初中数学数与式模块1-6二次根式讲义（含答案解析）.pdf

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1、二次根式题型练题型一二次根式的定义二次根式的定义：一般地，我 们 把 形 如 八（。2 0）的式子叫做二次根式.称为二次根号Q （2 0）是一个非负数；一 次根j戢开方喊学习要求：理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围.例1.1 .下列各式中是二次根式的是（）A.W B.Q C.-V3 D.2【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的定义即可求出答案.【详解】A、是三次根式；故本选项不符合题意；B、-1|【解 析】【分析】主要有二次根式和分式两部分.根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0,分母不等于0,就可以

2、求解.【详 解】解：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0,分母不等于 0 可知：-（l-3x）0即 x L3所 以 自 变 量 x 的取值范围是x；.【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质.概念：式 子 G（a0）叫二次根式.性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.当二次根式有分母时，还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0.题型二二次根式有意义的条件判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念.形如&（a O）的式子叫做二次根式.（2）二次根式中被开方数的取值范围.二次根式中的被开方数是非负数.（3）二次根式具有非负性.&（。2 0）是一个非负数.学习要求

3、：能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题.【规律方法】二次根式有无意义的条件1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数.2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零.例2.如 果 式 子 有 意 义，那么x 的 取 值 范 围 是.【解析】解：420.x24变式3.当代数式会才有意义时，x应满足的条件是【答案】x4.【解析】【分析】直接利用二次根式有意义条件和分数有意义求出x的取值范围.【详解】解：代 数 式 会 不 有 意 义，可得

4、：X 4 0 ,解得x 4,故答案为x 4.【点睛】本题考查了二次根式有意义与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义与分式有意义的条件是解题的关键.题型三二次根式的性质二次根式的基本性质：心0 （双重非负性）.（&）2=。（a0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）.a（a 0）=0（a=0）（算术平方根的意义）-a（a V O）例3.计算一斤 了 的 结 果 是=.【解析】解：原式=一|一2|=-2变式4.实数6在数轴上的位置如图所示，化简J（a +1）2 J（b-I p =_ 1.1 I 1.1 44 a 0 b 1【答案】a +b【解析】【分析】依据可得到。+10 1-1 0

5、,即可化简.【详解】解：由题意可知:-1 4 Z O,O 1,。+10,b 1 0,b 2 0),(a 2 0,b 0)(2)化简二次根式的步骤：把被开方数分解因式；利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数(或因式)都开出来；化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2例4：已知a 6,则化简二次根式，工豆的正确结果是()4-a yj-a b B.-a a b C.a yfa h D.a-a b解：J工豆有意义，一a 3 b 2 0,。3庆0,又,：a b,A a 0)b 4b(4)二次根式的除法法则:-=(心0,b0)b 4h例6：计算:jx V 2

6、7解:|x 2 7 =M =3.变式7.计算：4 /1 5 X2道)+书.【答案】2 4.【解 析】【分 析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算即可得出答案.【详解】原式=8 7 1 5x 3 +V 5=8 X 3=2 4.【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题的关键.题 型 七 分 母 有 理 化(1)分母有理化是指把分母中的根号化去.分母有理化常常是乘二次根式本身(分母只有一项)或与原分母组成平方差公式.1 ja yja例如：j=j=广 二 ；y/a yja-yja a1 y/b yfu yfb4a+y/b a-b,(2)两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含

7、二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式.4例7：有理化分母：4口=-4 4 R解：3+亚(3 +V 5)(3-V 5)变式8.实 数2 -6的倒数是.【答案】2 +V 3【解 析】【分析】先根据倒数的定义写出2 -6的倒数，再分母有理化即可.【详解】解：2 G的倒数是T=2空一 中，=2+也,2-V 3 (2-V 3)(2 +V 3)4-3故答案为：2 +K.【点睛】本题考查实数的倒数，分母有理化.掌握利用平方差公式分母有理化的方法是解题关键.题型八同类二次根式同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式.合并同类

8、二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变.【知识拓展】(1)同类二次根式类似于整式中的同类项.(2)几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同.(3)判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同.例8：二 次 根 式 屈、A 中与J/是 同 类 二 次 根 式 的 是.【解析】解：5=3近，R =V12-2V3.V 4 2变式q.屈 与 最简二次根式5向 方 是 同 类 二 次 根 式，则=.【答 案】2【解 析】【详解】分析：先 将 屈 化 成 最 简 二 次 根 式，然后根据同类二次根式得到被开方数相

