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1、第5章 二 次 型 第1次课讲稿5.1基本概念二次型的定义f(xt,，尤 )=Z a再X j=X AXJ=I(5-1)a a2 an其中%an2 ann x jX=?称为一个元二次型。如 果 陶 尸，就称/（玉,为数域尸上的一个元二次型，如果P =R,就称/（石,马）为一个元实二次型，如果尸=C就 称/（芭,）当）为一个元复二次型。a a2 an如果z=a；a2=H,就 称/为 二 次 型/&,x)的矩阵(它是唯一的)，此时Z的秩为4%2 a”.)/(x1 5x2,%)的秩。如 果 那 么 因 为:f(xx,x2,-,xn=Yjai jxixi=X A X=X A X+X A X)=X A X
2、+X A X =X A X+X A X)=X A+A )XZ+H）,因此f（x,x2,-,xn）的矩阵 为:（N +H）,其第i行第/列元素与第j行第列元素都等于,（%+a），1例1.求二次型/（工）=（苞,七）31-52824 x2的矩阵。解：/（x）的矩阵为:12138 4 +352 U 1-52 一,8 415/21一35/2-3、8 3例 2.设二次型/(占户2,x,)=Z(a“X|+ai2x2+-+ainxn)2,4 e =1,2,川，证明/(再,&,x”)/=1a a2 an的秩等于矩阵/=：的秩。a2 a,2X 代、XX证明：因a/+知 2+=（%,2,，册）.2，所以若设Z的行
3、向量组为%,。2,，a”，X =:，就有/J U anX+ai2x2+ainxn=atX,进而有:/(x,x2,-,x)=f (X)(a,X)=f Xa；a jX/=!/=I/=i=Xa；aJX +X，(a；a2)X+Xa：a“)Xx但的X/=1 7(a”a2 一 （须，X2因所以H N是/（占,W,x,J的矩阵，因此/（玉/2,x“）的秩就等于H N的秩,而 因%.R（i,/=l,2,3,），所以Z为阶实方阵，于是Z/的秩等于Z的秩，故/（国,&,苍,）的秩等于Z的秩。a2,斯八0 x,x例3.设/=a2 a22,a2n=H e Rnxn且M b。，求/a，X a.1 a的矩阵。、%Q2n,
4、ann?f an.,am,FQ x 解：令X=(X|,x,J,那么/(玉,怎)=0：X.A.得:(0第2行左乘加到第1行(X A-XI-x0、42 1、0-XA-E.)UX、(XA-X4 J l -X0、4n 1、0-XAE“0 X，-XXA-X 0 X A而因：（1 0-X才0以人-XX)_ 1A J O-XA-0EJ i-X八X，A10-XAXA-X-X0A(XA-X)A，（xi，怎）0 XX _ XA-XA -X =(x-1|T4|=X(|A-)X=XA,X力因此/,&,工2,X,J的矩阵为/*。二.标准形、规范形、非退化线性替换、正交线性替换、矩阵合同、二次型等价（1）标准形：数域尸上
5、的元二次型/（演,2,匕）=与 为=X NX可经非退化线性替换X =CT （C为数域ij=P上的可逆矩阵）化成平方和形式：将 戌+出w+dny；称为二次型/（x,x2,-,x）的标准形。（2）规范形：复二次型的规范形:z；+z；+-z；实二次型的规范形:yf Hyp2yp2+-y；（3）非退化线性替换：X=CY,|C|0；Y=CX.（4）正交线性替换：X=UY,U为正交矩阵（U为阶实方阵，且U U=UU =E“），正交线性替换是非退化线性替换。（5）矩阵合同 定义：数域P上“X 矩阵45称为合同的，如果有数域尸上的 X”可逆矩阵C ,使得6 =C NC,止 匕 时也称46在数域尸上合同。矩阵合
6、同的性质：设4属C都是数域P上的x矩阵。性 质1：自反性：/与/合 同，因/=E NE；性质2：对称性：如果4与5合同，那么5与4合同，因如果3 =C NC（|C|w 0）,则/=性 质3：传递性：如 果/与6合 同，且6与。合同，那 么4与C合 同，因如果5 =耳4（山 上0）,。=今 明（闾*0）,那么c=（4）Z（耳 刃（山 闱HO卜（6）二次型等价3 定义：数域尸上两个元二次型：*（力 =/）与卜5 （6=5）,如果存在一个非退化线性替换x =cy （C是数域P上的 X 可逆矩阵），把XNX变成那么称二次型XNX与F5F（在数域尸上）等价，记作XAX=YBY o性质性 质1：自反性：X
