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1、江苏省扬州市2021-2022学年高三上学期期中考试模拟数学试卷学校:姓名：班级：考号：一、单选题1.已知集合A=x|0 x 0 ,则如图所示的阴影部分表示的集合 为（）A.(3 0,3 2,-Foo)B.(-oo,-3)u2,+oo)C.(YO,0)U(2,+OO)D.(-0 在 R 上恒成立”的充要条件是()A.m B.m 4 4C.m6.现安排甲、乙、丙、丁、戌 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙、丙都能胜任四项工作，丁、戌不会开车但能从事其他三项工作，则不同安排方案的种数是（）A.1 5 2 B.1 2 6
2、 C.9 0 D.5 47.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v n V s 和燃烧质量M 千克，火 箭（除燃料外）的质量小千克，它们之间的函数关系是v =2 0 0 0 1 n（l +竺），当燃料质量是火箭质m量 的（）倍时，火箭的最大速度可达到1 2 k m/s?A.e6 1 B.1 06 1 C.e 丽 1 D.I QTO O _ 8 .已知函数+则对任意实数不，巧，“苞+%0”是 （%）+刍）0 的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、多选题9 .已知函数 x）=s i n（2 0 x +e）（0 O,O e 则&=ED.若%6为平面
3、的一组基底，则a+5,a-5 是构成平面的另外一组基底1 2.已知lnX 1 一%一 +2=0 ,x,+2y2-21 n2-6 =0,记M=（西一 xj+（%-%产，贝 l j（）A.A/的最小值为m B.当A/最小时，=4 1 2C.M 的最小值为二 D.当M 最小时迎=不三、填空题1 3.已知（1 +x）2 =4+O j X+O j X2+a3x3 H-H a20 22x20 22,则 4 +%+%+a202i=1 4 .老师要从6篇课文中随机抽3 篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2 篇才能及格.某位同学只能背出其中的4篇，则 该 同 学 能 及 格 的 概 率 是.1 5 .在
4、三棱锥 P-A 8 C 中，N P CB=Z A 8 C =9（y，P C =2,AB=,B C =3,=则该四面体外接球表面积为一.1 6 .若过点尸（1,团）（m 力-2）可作函数/（x）=d 3x 的三条切线，则?的取值范围为四、解答题17.现有下列三个条件:函数/(x)的最小正周期为万；函数“X)的图象可以由y=sinx-cosx的图象平移得到；函数/(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离.从中任选一个条件补充在下面的问题中，并作出正确解答.已知向量庆=(石 sinfyx,cos2yx),n=(2cos 0,函数/()=玩”.且满足(1)求/(力 的表达式，并求方程/(q=1 在闭区间。
5、,句上的解；(2)在 AABC 中，角 A,B,C 的对边分别为。，b,c.已知|(3a-c)cosB=Z?cosC,4)=2,求cosA的值.18.已知不等式+(1 a)x+a-1 0.(1)若不等式对任意实数x 恒成立，求实数的取值范围；(2)若不等式对a e 0,1 恒成立，求实数x 的取值范围.19.某公司对400名求职员工进行业务水平测试，根据测试成绩评定是否预录用.公司对 400名求职员工的测试得分(测试得分都在 75,100 内)进行了统计分析，得分不低于 90分为“优”，得分低于90分为“良”，得到如下的频率分布直方图和2x2列联表.男男 女 女 合 合 计 计优(得分不低于9
6、0分)80良(得分低于90分)120合计400(1)完成上面的2x2列联表，并依据a =0.05的独立性检验，能否认为求职员工的业务水平优良与否与性别有关联；(2)该公司拟在业务测试成绩为优秀的求职人员中抽取部分人员进行个人发展的问卷调查，以获取求职者的心理需求，进而制定正式录用的方案，按照表中得分为优秀的男女比例分层抽取9 个人的样本，并在9 人中再随机抽取5 人进行调查，记 5 人中男性的人数为X,求 X 的分布列以及数学期望.参考公式：20.在平面凸四边形 4BC。中，ZBAD=30,ZABC=135,AD=6,BD=5,B C=3x/2.(1)求 cos Z DBA；求 CD长.21.
