 具 有 下 列 性 质:B B BA A xMB B xM：A _ A MB B M 上 述 性 质 被 称 为 分 式 的 基 本 性 质.2.繁 分 式 a像 c+dn 分 子 或 分 母 中 又 含 有 分 式 的 分 式 叫 做 繁 分 式 例 I解:+P5r4-4 A R若：=+求 常 数 A 3 的 值.x(x+2)x x+2.A B A(x+2)+Bx(A+8)x+2A
18、5x+4x x+2 x(x+2)x(x+2)x(x+2)例 2,A+3=5,2A=4,解 得 A=2,B=3.(1)试 证：1 1(n+l)n+1（其 中”是 正 整 数）;(2)(2)(3)证 明:计 算:1 1 1-1-F H-1x2 2x3 9x10证 明：对 任 意 大 于 1的 正 整 数，有 一+2x3 3x41 1(n+l)-nn n+1 n(n+l)1 1 1n(n+l)n+1解：由(1)可 知 1(+1)（其 中 是 正 整 数）成 立.1 1-一.n(n+l)21 1 1-1-F,4-1x2 2x3 9x10(3)例 31 10证 明：9101 1 I-1-F,4-2x3
19、3x4(+1)2+1又 e 2,且 是 正 整 数,.1+11一 定 为 正 数,1 I1n+1)-1-F H l,2c25 ac+2a2=0,求 e 的 值.a解：在 2c25衣+2a2=0两 边 同 除 以 上 得 2 e 2-5 e+2=0,.(2 e-l)(e-2)=0,2=2 孙，求 土 二 2 的 值.x+y()(D)651 1 1 1计 算-1-1-F.H-1x2 2x3 3x4 99x100习 题 1.1A 组 1.解 不 等 式：(1)|x-1|3：(2)|x+3|+|x-2|6.2.已 知 x+y=l,求 J?+y3+3町 的 值.3.填 空：(1)(2+V3)l8(2-V
20、3)l9=；(2)若 J(j)2+J(l+a)2=2,则。的 取 值 范 围 是；1 1 1 1 1(3)B 组 1.填 空：(1)a=，b=，则 2 33a2-ab3ci+Scib 2b(2)若 尤 2+0 一 2y2=0,则 炉+3孙+、2f2+y222.F已 知：x=1,y2)r1求 缶 一 的 值.+4C 组 1.选 择 题：(1)若-ci b 2/cib-yj b yj ci,则(A)ah(C)a b0()(D)ba0()(A)s-a(B)4a(C)(D)-4a2.3.4.解 方 程 2(f+二)3(x+)-1=0.X X计 算:1 1 1-+-+-+1x3 2 x 4 3x5 9x
21、试 证：对 任 意 的 正 整 数,有-1-F1x2x3 2 x 3 x 4+-7n(n+1)(+2)41.(1)5；4(2)4；一 1 或 31.2.(1)(1)-a-b(2)3 2D(2)A2?41.(1)V3 2(2)3 x/6(4)V5.2.C 3.1 4.1.1.4.分 式 1/991.T 2.B 3.V 2-1 4.2100习 题 1.1A组 1.(1)x 4(2)-4 x 32.1 3.(1)2-石(2)-1 a 1(3)7 6-1B组 1.(1)-(2)或 一！2.4.7 2 5C组 361.(1)C(2)C 2.x.=2 3.1 2-551 I4.提 示:(+l)(+2)=3
22、(“+l)(+l)(+2)1.2 分 解 因 式 因 式 分 解 的 主 要 方 法 有：十 字 相 乘 法、提 取 公 因 式 法、公 式 法、分 组 分 解 法，另 外 还 应 了 解 求 根 法 及 待 定 系 数 法.1.十 字 相 乘 法 例 1 分 解 因 式：(1)X2 3x+2；(2)/+4 尢-12；(3)x2-(a+b)xy+ahy2；(4)x y-l+x-y.解：(1)如 图 1.2-1,将 二 次 项 f 分 解 成 图 中 的 两 个 x 的 积，再 将 常 数 项 2 分 解 成 一 1与 一 2 的 乘 积,而 图 中 的 对 角 线 上 的 两 个 数 乘 积
