九年级反比例函数拓展题.pdf

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1、反比例函数图象基本结论一如图，矩形OABC顶点A,C分别在x轴，y轴正半轴上k反比例函数y=图象在第一象限分别交AB于D,一 AD CE则 有-=-AB CBII辅助线I|证明一1II证明二Insu交BC于E证明一：过D作y轴垂线段垂足F,过E作x轴垂线段垂足G：S矩形OADF=S矩形OGEC,OAxAD=OGxGE-A-D-=-O-G-,即n-A-D=-C-E-GE OA AB CB证明二：S矩形OADF=S矩形OGEC,、-S-矩-形-O-A-D-F-S-矩-形-O-G-E-C-艮 n AD CES 矩形 OABC S 矩形 OABC AB CBAD CE A AD D CE一：结论除了-

2、石=7石，还 可 以 写 成 工 =A C.D L)D 11DCE二：如双曲线不是与AB,BC直接相交，而是与它们延长线交于D,E点,结论与证法不变。BD BE威=R等等价形式。反比例函数图象基本结论二k如图，A,B是反比例函数尸第一象限图象上任意两点。过A作y轴垂线段垂足C,过B作x轴垂线段垂足D|辅助线一|1 1证明一|II辅助线二III证明二IIW1证明一：延长DB,CA交于E点。EA EB由基本结论一，有 俞=赤，根据相似知识可知ABCDhC hD证明二：连AO,BO,BC,A D,分别过A,B作CD垂线段垂足E,F.SAACO=SABDO,AACD=SABDCAE平行且等于B F,四

3、边形ABFE为平行四边形（矩形）ABEF即ABCD-：A,B两点交换谁向x轴作垂线段，谁向y轴作垂线段，结论与证法不变-：将A,B放在双曲线两支上，结论与证法不变反比例函数图象基本结论三如图，A,B是反比例函数尸:第一象限图象上任意两点。直线AB交y轴于C点，交x轴于D点证明一：过A作y轴垂线段垂足E,过B作x轴垂线段垂足F由基本结论二，AB/7EF刍 四边形AEFD,CEFB均为平行四边形1 CB=EF=AD,即AC=BD证明二：过A作y轴垂线段垂足E,过B作x轴垂线段垂足FEA与FB交于点G。由相似结合反比例函数图象基本结论一一 CA EA FB DBA B =AG=BG=AB J x A

4、 C=B D拓展：当A,B位于双曲线两支上时，结论与证法不变。反比例函数图象等角模型一k如图，平行四边形ABCD顶点A,B位于反比例函数产（第一象限的图象上,C,D分别位于x轴正半轴和y轴正半轴上，则必然有&=，点=4O C啊线二I证明一：延长直线A B,分别交y轴、x轴于E,F。噂甄L 取AB中点G,连GO交DC于H。由反比例函数图象基本结论三知，G也是EF中点。短=4=立，H为DC中点，GOBC&=&=,进而可知点=口=3证明二：延长直线A B,分别交y轴、x轴于E,Fo过C点作y轴平行线，交AB于L 构平行四边形EDCIEI=DC=AB,即EA=IB,又由基本结论三知EA=BFIB=BF

5、,立=垃=内，同理可证W=3反比例函数图象等角模型二如图，平行四边形ABCD顶点A,B位于反比例函数尸:第一象限的图象上,C,D分别位于y轴负半轴和x轴负半轴上，则必然有&=&，4=3证明一：延长直线A B,分别交y轴、x轴于E,Fo取AB中点G,连GO并延长交DC于H。由反比例函数图象基本结论三知，G也是EF中点。口=蟠=立=4，H为DC中点，GHBC 社=必=熄，进而可推4=0证明二：延长直线A B,分别交y轴、x轴于E,Fo过C作x轴垂线，交直线AB于I,构平行四边形DCIFFI=DC=AB，又由基本结论三知AE=BF,BE=BI 社=垃=,进而可推W=3反比例函数图象等角模型三如图，A

6、,B 为反比例函数厂;第一象限图象上任意两点,连A O 并延长交反比例函数图象另一支于C,连接直线A B 与BC贝!I必然有口=&，&=3I I 辅 助 线 IIW1证明：取A B 中点H,由基本结论三知H 为D E 中点。连H O,显然H 0 为A A C B 中位线 =应=,进而可推反比例函数图象等角模型应用一:(11年 武 汉)16.如图，平行四边形ABCD的顶点A,B的坐标分别是A(-1,0),kB(0,-2),顶点C,D在双曲线尸(上，边AD交y轴于点E,且四边形BCDE的面积是4ABE面积的5倍，则k.解：TS平行四边形ABCD=6SZiABE,AD=3AE。由等角模型二知AO=A

