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1、9.3利用导数求极值最值(精练)(基础版)题组一极值1.(20 22太原期中)若x =2 是 函 数 f(x)=gax 2%的极值点，则函数()A.有最小值-2I n2,无最大值 B.有最大值-2 1 n 2，无最小值C.有最小值 21 n2,最 大 值 21 n2 D.无最大值，无最小值【答案】A2【解析】由题设f(x)=ax 1且/(2)=0 ,.2。-2=0，可 得a=.X.、2 1 (%+l)(x -2)/(元)=%-1 =-I I.x 0 ,x x当 0 x 2 时 r(x)2 时 r(x)0 ,/(x)递增；/W 有极小值/(2)=-21 n2,无极大值.综上，有最小值-21 n2
2、，无最大值。故答案为：A2.(20 22湖 北 期 中)已 知 函 数=小+加(。0 且,b 0)的一个极值点为2,则-+-的最小值为()a b7 9 8A.B.C.D.74 4 5【答案】B【解析】对/(司=；依3f+法 求导得：r(x)=2-2 x+b ,因 函 数/(X)的一个极值点为2,贝 U /(2)=4a 4+匕=0 ,2li t 时，b-4t z+4,f(x)ax2x 4a+4=a(x 2)(x +2)2(x 2)=a(x 2)(x+2),aI 2因a -，即 2 工2,因此，在 2 左右两侧邻近的区域f(x)值一正一负，2 是 函 数/(%)的一个极值点，则 有 4a+h=4，
3、又 a 0 ,b 0 ,T曰 ”,1 1 1 7 “，、,1 1、1 b 4a、1 z_ _ lb 4a、9 、江 口 石山 b 4a于是得 一 +=-(4a+b)(+)=-(5 +)-(5 +2./-)=-，当且仅当=,即a b 4 a b 4 a b 4 a b 4 a b4 1 1 9b=2 a)时取=”，所 以 一+丁 的最小值为y .故答案为：B3 a b 43.(20 21 高三上三门峡期中)“a 0 ”是“函数 x)=(x-a)，在(0,+oo)上有极值”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】：fx=x-d)ex,W
4、i J /x)=(x-a+l)e,令 J、(x)=O，可得 x=a-,当 xa-时，r(x)a-时，f(x)0 ,即 f(x)在(f,减，在(a-1,+8)上单调递增，所以，函 数y=f(x)在%=-!处取得极小值，a-1)上单调递若 函 数 y =/(x)在(0,+8)上有极值，则 -1 0 ,：.a因 为 al=a 0，但 是 由 a 0推 不 出a,因 此。0 是 函 数f(x)-(x-a)ex在(0，+8)上有极值的必要不充分条件.故答案为：B.40.(20 22.镇江)己知等差数列 凡 的 前 项 和 为 S“，公 差d 0 ,&fx=-n x+-x2-Sx 的极值点，则 S8=()
5、4 2A.-38 B.38 C.-1 7 D.1 78是函数【答案】A【解析】由题意，函 数.f(x)=?lnx +；x 2-8 龙，其 中XQ,可得)1 5 2f (x)=+x-8 =-V 7 4x x令/(力=0，解 得 尤=；或 x =?，又 小 和 心 是 函 数/(x)的极值点，且 公 差 d 0 ,所 以%=:，所以一 1c i,+5 d 1?:,解得a.+ld=12q =-1 7,/=-2所以 S g=8 q H cl 38 .故答案为：A.题组二最值1.(20 22.淮 北 模 拟)函 数/(x)=2s i n(x +?J +c o s 2 x的 最 大 值 为()A.1 +7
6、 2 B.当 C.2 桓 D.3【答案】B【解析】因为/(x)=2s i n(x +?)+c os 2x所以/(x)=2s i n(x +?)+s i n2(x +?)=2s i n(x +?)+2s i n(x +Jc os(x +?令 0 x+4则/=2s i n。+2s i n O c os 8 =2s i n，+s i n 2。则/(e)=2c os6+2c os2 0 =2(2c os2-l)+2c os =4c os2 8 +2c os 6 2令/(e)=。,得 c os 6 =-l 或 c os =当 l c os 6 g 时，/f(9)0 ；c os 6 0所 以 当c os