23、的 和 为 一 3羽 就 是 一 3 x+2中 的 一 次 项，所 以，有 x2 3x+2=(x1)(%2).可 以 直 接 将 图 1.2-1中 的 两 个 x用 1来 表 示（如 图 图 1.2-5图 I-2-1 图 1.2-2说 明：今 后 在 分 解 与 本 例 类 似 的 二 次 三 项 式 时，1.22 所 示).(2)由 图 1.2-3,得+4112=(x2)(x+6).(3)由 图 1.2-4,得 X2(a+b)xy+aby2=(x-ay)(x-by)(4)xy+x y=x+(x y)1=(x-l)&+l)(如 图 1.25 所 示).2.提 取 公 因 式 法 与 分 组 分
24、 解 法 例 2 分 解 因 式：(1)+9+3x+3x；(2)2x?+xy y-4x+5_y 6.解：(1)x3+9+3x2+3%=(x3+3X2)+(3X+9)=X2(X+3)+3(X+3)=(x+3)(f+3).或 X3+9+3X2+3%=(X3+3X2+3X+1)+8=(X+1)3+8=(X+1)3+23=(X+1)+2(X+1)2-(X+1)X2+22=(x+3)，+3).(2)2x2+xy-y2-4x+5y-6=2x2+(-4)x-y2+5y-6=2x2+(y-4)x-(y-2)(y-3)=(2x-y+2)(%+y-3).或 2x2+xy-y2-4x+5y-6=(2x2+xy-y2
25、)-(4x-5j)-6=(2x_y)(x+y)(4x_5y)_6=(2x-y+2)(x+y-3).3.关 于 x 的 二 次 三 项 式 M+bx+cg#)的 因 式 分 解.若 关 于 x 的 方 程 ax2+bx+c=Q(a 0)的 两 个 实 数 根 是 否、x2,则 二 次 三 项 式 ax2+bx+c(a工 0)就 可 分 解 为 a(x-须)(x-%2).例 3 把 下 列 关 于 x 的 二 次 多 项 式 分 解 因 式：(1)+2x 1；(2)x+4xy 4y.解：(1)令 x?+2x 1=0,则 解 得 玉=+x,1 V2,x2+2x-1=x(1+-(-1-5/2)J=(x
26、+1 A/2)(X+1+2).(2)令 犬+4孙-42=O,则 解 得=(-2+2夜)y,玉=(-2-20)y,/.x2+4xy-4y2=x+2(1-/2)yx+2(1+y/2)y.练 习 1.选 择 题：多 项 式 2一 一 盯 一 15y2的 一 个 因 式 为(A)2x-5y(B)x-3y2.分 解 因 式：(1)X2+6X+8；(3)X2-2x-1；1.分 解 因 式：(I)/+1；(3)b2-he2+2ab+2ac+2bc；2.在 实 数 范 围 内 因 式 分 解：(1)5x+3；(3)3%2+4xy y2；3.AA8C 三 边。，b,c满 足 4.分 解 因 式：f+x(a?q)
27、.()(C)x+3y(D)x-5y(2)8a3护；(4)4(x-y+l)+y(y-2x).习 题 L 2(2)4X4-13X2+9；(4)3/+5 盯 一 2y2+x+9y-4(2)-2A/2X-3；(4)(x2 2x)*7(%2 2x)+12.=ab+bc+ca,试 判 定 AA8C 的 形 状 1.2分 解 因 式 1.B2.(1)(x+2)(x+4)(2)(2Q-)(4/+2Q+2)(3)(x-1-5/2)(%1+V2)(4)(2-y)(2元-y+2).习 题 1.21.(1)(夕+1乂 2_+1)(2)(2x+3)(2x-3)(x+l)(x-l)(3)(+c)(+c+2a)(4)(3y
28、 y+4)(x+2y 1)(2)2 5/5-5/2+x/5 j；(4)(x 3)(x4-l)(x l Vs)(x l+5).3.等 边 三 角 形 4.(xQ+1)(X+Q)2.1 一 元 二 次 方 程 2.1.1根 的 判 别 式我 们 知 道，对 于 一 元 二 次 方 程 加+法+c=0(WO),用 配 方 法 可 以 将 其 变 形 为 b1-4ac4a 2 因 为 存 0,所 以，4a2 0.于 是(1)当 从 一 4ac0时,方 程 的 右 端 是 一 个 正 数,因 此，原 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根-b lb2-4ac(2)当 一 4改=0 时，方 程 的
