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1、16.1 二次根式教学内容二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念，并利用G （a20）的意义解答具体题目.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.教学重难点关键1.重点：形如JZ （a）0）的式子叫做二次根式的概念；2.难点与关键：利 用“八（a 0）”解决具体问题.教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个课本P2的三个思考题：二、探索新知很明显/、回、岛都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式.因此，一般地，我们把形如G（a20）的式子叫做二次根式，”称为二次根号.（学生活动）议一议：1.-1有算术平方根吗？2.0
2、的算术平方根是多少？3.当 a0）、V（j.X啦、-丘、Jx+y（x20,y 2 0）.x+y分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0.解：二次根式有：、历、Vx（x0）、-&、yx+y（x20,y0）；不是二次根式的有：6、-孤、.X x+y例 2.当 x 是多少时，J 3 x-1 在实数范围内有意义?分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0,所 以 3x-l0,J 3 x-1才能有意义.解：由3x-l 2 0,得：x -3当X 2，时，J 3x-1在实数范围内有意义.3三、巩固练习教材P 5练 习1、2、3.四、应用拓展例3.当x是多少时，
3、J 2 X +3+一在实数范围内有意义?X +1分析：要 使 岳 工5+一在实数范围内有意义，必须同时满足j 2 x +3中的2 0和 一 中x+l X+1的 X+1 W0.2%+3 0解：依题意，得 八x +1 w 03由得：2由得：x W-1当且x -l时，,2 x +3+一在实数范围内有意义.2 x +1例4（1）已知y=j 2-x +J x 2+5,求 乙 的 值.（答案:2）y_ _ ）若 向T+V T=0,求a Z侬+b?0 0 4的 值.（答案:（）五、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1 .形 如 夜（a 2 0）的式子叫做二次根式，“J-”称为二次根号.2 .要使二
4、次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数.六、布置作业1 .教材 P 5 1,2,3,42 .选用课时作业设计.七、教学反思2第一课时作业设计一、选择题1.下列式子中，是二次根式的是（）A.-V7 B.近 C.Vx D.x2.下列式子中，不是二次根式的是（）A.V4 B.716 C.&D.-X3.已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是（）A.5 B.V5 C.D.以上皆不对二、填空题1.形如 的式子叫做二次根式.2.面积为a的 正 方 形 的 边 长 为.3.负数 平方根.三、综合提高题1.某工厂要制作一批体积为In?的产品包装盒，其高为0.2m,按设计需要，底面应做成正方形，试问
5、底面边长应是多少？2.当x是多少时,-+x2在实数范围内有意义?x3.若-3有意义,贝1，=.4使式子J（X 5）2 有意义的未知数x有（）个.A.0 B.1 C.2 D.无数5.已知a、b为实数，且J a-5+2 jl0 2a=b+4,求a、b的值.31 6.1二次根式教学内容1.G（a 2 0）是一个非负数；2.（ya）2=a （a 2 0）.教学目标理解G （a 0）是一个非负数和（6）2=a （a 2 0）,并利用它们进行计算和化简.通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出右（a 2 0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（G）2=a（a 2 0）；最后运用结论严谨解
6、题.教学重难点关键1 .重点：ya（a0）是一个非负数：（G ）2=a （a 2 0）及其运用.2 .难点、关键：用分类思想的方法导出J （a0）是一个非负数；用探究的方法导出（八）2=a （a 2 0）.教学过程一、复习引入（学生活动）口答1.什么叫二次根式？2 .当a 2 0时，G叫什么？当a 0；(2)a2 0；(3)a2+2 a+l=(a+1)2 0；(4)4X2-1 2X+9=(2X)2-2 2 x 3+32=(2 x-3)2 0.所以上面的4题都可以运用(JZ)2=a (a 2 0)的重要结论解题.解：(1)因为x 2 0,所以x+l 0(Jx +1 )2=x+1(2)Va2 0,
7、(疗)2=a2(3)Va2+2 a+l=(a+1)2又:(a+1)2 2 0,.,.a2+2 a+1 0 ,A Va2+2 a +l =a2+2 a+l5(4)V4X2-12X+9=(2X)2-2 2x 3+32=(2x-3)2又：(2x-3)2。A4X2-12X+90,；.(V4X2-12X+9)2=4x2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式：(1)X2-3(2)X4-4(3)2X2-3分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：1.(a 2 0)是一个非负数；2.(a)2=a(a 2 0);反之:a=(a)2(a 2 0).六、布置作业1.教材 P5 5,6,7,82.选用课时作业设计.七、
