《高二理科数学秋季讲义第10讲直线与双曲线、抛物线的位置关系.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二理科数学秋季讲义第10讲直线与双曲线、抛物线的位置关系.pdf（19页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、10讲直线与双曲线、抛一 物 线 的 位 置 关 系满分晋级 教师备案 在直线与椭圆的位置关系一讲，我们处理了交点个数问题、弦长问题、面积问题、共线问题与垂直条件转化等基本问题.直线与圆锥曲线的位置关系对于椭圆、双曲线与抛物线来讲是基本一致的，处理的手段也基本一致，因为我们较少研究圆锥曲线的性质，所以基本都是通过代数手段：即联立后分析方程及利用韦达定理处理的.但细节上，对于不同的圆锥曲线还是有些小的区别，双曲线有两支，不像椭圆一样是封闭图形，而且有渐近线，所以研究直线与双曲线的位置关系与直线与圆锥的位置关系有一些小的区别.而抛物线的方程相对简单，抛物线里面有更多的几何性质比较容易研究，所以在直
2、线与抛物线的位置关系中，我们会研究更多的抛物线的焦点弦的性质与其它几何性质，也会补充一种常见的问题，如中垂线问题的转化、向量共线问题的转化等.对于过X轴上的直线的设法与两条相关直线的设法等基本方法也会在例题中体现.10.1直线与双曲线的位置关系考 点 1:直线与双曲线的交点个数与位置暑假知识回顾2 2直线/：y =+机 与 双 曲 线:-与=1(。0,/?0)的位置关系(斜率不存在时，单独讨论)：a b-方法一：代数计算y=k x+m联立消元，f 2 z z 02-a2k2)x2-2la na2x-a2(b2+m2)=0(*).,7-F=1当从一a平：。，即4=2时，a直线l与渐近线平行或重合
3、，此时它与双曲线有一个公共点或零个公共点；当从-6二2 0时，判别式=4/(/+/_ 八2),根据判别式可得到公共点个数.方法二：几何图形画出双曲线与直线的草图，根据直线与双曲线的渐近线的位置关系与双曲线的性质直接得到公共点个数，只能进行定性判断.教师备案 我们在暑假预习时研究过直线与双曲线的交点个数问题，这里先进行一些回顾与总结.预习时，我们只对这类问题进行过定性判断，即结合图形判断交点个数，没有进行定量计算，例1对这些问题进行了定量的研究(预习时，在目标班学案中进行了部分研究).当然除了边界需要通过代数计算确定，大致范围仍然可以借助几何图形得到.练习区 已知双曲线C:d-亡=1,过点尸(1
4、,2)作直线/,使/与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线/共有()A.3条 B.4条 C.1条 D.2条【解析】D因为双曲线的渐近线为丫=2，点P在渐近线上，所以满足要求的直线只有两条.经 N经典精讲【铺垫】已知双曲线J-y 2=4,直线/：y =%(x-l),试讨论实数A:的取值范围.直线/与双曲线有两个公共点；直线/与双曲线有且只有一个公共点；直线/与双曲线没有公共点.【解析】要研究直线与双曲线的交点个数，通常需要联立直线与双曲线组成方程组，对方程解的个数进行讨论.由卜f 2=4,消 去 得(-2*+2公X-标一4 =0.(*)y =A(x-l),当1 公=0,即=1时，直线/与双
5、曲线渐近线平行，方 程(*)化为2 x =5,故此方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点.当 1一尸六0,即 Z W 1 时，A =(2k2)2-4(1 -k1)(-k2-4)=4(4-3 i t2).4 3 4 2 0 o h 7 /Q4 ,，即-至%壬，且时，方 程(*)有两个不同的实数解，即直线12-0 3 3与双曲线有两个公共点.4一3 4 2 =0 n1 ,即Z=土 出 时，方 程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有一个公-k2 5 0 32共点.4 3 k 2 0 9 7 /Q 4,即 乂 时，方 程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点.1-/0 3
6、 3综上所述，当-友 女 -1 或一1 后 1 或 1%组 时，直线与双曲线有两个公共点；3 3当/=土 1 或=2&时，直线与双曲线有且只有一个公共点；3当k 巫 时,直线与双曲线无公共点.3 3【例 1】品已知双曲线9 一2=4,直线/：y =kx-i,试讨论实数/的取值范围：直线/与双曲线有两个公共点；直线/与双曲线的两支各有一个公共点；直线/与双曲线的右支有两个公共点：直线/与双曲线的两支有两个公共点.【解析】将直线y =丘一 1 与双曲线幺-丁=4,化简整理得(1-公)/+2 丘-5 =0(*)(1)当1 一二片0,且 A =4 父+2 0(1-公)=2 0-1 6 公 0,直线与双