29、 右 端 为 零，因 此，原 方 程 有 两 个 等 的 实 数 根 bX1X2-；2a(3)当/一 4ac0时，方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 hyb2-4acXi.2=-;2a(2)当 A=0时，方 程 有 两 个 相 等 的 实 数 根 bX=X2=;2a(3)当 AVO时，方 程 没 有 实 数 根.例 I 判 定 下 列 关 于 x 的 方 程 的 根 的 情 况(其 中。为 常 数)，如 果 方 程 有 实 数 根，写 出 方 程 的 实 数 根.(1)(2)f-or-l=0；(3)JC2ax+(a1)=0；(4)x22x+a=0.解：(1).=324xlx3=-3
30、0,所 以 方 程 一 定 有 两 个 不 等 的 实 数 根 a+yJa2+4 a-J/+4x,=-,X-.=-.2 2(3)由 于 该 方 程 的 根 的 判 别 式 为=2 4x1x(“一 l)=q24a+4=(4 2)2,所 以，当 4=2 时，=(),所 以 方 程 有 两 个 相 等 的 实 数 根 X|X2 1；当 2 时，A 0,所 以 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 X=1,X2U 1.(3)由 于 该 方 程 的 根 的 判 别 式 为 A=224xlXi/=44a=4(l a),所 以 当(),BP 4(1-a)0,即“V I 时，方 程 有 两 个 不
31、相 等 的 实 数 根%=1+J 1 a%2=1-J1 a；当=(),即 4=1 时，方 程 有 两 个 相 等 的 实 数 根 X=X2=1；当 A 0,即 时，方 程 没 有 实 数 根.说 明：在 第 3,4 小 题 中，方 程 的 根 的 判 别 式 的 符 号 随 着 a 的 取 值 的 变 化 而 变 化，于 是，在 解 题 过 程 中，需 要 对。的 取 值 情 况 进 行 讨 论，这 一 方 法 叫 做 分 类 讨 论.分 类 讨 论 这 一 思 想 方 法 是 高 中 数 学 中 一 个 非 常 重 要 的 方 法，在 今 后 的 解 题 中 会 经 常 地 运 用 这 一
32、方 法 来 解 决 问 题.2.1.2根 与 系 数 的 关 系(韦 达 定 理)若 一 元 二 次 方 程，+法+。=0(。加)有 两 个 实 数 根 所 以，一 元 二 次 方 程 的 根 与 系 数 之 间 存 在 下 列 关 系：b e、如 果 ox2+Zx+c=0(a#0)的 两 根 分 别 是 Xi,X2,那 么 x i+x z=-，xi-x2=.这 一 关 系 也 被 称 为 a a韦 达 定 理.特 别 地，对 于 二 次 项 系 数 为 1的 一 元 二 次 方 程 f+p x+q=O,若 及 是 其 两 根，由 韦 达 定 理 可 知 X|+x2=-p，X-X2=q,即 p
33、(X|+x2),q=X X2，所 以，方 程 f+p x+q n。可 化 为 X2(X|+x2)程 f+p x+q n。的 两 根，出 上 的 值，再 由 方 程 解 出 另 一 个 根.但 由 于 我 们 学 习 了 韦 达 定 理，又 可 以 利 用 韦 达 定 理 来 解 题，即 由 于 已 知 了 方 程 的 一 个 根 及 方 程 的 二 次 项 系 数 和 常 数 项，于 是 可 以 利 用 两 根 之 积 求 出 方 程 的 另 一 个 根，再 由 两 根 之 和 求 出 的 值.解 法 一：.二 是 方 程 的 一 个 根，.5x22+4x26=0,3所 以，方 程 就 为 5
34、*7x6=0,解 得 X1=2,X2=.所 以，方 程 的 另 的 平 方 和 比 两 个 根 的 积 大 21得 到 关 于，”的 方 程，从 而 解 得，的 值.但 在 解 题 中 需 要 特 别 注 意 的 是，由 于 所 给 的 方 程 有 两 个 实 数 根，因 此，其 根 的 判 别 式 应 大 于 零.解：设 XI，X2是 方 程 的 两 根，由 韦 达 定 理，得 X|+x2=-2(m2),XI-X 2=W2+4.XI2+X X-X2 21,(X1+尤 2)2 3 Xl-X2=21,即-2(/7?-2)2-3(W2+4)=21,化 简，得 加 一 16，*17=0,解 得 m=