7、O,AE=AB。过D作DF垂直x轴，ADFs2ABO,AF=3AO=3,DF=3OB=6,D坐 标（2,6），k=12.反比例函数图象等角模型应用二:(13年 武 汉)1 5.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC=2AB,kA,B两点的坐标分别是(-1,0),(0,2),C,D两点在反比例函数尸1的图象上,则k的值等于,解：作C关于y轴垂线段C E,根据等角模型一,ABO=6BE,xAABOACBE,贝！jBE=2BO=4,CE=2AO=2,C(-2,6),k=-12ok(15常 州)28.如图，反比例函数y=q的图象与一次函数尸的图象交于点A、B,点B的横坐标是4.点P是第一象限内反比

8、例函数图象上的动点，且在直线AB的上方.(1)若点P的坐标是(1,4),直接写出k的值和aPAB的面积；(2)设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N,求证：PMN是等腰三角形；(3)设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点(与点P、B不 重 合)，连接AQ、B Q,比较出AQ与出BQ的大小，并说明理由.(2)由等角模型三可知，&=熄，aPMN为等腰三角形|晅逊 峋 具体证法参考前面,略)唯1 (3)延长QB与x轴相交，由等角模型三可知，忌=读，襁AQ=J-NCA=Q-W,tPBQ=QBN=-点AQ=#BQ-D用四:(题目来源自网络，2017实验中学二模)反比例函数图象等角模型应平行四边形O

9、ABC的面积为|最终解答一|II最终解答二Inwi口 画 法 辆 线 1 1画法详解i1 1面积辅助线i口 面积转换i1 1目标图形以OA,AB为边作平行四边3如豆，点A,B在双曲线y=-(xV 0)上，连接OA,AB.形 OA BC,若点C恰好落在拓展双曲线(一(x0)上，则此任画法:如图，点A,B在双曲线y=/(xV 0)上，连接OA,AB,A 以OA,AB为边作平行四边/O A B C,若点C恰好落在双曲线y=?(x0)上，则此时平行四边形OABC的面积为一在尸三上任取一点C,过C作y轴垂线段垂足为D,过D作CO平行线交x轴于E则四边形ABDE为平行四边形。根据等角模型一，有U=Q此时过

10、E点作x轴垂线,将D关于垂线对称得D，射线ED与尸三图象交点即为A点。过A作DE平行线，y=m/x与y=图象交点即为B点x“OF OH,OH a设 定=而=%则 而=前由S矩形GFOH=S矩形AFOJxa=S矩形KEODx(二 尸a-1a得 na=m()2,(a-1)2 m1 ma+=+2a nS平行四边形OABC=S多边形GAIEOH=S矩形GFOHS矩形AFEIn 1=na-=n(a-)=na a-4=nm2 4m.-1r1+2 11=VJm2+4mna反比例函数图象其他几何结论一：ki如图，A,B反比例函数尸一第一象限图象上任意两点。X射线OA,0B分别交反比例函数产晟图象于C,D两点则

11、 ABCD反比例函数图象其他几何结论二：ki如图，A为反比例函数广，第一象限图象上任意一点。过A做x轴垂线和y轴垂线，两线交反比例函数产%图象于B,C两点(k2-ki)2贝!SZABC为定值(kik2时结论相同)2 Kl反比例函数图象其他几何结论三：如图，A,B是反比例函数y=：第一象限图象上两点,并满足OA=AB,AB=90。，(yAyB)A点横坐标用A点纵坐标=反比例函数图象其他几何结论四:如图，A是反比例函数y=：第一象限图象上任意一点，连0A,过A作x轴(或y轴)垂线段垂足B,过B作0A平行线交一象限双曲线于C反比例函数图象其他几何结论五：k如图，A是反比例函数y=（第一象限图象上任意

12、一点，连0A,以A为圆心，A0为半径画圆交x轴（或y轴）于B则直线AB与反比例函数图象相切反比例函数图象其他几何结论六：如图，矩形OABC顶点A,C分别位于x轴，y轴正半轴。反比例函数产;第一象限图象交矩形OABC两边于D,E点将ABED沿ED翻折，若B点刚好落在x轴上的点F处贝！|EO=EF反比例函数图象其他几何结论七：等腰三角形OAB中AO=AB,B在x轴正半轴上。反比例函数产:图象分别交AO,AB于C,D贝！|0 8 的=0 人 2反比例函数图象其他几何结论八：条件同结论七，延长CO至E使OE=OC则CADsDAE反比例函数图象其他几何结论九：A为反比例函数产 第一象限图象上任意一点，连