7、曲线有两个公共点，2 2D k 5在 方 程(*)有两根的情况下，记两根为先,形，则 为+马=黄、，司 刍=方 ，(2)对应方程有一正根一负根，只需4X,=:(),且 当+马 o,x)x2 o,解得：.2(4)对应方程有两个不同的正根或两个不同的负根，有A =4 Z 2+2 0(l-r)0,JLX,X2 0,解得k 的取值范围为-或，-1).2 2尖子班学案1【拓 2】已知直线y =H-1 与双曲线/-9=4,记双曲线的右顶点为A,是否存在实数上，使得直线与双曲线的右支交于P,。两点，且 P A Q A =0,若存在，求出左值：若不存在，请说明理由.【解析】将直线y =f c r-l代入双曲线
8、方程，整理得：。-&2*+2丘-5 =0,2k 5设 P(X i，y),。(%，%)，&2,0),于是有西+7=一，xix2=；7 7 )又直线与双曲线交于右支上两点，故有4=4 二+2 0(1-/)0,且 玉+%0,内%0,解得：1 0).n a)a 同 间 教师备案 暑假预习时是以抛物线中的弦长问题为重点讲解的，没有涉及到双曲线中的弦长问题，但2b2因为处理思路都是完全一致的.预习时，还提到了双曲线的通径，双 曲 线 的 通 径 长 为 竺，a它是同支的焦点弦中的最短弦.简单证明如下：4双曲线-5=1(4 0,6 0),a b 考虑过它的右焦点尸(c,0)的直线/交双曲线于A、B 两点,.
9、,2h2,y=k x-c)若/是通径，易求得A=竺；若/不是通径，设/:y=Z(x c),联 立 2,；2，1 1 a b-x =a b=(b2-a2k2)x2+2a2k2c x-a2(b2+k2c2)=0,当一呼+&y)o 时,/与双曲线有同支的两个交点，此时公 4.乂 2/于是|AB|=V I 7/.而,=2 1(：),h-a-k hz-a k-l y-r2 O zyjj-r2 t =l+k2 1+=,则 =-r,而一 a2,a a-c 2 tbTc2 2 2 c 2 2.1 2a b2 2b2故-c i c i-=-.故双曲线同支的焦点弦中，通径最短.对于双曲线非同支上的弦，最短为两个顶
10、点为端点构成的弦，长度为2a,2a-=2 ab),当a 。时，2 a ,故通径此时就是最短的焦点弦.但当a a a时，最短的焦点弦为顶点连线得到的弦.这个结论都不需要记忆.例 2(1)(2)都涉及到双曲线的通径问题与焦点弦问题，例 2(3)是一般的弦长问题.经典精讲2 2【例2】由直线/过双曲线C：三-汇=1的左焦点，16 9若/只与C 的左支相交，则 弦 长 的 最 小 值 为;若/与C 的左右两支都相交，则弦长 的 最 小 值 为;设直线/截双曲线C 所得的弦长为d：若d=5,则满足条件的直线/有一条；若 7=8,则满足条件的直线/有一条；若4=1 0,则满足条件的直线/有 条.2 内过双
11、曲线X2-2=1 的左焦点耳作倾斜角为巳的弦他，求鸟A 8的周长(工为双曲线36的右焦点).C 渐近线方程为x+2y=0 和 x 2y=0 且被直线x y 3=0 所截得的弦长为苧的双曲线方程为.【解析】？；8;2,3,4.2(2)双曲线焦点6(-2,0),6(2,0),直线AB方程为y=(x +2).代入双曲线方程得8 Y-4X-13=0,.=16+4x8x13=16x27.|明=洛=1x21=3.问V 3 8、.13设，y),B(X2,y2),V=一-0.8,直线与双曲线相交的两点在双曲线的左右两支上，设A(x,，凹)为左支上的点，B(X2,y?)为右支上的点，且-2大 1周 一|4周=2
12、，：.AF=2a+AF=2+AF：BFt-BF2=2a,二忸用=忸4卜2a=忸耳卜2:.4 3的周长为|AB|+|A玛|+忸周三3+2+忸耳|+忸耳|-2 =3+|A F|+|%|又：a用=口也+2|=半G+2),阿|=再也+2卜 当G+2)，|A凰+忸 用=孚.(%+4)=竿(3+4)=竽4=3 6:.5 A 8的周长为3+|4制+忸 制=3+3班【点悟】本题求弦长利用两种方法:利用弦长公式I A8|=41+公石a求弦长，是通常使用的方法.本题中|A B|恰好是焦点弦长，求焦点弦长，对双曲线应区分两种情况处理.如果两个交点分别在左、右两支上，如下图左所示，则|A 8|=|8耳|-|4 4|.