9、同可得出关于a的方程，解出即可.详解：厄 与最简二次根式5而1是同类二次根式，且 疝=26,.*.a+l=3,解得：a=2.故 答 案 为2.点睛：本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式.题型九二次根式的加减法(1)法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变.(2)步骤：如果有括号，根据去括号法则去掉括号.把不是最简二次根式的二次根式进行化简.合并被开方数相同的二次根式.（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进

10、行合并.合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变.例 9：计算：4 V 2 +1-V 1 8 .解：4 /2+-V 1 8 =4 7 2+-3A/2=-V 2 .2 2 2变式工。计算：2 7 +2 +1 2【答 案】5 6【解 析】【分析】先将各二次根式进行化简，然后再合并即可.（详解】/2 7 +2 +S 2=3 V 3-V 6+-V 6 +2 V 33 3=5 f3【点睛】此题主要考查了二次根式的加减法，将各二次根式进行化简是解答酷暑珠关键.题型十二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用.学习二次根式的混合运算应注意以

11、下几点：与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的.在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式.（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.例 10：计算：V 48-A/3-1XV30+V24=4-痛+2 6=4+V6 变式工工.计 算:便 一2+岳 一3 A.【答 案】7-2由【解 析】【分 析】根据二次根式的运算法则即可求出答案.【详 解】解：（百 一2+岳一3，1=3-4G +4+3 仆-百=7-2 百.【点

12、睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是：熟练运用二次根式的运算法则.题型十一二次根式的化简求值二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值.二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰.例 11：已知工=6一2，卜=6+2，求代数式N-产 的值.解：=逐一2，y=石+2，.x+y=2/5，x+y=-4原式=(x+y)(xy)=-4 X 2 后=-8 7 5 .变式工2.已知m =1。（1）求代数式加2+4 m+4的值；（2）求代数式/+m 2 _ 3阳+2 0 2 0的值.【答案】（1）3 +2亚;（2）2 0 1 9【解析】【分析】（

13、1）利用完全平方公式进行计算；（2）将已知条件进行变形得到加+1 =血，两边同时平方，再通过等量代换计算.【详解】解：加=0 1，加+2 =正-1 +2 =a+1，/+4 加+4 =（加+2）2 =（应+1=3 +2 血.（2）7 =y/j.1 H 0，加 +1 =V 2，两边同时平方得加2 +2加+1 =2 ,m+2 m 1 =0，加 =1 -2 m.,两边同时乘以加得：=m-2 m=m-2 l-2 m=5 m-2 .，原式=5？-2 +1 2加一3？+2 0 2 0 =2 0 1 9.【点睛】本题考查完全平方公式、代数式的求值，灵活运用完全平方变形是关键.实战练1 3.当=时;J 2 x

14、6的值最小.【答案】3【解析】【分析】根据二次根式成立的条件即可求出答案.【详解】解：.伍 二K有意义，2x-6 0.当2x 6=0,即x=3时j2x 6的值最小,最小值为0.故答案为：3.【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件.1 4.若y=d 2 x-l+Jl-2 x +1，则中=.【答案】y .【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件得到关于x的不等式组，求出x,代入求出外即可求解.(2x-l 0【详解】解：由题意得：，.、八，解得x=g ,y=/2x 1 +-2x+l=1,xy=1 xl1 =1.2 2故答案为y.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，代数

15、式求值，熟练掌握二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式有意义的条件求出X、了的值是解题关键.1 S.当 1 2 时，代数式 J(a 2)2+|a-1 的值为 .【答案】1【解析】【分析】利用二次根式和绝对值的性质进行化简.【详解】解：原式=|。一2|+卜1|,：la 2,二 原工1=2-1 =1.故答案是：1.【点睛】本题考查二次根式和绝对值的性质，解题的关键是根据。的取值范围去绝对值进行化简.16.若二次根式 工5是最简二次根式，则最小的正整数。为.【答案】2【解析】【分析】根据最简二次根式的定义求解即可.【详解】解：.一是正整数，且 逐 不 是 最 简 二 次 根 式，.当a=l时

16、，J5a+3=&，不是最简二次根式，当a=2时，J 5 a+3=屈,是最简二次根式，则最小的正整数a为2,故答案为：2.【点睛】本题考查最简二次根式的定义.根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式.17.计算：(V5+1)(7 5-1)=.【答案】4【解析】【分析】【详解】试题分析：原式=(石)2-工2=s 一1=4.考点：二次根式的乘除法.18.实 数 上 方 的 整 数 部 分a=，小数部分b=.【答案】.2 .女 工2【解析】【分析】将已知式子分母有理数后，先估算出S 的大小即可得到已知式子的整数部分与小数部分.【详解】解