7、NX与XNX等价，因X=EX将XNX化为XNX；性质2：对称性：若X NX与y 5 y等价，则y a y与X NX等价，因若x =c r（。是数域P上的 义 可逆矩阵）,把XA X变成,则非退化线性替换Y=C X将Y B Y变成XAX；性质3：传递性：如果XNX与HBF等价，且PB F与ZFZ等价，则XNX与ZFZ等价，因若X=C J（G是数域P上的“X可逆矩阵）把XNX变成,Y=C2Z IC2是数域尸上的x可逆矩阵）将F 5 F变成ZE资 产 =/）,那么X=GC2y就将XNX化为Z&Z（F=b）。5.2结论 设,当）是数域p上的任一元二次型，则一定存在非退化线性替换x =cy（其中。是数域
8、尸上的一个 阶 可 逆 矩 阵）将/（xx2,%）化 成 标 准 形，即/（x,x2,与 d +d2y+-+dry（4，人,4.e P 0 /为/（阳,，怎）的秩），等价的说法是对数域尸上的任一 阶对称矩阵/，一定存在数4、d域P上的一个阶可逆矩阵C,使得CNC=0,4d24 =0，r为 的秩。、0,如果元二次型/（X）=XAXA=/）经非退化线性替换X=CY化为了 元二次型g（y）=YBY（B=B）,则有：f（X）=XAX=（CY）A（CK）=Y（CAC）r =g（r）而 因（C%C）=C NC,因 此g（y）的 矩 阵6 =C NC,知/（x）,g（y）的 矩 阵 是 合 同 的，反 之，
9、如果/（X）=X 4 （/=/）的矩阵/与g（y）=rB y（5=5）的矩阵5合同，则有可逆矩阵C,使得CNC=3,那么/（x）=XNX（/=A）可经非退化线性替换X C Y化成元二次型g（y）=YBY（B B）,等价的说法是数域尸两个元二次型等价当且仅当它们的矩阵在数域尸上合同。设/（司,2,X”）是复数域C上的一个秩为r的元二次型，则一定存在非退化线性替换X=C J（其中G是复数域C上的一个阶可逆矩阵）将/（X32,x“）化成规范形z：+Z；+Z；,等价的说法是任一阶复对称矩阵4（E O（E OA,一定阶复可逆矩阵C,使得CZC=,即N在复数域上与 r 合同，其中尸为力的秩，于是 0 O）
10、I。0）两个元复二次型等价（两个阶复对称矩阵在复数域上合同）当且仅当它们有相同的秩。设,X）是实数域R 上的一个元二次型，则一定存在非退化线性替换万=。2丫（其中G是实数域R上的一个阶可逆矩阵）将/&,和 ,天）化成规范形+片%M，其中r 为/（%,当，,X”）的秩，p 与 q =r .分 别 为 实 二 次 型/（花,天）的 正 负 惯 性 指 数，p _ q =p _（r p）=2 p _ r为实二次型，怎）的 符 号 差，等 价 的 说 法 是 任 一 阶 实 对 称 矩 阵 力,一 定 阶 实 可 逆 矩 阵 C,使得、CACE-P,即“在实数域上与约-E-P合同，其中r 为 Z 的秩
11、，p 与q=r p 分别为O)O)实对称矩阵力的正负惯性指数，p q=p-（r-p）=2p-尸为实对称矩阵/的符号差，于是两个元实二次型等价（两个阶实对称矩阵/在实数域上合同）当且仅当它们有相同的秩和相同的正惯性指数（或负惯性指数或符号差）。例 1.（陕西师大2 01 4 年，五，1 5 分）设纥*，为正定矩阵，（加）为实列满秩矩阵，令/=，B CrT o7则/&,x“）=xrA x的正负惯性指数分别为n,m。证 明：因为纥、“为正定矩阵，为实列满秩矩阵，所 以/为 实对称矩阵，因 此/是 实 二 次 型/（西广2L,怎）=*T/*的矩阵。又 因 为 正 定 矩 阵，所 以 为 实 可 逆 对
12、 称 矩 阵，于是有:知力与O、-CW,在实数域上合同，推出它们有相同的正负惯性指数。，E-CrBlB O、O C因 为 正 定 矩 阵，所以ST为正定矩阵，而 C“x，（加 5知B O y(O-CrB C)与(En O O-E J在实数域上合同，因此B O yO-CyBC7的正负惯性指数分别为，用，知力的正负惯性指数分别为，加，得/（%,马,x“）=x T/x 的正负惯性指数分别为，加。-为机阶负定矩阵,任一元实二次型/（X）=X4X（H=/）都可经正交线性替换化为标准形4%+其中4,4,4,为/（x）的矩阵/的全部特征值，等价的说法是任一阶实对称矩阵力,一定存在阶正交矩阵u,使得4、4UA