13、如果两个交点在同一支上，如下图右所示，|4 8|=|4月|+|8耳|.设渐近线方程为x+2y=0和x-2y=0的 双 曲 线 系 的 方 程 为-4y2=儿.一4 9=心-24X+36+2=0,x-y-3=0,.=(24)2-4 x 3 x(36+2)=12(12-2)0.弦长=，1 +公 当后=还解之得4=4.3 3所求双曲线的方程为f-4丁=4,即三一 J=i .考点3：双曲线中的夹角问题 教师备案 本考点主要解决角度问题，垂直与角度首先需要通过向量转化成代数表示式（垂直也可以通过勾股定理等其它条件，但不如向量简单），再通过韦达定理对代数表达式进行转化.虽然双曲线近年考查较少，不作为重点，
14、但双曲线的角度问题的处理也与椭圆没有什么区另L所以这些问题的处理也可以用于对直线与椭圆位置关系的处理.经典精讲.提高班学案1【铺 1】已知直线x y+加=0 与双曲线“2 2L=1交于不同的两点A,B,且。4_LO 3,求相的值.2【解析】设 A、B 两点的坐标分别为(为，y),(占，%)，由 /%=2.2【例3】门已知双曲线C：2-1 =1,设直线/是圆0:/+丫 2=2上动点2（与，为）（%,%#0）处的切线，/与双曲线C 交于不同的两点A,B,证明NAOB的大小为定值.【解析】点 尸（不，%）（%W0）在 圆+丁=2 上，圆在点P（x（1,%）处的切线方程为丫-%=-包（-80）,化简得
15、x（x+%y=2.%X2_=1由1 2 及x：+y：=2 得（3石-4）/-4/、+8-2 石=0,v+y0y=2.切线/与双曲线C 交于不同的两点A、B,且0 c 片2,二 3片-4 W 0,且A=16片一4（3片 一 4）（8 2片）0,设 4、3 两点的坐标分别为（%，y）,（x2,%）,cos NA 03=,且OAOB|OA|.|OB|12 OA-OB=xx2+yxy2=x1x2+(2-xox1)(2-xGx2)=xx2+%4-2x0(Xj+x2)+x%8-2x：1 F 流片(8-2 片)-1-今-1-3%Q 4 2 XQ 3XQ _ 4 3XQ 4NAQB的大小为90。.8-2片 8
16、-2x；=03XQ 4 3XQ 4暑假知识回顾110.2直线与抛物线的位置关系直线/：丫 =履+加 与 抛 物 线 丁=2 a（p 0）的位置关系（斜率不存在时，单独讨论）：联立y=kx-m，.，,消去 y 得：k2x2+2(kni-p)x+ivr=0,y=2px当k=0 时，解得x=匹，此时直线与抛物线的轴平行，一定有一个交点;2p当女。0 时，有 A=4p（-2切?），根据的符号可得到公共点的个数.说明：对于抛物线y2=2px来说，联立消元时消去y比消去x计算量大.为了减少计算量，我们会设立倒斜横栈式来设定直线，即设直线方程为，政=x+b,此时?是直线的斜率的倒数，不能表示斜率为0的直线.