7、6 =/时，/(。)取得最大值，此 时s i ne=5所以+故答案为：B2.（20 22高三上安徽开学考）函 数/（幻=出-1）-。+1的值域是【答案】2,+oo）【解析】.f(x)=x(e*-1)/m +1 =x-e*(历x+x)+l =x-e +l,令，=心、，易得当1 0时/=次*0,且，=x e*为增函数.记/。)=，一 勿，+1，则/。)=1 =3,t t易知当，e(O,l)时./为减函数；当f e(l,+8)时./为 增 函数.二/。卷1 1=1)=2，./()的值域为 2,+0 0).故答案为：2,+oo)3.(20 21 全 国高考真题)函数/(x)=|2x-l|-21 nx
8、的 最 小 值 为.【答案】1【解析】由题设知:/(x)=|2x-l|-21 nx 定义域为(0,+8),.,.当0 xg 时，f(x)-1-2 x-2 n x,此时/(%)单调递减；1?当一xl时，/(x)=2 x-l-2 1 n x,有 f (x)=2-l 时，/(x)=2x-l-2 1 n x,有/(x)=2-0,此时/()单调递增；x又/(X)在各分段的界点处连续，.综上有：0 x 1时，/(X)单调递增；故答案为：L4.(20 21 江西高三二模)已知函数/(x)=x 22 1 n x,则/(X)在 1,句上的最大值是【答案】f-2【解析】由题意可知，xe l,e,cr/、2。r 0
9、,函数f(x)在区间 l,e 上单调递增,则/(x)1 r ax=/(e)=e2-2.故答案为：e2-25 (20 21 湖 南)函 数/(x)=x s i nx+c os x(0 k 24)的最小值为.7一,3 兀【答案】-2【解 析】f(x)=s i n x +x c os x -s i n x =x c os x,当 X E。,)时，/(x)0,/(x)单 调 递 增，当2 2时，/(x)=QX+是曲线y=.f(x)的切线，则2+力的最大值是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _【答案】e2-4【解析】由题得f(x)=ex-2.设切点,/)，则/=/_ 2/,/(。=d-2；则切线方程为
10、y-(e -2。=9,2卜x r)即 y=(el-2 x+e(1 r)又因为y=+b是曲线y=/(x)的切线所以 a=e -2,Z?=e(l-r),则 2 a+b=-4+3e-f e.令 g(r)=T+3e -r e.则 g(r)=(2-7)e.则有f 2时，8。)0心(。在(2,+)上递减；t 2时，8(7)0,8。)在(2,+)上递增，所以-2时，g(。取最大值g(2)=-4+3e 2-2 e 2=-4 +e 2即2 a+方的最大值为e?4.7.(2 02 1 全国高三专题练习(理)已知函数x)=si n(2 x+工-二-尔 在0,?上单调递减，则实I 6)2 L 6 _数机的最小值是【答
11、案】唐【解析】由/(x)=si n|2 x+看V*兀-lx在0,上单调递减,2-6得/(工)=2 co s-0 XG即 2 co s 2 x+-l-xm,a g(x)=2 co sf 2 x+j-x xe 0,则 gx)=-4 si n(2 x+V)-l,当XG 0,时，2 x +,则2 4 4 si n(2 x+二 4,6 6 6 2 6 J所以 5 4 si n|2 x+1 1 3,即 g(x)0,(a+l)0,（。+1）+。+2 0,解 得 二 立“0,所 以/(x)单调递增，又/(-1)=0,所以为 1,/(幻-1,r(x)o,故 X =T为/(x)最小值点，即/(-1)=1+。=4,
12、解得。=3,故答案为：A2.(2 02 1高三上.湖北期中)若函数/(*)=二-6,+以(。为 常 数)有 两个不同的极值点，则实数a 取值 范 围 是()A.1,+8)B.2,+8)C.(2,+8)D.(1,+8)【答案】C【解析】f x)-e-x-ex+a,函数 力=二 一d+ax(。为常数)有两个不同的极值点，等价于函数g(x)=二+,与 =。的图象有两个不同的交点，gr(x)-ex+ex,因为g(x)为 增 函 数,且 g(0)=0,则 X G(-o o,0),g,(x)0,g(x)为减函数,x e(0,+QO),g 0,g(x)为增函数，所以g(%L=g()=2,故 a 2.故答案为