13、U=UAU,即实对称阵N正交合同于对角阵45.3化二次型为标准形的方法配方法例 L （东师2 01 0年，5）用非退化线性替换将二次型/（当/2，工 3）=占 2 一%3+3 2 工 3 化为标准形。%=%+%1 0必解：先将/（石,工 2，W）化为含有平方项的二次型，令：%2=,一%，即 1 -1 0y2，得:否=为10 0 U/（芭,W,玉）=中 2 -中 3 +3 醇=（凹+8）（乂 必）一（凹+%）为+3（乂 一歹 2）%=歹：一货+2 弘%4%接着将夕：-y +2凹为一 4%为 按 乂（或 外）进行配方:/（七,乂2,七）=一贡+2凹乃4y2 y 3=（炉+（2%）凹）+（一货-”2
14、%）=（乂+乃一 W +（-只-4为匕）X、（凹+为平方项+法泞上施=（）+3+（）幻-7 按%进行配方为,24=乂+73,=z,-z3 乂、p 0令：Z2=%+2%,得：，y2=z2-2 z3 即：y2=0 1-2 z2Z3：=%.%=Z3J 3,o 01 J lZ3y得：,x2,x3)=Z,2 Z22+3 z,O%)所作的非退化线性替换为x211、01-1000100010-r-21 4、Z2“3,1101-10-3、1心、Z2“3,6二.合同变换法（初等变换法）由/f C N C Q C w O）叫做对/做 合 同 变 换（北大教材第4 版 P216）,设C =/亿)/(/)合同变换A
15、T P(i(k)yAP(i(k)即：/第一乘上-/尸 (左)第不乘上木 尸(，(左)/尸(后)合 同 变 换P(i,/(c)4 P(i,/(c)即：.一薪”/P(i，/(c)鬻蓊-P(4)/P(港)因此：合同变换zf 6 6(4是初等矩阵)就是对列怎么操作了就对行怎么操作。4 、现在假设CNC=d r 0 (d4d,w o),C=4 居，其中匕 巴,，我都是初等矩阵,、0,则有：4 、(桃4)/(4%-上)=40、o,E)=C如 何 保 证 在 对/实 行 一 系 列 的 合 同 变 换 的 同 时 对E实 行 同 一 系 列 的 初 等 列 变 换 呢？如 下 做 即 可。8“1E70T E
16、 P 77 耳、防P；AE7(f心出 p)p12E、E/7仔4、4 6 九Pk=/阳 明 舄耳A 九 始EPR RP2=4oP；P；APREPR、OJC7例 2.用合同变换法（或初等变换法）将/（苞,七）=七 马/工3 +3 吃演化为标准形。解：求 出/（须,2，3）=也一再t 3 +3/七的矩阵/22_25232（A；构 做 矩 阵-并对Z做合同变E0203207（CACy换，同时对E做相同的初等列变换将其化为一百,其中CNC为对角阵:1 0 00 1 0k0 0 1A的主对角线元素全是0,需对其做合同变换将其主对角线上第1 个元素化为不等于0,为此可在力选一不等于0的元素，如果它不在第1
17、行或第1 歹人要将其所在行和列交换到第1 行 第 1 歹 U,这 里 我 们 选/的 第 1 行第2个元素工，2（A就不用交换行、列了，之 后 将-的第2列加到第1 歹 U,将得到的矩阵的第2行加到第1 行：E 79做了一次合同变换11、(11、/10_11222 2221031031032222221 3第2列 加 到、3第2行 加 到、3E0第1列?10第1行,10 /2 2221001 001 0 00101 101 1 01001 701;第1列 乘 上 加 到 第2列 1 0 0、1 -1 12 41 1 -1第1行乘上-加到第2行 1 0 0、0 -140 1 -11-121 -1
18、21 0。U1-121-121 0 0 1 J第1列乘上-1加到第3列第1行乘上-1加到第3行,1 0 01 1 0、0 0 1；做了两次合同变换在上面最后一个矩阵中（2,2）位置的元素不等于0,用它将其所在的行它右边的元素化为0,之后再用它将其所在的列中它下面位于第三行的那个元素化为0,即：10 0、0 -140 1 -1第2列乘上4加到第3列,10 0、0 -040 1 3第2行乘上4、加到第3行,10 0、0 -040 0 1(CACy C 71 -121 -12I。U1 -321 -12I。d1 -321 -12I。U做了一次合同变换，（玉,马,W）=必2 _ 0/4）H境 1 -1/
19、2-3 仍、令 入=。丫，即：%2=1 1/21 y2,就得:、o1三.用正交线性替换化实二次型为标准形用正交线性替换化实二次型/（须,x,J=X ZX（H =/）为标准形。对实对称矩阵/求正交矩阵。，使得10CN C=C T Z C=对角矩阵。方法：求z的特征多项式心上一H的根4，4,对不同的特征值，求出线性无关的特征向量，即（4E-/）x=0的一个基础解系：将属于同一特征值的特征向量单位正交化，凑在一起得单位正交特征向量：回，夕2,，氏。4 、令C =（”2,月），贝h CAC=C AC=4 .。等价地，令x=c y,则：怎）=4+%$+4例3.用正交线性替换将实二次型/（西/2，毛）=丁