17、但考虑到学生习惯设立直线的斜截式，而且大部分学校老师都引导学生设立斜截式，所以程度不太好的学生比较难习惯这种设法，反而容易出错.我们也可以在消元时直接将x表示成y,如：在上面的推导中，我们讨论左=0与 左 的 情2况，当4=0时，直 线 方 程 为y=m,联 立 解 得x=;当人工0时，有9 =2 0.匕，即2p k2 _女也 包 工 陋=竺 匕 吧.k k k1 k k2练习小 已知直线y=(a+l)x-1与曲线产=依恰有一个公共点，求实数0的值.【解析】联立方程，,y=ax 当4=0时，次方程恰有一组解为卜”；y=。当。关 0 B寸，得1 y2 y I=0,i.若 +1 =0,即。=一1,
18、则方程为 y 1=0,得 ;a y=Ti i .若 空Uo,即a w-1,由 =()得1+丝 上D=o,可得a=_t.a a 5这时直线与曲线相切，只有一个公共点.综上，当a=0,-1,一1时，直线与曲线9 =o r只有一个公共点.练 习3|：过点尸(0,-4)的抛物线G:f=4 y的切线方程为.【解析】设过点P(0,-4)的抛物线G:V =4)，的切线方程为y=Ax-4,将其与抛物线G:12=分 联 立，消去参数y可得2-4日+16=0,该直线与抛物线相切，故A=16公 64=0 n A =2,二 切线方程为y=2x-4.练 习4：顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线2 x-y-4=0所
19、得的弦长为3石，求抛物线方程.【解析】设抛物线的方程为J =2ax(a*0)由 旷=2办 得 一(8+”)x+8=0,2 x-j-4 =0设方程的两根为玉，x2,则 历 记|士-司=3石.把/=2,=岁，一 =4代入标小-4 g =3右 中可得/+16“-36=0,M 得。=2 或。=一18所以所求的抛物线方程为y2=4 x或=-36x.考点4：抛物线的焦点弦问题 教师备案 抛物线的焦点弦有很多性质，这些性质的推导都用到了直线与抛物线的位置关系中常用的处理方法，可以选择一些性质让学生进行推导，从而熟悉直线与抛物线位置关系问题的基本处理方法，这些性质不需要记忆，介绍完这些性质的推导过程再做后面的
20、例5.8知识点睛抛物线过焦点的弦有一些特殊的性质：(这些性质不需要记忆)已知他 是 抛物线y 2=2 p x(p 0)的焦点弦，尸为抛物线的焦点，A C,BO垂直于抛物线的准线于C,。两点，如图，记直线/W 的倾斜角为。，A(X 12 千 =；%.y?=一 口?；AB=x+x2+p=;2 5A.ofl=-；AB 2 s i n，乂)、B(X2 y2)则有以下结论:以A F (B F)为直径的圆与y 轴相切;以 AB为直径的圆与抛物线准线相切；A、O、D (B、O、C)三点共线.教师备案 推导过程如下：V y 2 =2 p x(p 0)的焦点 0),设直线方程为y=k(x-5),(ZW0).由V
21、=I -5)消去x 彳 寻 62 2 0)，一 切 =oy2=2pxy 1 2 =-P2(*%)2 一 P?4P 2 4当左不存在时，直线方程为x =K,2这时x =。，%=-，则%必=-。2，因此，总有y-必=-p2,成立.由抛物线定义：|A F|等于点A到准线x =-4的距离.2二|4 尸|=%+,同 理：|8 尸|=马+./.|A B|=|AF +BF=xl+x2+p.5CV y=kx-,，x=：y +，3+、2=%乂+%)+。由方程知：y+%=Xt+X2=军+p k k将代入得“嗯+2 展 2 机卦2 p(l +系卜悬当人不存在时，e=,AB=2p=-.2s i n2 9 如 图，SA
22、 A O B=SAAOF+SBO F O F A F -s i n(n-0)+O F B F s m 0=-|O F|-sin6|(|AF|+|BF|)=-|O F|-1 AB|-sin6221 P 2P a _2 2 sin*111P2sin/9.-1-=-1-|A F|B F PX+2-=-F,X2 再 入2+夕 办+%2)+勺2又VW=?，代入上式得 设 A F 的中点为E（XE，%）,1 2-1-=一A F B F px+则+AF =X+2,故点E到y 轴的距离d,y=A F,故以A F 为直径的圆与y 轴相切.设 AB的中点为M（x0,%）,分别过A、M ,B 作准线的垂线，垂足为C
