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1、湖南省长沙市八校联考2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题学校:姓名:班级:考号:、单选 题1.函数，（x）=ln x+2 x-6 的零点的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.32.四个函数:y=xsinx；1 y=xcosx；-1y=x|cosx|；n y=2、的图象（部分）如下,但顺序被打乱,则按照从左到右将图象对 应的函数序号安排正确的组是（）A.B.C.D.3.已知锐角三角形8 c 的内角 8,C 的对 边分别 为“,且“=sinA,则cosA+sinC的取值范围是（）A.（y,V 3）B.淮+C.（,&D.（1,V3）4.古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着个圆柱,圆柱内有
2、一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,据说阿基米德对 这个图最引以为自豪,则 该 圆柱的体积与球的体积之比为（）A.2:1 B.75:2 C.3:2 D.4:35.已知函数，（%）=24+1 加在区间 0,1 上有且只有一个零点，则正实数加的取值范围是（）A.（0,l u 2百,+8）B.（0,0 3,+8）C.。,0 2 +8）D.（0,l u 3,+o）6.己知。为正三角形A 8C内一点,且满足 砺+丽+（1 +）诙=0,若AOAB的面积与A04C的面积之比为3,则=（）7.AABC三边a,b,c,满足。2+/+Z?c+c。,则三角形ABC是（）A.锐角三角形 B,钝角三角形 C,等
3、边三角形 D,直角三角形孙 x8.已知实数满足（x-2）2+（y-5 =4,则2x2+(y-l)的最大值为（）A.巨灣B-17D.n二、多选题9.已知函数（力=:；,若 2 1）+=3,贝 “的值可能为（）A.1 B.-1 C.10 D.-1010.八卦是中国文化的基本哲学概念,如图1船八卦模型图,其平面图形记为图2 中的正八边形8 8 EFG”,其中丨。4|=1,则下列结论正确的有（）C.AH OH=BC BOB.OB+OH=72 0 ED-而 在 通 向 量 上的投影为一等1 1.定义2x2行列式“=aa4-a2a3,若函数（x）=cos2x-sin2xcos +2x【2,则下列表述错误的
4、是（）A./（x）的图象关于点（乃,。）中心对称B.”可 的图象关于直线x=对称C.x）在 区 间4,。上单调递增D./（x）是最小正周期为万的奇函数1 2.如图,在三棱锥P A8C中,D、E、F 分别为棱P C、AC.AB的 中 点,丄 平试卷第2 页,共 5 页面 ABC,NA8C=90,AB=PA=6,B C=8,贝 （）A.点P 与点8 到平面。防 的距离相等B.直线 B与直线垂直C.三棱锥-8所 的体积为18D.平面所 截三棱锥P-A 3 C 所得的截面面积为12三、填空题13.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责,每次献爱心活动均需该组织2 位同学参加.假设李老
5、师和张老师分别将各自活动通知的信息独立,随机地发给2 位同学,且所发信息都能收到,则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信 息 的 概 率 为.14.函数 y=sinx+cosjc+2sinxcosx+2 的值域是.15.已知4 0力 0,且2+=1,若不等式士+2，恒成立,则实数，的最大值是16.如图，在棱长为2 的正方体中A 8 C O-A 4 G R,点M 是A。的中点,动点尸在底面 A8C。内（包括边界）,若 4 P 平面A B M,则C/与底面A8C。所成角的正弦的取值范围是四、解答题1 7 .已知集合=卜|5 x-6 4 0 ,集合3 =乂 6 d-5 x +l 0 ,集合c=L