17、:13 V73+77 3+5(3+V7)(3-V7)2V479,：.2 y/l 3,即 2+3V3+V7 ya B.a=a C.a ya D.a 与 的关系不确定【答案】P【解 析】【分 析】根据的取值范围，对。和 6的大小关系分情况进行分类讨论即可解决.【详解】解：当 0,1 时，a=8;当 0 a l 时，a l 时，a 4a;所以，与 标 的 关 系 不 确 定，故选：D.掌握二次根式的意义)D.a2=b2a-b、a2 从各个式子【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质，解题的关键是:和性质.2 2.已知：a=百，b=2+百,则 a 与 b 的 关 系 是(A.ab=0B.a+b=0C.a

18、 b=【答 案】C【解 析】【分 析】先分母有理化求出a、b,再 分 别 代入求出时、a+b.的值，即可得出选项.【详解】解：分母有理化，可 得 a=2+百，6=2-6,:.a-b=(2+V 3)-(2-6)=26,故力选项错误，不符合题意；a+b=(2+百)+(2-V 3)=4,故 5选项错误，不符合题意；a b=(2+V 3)x (2-V 3)=4-3=1,故 C选项正确，符合题意；廿(2+V 3)2=4+4 6+3=7+4 5 /=(2-7 3)2=4-4 百+3=7-4 百，.苏 孙2,故。选项错误，不符合题意；故选：C.【点睛】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的

19、关键.2.5.下列二次根式中，与血是同类二次根式的是()A.V 4 B.V 8 C.V 1 2 D.V 2 0【答案】8【解析】【分析】将各个二次根式化简，再看被开方数即可得出答案.【详解】解：因为=2，7 8 =2 7 2 7 1 2=2 7 3.a=2 右，所以我与后是同类二次根式，故选：B.【点睛】本题考查了同类二次根式、二次根式的化简，熟记同类二次根式的定义是解题关键.24.下列计算正确的是()A.而=2 而 B.屈一般=6C.V 4-V 2=V 2 D.J(3)2 =+3【答案】1 3【解析】【分析】直接利用二次根式的基本性质进行化简和二次根式的加减运算进行判段.【详解】解：A、而=

20、2 后，故选项错误，不符合题意；B、晒-出=3亚-2亚=0,故选项正确，符合题意；C、74-7 2=2-7 2 .故选项错误，不符合题意;D、任 可 =3,故选项错误，不符合题意；故选：B.【点睛】本题考查了二次根式化简和二次根式的加减运算，解题的关键是：熟练掌握运算法则.2 5.有理数。和 6 在数轴上的位置如图所示，则 后 一 打-等 于（）-1 1 1-b-0-aA.a B.-a C.2 b+a D.2 b-a【答案】B【解析】【分析】根据实数与数轴的关系确定a 和 6 的符号，再化简即可.【详解】解：观察数轴可知：b O.J、-=b （a 人）=-b a +b=c t ,故选：B.【点

21、睛】本题考查了二次根式的性质与化简、实数与数轴，解决本题的关键是掌握二次根式的性质与化简、实数与数轴.2 6.九章算术中 的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术日，半广以乘正广”，就是说：“三角形的面积=底、高+2”，我国著名的数学家秦九韶在 数书九章中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求取三角形面积，用现代式子可表示为：S=k a 2 b2 一（其中或 从 c 为三角形的三条边长，S 为三角形的面积）.如图，在平行四边形/B C D 中，己知AD=也,对角线石，则 平 行 四 边 形 的 面 积 为（）A.y A B.-/2 3A/6卜2/2 (/3 I)2(6)(2

22、 0 2 1 G)+|3 J i5|一【答案】(1)1；(2)y ；(3)V 6-|V 2 ；(4)2+2/；(5)-2;(6)-2【解析】【分析】（1）直接利用二次根式的乘法法则计算出答案；（2）直接利用二次根式的乘除运算法则计算出答案；（3）直接利用二次根式的加减运算法则计算出答案；（4）利用二次根式的加减乘除混合运算法则计算出答案；（5）利用零指数累、去绝对值符号、二次根式的除法计算出答案.【详解】解：g xVi-5 =2百x百 5 =1(2)2后去后=4及x小2A g(3)7(4)?7(V 3+1)(7 3-1)+7 2 4-7 3=3-1 +-=2+2 7 2(5)(4 7 2-3