23、、N、D,则四咤叼+1即）加出阴）斗 阴.二以A 3 为直径的圆与准线相切.由题意，A(xj y),D 2 O D =2,A=（芭，乂）=,y I，结合乂必二一？，有0 D =P-9 22-勺 0 4,/.O D/O A,y又OO与OA都经过同一点O,，A、O、。三点共线.提高班学案2经典精讲【铺 1】过 抛 物 线J?=4 x 的焦点作直线交抛物线于A（x,y）、B（x2,必）两点，若%+占=6,则MM的值等于.抛物线J=2 p x 与直线6+丁-4=0 交于两点A、B,其中点A 的坐标是（1,2）,设抛物线的焦点尸，则|必|+忻卸=.【解析】8;|AM =X+%2+p=6+2=8.7;将
24、A(l,2)代入抛物线 丁=2px,得 2 =4,A y2=4 x .又*feA(l,2)代入ox+y 4=0 得a=2,.直线方程y=-2x+4.10v?A Y由卜-5 x+4=0,xA+xR=5,y=-2x+4/.|E4|+|FB|=xA+xH+p=5+2=l.【例4】由以抛物线V=2px(p 0)的焦点弦AB为直径的圆与准线切于点(-2,-3),求这个圆的方程；求A 4O 3的面积.【解析】由抛物线的方程知其准线为x=_ 5,设焦点弦AB的中点为%),_ =_2由以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切于点(-2,-3),可 知)2-,=-3 =4,所以焦点为F(2,0).%=-3 设 4
25、3 所在的直线的斜率为左，A(&,y),B(X2,y2),则AB:y=Z(x-2),与抛物线方程联立：y=k(x-2),n 6 2 _ 8),_ 侬=0,y2=8xQ由韦达定理 y +丫2 =-=2 y0=-6,y1y2=-1 6 ,k,4 4 8K=,AB:y =x H.3 3 317将%=_3代入，得圆的圆心为(弓，一 3),圆的半径为市，4故所求圆的方程为17X-j+/嘿 SMOH=SMOF+SGOF=；|OF|x|x -%|；x 2 j(x+M)2-4 y M =1。考点5：两条相关直线与抛物线相交的问题 教师备案 直线与抛物线相交的问题相对比较容易处理，直线与抛物线联立的消元一般都是
26、消去一次项，这样计算量会大大减少，例 5 也是抛物线的一个性质，通过这道题考查两条相关直线(倾斜角互补、垂直等)的直线如何设立方程减少计算，强化如何转化垂直的条件，这在椭圆中已经介绍过.老师可以用第题来讲方法，让学生类推去做第题.经 典 精 讲.【例5】内从抛 物 线 丁=2川5 0)上的一个定点A 引两条倾斜角互补的弦AP,AQ,则直线PQ的斜率为定值.黏 抛 物 线 V=2px(p()的 弦 PQ 的端点与顶点O 的连线成直角时，直 线 PQ 过定点(2/,0)；反之，抛物线y2=2px(p0)的弦PQ过定点(2 p,0)时，有 O PLOQ.【解析】若定点A 为顶点，则直线尸。垂直于x
27、轴；若定点A(a,b)在抛物线上且不是顶点，设直线AP的方程是x-a =k(y b)(k/0),x-a=k(y-b).由 b2P 2p八 ,y-kx直线OP的方程是y=乙(女工。)，由得：，2PF2PT=2V O PA.O Q,二直线OQ的方程为y=-x,同理有，k yQ=-2pk直线PQ的斜率是“f =-V-=2PXQ-XP y 0.y=2x+m,x,+x2=8,x,=-4m ,；=4,乃-；%”=8+,即 AB 的中点为。(4,8+.故 A 3的垂直平分线方程为y (8+?)=-(%4).令x=0 得 A/(0,，+10).因为四边形AM8N为菱形，所以M,N 关于Q(4,8+，”)对称，