13、OA以A为圆心，AO为半径画圆，交x轴（或y轴）于D线段AD交反比例函数y=G2匕）第一象限图象于C反比例函数图象其他几何结论十：k如图，点A是反比例函数y=1(x 0)图象上任意一点。以A i为圆心，A Q长为半径画圆，交x轴于B.过BJ乍0入平行线，交反比例函数图象于A?.过A、作A 平行线，交x轴于B.过B,作OA1平行线，交反比例函数图象于A3.过A3作A,B1平行线，交x轴于By以蛇类推一直到A.和B”则(l)OBn=aOB】若A1坐标为(a,b),则上坐标为(6+而ja,(-而)b)反比例函数结论解题示例1(17常州)如图，己知点A是一次函数y=；x(xNO)图像上一点，过点A作x

14、轴的垂线L B是1上一点(B在A的上方)，在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形A B C,反比例函数y=：(x0)的图像过点B、C,若()河的面积为6,则AABC的面积是反比例函数结论解题示例2(17南通)如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数k：(x 0)的图象经过点A(5,1 2),且与边BC交于点D.若AB=BD,则点D的坐标为反比例函数结论解题示例3(17成都)在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P(x,y),我们把点P (L -)称为点P的“倒影点”，直线y=-x+l上有两点A,B,x y它们的倒影点AT B，均在反比例函数产k/x的图象上.若

15、AB=2VL则Q反比例函数结论解题示例44（08泸州）如图P（Xi，yi）,P2（X2,yJ.Pn（xn,y j在函数产一（x0）的图像上,XPQAi，P2A1A2,AP3A2A3PnAI1 An都是等腰直角三角形，斜边OAi、A1A2、A2A3 ,An4An都在x轴上求匕的坐标求 yi+%+y3+.+yio 的值反比例函数结论解题示例54 k(09武汉)如图，直 线 产 与 双 曲 线 尸 一(x0)交于点A.将直线3 X4 9 ky=、x 向右平移彳个单位后，与双曲线y=(x0)交于点B,与x3LXAO轴交于点C,若 高 7=2,则k=.X反比例函数结论解题示例6./J k（10武汉）如图

16、，直线y=1x+b与y轴交于点A,与双曲线尸一5X在第一象限交于B、C两点，且ABAC=4,则仁 o（16十堰）如图，将边长为10的正三角形OAB放置于平面直角坐标系xOy中,C是AB边上的动点（不与端点A,B重合），作CDPB于点D,若点C,D都在双曲线y=5上（k0,x0）,贝!|k的 值 为（A.2 5/B.18百 C.9百 D.9)反比例函数结论解题示例7(13宁波)如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，方CA=90。，AC=BC=2抗,3反比例函数产(x 0)的图象分别与AB,BC父于点D,E.连结DE,当BDES2YBCA时，点E的坐标为.反比例函数结论解题示例83 6（14成

17、都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y-p c与双曲线产相交于A,B两点，C是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交y轴于点P,反比例函数结论解题示例9(14泸州)如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A(0,3),0(0,0),B(4,0),C(4,3),动点F在边BC上k(不与B、C重 合)，过点F的反比例函数y=q的图象与边AC交于点E,直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G,给出下列命题：8若k=4,则AOEF的面积为弓；21若上不，则点C关于直线EF的对称点在x轴上；满足题设的k的取值范围是0VkW12；H12，则Q L反比例函数结论解题示例10(15徐州)如图，在矩形OABC中，

18、OA=3,O C=5,分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点(不与C、B重 合)，反比例函数y=：(k0)的图象经过点D且与边BA交于点E,连接DE.(1)连接O E,若AEOA的面积为2,则上；(2)连接CA、DE与CA是否平行？请说明理由；(3)是否存在点D,使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.反比例函数结论解题示例114(16丽水)如图一次函数丫=飞+1)与反比例函数y=(x0)的图象交于A,B两点,X与X轴，y轴分别交于C,D两点，连结OA,O B,过点A作AEK轴于点E,交OB于点F,设点A的横坐标为m(l)b=_(用含m的代数式表示).(2)若SZOAF+S四边形EFBC=4,则m的值是.