13、：C3.(2 02 2 湖 南)已 知 f(x)=1 x3+(al)x2+x+l没有极值，则实数a 的取值范围是()A.0,1 B.(-0 0,O U 1,+oo)C.fO,2 D.(-0 0,0 u 2,+oo)【答案】C【解析】由 f(x)=x3+(a-l)x2+x+得/()=犬+2(。l)x+l ,根据题意得 2(-1)2-4 0 ，解 得 0 i z 2。故答案为：C4.(2 02 2 辽宁月考)已知函数f(x)=a(x+co sx)e 在(0,乃)上恰有两个极值点，则 的取值范围是()A.(0,1)B.(-00,e )C.(0,d*)D.(e*,+o o)【答案】D【解析】f(x)=
14、aa-sinx)-ex,根据题意得f M 在(0,兀)有 2 个变号零点，当。=0 时，显然不合题意，当时，方程 a(l-si n x)-e*=0 等价于 =4，a e.,、1-si n x,、si n x-co sx-1令 g(x)=.g(x)=-e e&si n(x-：)1,令，a)=o ,因 为 x e(o,幻，解 得 =工，=-2可 得 g(x)在(0,-单调递减，在 -,兀)单调递增,2 2又因为 gg)=0，g(0)=l，g S)=e-zl,要 使y=-与 g(x)的图像有2 个不同的交点，a需要满足,解得。a故答案为：D.5.(2 02 2 河南月考)已知函数f(x)+a x2+
15、bx-l(a Q ,b e R)存在极大值和极小值,且极大值与极小值互为相反数，则()A,2 a2 3 ，2/3 c,2 a2 1 2 a2 1A.b-1 B b=-C.b=-1 D b=-9 a 9 a 9 a 9 a【答案】B【解析】/(%)=+OX2+bx-l/./(x)=3x2+2 u+Z?设 与工2是方程3 x2+2 ax+b=0的两个实数根，根据题意可知玉 工 马，不 妨 设 再 0 H寸，可得函数/(x)的增区间为(F，0),伍,+8),减区间为(o,b),若 函 数/(x)在区间(一 1,1)有最小值，必 有 b/(/?)bQ 由 bl,有 by 1b3-3b-2 0，不合题意
16、;当b -l时，此时函数/(x)的增区间为(-8,b),(0,+o o),减区间为(Z7,0),/(x)在区间(一 1,1)最小值为/(。)=0，符合题意;当 一 1 60,得 一 1 +B.(1,+8)C.f+1【答案】B【解析】依题意，_ T(x)=e2 x-/n e.一如 有两个变号零点，令/(力=0,即 e2-me-mx =0，则 e2 j t=m(ex+x),显 然m O ，贝i j 21 =e土*+x，m e2 x设 g(,x)、=e +x r则1l g(x)=(e一+11 1-一 e2 x-(点e一x+x)-一2 elx =i _-e _,v2xe e e设 (x)=l-e*-2
17、 x ,则 (x)=-e*-2 0,g(x)0,g(x)单调递增，当 x e(0,+8)时-，/?(x)0,g(x)0,g(x)单调递减，8(%)2=8()=1，且 X 8 时，g(x)f-o o ,xf”时，.0-l .m故答案为：B.8.(2 02 2.江西模拟)若函数在 =1处取极值0,A.0 B.2 C.-2 I【答案】A【解析】/(x)=x3+ax2+bx+1 ，m的取值范围是()(e,+8)g(x)f 0,则 a b=().1则 fx)=3x2+lax+h，若/(x)在 x =l处取极值0,(f(1)=3+2 a+b=0 a=-则【小，八，解得：1,，/(I)=l +Z?+l =0
18、=故 a-b-0 ，故答案为：A.9.(2 02 1.铁岭模拟)若ae R 。3”是“函 数f(x)=(x-a)ex在(0,”)上有极值”的().A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意，函 数,f(x)=(x a)，则/,(x)=(x-Z+l)ev,令/,(x)=0,可得 x=a-,当 xa-i 时，/(x)a-时，,所以函数y =/(x)在x=a-l处取得极小值，若 函 数y=f(x)在(0,+8)上有极值，则 a 1 0，解 得 a l .因此 a 3”是“函 数f(x)=(x-a)ex在(0,+a)上有极值”的充分不必要条件.故答案为：A.