28、所以N 点坐标为(8,机+6),且 N 在抛物线上，有64=4x(z+6),解得m=10,所以直线/的方程为y=2x+10.目标班学案2【拓 3】(2011西城一模文1 9)已知抛物线y2=4x 的焦点为尸，设 A,3 为抛物线上两点，且 4 3 不与x 轴垂直，若线段他的垂直平分线过点M(4,0),求证：线段中点的横坐标为定值.【解析】设 线 段 中 点 的 坐 标 为N(x0,%),A(x,y),B(x2,%)，因为A 3不垂直于x 轴，A 3不可能平行于x 轴，故直线M N的斜率为 一，直线AB的 斜 率 为 上 包，%-4 y0法一：直线A B的 方 程 为y-y0=(x-x0),%联
29、立方程4 一%/、一为=-（元一小），%y2=4%,消 去 工 得1寸 卜2一y()y+y：+%(%-4)=0,所以x+%=4yo4一%因为N为A 3中点，所以&=%,即3二2 4-x0所以尤0 =2.即线段A B中点的横坐标为定值2.法二：点4,B在抛物线上，故 I,两式相减得（弘-%）（%+丫2）=4（芭-）故有砥B=2L二&=_,即 上 也=/_,司一马 X+%为 2%解 得%=2,即线段A B中点的横坐标为定值2.考点7：直线与抛物线综合 教师备案 例7是一道直线与抛物线的综合题，抛物线的切线问题也是一个常考查的问题，有一些很好的性质，但在介绍完导数后再处理会更容易一些.这里选择了一道
30、与切线相关的问题先了解一下.经典精讲【例7】门已知抛物线C：y=2 d,直线丫=+2交。于4,8两点，M是 线 段 他 的 中 点，过M作x轴的垂线交C于点N.证 明：抛物线C在点N处 的 切 线 与 他 平 行；【解 析】是否存在实数4使MVNB=0,若存在，求A的值；若不存在，说明理由.法一：如图，设 A（玉，2x：）,B（X2,2 x j）,把 y=Ax+2 代入 y=2x2,2X2-Ax-2=0,由韦达定理得 X1+&=：,XjX,=-1,./=%=土 土 三=4,N点的坐标为（人,.入2 4（4 8 J设抛物线在点N处 的 切 线/的 方 程 为=,将y=2x2代入上式，得2炉-mx
31、+-=0,:直 线/与 抛 物 线。相切，-2m k+攵*=(tn-k)2=0 9m=k 9即/法 一：14假设存在实数人,使 N A，NB=O,则N 4 J.N B,又；用 是 AB的中点，A|M V|=-|A B|.21 1 1 1 （k2、kk22由（1）知 y,”=5（y +%）=弓（3+2+任+2）=弓内（%+乙）+4 =-+4 =+2.421cl L2 后 2 +16 W X 轴，|M N 1=1%一 后|=；+2 _ j4 o o又 I A 8 1=J +小 当=yj +k2 x J-+,同 2 =j k2+1 -J k,+16 ,解得左=+2 .8 4即存在左=2,4 更得NA
32、-NB=0.法二：假设存在实数左，使 N A N B =0.k k k2,则2、k 也-l+4 x（-l）+A：.-+八 2 41 +41+4 2 16-,高k?-1-0 ,即+1 4-1 07 1+2 ,得 b =-.4 4k2又2玉+%i所 以 白 人 解 得 仆 坐 或“吟.华 山 论 剑(1)已知两点M(-5,0)和 N(5,0),若直线上存在点P,使|P M|-|P N|=6,则称该直线为“3型 直 线 给 出下列直线：y =x+l;y =2；y =1x；y =2 x +l,其中为“3型直线，的 是()A.B.c.z、2如图抛物线C：丁=2 0 工和圆。2：x-j直线/经过a的焦点，
33、依次交和，G 于 A,B,C,。四点，则 AB C。的 值 为(A.亡4R p 23D.p2D.2+y2=其中P。，)c T【解 析】B由|R 0|-|P N|=6 ,可得点P的轨迹是以点M、2 2的双曲线的右半支，其方程为三 2 2 =1(x 2 3),其两条渐9 1 64近线方程为y=-x.由题意知“B 型直线”即为与双曲线右3半支有公共点的直线，作图可得仅直线)，=2与直线y =x+l与其有交点，故应选B.N为焦点 A;记抛物线的焦点为F,AB=AF-=XA+-=XA,同 理 卬=与，结合图象知AB CD=AB CD =XAXD,当直线4)的斜率存在时，可设其方程为代入y2=2px消去y