20、 +2对一2片+4%演化成标准形，并写出所用的正交线性替换和对应的正交矩阵。10 2 解：二次型/（%,%,天）的 矩 阵 为/=0 2 0,由矩阵/的特征多项式：(2 0-2 JZ-1 0 -2吠-4=0 2-2 0=(4-2)2 (4 +3)-2 0 /1 +2得Z的特征值4 =4=2,4=-3。对于4 =4=2,解齐次线性方程组（2 EZ）x =0,得其基础解系4 =（2,0,1）,=（0,1,0/对于4=一3,解齐次线性方程组（3区一，）*=0,得其基础解系=（1,0,-2）,由 于 品 友,刍 已 是 正 交 向 量 组，因 此 将 短女，当 单 位 化，可 得7 =（2/石,0,1
21、/石），名=（0,0）,（2/石 0 1心、7，=（l/V 5,0,-2/V 5）令矩阵0 =（7，%,7）=0 10,则。为正交矩阵，进而，在正交线性替换J/V 5 0 -2/V 5y 2 0 0、X=Q F下，有Q Z Q=0 2 0,且二次型的标准型为/=2弁+2月一3只。、0 0 -3,2 -2 0、例4.（东师2 0 1 3年，五）/=一2 1 -2 ,求正交矩阵7,使得T-/T为对角矩阵。,0 -2 0 .解：求/的特征值:11I花 北2-22022-1202 =2(22-3 2 +2)-4 2-4(2-2)=23-3 22-6 2 +82其有理根只能是 1,2,4,8,又:得：设
22、区一划2-2202Z 12022值为4 =1，44,4 2 o1-3-681 -2-81-2-8 023-3 22-6 2 +8 =(2-1)(22-2 2-8)=(2-1)(2-4)(2 +2),于是Z 的特征对不同的特征值，求出线性无关的特征向量:对4=1,解（1七3一）=0：,它 为 自 由 未 知 量，于是得属于特征值4=1的线性无关特征向量-1 2 0、0 4 20 2 10 21、02、021)、000,1 000%=2X2产3=-2X2得（1每 一/）=0 的一般解为.、1、一 27对4 =4,解（4七3-/）8=0：、g_/=得(4 K,/)x =0一般解 O24,10.0-2
23、、20,专为自由未知量，于是得属于特征值4 =4的 线 性 无 关 特 征 向 量=-2J220232100112-1001100200107对4=2,解（2当 _/卜=0：4一24/=2、02-320、2-2,-20、01-2202-2、720两两正交，将 火2、,o（，2 2分 别 单 位 化 得 力 的 三 个 两 两 正 交 的 单 位 特 征 向 量 必1（2 2T=（四）=：1 -21-2 11227,那么T为正交矩阵，且7-/7 =4 为对角阵。一2,5.4 化复、实二次型为规范形的方法复二次型例 1.用非退化线性替换将复二次型/（玉衣2 0 3）=玉-玉玉+3/七化为规范形。x
24、A（1解：由 例 4知复二次型/（当0 2/3）=%工 2-%工 3+3 丫 2%3 经非退化线性替换X2-1 -1,XJ I0 0-3 怖、1 Z1化成了标1 八 Z 3,准 形/（石,%2，毛）=马2 -Z 2?+3 Z；,而因:/（须,W,七）=-Z22+3 z；=Z；+（Z Z2）2+（任3 ）Wl=Z 所以做非退化线性替换 u2=i z24=氏4 =%即 z2=（l/i）2=-U2,就将/（再,工 2，%3）化成了规范形:Z 3=（l/百）的/（xpx2,x3）=zj -Z22+3ZJ=:、所做的非退化线性替换为:1、01-10-311T-6i 1/V 31/V3 J lM30 0
25、1/V31二.实二次型例 2.用非退化线性替换将实二次型/（司/2，七）=西工2 一 不 工 3+3/化为规范形，并求其正、负惯性指数及符号差。13解：由 例4知实二次型/（须,乂2，刀3）=玉 2-X R +3工23经实非退化线性替换X21 11 -1、0 0-3 Y 4、1 z2化成了1 JlZ3 标准形/（X|,X2，X 3）=Z 1 2-Z 2 2+3 Z；,因此/（百/2，七）的正、负惯性指数及符号差分别为2,1,2-1=1,而因:/(X1,X2,X3)=Z12+(V3Z3)-Z22所以做实非退化线性替换（“2=6 2 3 ,即（z2=3，就 将/（国,*2，七）化成了规范形:-1=