6、|-0.(1)求函数 =/(x)的值域;(2)若=1,讨论 x)在区间 p y 上的单调性;(3)若/()在区间,耳 上为增函 数,求。的最大值.2 0 .已知函数y(x)=o x2+2(a-2)x+l,其中。wR.若对任意实数X,巧42,4,恒有再).9s i n 2 ,求 4 的取值范围；(2)是否存在实数看,使得空,0 且(为)=|2 一 a|+2?若存在,则求与的取值范围;若不存在,则加以证明.2 1.如图,在平面四边形8 8 中,A D =BD,NAD B=9(),CD =2 6,B C =2.试卷第4 页,共 5页DC(1)若8。=45 ,求线段/C的长:(2)求线段 C长的最大值
7、.2 2.已知函数/(x)=|玳 x-2 a),g(x)=|o r 一身,其中八,.(1)求函数(x)在-1 上的最小值;(2)若函数/7(X)=/(X)-g(x)恰好存在三个零点、巧、x3J且丄+丄=T,求4演 x2 x3的取值范围.参考答案:1.B【分析】利用函数的单 调性及零点存在性定理即得.【详解】由于函数在(0,+8)上是增函数,K/(l)=-4 0,故函数在(1,3)上有唯一零点,也即在(0,+8)上有唯一零点.故选:B.2.B【解析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号,判断函数的图象 特 征,即可得到.【详解】解:y=x-sinx为偶函数，它的图象关于y轴 对称，故第一个图象即是
8、;口 y=x-cosx为奇函数，它的图象关于原点对称,它 在(0,)上的值 为正数，在(3 上的值 为 负数,故 第三个图象满足;=xJcosH为奇函数，当x 0时,/U)0,故第四个图象满足;=2为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性,故第二个图象满足,故选;B.【点睛】思路点睛:函数图象的辨识可从以下方面入手;(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置:从函数的值域,判 断图象的上下位置.(2)从函数的单 调性，判断图象的变化趋 势；(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.3.B【分析】利用正弦定理化简已知条件，由此求得sin B进而求得8 的大小.根
9、据三角恒等变换化简8sA+sinC,由此求得取值范围.【详解】依题意=2Z?sin A,由正弦定理得sin A=2sin3sin A,所以sin8=g,由于三角形ABC是锐角三角 形,所 以 8=答案第1页,共 17页所以 c o s A+s i n C=c o s A+s i n (苧-A)=c os A+c o s A+s i n A=c o s A 4 -s i n AI 6 丿 2 2 2 2=百s i n(A+J,由于?+所以s i n(A+g)w 卜所以s i n(A+()e 5,5.故 选:B【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形,考查三角函数值域的求法,属于基础题.4.C【分析
10、】本题先找出圆柱底面和高分别与内切球的半径的关系,然后根据公式进行推理运算即可【详解】由题意,圆柱底面半径，等于球的半径R,圆柱的高力=2R,则=(,监=兀 h=兀 2R=2兀 K.%_ 2万戸=3故 选:C.5.D【分析】将零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，通过对参数讨论作图可解.【详解】/M在区间 0,1上有且只有一个零点0 2皿 厶+1 力=0在区间 ,上有且只有一个解,即-2皿=41在区间 上有且只有一个解4 h(x)=nrx2-2mx-m,g(x)=一 1,当丄2 1,即-l,/?(l)=/n2-3/n =m-|j-0,g(0)=.l,g(l)=0 ,由图!知,此时函数一