34、得k2r-(k2+2)px+k2p2=0,于是知 内。=(-,即为所求；当直线A D的斜率不存在时，直线的方程为x=K,于是分别联立直线与圆及抛物线的方程可解得2 茅-“呜,喈,噌,4也有g3上十.2故=当然，作为选择题，可以直接取特殊直线工=2得到答案.4216实战演练2 2【演 练1】斜率为2的 直 线/过 双 曲 线=1 m o o）的右焦点，且与双曲线的左、右两支矿 b-分别相交，则双曲线的离心率的取值范围是_.解析（解,4-o o j由例题知，直线/与双曲线的两支分别相交，满足-2 2 2 ,解得即双曲线的离心率的取值范围是（石 ,+00）.【演练2】过 双 曲 线:-丁=1的右焦点
35、作直线/,交双曲线于A,8两点，若 4同=5,则这样的直线/有一条.【解析】4.双曲线的通径长为生=1,两顶点间的距离为4,5 4,且5 1,故有四条.【演练3】过点(0,-2)的直线与抛物线y 2=8 x交于A、8两点，若线段回中点的横坐标为2,则|A 8|等 于()A.2/1 7 B.V 1 7 C.2厉 D.V 1 5【解析】C设直线方程为y 二京一2,A(,y)、B(x?,y2).由|V,=-2 得公 V 4(&+2)x +4 =0,y=8 x,.直线与抛物线交于A、B 两点、,A A =1 6(f c +2)2-1 6 A:2 0,即A-1.又五士五=*2)=2 :=2 或 k =-
36、l(舍).占 x,=：=l,2 k2 1-k2：.AB=yll+k2|芭-赴|=yJ l+22-4用/=寻小-4)=2A/15.【演练4】设坐标原点为O,抛物线V=2 x与过焦点的直线交于A,B 两 点,则OAOB=（)3 3A,-B.-C.3 D.-34 4【解析】B抛物线V =2冗的焦点为（；，0）,设直线A B的方程为x =6+g.y2=2x,王/=4/+40,y2 2k y 1 =0 y +%=2 4，X%二T-=(+；)=二乂%+g-y +%)+；=_/+二+；=：1 3设B(X2,y2),则 04-03 =芭毛+丫1丫2 =4-1 =一 左【演练5】过 y2=x上一点A(4,2)作
37、倾斜角互补的两条直线/W、AC交抛物线于3、C 两点，如图，求证：直 线 的 斜 率 是 定 值.【解析】法一：设 4 3 的斜率为k,则A C的斜率为-%.AB:y-2=k(x-4),与 y?=x联立得y-2=k(y2-4),A,2-y-4A:+2=0.*.y=2 是此方程的一解，.-4k +2 T-2k,2yB=：，yB=-，k k2 1-4Z+软2 .11-44+4父 i-2k ：kA C=-k,以-后代替)代入8 点坐标得c(一：依 一,匕 艾 ,+2k -2kl+4k+4 t l-4 k +4k-为定值.法 二：设 8（：，y）,C（y；,必），则怎c=J A=-%-乂%+y3 c=
38、夸 三=，由题意得,-=,则 y+y,=-4,贝 寸 口 广=-L 为 定值.y+2%+2 -BC 4大千世界如图，双曲线的中心在坐标原点o,焦点在X轴上，两条渐近线分别为4,经过右焦点尸垂直于 的直线分别交4,4 于 A,B 两点.又已知该双曲线的离心率e=.求证：|O A|、|A 8|、|O 8|依次成等差数列；若 F(行，0),求直线他在双曲线上所截得的弦8 的长度.18y【解析】如 图，由已知e?=:L从而2 =/_ _ 25设 ZAOF=ZBOF=故 tan ZAOB=tan 2t令|OA|=3m(m 0).所以|。4卜AB.L即=，故，1a2 4 5cc2 ，由得：-=-.a 2c 2忑-0,则 tan 0=2-2tan J4即 空1 -tan2 0 3 OA 3,则|AB|=4？，|OB|=5m,满足|OA|+1 OB|=2 1 AB|,I OB|依次成等差数列(2)由已知C2=5,代入，得=4,于 是 双 曲 线 的 方 程 为 三-产=.4-设直线4?的斜率为k,k=tanZBF于是直线AB的方程为y=2(x-石).y=2(x-75)联立,，消y得1 5/-3 2,-V2=14故弦 Q 的长度|C 0=Jl+/今=J尸=1,x=tan ZAFO=cot=2.5X+84=0；x J(-32府-4x15x84 _415-3 ,