35、-l,或 机=17.当?=一 1时，方 程 为 了+6x+5=0,A 0,满 足 题 意；当 机=1 7 时，方 程 为*+30 x+293=0,A=302 4x1x293 V 0,不 合 题 意，舍 去.综 上，m=17.说 明：(1)在 本 题 的 解 题 过 程 中，也 可 以 先 研 究 满 足 方 程 有 两 个 实 数 根 所 对 应 的，的 范 围，然 后 再 由“两 个 实 数 根 的 平 方 和 比 两 个 根 的 积 大 21”求 出 m 的 值，取 满 足 条 件 的 m 的 值 即 可.(1)在 今 后 的 解 题 过 程 中，如 果 仅 仅 由 韦 达 定 理 解 题
36、 时，还 要 考 虑 到 根 的 判 别 式 是 否 大 于 或 大 于 零.因 为，韦 达 定 理 成 立 的 前 提 是 一 元 大 方 向 个 数 分 别 为 x,y,利 用 二 元 方 程 求 解 出 这 两 个 数.也 可 以 利 用 韦 达 定 理 转 化 出 一 元 二 次 方 程 来 求 解.解 法 一：设 这 两 个 数 分 别 是 x,则 x+y=4,xy=l2.由，得 y4x,代 入，得 x(4x)=12,即 二 一 人 12=0,2,忿=6.5=6,%=-2.因 此，这 两 个 数 是 一 2 和 6.解 法 二：由 韦 达 定 理 可 知，这 两 个 数 是 方 程%
37、24x-12=0的 两 个 根.解 这 个 方 程，得 x 2,X2=6.所 以，这 两 个 数 是 一 2 和 6.说 明：从 上 面 的 两 种 解 法 我 们 不 难 发 现，解 法 二(直 接 利 用 韦 达 定 理 来 解 题)要 比 解 法 一 简 捷.例 5 若 乃 和 X2分 别 是 一 元 二 次 方 程+5X3=0 的 两 根.(1)求|为 一 必|的 值；(2)求 y 的 值；(3)JC|3+JC 23.解：戴 和 X2分 别 是 一 元 二 次 方 程 2+5%-3=0的 两 根，.5 3 X+工 2=-，%=-1 1-1-2 2%x2%,2+x22 _（X1+x2）2
38、 2X,X22 2%-x2（中 23 25-2x（-）+32_=A_一 9374（3）XJ+X23=（X+X2）（X|2一 天 工 2+及 2）=（冗+12）（X+X2）2 3为 1295 5.3=（-）X（-）2-3 X（-）=2 2 22158说 明：一 元 二 次 方 程 的 两 根 之 差 的 绝 对 值 是 一 个 重 耍 的 量，今 后 我 们 经 常 会 遇 到 求 这 一 个 量 的 问 题,为 了 解 题 简 便，我 们 可 以 探 讨 出 其 一 般 规 律：设 XI和 X2分 别 是 一 元 二 次 方 程 加+云+。=0(咛 0),则 b y b-4ac,X?*I x-
39、M|=2a-b+b2-4ac-b-y jb2-4ac2lb2-4ac2a_/b2-4ac _ VAa a于 是 有 下 面 的 结 论：若 xi和 M 分 别 是 一 元 二 次 方 程 ax2+8x+c=()(0),则|X L 必 尸，(其 中 A=b24ac).I|今 后，在 求 一 元 二 次 方 程 的 两 根 之 差 的 绝 对 值 时，可 以 直 接 利 用 上 面 的 结 论.例 6 若 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程/x+a4=0 的 一 根 大 于 零、另 一 根 小 于 零，求 实 数。的 取 值 范 围.解：设 为，及 是 方 程 的 两 根，则 xiX2=4-4