11、)与函在 内上只有一个交点;当丄1时,因为-n?=-E 即。=一 一O E,所以;1 =即x 1 =丄.3 2 2 2故选:A.【点睛】本题考查了平面向量共线、线性运算及基本定理的应用,考查了运算求解能力与转化化归思想,属于中档题.7.C【分析】由基本不等式得出一 一 N ,将三个不等式相加得出cr+b2+c2ab+bc+ca,由等号成立的条件可判断出A 48C的形状.b2+c2【详解】.,a,b,c为三边,a,b,c0,由基本不等式可得 -Nbc,将上述三个不等式相加得+庁+2+ca,当且仅当。=b =c时取等号，所 以,AABC是等边三角形，故选C.【点睛】本题考查三角形形状的判断,考查基
12、本不等式的应用，利用基本不等式要注意“一正、二定、三相等”条件的应用，考查推理能力,属于中等题.8.Axy-x【分析】由原式2+_,明显考查斜率的几何意义,故上下同除以x（y-i）得y+也,再画图分析求得的取值范围,再用基本不等式求解即可.y-l x【详解】所求式n),T)2x2+(y-l)2 2x2+(y-l)2 上下同除以 一D得 名+!又 的几何意义 为 圆上任意一点M（x,y）到定点N（0,1）的斜率,答案第4页，共17页由图可得,当过N(0,1)的直线与圆相切时取得临界条件.当过“坐标 为(0,5)时相切为个临界条件,另临界条件设 N：y T =(x-o),化成一般式得依+1 =0,
13、因为 圆与直线相切，故圆心(2,5)到直线7+1 =0 的距离=陰 =2,所以-3 v-1+1,2 42+4=2+1,解 得 攵=:,故-3,+004,设=二,则X4 x丄+1 2+又 y 1 x k3,4-oo4,故2 +2=2&,当=0时取等号.故_ _ _=_2x,y-1 1 2 丄 272 4,故选 A.-r-卜 Ky-x k【点睛】本题主要考查斜率的几何意义,基本不等式的用法等.注意求斜率时需要设点斜式,利用圆心到直线的距离等于半径列式求得斜率,在用基本不等式时要注意取等号的条件.9.AD【分析】首先求得(q)=1，再讨 论。的取值,解方程即可求解.【详解】/(l)=e =l,因为2
14、l)+/(a)=3,所 以/(a)=l,当a 0时,a)=e T=l,解 得:a=,故选:AD10.ABC【分析】由向量数量积的定义可判断A C;由向量的线性运算以及模长公式可判断B,由向量投影的定义可判断D,进而可得正确选 项.【详解】因为边形ABCQEFG是正八边形，且1。4|=1,答案第5页，共 17页所以I O AR 0 8 1=|O DH O E|=|O H|=1,对于A:与5 之间的夹角为4X3 =，O X-O D=1X1XCO S-=,8 4 4 2故选项A 正确;9 7 7 TT对于B:而 与 丽 之 间的夹角为丁X2 =7,可 得 丽.两=0，2|丽+丽 卜 J(丽+丽)2
15、=y/oB2+Olf=y/2,所以砺+而=0砺=应 丽,故选项B 正确;对于C;因为|而 卜|明,|所 卜|丽|且夹角相等,由数量积的定义知A H O H =B C-W 故选项C 正确;对于D：N H A B =把,所以而 在 通 向量上的投影为|丽卜o s 弓=一等|而因为|加 卜 1,所以而 在 通 向量上的投影不是变,胡选项D 不正确;故 选;ABC.1 1.A B D【分析】首先化简函数(x),再根据三角函数的性质,判断选项.【详解】由题中所给定义可知f(x)=co s2 x -s i n ，3 co s(2 x +)=co s 2 x+百 s i n 2 x=2 co s(2 x-)
16、,3A J()=2CO S(=1。,故 A 错误;B./j =-2 co s y =-l 2,故 B 错误；TT IT 2.71 7tC.xe-,0时,2 x-e -,此时函数单调递增,故C 正确;_ J 3 3 3 _D.T=3 =,但()K0,所以函数不是奇函数,故D 错误.故 选:A B D1 2.A D【分析】证明B4/面 ,点 P与点A 到平面。E的距离相等,再由点5与点A 到平面。所 的 距离相等可判断A;证明 所 丄平面R R,假设P 8 丄。,则。F 丄平面而过点F有且只有一条直线与平面以 8垂直可判断B 5计算三棱锥。BE的体积可判断C；答案第6页,共 1 7页取 尸 8 的
