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1、 代数与几何期中练习题填空题1、已知向量2 =2 i+3)5 万，=一，+1,则万啰=_zla xb=3t+?J+3k,=a r c c o s2、已知矩阵X满足矩阵方程A X +8 =3X,则 X =(A 3/广8。23、已知4 =(6 5-2),B贝U A 8 =10。20,6BA=10 一公0-205、04、已知四维向量空间R4中向量%=00,1277 1则 向 量%与 向 量 的 夹 角 为 耳。5、的=(1,2,1,4),a 2 =(2,4,3,5),%=(1,2,6,7),该向量组的秩为 2 o6、设 v.=(l,1,0),v2=(0,1,1),V3=(3,4,0),则 3v,+2
2、V2-V3=(0,1,2)o7.平行于向量在 6,7,的单位向量是 *t，帝，向量在 6,7,-6 的三个方向余弦分别为6/11,7/11,-6/11。8.向量组%.%,%，%线 性 相关。3 2 T -1、9.设矩阵A=2-1 3 14,则 的秩等于 2。J 0 5-1 7,10.已知 a=(0,-1,21,=(0,-1,1)7，且 A=。则0 0 0、A=0 1-1 oW-2 2,二、选择题1.矩阵 cos-s in。、的逆矩阵为_osin。cos 8,/Acos。-sin 6、.Ke-sin 6、(A)、sin。cos 6，一 singcos。,(cos。sin。,、(cos。sin。(
3、0(D)o sin 6cos。）1-sin 6cos。J2.从矩阵4 中划去一行得到矩阵3,则 矩 阵 A,8 的秩的关系为C O(A)R(A)R(B);(0 7?(A)R(B);(D)R(A)R(B).3.设4。是可逆矩阵，矩阵X 满足CXA=6,则 C 。(A)X =BA C ;(B)X=A lB C ;(C)X =C B A1;(D)X=A lC lB 04 .已知向量组区,%,%,%的秩为3，则 C o(A)中任意三个向量线性无关；(B)%,%,中必有任意两个向量线性无关；(C)中至少有一个向量可以用其它三个向量线性表示；(D)中任意一个向量都能用其它三个向量线性表示。5 .已知K 中
4、三个向量！=(2,1,0),匕=(1,-1,2),匕=(0,3,-4),则匕,匕，匕的关系是 B o(A)两两垂直；(B)共面；(0共线；(D)匕垂直于，匕所确定的平面。6 .的充要条件是 A 。(A)4是对称矩阵(B)4是三角形矩阵(C)4是可逆矩阵(D)4 是单位矩阵7 .已知向量组名,。2 3，。4 的秩为2,则 D 0(A)向量组中至少有一个零向量；(B)向量组中没有零向量；(C)向量组至少有2 个向量线性相关；(D)向量组至多有2 个向量线性无关.8 .设A 为阶矩阵，且A 2=A,则有 D 0(A)A=0 .(B)A=7;(C)若A 不可逆，则A =0;(D)若A 可逆，则4=/.
5、9.V =(x1,x2,x3x1,x2,x3 e 凡且t3 0 不是 H 的子空间。三、计算下面行列式的值2342342341234344(2)(3)3412122224232310234103410421()23=10234341421233=10=10a+fl00000-32 442-2-2 10 4=10=10-30-42-2-22=160322222 21 2 2 21 1 1 12 21 1 1 10 1 1 1=2=-23 22 2 3 20 0 1 02 42 2 2 40 0 0 2=-4；ap0aP=(二+,)(二2+夕2)；0(4)当xM 时,0 1 1 10 1111 0
6、 x x行变换1-X 0 01 x 0 x1 0-x 01 x x 01 0 0-x当x=0时，原行列式的值显然为0。3 1 r.-111列变换X0 一%0 0=3x2,0 0 x 00 0 0-X1a 2a，J1 1 1bedb2 c2 d2砂d3=(a b)(a c)(a d)(b-c)(b-d)-(c-d)(a+b+c+d)四、用克拉默法则解线性方程组+盯 +*3+%4=0一 *2+*3+2*4=1L I3%1+尤 2+x4=13Xi+2盯+3孙=2解：系数行列式为111111111111D=111031010-2-2-3-2=一2-3-20000100030230-3 10001011
7、111111-201000010=一200100010=-400-3-2000-21110111011102 =1133110-2010-2011010-2-3100-30-30001-20101220010二一3100-31101200111011001010001(2)SbX-ax2+2ab=0-lex 2+3bx 3-be=0ex】+ax3=0abc M。五、求一个三次多项式/(x),使满足：/(-1)=0,/(1)=0,/(-2)=0,/(2)=12 o解：设/(x)=a*3+必2+c x +d ,将已知条件代入得-a+b c+d =0a+b+c+d=0-8a+4 b-2 c+d=08