40、0.由 得 a4,由 得 a y.：.a 的 取 值 范 围 是 a4.练 习 1.选 择 题：(1)方 程/一 2百 米+3公=0 的 习 题 2.1A 组 1.选 择 题:(1)已 知 关 于 x 的 方 程 x2+履 一 2=0 的 一 个 根 是 1,则 它 的 另 一 个 根 是()(A)-3(B)3(C)-2(D)2(2)下 列 四 个 说 法：方 程 f+2x7=0 的 两 根 之 和 为 一 2,两 根 之 积 为 一 7；方 程/一 级+7=0 的 两 根 之 和 为 一 2,两 根 之 积 为 7；7 方 程 3*7=0 的 两 根 之 和 为 0,两 根 之 积 为 一
41、一；3 方 程 3f+2r=0的 两 根 之 和 为 一 2,两 根 之 积 为 0.其 中 正 确 说 法 的 个 数 是()(A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个(3)关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 加-5*+层+。=()的 一 个 根 是 o,则 q 的 值 是()(A)0(B)1(C)-1(D)0,或 一 12.填 空：(1)方 程 小+4工-1=0的 两 根 之 和 为-2,则=.(2)方 程*一-4=0 的 两 根 为 a,p,则(？+/=.(3)已 知 关 于 x 的 方 程/一 以 3a=0 的 一 个 根 是 一 2,则 它 的 另 一 个 根 是(4)方
42、程 源+2-1=0的 两 根 为 和 M，贝!|为 一 同=3.试 判 定 当 机 取 何 值 时，关 于 x 的 一 元 二 次 方 程(2,+1力+1=0有 两 个 不 相 等 的 实 数 根？有 两 个 相 等 的 实 数 根？没 有 实 数 根？4.求 一 个 一 元 二 次 方 程，使 它 的 两 根 分 别 是 方 程/-7%1=0各 根 的 相 反 数.B 组 1.选 择 题：若 关 于 x 的 方 程/+(庐-1)x+k+l=0 的 两 根 互 为 相 反 数，则 k 的 值 为()(A)1,或 一 1(B)1(C)-1(D)02.填 空：(1)若”是 方 程/+2005 一
43、I=0 的 两 个 实 数 根，则 加 2+,”/相 的 值 等 于.(2)如 果 a,。是 方 程/+x1=0的 两 个 实 数 根，那 么 代 数 式 的 值 是.3.已 知 关 于 x 的 方 程 f 一 履 一 2=0.4.-1 提 Z5：(%|3)(X23)xi X2-3(X I+X2)+9习 题 2.12.(1)2006 提 示：m+n=2005,mn=1,m2n+mn2mn=mn(m+n-1)=1x(20051)=2006.(2)3 提 示；a-b=-1,ab=1./.a3+crb+ah2+h3=cr(a+/)+b2(a+b)=(a+h)(a2+b2)=(+/?)(a+/?)2-
44、2a/=(-l)x(-l)2-2x(-l)J=-3.3.(1)：=(一)24x1x(2)=F+80,.方 程 一 定 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根.(2)x-X2=k,制 2=-2,2k 2,即 4 1.V/72-4ac x.+J C,b,3abe-b4.(1)|x,-x2|=-，-=;(2)-:.a 2 2a a.5.V|x X2I=x/16-4/n=2,.m=3.把 机=3 代 入 方 程，(),满 足 题 意，.根=3.C组 1.(1)B(2)A(3)C 提 整 数 的 实 数 A 的 整 数 值 为-2,一 3和-5.(3)当=2 时，X+X2=1,XiX2=,8 2+，得+
45、2=8,即 九+工=6,./12一 6/1+1=0,x2 xx A/I=3 2A/2.4.(1)A=2(m-l)2+2 0；m2 _(2)VxiX2=-.0,.,.xi0,或 xiNO,X20,则 冗 2=汨+2,.X+x 2=2,加 一 2=2,.,.tn=4.此 时，方 程 为 x22%4=0,*X|=1+5/5，/=1-yfs.若 xiK)，X 2=好 的 图 象 各 点 的 纵 坐 标 变 为 原 来 的 a 倍 得 到.在 二 次 函 数 y=“必（4#0）中，二 次 项 系 数 a 决 定 了 图 象 的 开 口 方 向 和 在 同 一 个 坐 标 系 中 的 开 口 的 大 小.