17、 中 点 连 接。M,F M,计算截面四边形。ERM的面积可判断D,进而可得正确选项.【详解】对于A:因为。、E 分别为棱PC、AC的中点,所以DE/PA,因为面。E尸,D E u面。E F,所以月/面。E F,所以点尸 与点A 到平面。E的距离相等，因为是线段A 8的中点，所以点B与点A 到平面。E F的距离相等,所以点P与点8 到平面。E F的距离相等,故选项A 正确;对于B:因为R4丄平面ABC,BC u面 ABC,所以BC丄R 4,因为ABC=90 ,即AB丄BC,ABrPA=A,所以BC丄平面P 4 3,因为E、分别为棱AC、A 8的中点,所以EF/BC,所以EF 丄平面3,因 为
18、平 面 P 4 B,所以EF 丄 钻,因为E丄 平面ABC,A B I面 A B C,所以。E丄3,因为所门。=E，所以A 3丄平面。EP,因为。u面。E尸，所 以 丄。尸,假 设 依 丄。，A B c P B =B,则。丄平面B48,而过点F有且只有一条直线与平面 B垂直,假设不成立，所以直线 B与直线。不垂直，故选项B 不正确;对于C:因为。、E分别为棱PC、AC 的中点,所以。E/PA,且。E=；PA=3,因为PA丄平面A B C,所以。E丄 平面A B C,因为为A 8的 中 点,2A8C=9(T,所以S诋=A4s c =x x 6x 8=6,所以VD-BEF=5BEF，D E =X6
19、X3=6,故选项C 不正确.对于D:取?8 的中点M,连接M,F M,则四边形。EF M即为所求截面.因为。,M 分别为!PB,PC的中点，所以。MBC且。M=BC=4,同理可得EF/BC且 所=g8 C,所以EF/DM且 E F=D M ,D E 丄E F,所以四边形。7 f为 矩 形,。=：24=3,所以截面面积为3x4=12,故选项D 正确;答案第7 页，共 17页故 选:AD.【分析】问题的对立事件是甲同学既没有收到李老师也没有收到张老师的信息,而李老师和张老师的信息是相互独立的,进而算出概率.【详解】设甲同学收到李老师和张老师的信息分别为事件A,B,且相互独立，尸 网 25则甲同学收
20、到李老师或张老师所发活动通知为:1 尸（血）=1-故答案为:1 4.3+&【分析】首先换元sinx+cosx=，再利用三角变换,将函数转化为关于,的二次函数,再求值域.【详解】设sinx+cosx=f,因为，=&sin（x+5）,所以，-及,8 ,贝 2 sin xcos x=/1,当”一时,函数取得最小值,当及时,函数取得最大值3+血,所以函数的值域是R，3+应_4 _故 答 案 为:+夜_4 _15.9【分析】利用+二一+（2。+）求+的最小值即可.a b a b）a b【详解】+：=（2+：（2a+）=+学+5 22、隹羊+5=9,当且仅当。=6=:时取等a b ya b）a b a b
21、 3号,不等式+?恒成立，则机 9,故 的最大值为9.a b故答案为:9.答案第8 页，共 17页16.也T fo2 6【分析】取8c的中点N,连接。N,B、N ,B Q,可证明平面8QN 面A8M,即可得点P在线段/W上运动,连接CP,C/,则/C/C即为G P与底面A 8 C D所成角,si nN C；P C =,由CP的范围求出C的范围即可求解.【详解】取BC的中点N,连接。N,B、N ,%。,则D N BM,DN a面A、B M ,5 u面A8M,所以0N面创同 理:BNHA、M ,8面A8M,4 Mu面 8加,所 以 面4物0,因 为DN c B M =N ,所以平面片。N 面ASM