23、7 6)-2 7 2-(V 3-1)2=2-3+2 V 3-l=y -22 0 2 1 -V 3)+1 3-V 1 2|-=1 +2 7 3-3-2 7 3=-2【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除混合运算、零指数幕、去绝对值符号、解题的关键是：掌握相关的运算法则.2.8.已知a=2+J i，b=2-6 求次6+次)2的值.【答案】4【解析】【分析】先计算出。+6,a b,把次6+融2变 形 为 成(q+b),然后利用整体代入的方法计算.【详解】解：*=2+百，6=2-7 3 ,/.心(2+扬(2-扬=1,a+b=(2+也)+(2-扬=4,a2b+ab2=ab(a+b),=1x4=4.【点睛】

24、本题考查了二次根式的化简求值，注意：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值.也考查了整体代入的方法.2 9.设 a=1 +J J,b=一 1一6,求/一 加，4 2ab+62 的值.【答案】-473;12.【解析】【分析】根 据 人 6 的值计算出+6、的值，再将所求代数式因式分解，代入即可得出答案.【详解】解：7=1 +百，b=i 5,a+b=-l+y/s-1 -/3=2 9a-b=(-1+V3)-(-1-3)=-i+-2 5/3，则。2/2=(q+6)Qa-b)=-2乂 2 6=-4 百；a2-2ab+b2=(a-b)2=(2 3)2=12.【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题

25、的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及平方差公式和完全平方公式.-5 0.如 果 最 简 根 式 八 场 和 4 +2是同类二次根式,求a,b的值.【答案】。=0 力=2【解析】【分析】根据同类二次根式的定义，根指数相同，被开方数相同列方程组求解即可.【详解】解：:最 简 根 式 穴 法 和-a +2是同类二次根式,b-a -23b=2 b-a+2 解得：a=0,b=2,故答案是：a =0,b=2.【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，解题的关键是：理解同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开放数相同的二次根式叫做同类二次根式.31.已知二次根式-五（1）求使得该二

26、次根式有意义的x的取值范围；（2）已知-目 为 最 简 二 次 根 式，且 与 为 同 类 二 次 根 式，求 x的值，并求出这两个二次根式的积.【答案】（1）x 2；（2）x=l2,-5.【解析】【详解】试题分析：（1）根据二次根式有意义的条件求解即可；（2）先把A化为最简二次根式，再根据同类二次根式的概念求解即可.试题解析（1）要使-E工 有 意 义,必须x-2 X）,即位2,所以使得该二次根式有意义的x的取值范围是近2；（2）=；V 1 0 所以 x-2=1 0,解得：x=1 2,这两个二次根式的积为-厢x j g，5.3 2.一个直角三角形的两边，、恰好满足等式LJ市 行+JIIF =

27、8,求第三条边上的高的长度.【答案】4.8或6【解析】【分析】根据二次根式的意义求出”，加的值，然后利用等面积法求第三边上高的长度，需要进行分类讨论.【详解】解：1 2 +J 1 2-2 =8 ,.2/7 1 2 =0 ,解得：=6,机=8,1。当加，为直角边时，第三条边的为：用+8 2 =1 0,由等面积法，x 6 x 8 =XIO/J,2 2h=4.8，第三条边上的高的长度为4.8 .2。当加为斜边，为直角边时，所以第三条边上的高的长度为：6.【点睛】本题考查了勾股定理、二次根式有意义的条件、解题的关键是：熟悉二次根式有意义的条件.3 3.已知线段 a,b,c,且线段 a,b 满足|a-J

28、4 8 I+（6 V 3 2）2 =0（1）求a,6的值；（2）若a,b,c是某直角三角形的三条边的长度，求c的值.【答案】（1）a=4 V 3,6=4 7 2 ;（2）c的值为4括 或4.【解析】【分析】（1）根据绝对值与完全平方式非负性求出a-灰=0,6-夜=0即可；（2）分类讨论。=4近 斜边与直角边两种情，利用勾股定理求解即可.【详解】解：(1)：卜+9庖=0,|a-V48|0,(6-V32)2 0，tz J 48=0,b，32=0，a=4也,6=4A/2;(2)当a=4百，b=4 ji为某直角三角形的两条直角边时，由勾股定理c=+(4A/)=4Vs 当”=4百 为某直角三角形的斜边时