7、如图，尸是正方形ABC。所在平面外一点，PA=P C =AB=2,且平面R 4C L平面ABCD,E,尸分别是线段AB,PC 的中点.p 求证：BD1PC-,求证：E F 平面(3)求点E到平面P A O的距离.2 2.已知函数/(x)=f+2|x-a|,aeR.(1)当。=2时，在(?,加+2)上为单调函数，求用的取值范围;(2)求函数“X)的最小值.参考答案:1.A【分析】根据阴影部分表示的集合为a A c B求解.【详解】因为集合4 =卜|。%2,所以A=x|x40 或 X22,又因为8 =卜,2+2-320=川4-3或工31,所以阴影部分表示的集合为Q 4 c B =x|x V-3或X
8、2 2,故选：A2.A【分析】根据复数代数形式的乘法法则计算可得;【详解】解：(l+2i)(2-i)=2-i+4i-2i2=4+3i故选：A3.Ccos(a 80【分析】利用诱导公式、两角和公式可得sincr coslO+cos a sin 10=M巾./、-，再利用sin(a-10)sinacoslO-cos a sin 10弦化切即得.【详解】*tan a=2tanl 0,cos(a -80)cos(a +1 O-90)sin a-1 0)sin(a-1 0)sin(a+10)sin(a-1 0 )_ sinacoslO+cos a sin 10sinacoslO-cos a sin 10
9、_ tana+tan 10tana-tan 103 t a n l O:.=-=5t a n W ,故选：C.4.C【分析】求出函数的定义域，值域，函数的单调性，对称性，对选项ABCD分别进行判断即可得.【详解】解：由 题 设 有，/,二八，解得-130或0 0故函数的定义域为-1,0)5 0,1 ,故A正确.当 x e 卜1,0)0,1 时，f(x)=l i W ,此时/(-x)=-/(x),-x所以/(X)为 T，0)u(0，l 上的奇函数，故其图象关于原点对称，故D正确.、J 1 -,X 1,0)f(x)=-,l x2,x e (0,1 当 1,0)时，0 /(%)1;当xw(O,l 时
10、，-l /(x)!，再由，!，说明不等式44X+机 0在R上恒成立，即可得答案.【详解】不等式d-x+机 0在R上恒成立，/.A=(-l)2-4 m 0 ,解得，又!,A =l-4/n 0 在 R上恒成立，4”:，是 不等式f _x+w oR上恒成立”的充要条件，4故选:A.6.B【分析】根据题意，按丁、戌的分工情况不同分两种情况讨论：(1)丁、戌一起参加除了开车的三项工作之一，(2)丁、戌不同时参加一项工作，分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案【详解】根据题意，分情况讨论：(1)丁、戌一起参加除了开车的三项工作之一，CM；=18种，(2)丁、戌不同时参加
11、一项工作，进而又分为2种情况一是甲、乙、丙三人中有两人承担同一份工作，则先从翻译、导游、礼仪选两项工作安排给丁、戌有8 种，再从甲、乙、丙三人中有两人承担同一份工作有C；种，则有片=3 x2 x3 x2 =3 6 种，二是丁或戌与甲、乙、丙三人中的一人承担同一份工作，先从甲、乙、丙三人中选一人与丁、戌中选一人承担同 一 份 工 作 有 种，然后从翻译、导游、礼仪选两项工作安排给含丁或戌的两组有 种，所以有=3 x2 x3 x2 x2 =7 2,由分类加法计数原理可得共有18+3 6+7 2 =12 6故选：B7.A【分析】当火箭的最大速度可达到12 k m/s,即丫=12 000,代入题给的函
12、数关系式v =2 0001n(l +),再根据指对数式的互化，可化简整理得出”的值，即可得出答案.m n i【详解】解：由题可知，v =2 0001n(l +),m当=1 2 0 0 0,则 20001n(l+)=12000,m,-.ln(l+)=6,则 1 +丝=1,解得:rnm即当燃料质量是火箭质量的e 6-l倍时，火箭的最大速度可达到12km/s.故选：A.8.C【分析】判断函数的奇偶性和单调性，结合函数的性质判断玉+七0与/（与）+/（电）0的关系即可.【详解】V/(x)=ln x+1)+/(-x)=ln -x +Vx2+l j +|-re-A+l=ln(-x+l-ev+-l+evf(