22、,因为片P 平面ABM,且点尸 在底面A8CD内（包括边界）,所以点尸在线段。N上运动,连接C P，G P,因为CCJ面A B C。，所以NG PC即为C/与底面A B。所成角,在 心6 PC中,si n ZQPCq c 2G P c、p在R C DN中,当点尸与点。重合时C尸最长为2,此时。最长为2?+2 2 =2忘,当CP丄。N时,C q最 短 为 竿=2近,此 时C3最短为V 5 52A/305即C/e,2 a1-G P也回4 12答案第9页,共17页所以 si n/CPC=-G悍 用G尸q p故答案沏快,料.17.(l)x|-14x /或?x 4 6(2)(-3,-1.【分析】(1)根
23、据一元二次不等式的解法求出集合A、B,即可求出A fl B;(2)由AUC=C,可知AgC,得到不等式组,即得.(1)A =x|x2-5 x-6 !,A =x|-l x 6,3 =卜|工；,(2)A =x|-l x 6,C =x|0?=x m x 6m/3 +c 12【分析】()由条件利用正弦定理求得si nB的 值,可 得B的值;()使用正弦定理用si nA,si nC表示出a,c.得出a+c关于A的三角函数,根据A的范围和正弦函数的性质得出a+c的最值.【详解】解()锐角 AA8C,、屍=2S i nA,.屈i nA =2 S i nB S i”V S i nA *0.S i nB =.X
24、 0 B-.=22 3(I I)B=,b=6,3答案第10页,共17页 丄=上=丄=斯由正弦定 理 得 sirtA sinB sinC.，sin3a=4y/3sinA,c=4G s加C=4G si小 网-A).a+c=4y/3sinA 4-4/3sin(.-A)=12sin(A+).3 60 A -0,2，2 A g ，二 A+生.c/2兀人/兀 6 2 3 6 30 -A 3 2 sin(A+67312s 泳 A+-)1 2.2 6 6.a+c的取值范围为6百 a+c412【点睛】本题主要考查正弦定理,余弦定理的应用,基本不等式的应用,属于基础题.19.(1)1 5,1+V3J在区间 上单调
25、递增，在!,上单调递减 4 J|_ 4 3娜【分析】(1)首先化简函数(X),再求函数的值域;(2)利用代 入 法,求2X的范围，再结合函数的性质，即可求解函数的单调性;(3)由(1)可知，/(x)=s in 2 o x+l,首先求2 5 的范围，再根据函数的单调区间,求。的最大值.(1)(7(x)=4 cos-+sin sin +cos2Gx=2V3 cos 6;xsin cox+2sin2 cox+cos 2cox=5/3 sin 2cox+!一 cos 2cox+cos 2cox=3 sin20冗 T T若函数在区间一丁,上为增函数,一 3 ;r -则,解得:/冗 6CO7l 0 和“0
26、,/aXq 0,x0 0,2x0 0,/(%)=|2 5 一 4+2 cix+2(。-2)/+1 Ci2xf)+2x：+2o,=(2x0+(x：+2x0-1)0 n(2/+l)x0-(应一川 竝一川0,不0,x0-（V 2-l）0,口不等式变为（2。+1）。（竝-1）0,1 X。应1,一；(2)。,ax0 0,/.2XQ-a 0 9./()=12一4+2 C IXQ+2(Q 2)+1 =2 tz+2%+2 ax0-4x0+1+a=2x0+2=a(片+2x0+1)=6 +1=。=!6x0-+-1 -6x 1 1oxQ+2玉)+1 +lxo6 x0 0,此时无解.综上所述,存在x e卜 -1,-；
27、)满足题意.21.(1)275;(2)6.【分析】（1）根据给定条件,利用余弦定理求出8。,再利用余弦定理计算作答.设 4C=6（0”兀）,在 3CO中用余弦定理求出8。,用正弦定理表示出NCDB,再在AAOC中，利用余弦定理列式求解作答.（1）在 BC。中，C D =2 y i,BC=2,ZBDC=45,由余弦定理得:B C2=C D2+B D2-2 CD -BD cos Z B D C,即 8480+4=0,解得即=2,在AAOC中，A D =B D =2,Z A D C =1 35,由余弦定理得:AC2=A D2+C D1-2 A D C D cos Z A DC,答案第13页，共 17