26、（1/百）%/（再/2户3）=；+起-U3缶|、r1 1-3、100、/U 1-V3、1 小、所做的非退化线性替换为：二1 一 11001%=1 1/V3-1%10 0、01/G0,、0 1/V307由此可见实二次型的正负惯性指数分别等于其标准形中系数为正的平方项的个数和系数为负的平方项的个数，也分别等于其规范形中系数为正1的平方项的个数和系数为负1的平方项的个数。例3.（华中师范大学2 0 1 7年，6,（1）设二次型/（X1,X2，X 3，X 4）=X|X 2+X 2 X 3+X 3 Z，利用满秩的线性替换把二次型化为平方和，并求二次型的正和负惯性指数。(0_2001100解：二次型的矩阵
27、/=2121O0022002012/14俳第2歹加到第第3列012001000冽 4倍20200100/、0 0、-020-2-020 00 01 00 11 00-40-40 011 120 00 010 00 C4|O O 二 2|一 O O O 三2|O O 国言牛.1 O O O O 2|1 O O Sz _ o o O、_，、，/D O O 212|12 一g 0 0-0 0 2|1 O 2|一z|_，。一 0。2|-02|一。00_20000110001100第2打、加到第1行0 0-040 00-2-12-020 10 01 00-40 00 0fl 12-02J _2 20 0
28、I 01 10 00 0X0020000100102220010-000,14X001200001第4列隅 第3歹(B.第 例 的 借依次加到第2列第3列/1 0 00-040 0-20 0-_2_1 121 -020 0 10 0 11/12_201100、00_ 1 _2000010 014 42_ 4-40-2_1 _12 22 20 10 0第46加到第3行00L20000110001100第1行的-|格依次加到第2行第3行,0 0 0-0 040 1 -20-0_ 2 1 02-0020 1 00 1 1f10 0 00-04 40 1-1 14 4 20 0-0_21 -02 21
29、 -02 20 0 100 0 0 1加到第4行 f l-121 120 00 0/(X 1,X1 -11 120 00 0-1 -20 011 -22，工3,)-1-20 01 -21 12)任、y2_ 8“九/=再4一就有得 了（国,X2，5 ）的正惯性指数与负惯性指数都是2 o15 1 0-2、例4.(华中师大2 0 1 9年，第5题，2 5分)设实对称矩阵/=0-3 0、-2 0 -2(1)求”的合同标准形及正负惯性指数；(2)求/的相似标准形5；(3)求正交矩阵P,使得P/P =5。2-1022-1 22 2 +2解：花 z =0 2 +30=(4+3)=(/l+3)2(Z-2)20
30、2 +2 10 0、-3 0 0、知N 的特征值为-3,-3,2,得 N 的合同标准形0-10,相似标准形6=0-3 0,Z的正负惯性指、0 0 -1、0 0 2,数分别为1与2 o对A的特征值-3解齐次线性方程组(-3 E-J)x=0：-4 0 3 E 4=0 0、2 02、0 1、0 00 0,000得(3 E/)x=0的一般解为“3=2”,其中西，4为自由未知量，于是得力的特征值-3对应的线性无关特征向x2-x2量7=(1,0,2)T,%=(0,L0)，因”仍 正交，所以只需将它们单位化,得 力 的特征值-3对应的正交单位特征向量%=(1,0,2)=(0,0)。对Z的特征值2解齐次线性方
31、程组(2 E-Z)x=0：得(2 E-/)x=0的一般解为菁=-2X3x2=02E A=032 p0 -00 2、1 00 0 其中刍 为自由未知量，于是得力的特征值2对应的线性无关特征向量050%=(-2,0,1)、将它单位化，得力的特征值2对应的正交单位特征向量为=5(-2,0,1)二01令尸=仇71%)=2 )0 ，那么尸是正交矩阵，且P/P=5。011 6例5.（沈师2 0 1 5年，二、2）求非退化线性替换将实二次型/（外,2，3）=%2-其+2后+6玉2-4再 工3+8工23化为规范形，用矩阵验证结果，并求该实二次型的正惯性指数，它是否正定？解:/(x1 9x2,x3)=x；-x；