13、x)+f (-x)=In(x+J x，+1)+In 卜x+函数=ln(x+/p n)+W 为奇函数，Vx2+l)+j 7=ln l+0=0,又 x)=ln(x +J x，+1)+jtlz2=in(x+x/77T)+i-等当x 0时，函数y=1n（x+7 7 W）单调递增，丫 =5单调递减,所以函数f(x)=ln(x+&+)所以函数x）=hl n(x+1)e-l+-eA+1ex-lH-eA+l在（0,”）上单调递增，又函数”X）为奇函数,在（-CO,+00）上单调递增,由0可得X -/，所以/（%）/（-乂2）=-/（），故/（与）+/（马）0,由/（4）+/（）0可得/（为）-/（毛）=/（-
14、%），所以X|F，所以为+*2。,所以“占+%0”是“/（%）+/（%）0”的充要条件,故选：C.9.BD【分析】利用待定系数法求出如。，从而可求出函数f（x）的函数解析式，再根据正弦函数的对称性，单调性，奇偶性及平移变换的特征逐一判断即可.【详解】解：因为“X)的图象过点(o，j,所以s i n e =g,因为0 0 令 X=_ ,得 2 -=4+4-”2022，两式相减得 2)=2(4+c 4 H 则/+/+%+W021=-22,D 错误.故选：B C.11.AB C【分析】利用零向量与任意向量共线结合充要条件判断A的正误；利用平面向量的基本定理判断B；举反例可判断C；假设存在实数2使得G
15、 +B =7(1-5),解方程可判断D.【详解】对于A,当 同 一 忖=同+忖 时,则 丽=0,则在方共线成立，但当1,5共线时,推不出同-忖=同+|同，所以同一|5卜同+|5|是八方共线的充分不必要条件，故A不正确;对于B,当坂=0时，R区，不存在唯一的实数4，使得万=XE，故B不正确；对于c,已知展6=6.0，若加=0，则m w 5,故c不正确；对于D,假设存在实数4使得1+5 =2仅-5),则a _热+花+%0,所以(i-2)a+(A+i)S=0,因为。5不共线，所以1一/1 =4+1=0无解，故1+5,汗-5不共线，故&+是构成平面的另外一组基底.故 选:AB C.12.AB【解析】根
16、据条件可将”=(3-七)2+(%-%的最小值，转化为函数y =l n x -x+2图象上的点到直线x+2y-6-21n 2=0的距离的最小值的平方，结合两直线的位置关系和导数的几何意义，即可求解.【详解】由l n X|-%+2=0和三+2%-21n 2-6 =0,则 M=(x,-x2)2+O-,-y2)2 的最小值,可转化为函数y=ln x-x+2 图象上的点到直线x+2y-6-21n2=0 的距离的最小值的平方,又由 y=ln x-x+2,可得y =L-1,X因为与直线电+2%-21n2-6=0平行的直线的斜率为-g ,所以_L_1=(，解得x=2,则切点的坐标为(2,ln2),x 2所以(
17、2,In2)至 lj直线2+2y?-2In2 6=0上的总巨离 d=R+2M2 J-21n2|=延，V5 5即函数y=ln x-x+2 上的点到直线x+2 y-6-2 山2=0 上的点的距离的最小值为d=拽,所以M=(J +(%-%产的最小值为小 4，又过(2,ln2)且与直线x+2y 6 21n2=0 垂直的直线为y ln2=2(x 2),即 2 x-y-4 +ln2=0,联立方程组2 x-y-4 +ln2=0 x+2y-6-21n2=0解得x=,即当A/最小时，X2=y.故选：AB【点睛】本题主要考查了函数与方程综合应用，以及导数的几何意义的应用，其中解答中熟练应用导数的几何意义，合理转化
18、求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.13.22021【分析】利用赋值法分别将x=l 与x=-1带入原式求解即可.【详解】解：令X =l，则4+4+.+%)22=(1+1)2侬=222 2 ,令 X=_,则 为 _ 6+/_.+2022=0，72022 _n则一可得：4+%+。2021=-=22 0 2,故答案为：22021414.-#0.85【分析】考虑对立面，用1减去只能背出1篇的概率即可.C2C 4【详解】P=14故答案为：y.15.14乃【分析】利用勾股定理可得出Z/WP=NACP=9 0，可知a为三棱锥P-A B C的外接球直径，再利用球体的表面积公式可求得结果.【详解】如下图所