29、，b,c为直角边，由勾股定理c-yJa2 b 卜=4)A c的值为46或4.【点睛】本题考查非负数的性质，以及勾股定理，二次根式化简，掌握非负数的性质，以及勾股定理，二次根式化为最简二次根式的方法，利用绝对值与完全平方式非负性求出。，的值是解题关键.3 4.已知a,b为实数，且V IK -(61)4 m :0,求*4+。15的值.【答案】【解析】【分析】由已知条件得到4 +(1-b)F 1 =0,利用二次根式有意义的条件得到1-匠0,1+aK)再根据几个非负数和的性质得到1+。=0,1-6=0,解得a=-l,b=,然后根据乘方的意义计算序曲+片好的值.【详解】解：J T F S i)JiW =

30、o,/.Jl+a+(l-L)J l-b =0,dl+a N0,(l-b)J l-b 0l+a=0,1-6=0,解得 a=-l,6=1,：.a204+b205=(-1)2014+12015=l+=2.【点睛】本题考查了代数式求值，二次根式非负数的性质：二次根式具有非负性.非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题.3 5.求代数式a+g 二2 a z i 的值，其中a=-2 0 2 0.如图是小亮和小芳的解答过程.（1）的解法是错误的；（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：；（3）求代数式a+2 2 一 6。+9的值,其 中a=-2 0 1 9.【答案】（1）小芳；

31、（2）被开方的数具有非负性；（3）2 0 2 5.【解析】【分析】（1）根据题目中的解答过程，可以得到哪位同学做错了；（2）根据题目中的解答过程，可知错误的原因是没有正确运用被开方的数具有非负性；（3）根据题目中的式子和a的值，可以求得所求式子的值.【详解】解：；a=-2 0 2 0,A l -a=l -（-2 0 2 0）=2 0 2 1,故小芳开方时，出现错误，故答案为：小芳；（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：被开方的数具有非负性，故答案为：被开方的数具有非负性；（3）a+2 2 6a+9=a+2 J（q -3）2，V a=-2 0 1 9,A a-3 /3 +1 yj5

32、+A/3 J 7 +A/5 5/2 +1 +1【答案】回5 立p【解析】【分析】(1)分母有理化的两种方法：分子因式分解达到约分的目的；同乘分母的有理化因式达到约分的目的；(2)先分母有理化，分母都是2,分子可以出现抵消的情况.2 (V 5 +V 3 V V s V 3 广【详解】一一7厂 八 m一-=V 5-V 3；J 5+J 3 (V 5+V 3)2(6-0)_2(石-V 5+V 3-(V 5+V 3)(V 5-V 3)=7 5-7 3；(2)原式=V 3-1 V 5-V 3 V 7-V 5 +1-+-+-+2 2 2222,/3 -1 +A/5 5/3 +yfl yfs+F d2 H+1

33、 N 2 n-12，2 +1-1【点睛】本题考查了二次根式的有理化.根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化.二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子.培优练3 7.阅读理解题：学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3 +20=（1 +0）2,我们来进行以下的探索：设a +b 6 =（m +6（其中a,b,m,n都是正整数），则有a +bs/2 =nr+2 n2+2/n n /2 -a =m2+I n2,b=2 mn,这样就得出了把类似a +b g的式子化为平方式的方法.请仿照上述方法探索并解决下列问题：（

34、1）当a,b,m,n都是正整数时，若 a -b亚=（m -n也丫,用含m,n的式子分别表示a,b,得 a=,b=；（2）利用上述方法，找一组正整数a,b,m,n,填空：_V s=（_ _ _y/5）2（3）a-4 石=O-石f且 a,m,n都为正整数，求 a的值.【答案】（I）a=m2+5 n 2,b=2 mn;（2）见解析；（3）9 或 2 1.【解析】【分析】（1）利用完全平方公式把（m-n 后）2 展开即可得到用含m,n的式子分别表示出a,b；（2）利 用（1）中的表达式，令 m=2,n=l,则可计算出对应的a 和 b的值；（3）利 用（1）的结果得到2 mn=4,则 m n=2,再利用

35、m,n都为正整数得到m=2,n=l或 m=l,n=2,然后计算对应的a的值即可.【详解】a -6 石=（m-ny 5）2=m2-2/5 mn+5 n2a =m2+5 n2,b=2 mn；(2)答案不唯一；取加=2,=1,则 a=4+5=9,b=4；(3)V 2 mn=4,.,.mn=2,而7,都为正整数，m=2,=1 或?=1,n=2,当?=2,=1 时，。=9；当 m=l,n=2 时,a=2 1.即a的值为9或 9.故答案为a=m2+5 M,b=2 mn;(2)见解析;(3)9 或 2 1.【点睛】本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.