32、+2x；+6XX2-4XX3+8x2x3=(x；+(6X2.4%3)玉)_、；+2 x；+8X2X3=(x)+3X2-2X3)2-(3X2-2/_ x；+8x2x3=(x)+3X2-2X3)2-2X2X3)+2xj=(X j +3%2 -2%3-1 0(X2-X3)2-8X 3 )=(%j +3工2 -2工3-1 0(x2-x3)*+8x；、做 非 退 化 线 性 替 换 为=0 1 -1 X 2 ,即x2(0 0 2-2、-11,丫 、%也-310-111y2，得:1 3 一2、须1100310u0W/32/(X|，2，X 3)=h T +8只=y2 +(V 8y3)-(V 1 0 y2),
33、方、做非退化线性替换y2、01Vio4z2，得:100001o7/(再,/,X 3)=z：+z；-z；所做的非退化线性替换为:、7100、-3-1、1 001 4、11 001Z201 1kZ3 07 80710007二次型/(xpx2,x3)=x12-x1+2 x；+6X j X2-4X,X3+8x2x3 的矩阵为/r 131 7 10 0、二次型 g（4，Z 2，Z 3）=Z：+Z；Z；的矩阵为 6=0 1 0,令。=、0 0 -1,3V W1国O1一1一&1一场1oOzr_、3F_ L而O1蔡1一次1双1oOzfk:7-2423T4O1一viOO1&111二3、,ooTO1O1oO一一q
34、而旃。，1一1一次1一次1oO-28一&103O-101oO/（王,工 2，3）=X；-x2+2 x；+6 中 2 -4 苞%3 +8X 2 X 3 的正惯性指数为2,所以它不是正定二次型。三.二次型的标准形，复、实二次型规范形的应用例 6.证明秩为尸的对称阵可表成尸个秩为1 的对称阵之和。证明：设 N 为秩为，的对称阵，那么存在可逆矩阵C,使得：、dA=C r 0 C=C d,EC +C（d2E22）C+-+C drEn.）C d,d2 0）、0 其 中 与 Q =l,，尸）是第i 行第i 列元素为1,其余元素都为0的且与/是同阶的方阵，于是44）=1,又4*0,c,c可 逆,因 此。（4
35、纥）c（i =i,的秩都为1,且:C 与）c）=（c,g j C）=C（4 纥）c（i=l,/）因此C （4 E jC（i =L,尸）都是秩为1 的对称矩阵，知命题成立。例 7.（辽宁师范大学2 0 1 2 年，第五题，1 0 分）设/是阶复对称矩阵，秩（/）=尸（尸 0）,证明存在，个秩为18i的阶矩阵4,4,4,使得z =4*4+4 4+4*4。证明：因Z是阶复对称矩阵，且秩（/）=r（rO）,所以存在“阶复可逆矩阵8,使得：.（Er OA=B r BI。o）其中E,为尸阶单位矩阵，6*为6的转置矩阵。用 纥。=1,/）表示第（i,i）位置的元素为1,其余位置的元素为0的阶方阵，则有6 =
36、与，E：=纥,N E ）=1 （i =1,尸），（E 0、0 =El+E22+Err=E+E22+Err进而有：.（E,.OA=B BI。o）=B*闾+或 +琮）5 =B*E、B+B E；2B+B E;B=（5*%）（4+（6应2）（纥 2 6 +（*号）（号5）=（号5）*（鸟6）+（/6）*（/6）+（号 6）*（号6）令 A 产 E B,i =l,r,因8是阶复可逆矩阵，纥 为秩为1的阶方阵，因此4=纥6 =1,为秩为1的阶矩阵，且/=z；4+W 4+/；4。例8.设“为一个阶实对称矩阵，且|川 0,证明：必存在维实向量Xo=O,使得X；Z X 0 0。证明：设/（花,吃,X“）=X4Y
37、,其中X=（x”X 2,X ），因/为一个阶实对称矩阵，所以/为 元实二次型/（须/2,x,J的矩阵，而因闻 0,因此/（七,2,，X ）的秩为，且/（七,2,，X”）不是正定二次型（因正定矩阵的行列式大于零），于是/（七,2,x）的正惯性指数?，进而存在非退化线性替换X=CT （。为实可逆矩阵），使得：/6,吃一,怎）=+片一片+1-a=g（M/2-%）,（P ）令 外=（0,O,l）e R ,XQ=CY0,因C为实可逆矩阵，所以有O w X o W R ,且：/（X o）=X o/X o =g（%）=O2+-.+o 2。2 02-12-1 0,X；/X 2 0,证明：必存在维实向量X。*0