19、示：因为 NPCB=ZABC=90.由勾股定理可得 PB=y/PC2+BC2=V l3，AC=JAB、+BC2因为 PC=2,AB=,AP=E，则 P32+A 82=P A 2=PC2 +AC2,所以，ZA8P=NACP=90,取批的中点。，连接。8、O C,则08=0C=0P=0A=PA=X ,2 2所以，点。为 三 棱 锥ABC的外接球球心，且球。的半径为R=Y区,2因此，该四面体外接球表面积为4万A?=14万.故答案为：14万.16.（-3,-2）【分析】设切点为（。3_3。），利用导数的几何意义，求切线的斜率A=r（。），利用点斜式写出切线方程，将点A代入切线方程，可得关于。的方程有三
20、个不同的解，利用参变量分离可得2,-3a2 =-3-加，令g(x)=2/-,利用导数求出g(力的单调性和极值，由y=g(x)与y=-3-m有三个不同的交点，即可得到，的取值范围.【详解】设切点为(。,苏-3 a),而r(x)=3 f_ 3,切线的斜率上=/(。)=3片一3,故切线方程为y-(3a)=(3/-3)(x-a),切线过点(“3 3。)=(3 2 a),即 2a3 3a2=3 m,过A。,，耳(加工-2)可作曲线y=/(x)的三条切线，关于a的方程2/-3a2=一3-?有三个不同的根，令 g(x)=2x3-3x 则 g，(x)=6/-6x=0,解得x=0或x=l,当 x0 时 g 0,
21、当 0 xl 时 g x)l 时 叫 勾 0,.遭(X)在(,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，在(I,”)上单调递增，当x=0时，g(x)取得极大值g(0)=0,当x=l时,g(x)取得极小值g(l)=-l,关于a的方程2a3-3a2=-3-m有三个不同的根，等价于y=g(勾 与 =-3-m的图象有三个不同的交点，-加 0,即一3cm/2所以 cos A=cos 万一(8+C)=-cos(8+C)=cos 8co sc+sin BsinC x_L+鸟速=3 2 2 3276-1618.(1)J-1-7 5 -l+/5(2)-,-“2 2 7【分析】(l)根据一元二次不等式的解集为全体实
22、数的条件可得/0，0,从而解出a的范围即可.5(0)。(2)化简整理为关于。的一次函数再分析.构造函数g(4)利用 门)八，解不等式组(1)当a=0 时，不等式为x-l 0,解得x l,显然不符合题意;fa0当 0时，由已知，得八、2 一 八 八 B P 2(1-a)-4Q(Q-1)0解得 一；，综上，实数”的取值范围为(，-;)(2)原不等式可化为(x x+l)4+x 1。,设 g(a)=卜2-x+a+x-l,由题意，当“e 0，g,g(a)。恒成立，g(0)0 x-1 0所 以，、八，即h/，,g(一)0 (x-x+lj+x-1 0、2,2解得2 2所以实数x 的取值范围为-i-加-i+B
23、2-2-1 9.(1)列联表见解析，不能认为求职员工的业务水平优良与否与性别有关联分布列见解析，y【分析】(1)由已知数据完善列联表，计算2后与临界值比较可得；(2)求出9人中男性和女性的人数，然后由求出X的各概率得分布列，由期望公式计算期望.(1)得分不低于9 0分的人数为：4 0 0 x(0.0 4 +0.0 2)x 5=1 2 0,所以填表如下：男女合计优(得分不低于9 0分)8 04 01 2 0良(得分低于9 0分)1 6 01 2 02 8 0合计2 4 01 6 04 0 0根据列联表中的数据，经计算得到X4 0 0(8 0 x 1 2 0-4 0 x l 6 0)22 0 0(