8、。+4 +2 c +d =12解此以a,b,c,d为未知量的非齐次线性方程组，得a,b,c,d,进而得到/(x)的表达式。六、求下列矩阵的逆矩阵：（D0 1 1,1 2 3、1 0 12 3 1；(2)、3 4 1 1 03)1、110解：,1 2 32 3 1、3 4 31 0T 0 10 0-2 1 0-3 0 1)1 0 0、/%1 0 1 1 0 1 0 01 1 0 1 0 0 1 0J 1 1 o o 0 0 1?0 1 1 1 1 0 0 0、,3 3 3 3 1 1 1 1、1 0 1 1 0 1 0 01 0 1 1 0 1 0 01 1 0 1 0 0 1 01 1 0 1
9、 0 0 1 01 1 0 0 0 0 J 1 1 0 0 0 0 1,7(1000-%010。-%-%0010-%000一 一%-次-%(1000-M%0100X-幺、%0010%-%0001%-%1、-%-%-玄%-%0七、设A=(23，B=.1 1 0.求I ,v A丁 B再求矩阵4T73的秩。2 1 1q 2、解：=0 3.23 LATB=0、32、35R（ArB）R（A）=203 2另f 8有2阶子式3 3二3工。，的秩为2八、设多,%,%是3维向量空间A?的一个基，实矩阵。是一个3阶可逆矩阵，如果肥中向量/次，用满足（自 血 血）=（%，%，。3）。，证明:4血血也是肥的一个基。C
10、1 1%证明：令。=C2 l C2 2。2 3，31。32。33,因为（月第2,6 3）=（%，%，4），=（%/2，。3）（c C C V11 12 SC2 C22 C2331。32 C33/=（.%+。21%+c 3 1 a 3，%+C 2 2%+。3 2%，。13 a l+C 2 3%+c 3 3 a 3）因此夕i,夕3可由四,%,%线性表示，同理因为c可逆,所以3，%,%）=（尸1血 血）。一|因此名,%,。3可由四,22,夕3线性表示，即4，月2，网与名,，。3等价%,%，%是3维向量空间炉的一个基，其秩为3。又因为等价的向量组有相同的秩，从而，网的秩为3,因此，夕 3也线性无关，因
11、此，,左3也是川的基。九、设&X很=7 x症 5x7=x下,证 明：1 一5 与，一月 线。证 明：(&-5)x 0一 力=x +=0故 1 4与/_ 洪 线。十、用定义证明：实数域火上的全体2x2矩阵构成的集合V关于矩阵的加法和数乘运算构成R上的一个向量空间。证明：由矩阵的运算知，Y A B C e VRk,l e R及零矩阵02K?下列结论成立A+BeV,kAeV.(2)下列运算规律满足1、A+B B +A2、(A+B)+C=A+(8+C)3、O+A=A+O=A4、A+(-A)=O5、IA=A6、k(JA)=(kl)A7、k(A+B)kA+kB8、(k+1)A=kA+IA.所以V为R上的向
12、量空间。1.已知：%=(0,1,1),%=(1,0,1)9=(1,1,0)是三元行向量组，(1)证 明/,%，%是向量空间R3的一个基；(2)写出向量(0,1,2)在 这 个 基%下的坐标；(3)用施密斯正交化法把向量组多,%，%正交化，进而找出N的一个标准正交基。01证明：(1)考 虑 行 列 式a2,a3=1 0性无关1,311=2,0,所以名，a2,火线10又 向 量 空 间R3的 维 数 是3,所以名,%，%是 向 量 空 间R3的一个基。,2(2)设(0,1,2)=kax+k2a2+k3as=(k2+k3,kx+k3,kt+k2)上2 +左3 =0 kt+k3=1 解得，kt+k2=
13、2占=133 11即(。,1,2)=5%+5a2 -%(3)先正交化：2令0 i=ai=(0,1,1),色=ai(%，4)3,四)甯 却 一血(%血血)&=(2 不2，-32).3单位化:”（脸扑小强1厂1扣3 =2（1 J T）2即匕此，匕是标准正交基。2.将二次曲面5x2+5y2 +3d2xy+6xz6”=1化为标准方程,写出所用的变化，指出其为何种曲面。5-1 3、解：曲面方程二次项部分所对应的二次型矩阵为4=-1 5-3、3 3 3,2-5 1-3相应的特征多项式:即-4|=1 2-5 3=(2-4)2(2-9)=0,-3 3 2-3于是矩阵4的特征值为4 =4,4=9,4=0.2-1 1-3、当 4=4,(4/-A)X=0,1-1 3 X =0,解 得 特 征 向 量3 3 1,%=(1,1,0)7 ,单 位 化 心 嘀=-(1,1,0/.2 4 1 一3、当 22=9,(97-A)X=0,1 4 3 X =0,解 得 特 征 向 量、3 3 6,。2=（L T）,，单位化。2=.2-5当 4=0,(-A)X=0,1、一31 一 3、5 33X=0，解 得 特 征 向 量%=,单位化出=俞飞（t，3,2令P=（PVP2，P3）,所求变化为y=P y2则曲面方程在此变化下化作：4X,2+9J,2=1,.2即此二次曲面为椭圆柱面。.