38、,使得X；/X =0。19证明：设/（七,x,）=XN X的秩为r,正负惯性指数分别为p,4,则存在非退化线性替换X=CT （C为实可逆矩阵），使得：/（X ,X 2-、X ）=X4=+%-片+i-炉下面证明0 .尸,0夕 尸。事实上，如果=尸，那么对任一“维实向量X,令丫=。7丫，就有：/,仁,-2）4=必2+.+NO与/（丫2）=工；/万2 0矛 盾，所 以p r ,同 理 可 证q尸，又 都 是 非 负 整 数，且 p +q=r,因此0 p r,0 q r ,于是可取=（1,0,0,*,0,0 j ,令Xo=C 4,因C是实可逆矩阵，乂是非零实向量，因此 X。是非零实向量，且/（乂0）=
39、万；/丫0=1 2+0 2+-+0 2 1 2 0 2 3 0 2=0。以例1 0.（中科院2 0 1 7年）给定元实二次型/（X）=XN X,并且存在非零向量X 1,X 2 C R ,毛工丫2,使得/（X j +/（X 2）=0,证明：存在XseR,工3 0，使得X；A=0。证明：若/（X j =0,取X 3=X 1*0,有/（X 3）=X；/X 3=0。若/（丫2）=0,取 工=丫2#0,有/（丫3）=丫：/x 3=0。下 面 设/（Xj/（X 2）w O,因/（X j +/（X 2）=0,所以/（X j,/（X 2）必反号，由例I I知存在X s c R ,工 工0,使得X；/X 3=0
40、。，问在实数域上/与5,C,。那个合同？解：两个阶实对称矩阵在实数域上合同=它们有相同的秩和正惯性指数（负惯性指数或符号差）A =2、=、一，2一3,fl)10一3,U 1202 0、(1 0、0、0、所以在实数域上/与0合同。5.5求二次型的秩的方法方 法1：求出二次型的矩阵并求其矩阵的秩方法2：将二次型化为标准形，二次型的秩就等于其标准形中系数非零的平方项的个数。例1.求二次型/（王,工2，*3）-中3 +32七 的秩。20 0 1/2 -1/2、解：方 法 1:/（须/2，乂3）=%彳2-玉项+3 工2七的矩阵/=1/2 0 3/2 ,又:1/2 3/2 0 ,A =01/21/20-1
41、/2 3/2 01/21/200、3/2-01/2100、3/21-V 23/201/23/2 3/2)1-1/203/2,0 10、010、1 0 0、1/2 0 3/210 001 00 03 J100b1 0 0 L所以秩4=3,知/（演,2，3）=%2 -须七+3工2七 的秩为3。方法2：由5.3中的例2知/（X ,x2,x3）=x,x2-X 1 X3+3 x2x3的标准形为/（和 称 马）=凹之 一;斤+7；，因此其秩为3。例2.（沈师2 0 1 6年，一、4）写出二次型/（外,2，七）=%；+8%2马+后 的 矩 阵，并求其秩。0 0 0、解：/（须户2，入 3）=年+8 2 匹+
42、,的矩阵为 4=0 1 4、0 4 因0 0、(0 0A=014-04 1 J 1 01 4、0 10 0,知力的秩为2,于是/（苞,工3）的秩为2。5.6 正 定（负定）二次型一.相关概念1 .正 定（负定）、半 正 定（半负定）二次型的定义：设/国,七，,x,）是一实二次型，如果对于任意一组不全为零的实数C”Q,都有了匕,。2,，%）。，就 称 毛 与）为 正 定 的；如 果 都 有/（6,。2,%）。，那么/区 多,X“）称 为 负 定 的；如果都有2 0,那 么/（占过,X”）称 为 半 正 定 的；如果都有，）4 0，那么/（七,乙，）称为半负定的；如果实二次型项由2,%）既不是半正
43、定又不是半负定，那么它就称为不定的。2 .正 定（负定）、半 正 定（半负定）矩阵的定义：实对称阵N 称为正定的、负定的、半正定的、半负定的，如果实二次型XN X是正定的、负定的、半正定的、半负定的。3.顺序主子式、主子式214 1 2 即,、,几/a2 a22 a 2n设力=：:。2）力顺序主子式：设 1人 （，取 力的 第 1行，第 2 行，第k行,再取力的第1歹 U,第 2 列，第左列%2 履所得到的N 的 左 阶 子 式 二 0?2:叫做/的左阶顺序主子式，N 只有一个左阶顺序主子式，一共有个顺序ak*2 1,akk主子式。/主 子 式：设左，取力的第%行，第q 行，第%行，再取力的第
44、4 歹 U,第，2列，第 列所得到 柄%2 aVK的N 的左阶子式%2%”叫做/的一个左阶主子式，A 一共有C：个k阶主子式。二.正 定（负定）二次型、矩阵的判定方法设/是级实对称矩阵。1.正定二次型（正定矩阵）的判别（1）V O w X w R,有/（X）=X N X 0。（2）设两个元实二次型/（X）=XN X（H=N）与 g（y）=y 8 y（6 =6）（在实数域上）等价，则/（X）=X N X（H =A）正定当且仅当g（y）=F B F（5 =5）正定，即非退化线性替换不改变实二次型的正定性。（3）实二次型/（士,丫,）=4 乂：+4 焉+x；是正定的当且仅当4 0,，=1,2一,（4