24、8 0 +4 0)(1 6 0 +1 2 0)(8 0 +1 6 0)(4 0 +1 2 0)6 3x 3.1 7 5 3.8 4 1 =x0 0 5,所以依据小概率值。=0.0 5的独立性检验，不能认为求职员工的业务水平优良与否与性别有关联.得分为优秀的男女比例为8 0:4 0 =2:1,所以9人中男性有6人，女性有3人.因此X的可能值为2,3,4,5C2c,P(X=2)=,=15 5C c126-42尸-3)=若喂当P(X=4)=C4c-l =45=5；P(X=5)=C 5C=C；126 14 6 1126-21所以X 的分布列为X2345p5421021514121X 的数学期望为、c
25、15 c 60/45 u 6 10E(X)=2 x-F 3x-F 4 x-F 5 x-=126 126 126 126 3420.(l)y(2)CD=73【分析】(1)在三角形ABO中，由正弦定理得sin/D8A=，利用平方关系和NDBA的范围得cos Z.DBA；(2)利用两角差的余弦展开式可得cosND8C=cos(乙48C-NO8A),注意余弦定理可得答案.(1)在三角形A8O中，由正弦定理得:BD ADsin NBAD 一 sin 4DBAsin/DBA=AD sin ZBADBD6sin30 35-54-,ZD BA cos 135=,故 cos/DBA=24 4g 不符合题意，co
26、sZ.DBA.(2)cos/D BC =cos(ZABC-/DBA)=cos ZABC cos ZDBA+sin ZABC sin Z.DBA=_与+冬卜-痔 在三角形BCD中，由余弦定理得 8=VBC-+BDr-2BC-BD-cosZDBC=J18+25+2x3&x兴，：.CD=1.21.(1)证明见解析(2)证明见解析 逅3【分析】(1)证明8。，平面P4C后由线面垂直的性质定理得线线垂直;(2)取 中 点G,连接FG,A G,证明斯AG后可得线面平行；(3)由体积法匕一出。=%一,皿求点面距.(1)因为正方形ABCD=BD上AC,又平面P4C_L平面ABCD;平面 PACH 平面 ABC
27、=AC,8Cu 平面 ABC。，所 以 平 面PAC,因为PCu平面PAC,所以8OLPC.(2)取PD中点G,连接FG,AG,在中，因为F,G分别是PC,PO的中点,所以尸GCD,FG=-CD;2因为E是正方形ABCD边AB中点，所以 AECD,AE=-CD;2所以 AE/GF,AE=GF;即四边形AEFG是平行四边形，所 以 斯/4G,又因为AGu平面PAD,平面尸AD,故EF平面A4D(3)如图，设ACn8O=O,连接PO,因为PA=PC=2,。为AC中点，所以POLAC,又平面PACL平面A 8CD,平面EACH平面ABCO=4C,尸O u平面P4C,故POJ平面ABC,即PO是三棱锥
28、P-ADE的高；由正方形 A8C3边 AB=2=AO=OO=0，所以 PO=JP/V 一 砂=正；因为R tA P C*R tA P O A,所 以%=包 =2,设点E 到平面PAD的距离为d，因为力A O=LADE n S&PAD =S4ADE P 9B P x 4 x j=x2xlx 5/2,解得 d =逅,423所以点E 到平面PAD的距离为近.322.(1)1 或(2)当时，/(x)ini=/(D =l+2|a-l|=2 a-l;当 1 1 -1 时，/(,=/()=2;当。一1 时，/(x)n,n=/(-l)=l+2|+l|=-2-3.【分析】(1)f(x)=x2+2x-a=2 一，
29、代入a=2判断单调性，研究a 的范X-2x+2a,xa围即可：（2）分 a=l,al讨论函数的单调性，继而求最小值.【详解】(1)/(x)=x2+2|x-a|x2+2x-2a,xax2-2x+2a,x 2X2-2X+4,X l时，函数 x）在（Y O,D单调递减，（1,小）单调递增，因此/（=/0）=1 +2|-1|=2-1；5）当IN a N-l时，函数”X）在（,。）单调递减，3）单调递增，因此/（%（。）=；(访)当时，函数f(x)在(YO,-1)单调递减，(-1,内)单调递增，因此=/(-D =l+2|a+l|=-2-3.【点睛】本题考查了含参的分段函数综合问题，考查了学生综合分析，转化与划归，分类讨论的能力，属于难题.