28、页所以A C =卜 +(2 -2 x 2 x 2 伝(字 =2 石.(2)设 8 C Z)=e(0，兀)，在 B C 中,由余弦定理得:B D =722+(2A/2)2-2X2X2/2COS6 =V 1 2-8 c os(9 .由正弦定理得:s i n/B D C =,A D =B D =7 1 2-8 c os 6 D U tSU在 AAOC中,由余弦定理得：A C2=A D2+C D2-2(1CD f|+Z B C|=1 2 -8 及 c os。+8+4同。s i n Z B D C=2 0 +8 竝(s i n 6 -c os 6)=2 0 +1 6 s i n(9-)2、丄2 两种情况
29、讨论,利用韦达定理和求根公式可得出1+1 +1的表达a a占 2*31 1 1 1 1 1,式,并求得一+一+的取值范围,根据一+=T 可求得实数”的取值范围.(1)解:因为/()-X2+2 a r,x 0所 以,函 数 対在(f,。)、(0,+。)上单调递增,在(。,)上单调递减,当2。&一1 时,即当时,/(而=0)=0；当一1 2 0 时，即当;4 时,/(j-)i n i n=/(_1)=_2-1.答案第1 4页，共 1 7 页综上 所 述,函 数/(X)在1 1,1上的最小值 为 x*=0,/2-2a-,-a 02(2)解:(x)=O =/(x)=g(x),不妨设 三,因为g(x)=
30、|=,bax-b,x a口当 2。时,即当。2时,a由 ax-b=-x2+2orKTWx2-ax-b=O 即为方程:=0 的根,由一OT+=+2 可得3奴+=0,即芍为方程3or+6=0的根,由一g+=20r可得or-6=0,即为方程or=0的根,由图象可知、是方程一以6=0的两根，巧是方程V3以+=()的较大根,则丄=2=2卜7 9“)=3 1 9 a?-4b X 3“+的 -4(34+阮2-4川3-/9加 2b一加!1 1 a-yj9a2-4b可得一+=-x,x2 七 2 Z?令I=a-如a2-4b w(4a,2)，ffff/?=丄，答案第15页,共17页1 +1 +1 -2-t-=-2-
31、则 x2 x3 9 _（_ .I 8。I 2a ,t因为函数y =-/+苧+2”在（4a,2上单调递减,：2 1 1 1 _ 2（1当，4a,2a）时,-r +2e（4a,0）,则 针 石=?二 ，五t9 a 2由一依+/?=+2以可得3 0 x +=0,A =9 2-4Z?0 可得 ,4且当4 2a 时,即 当 2 4 6%:时,a4由一依+=2奴可得 ax-b=0，由图象可知为、巧是方程+=0 的两相异根,是方程这一 力=0 的较大根，由韦达定理以及求根公式可得丄+丄=士=学,x +C+4x x2 xx2 b 2所以!_ 2 _ 2（A/77-）行 国 a+/a2+4b（+4 +a）（J，
32、+4 b-a）2 b_ 日 1 1 1 5a+J a2+4b可得一+=-，x,x2 x3 2 b令s =5 a +厶 2+4e 2a,（5-V!可 a）,而。1 1 1 2 s 2-F-F =-=-贝 x.X,X,52-1 Oas+2 4a2 2 4a2 1 .12 3 升-0a由双勾函数的单调性可知,函数y =s +平 一 1 0 a 在 2a,（5-VI a 可上单调递减,答案第1 6 页，共 1 7 页且当s e2a,（5质）a）时,j；+-10a0,则六 24 在2a,（5 历）上单 调 递增,S/2 1 10-2X/T0当se 2 a,（5一 如 时，。=24a2 se五 L ,s+-10a L S修 21 1 1 f 10-2 丽综上所述,一+-HW-，石 I 9。丿又满足丄+丄+丄 ,故 1,即2所。,演 七 七 9a 9【点睛】关键点点睛:本题考查利用利用方程根相关的等式求参数的取值范围,解题的关键在于确定的根与二次方程的关系,利用韦达定理结合求根公式将等式与参数。联系起来,利用已知的不等式关系求出范围,即可得解.答案第17页，共17页