45、）实二次型/（X）=X A X（A=A）是正定的当且仅当它的正惯性指数等于n。（5）实二次型/（X）=X N X（H =N）是正定的当且仅当它的规范形为货+货+货。（6）设两个”阶实对称阵/与5 在实数域上合同，则N 正定当且仅当5 正 定（因N 与 5 在 实 数 域 上 合 同=X A X与 在 实 数 域 上 等 价）。（7）/是正定的当且仅当Z 与单位矩阵E“在 R 上合同。（8）/是正定的当且仅当有实可逆矩阵C,使得N=C C。（9）/是正定的当且仅当存在加x 列满秩矩阵。，使得）=2 0。（10）N 是正定的当且仅当存在阶实可逆上三角矩阵T,使得Z=T T。（11）N 是正定的当且
46、仅当存在”阶正定矩阵6,使得/=（12）A是正定的当且仅当矩阵”的顺序主子式全大于零。22（13）N 是正定的当且仅当矩阵/的所有主子式全大于零。（14）是正定的当且仅当矩阵N 的特征值全是正的。2.负定二次型（负定矩阵）的判别实二次型XNX（H=/）（实 对 称 矩 阵 负 定。实二次型X（-（实对称矩阵/）正定。三.半正定（半负定）二次型、矩阵的判定方法1.半正定二 次 型（半正定矩阵）的判别（1）V X eR,有/（X）=XNX2 0。（2）非退化线性替换不改变实二次型的半正定性。（3）实二次型.f a，马,，相）是半正定的当且仅当它的正惯性指数与秩相等（规 范 形 为 必 贡+力，厂为
47、/（|,2、“）的秩）。（4）实二次型/（再广2,x“）=&x；+d2君+4上半正定当且仅当4=（5）合同变换不改变实对称矩阵的半正定性。（E 0（6）是半正定的当且仅当力与矩阵 在R上合同，其中尸为矩阵力的秩。0）（7）N 是半正定的当且仅当有X”实矩阵C,使得Z=CC。（8）A是半正定的当且仅当矩阵/的特征值全大于等于零。（9）/是半正定的当且仅当矩阵/的所有主子式都20.注 意（9）中要求所有主子式都大于或等于零，而不是要求所有的顺序主子式都大于或等于零。0 0、/J 0 0 YOl例子：实对称矩阵力=10 的顺序主子式都等于零，但是它不是半正定的，因为（0 I1。=1 0,因此 g（F
48、）=F5F 正定（5正定）。若g（y）=y 5 y（*=5）正定，任取O#XGR,有：/（X）=XAX=xc-5C T）X=（。-玄）B（C-X）因C是实可逆矩阵，所以f T也是实可逆矩阵，又O w X eR,所以O w C-iX eR,得：/（X）=（c-1 y B（C-1 0推出/（X）=XNX（H=Z）正 定（N 正定）。例2.实二次型/区,工2,x“）=d|X；+d2x1+d x：是正定的当且仅当4 0 =1,2,。证明:必要性：已知/区,七，/）=/：+4芯+4*正定，用反证法证明4 0/=1,2,：假设存在左el,2,使得/W O,取Xo=（o,0,1。,0）,则X 0w 0,且：
49、f（Xo）=d +-+dk_iO2+dk2+dMO2-+d）iO2 dk 0,z-1,2,。例3.实二次型/（如，%）=*4*（/1=4）是正定的当且仅当它的正惯性指数等于。证明：因/（国,，怎）与它的规范形片+z；-Z；M z；在实数域上等价，所以占,移，匕）正定当且仅当它的规范形Z；+Z；2册 Z；正定，而它的规范形Z；+Z；-Z*Z；正定当且仅当正惯性指数p=n o例4.（沈师2016年，二、3）设/、6都是阶正定矩阵，左为任一大于零的实数，证明：A+B.版 也是正定矩阵。证明：因“、5都是”阶正定矩阵，左为任一大于零的实数，所 以/、5都是阶实对称矩阵，且对VOwXeR,24有 X 4
50、 0,XBX 0,于是 N+6、版都是阶实方阵，且（N+5）=/+5=/+5,=kA=kA,知 Z+6、M 都是实对称矩阵，且 X（4+6）X=XNX+X 5X 0,X（kA）X=kXAX,因此 N+5、kA也是正定矩阵。例5.（华中师大2013年，5.（2）的充分性）设尸为阶实可逆矩阵，证明力=尸尸正定。证明：因尸为阶实可逆矩阵，所以/=PP为阶实方阵，又Z=（P T）=P（尸）=PP=N,因此N =PP为阶实对称矩阵。P为阶实可逆矩阵推出对V O w X eR ,有0#四=（4/2-力）1,于是得：X =X P 7）X=（PX）（爪）=6 +%+b；0综上可知 =尸 尸 正定。例6.（华中