46、问 题 2 函 数 y=a（x+）2+k与 丫=加 的 图 象 之 间 存 在 怎 样 的 关 系？同 样 地，我 们 可 以 利 用 几 个 特 殊 的 函 数 图 象 之 间 的 关 系 来 研 究 它 们 之 间 的 关 系.同 学 们 可 以 作 出 函 数 y=2（x+4+1 与），=2 f 的 图 象（如 图 22 所 示），从 函 数 的 同 学 我 们 不 难 发 现，只 要 把 函 数 y=2?的 图 象 向 左 平 移 一 个 单 位，再 向 上 平 移 一 个 单 位，就 可 以 得 到 函 数 y=2（x+l）2+l的 图 象.这 两 个 函 数 图 象 之 间 具 有
47、“形 状 相 同,位 置 不 同 的 特 点.类 似 地，还 可 以 通 过 画 函 数、=一 3/,），=一 3。-1）2+1的 图 象，研 究 它 们 图 象 之 间 的 相 互 关 系.通 过 上 面 的 研 究，我 们 可 以 得 到 以 下 结 论：二 次 函 数 y=a（x+）2+A（a邦）中，a 决 定 了 二 次 函 数 图 象 的 开 口 大 小 及 方 向；决 定 了 二 次 函 数 图 象 的 左 右 平 移，而 且“正 左 移，无 负 右 移”；A决 定 了 二 次 函 数 图 象 的 上 下 平 移，而 且“正 上 移，左 负 下 移”.由 上 面 的 结 论，我 们
48、 可 以 得 到 研 究 二 次 函 数=加+云+以 存 0）的 图 象 的 方 法：b b h2 h2由 于 丫=加+左+。=（+X）+。=&（/-|-X+z-）+c-a a 4a 4a图 2 2 2所 以，y=o?+法+。（存 0）的 图 象 可 以 看 作 是 将 函 数 丁=加 的 图 象 作 左 右 平 移、上 下 平 移 得 到 的，于 是，二 次 函 数 丫=加+法+（:（今 0）具 有 下 列 性 质：h b（1）当。0时，函 数 y=a F+Z u:+c图 象 开 口 向 上；顶 点 坐 标 为（,一）,对 称 轴 为 直 线 X2a 4ah h h h;当 x V 时，y
49、随 着 x 的 增 大 而 减 小；当 x-一 时，y 随 着 x 的 增 大 而 增 大；当=2a 2a 2a 2a4 QC b2时，函 数 取 最 小 值 y=.4 Qh 4cic b2（2）当 V 0时，函 数 7=必+法+。图 象 开 口 向 下；顶 点 坐 标 为（,一），对 称 轴 为 直 线 X2a 4。h;当 x V h2 时，y 随 着 x 的 增 大 而 增 大；当 上 一 h二 时，y 随 着 x 的 增 大 而 减 小；当 x=h二 2a 2a 2a 2a4 a c h时，函 数 取 最 大 值 y=.4a上 述 二 次 函 数 的 性 质 可 以 分 别 通 过 图
50、2.23 和 图 2.24 直 观 地 表 示 出 来.因 此，在 今 后 解 决 二 次 函 数 问 题 时，可 以 借 助 于 函 数 图 像、利 用 数 形 结 合 的 思 想 方 法 来 解 决 问 题.例 1 求 二 次 函 数 y=-3 f 6 x+l图 象 的 开 口 方 向、对 称 轴、顶 点 坐 标、最 大 值（或 最 小 值），并 指 出 当 x 取 何 值 时，y 随 x 的 增 大 而 增 大（或 减 小）？并 画 出 该 函 数 的 图 象.解：-3/6工+1=3。+1产+4,例 2 某 种 产 品 的 成 本 是 120元/件，试 销 阶 段 每 件 产 品 的 售