8、教学反思6第二课时作业设计一、选择题1.下 列 各 式 中 后、扃、“2 一1、耳+/、7W2+20,V-144,二次根式的个数是().A.4 B.3 C.2 D.12.数a没有算术平方根，则a的取值范围是().A.a 0 B.a 20 C.a 0 D.a=0二、填空题1.(-V3)2=.2.已 知 而T有意义，那么是一个 数.三、综合提高题1.计算(1)(V9 )2(2)-(V3)2(3)(-V6)2(4)(-3 J-)22V3(26+3近)(2 6-3 0)2.把F列非负数写成一个数的平方的形式：(1)5(2)3.4(3)-(4)x (x 20)63.已知yx-y+J x-3=0,求 X，
9、的值.4.在实数范围内分解下列因式：(1)X2-2(2)X4-9 3X2-571 6.1二次根式教学内容=a (a 20)教学目标理解J/=a (a 20)并利用它进行计算和化简.通过具体数据的解答，探究J/=a (a，0),并利用这个结论解决具体问题.教学重难点关键1.重点：=a (a 20).2.难点：探究结论.3.关键：讲清a N O时，=2才成立.教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1.形 如 八(a 20)的式子叫做二次根式；2.4 a(a 20)是一个非负数；3.(Vo )2=a (a)0).那么，我们猜想当a 2 0时，行=2是否也成立呢？下面我们就来探究这个问
10、题.二、探究新知(学生活动)填空:因此，一般地：J/=a(a20)例1化简(1)V9 (2),(-4)2(3)V25 Ji8分析：因 为(1)9=-32,(2)(-4)2=42,(3)25=52,(4)(-3)2=32,所以都可运用J/=a (a，0)去化简.解：(1)V9 =3(2)J(-4)2=4(3)V25=y 5 =5(4)J(-3了=V?=3三、巩固练习教材P 7练习2.四、应用拓展例2填空：当a 2 0时，_ _ _ _ _:当a a,则a可以是什么数？分析：；J 7=a(a 0)，要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形,使“()2”中的数是正数，因为，当a W O
11、时，=J(_ q)2,那么-a 20.(1)根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根 据(1)、(2)可知J/=|a|,而|a|要大于a,只有什么时候才能保证呢？a a,即使a a所以a不存在；当 a v O 时，=-a,要使J/a,即使-a a,a v O综上，a 2,化简，(x-2户-J(l 2x)2.分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：C=a(a 20)及其运用，同时理解当a 0时，行=-a的应用拓展.六、布置作业1 .教材 P 5 习题 1 6.1 3、4、6、8.2 .选作课时作业设计.七、教学反思9第三课时作业设计一、选择题2.a 2 0 时，J/、J(-a
12、)?、-77,比较它们的结果，下面四个选项中正确的是().A.=J(一 J(-a)2 -ya C.4 a y(-a)2 4 a =/(-a)2二、填空题1 .-70.0004=.2 .若 痴 嬴 是一个正整数，则正整数m 的最小值是.三、综合提高题1 .先化简再求值：当 a=9 时，求 a+J l 2 4+/的 值,甲 乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+J(l-a)2 =a+(1-a)=1；乙的解答为：原式=a+J(l-a)?=a+(a-1)=2 a-l =1 7.两种解答中，的解答是错误的，错误的原因是.2 .若|1 9 9 5-a|+V -2 0 0 0 =a,求 a-1 9 9 5
13、 2 的值.(提示：先由a-2 0 0 0 0,判 断 1 9 9 5-a 的值是正数还是负数，去掉绝对值)3,若-3 W x W 2 时，试化简|x-2|+J(x +3 +4-10七 +2 5。101 6.2二次根式的乘除教学内容4 a ,4 b a b(a0,b?0),反之&(a 2 0,b 0)及其运用.教学目标理解G ,s/b =a b(a 2 0,b N O),yf a b =4 a ,y/b(a 2 0,b 2 0),并利用它们进行计算和化简由具体数据，发现规律，导 出 八 =(a 2 0,b 0)并运用它进行计算；利用逆向思维，得出，石=G 4 b(a 2 0,b 2 0)并运用
14、它进行解题和化简.教学重难点关键重点：ya ,4 b a b(a 2 0,b 2 0),ya b =4 a ,4 b(a0,b 2 0)及它们的运用.难点：发现规律，导出,yb 4 a b(a 2 0,b O).关 键：要 讲 清 J石(a O,b 、0）计算即可.解：V 5 X 7 7=7 3 5 A=(3)V 9 X V 2 7=V 9 x 2 7 =A/92X3=9 V 3 A X#=J；x6=0例 2化简(1)7 9 x 1 6 (2)7 1 6 x 8 1 (3)7 8 1 x 1 0 0(4)yj 9 x2y2(5)V 5 4分析：利用J瓶-4 b(a 2 0,b N O)直接化简
15、即可.解：(1)J 9 x l 6=的 义 后=3乂4=1 2(2)7 1 6 x 8 1=V 1 6 X V 8 1 =4 X 9=3 6(3)7 8 1 x 1 0 0 =A/T X V 1 0 0 =9 X 1 0=9 0(4)y9 x2y2=V?X y/x2y2 X x X =3 x y(5)V 5 4 =J9x6 =V?X 6 =3 V 6三、巩固练习（1）计 算（学生练习，老师点评）12 V 1 6 X V 8 3 瓜 X 2 V 1 0 a y(2)化简：V 2 0;V 1 8;V 2 4;V 5 4;7 1 2 a2/)2教材P u练习全部四、应用拓展例3.判断F列各式是否正确
16、，不正确的请予以改正：(1)J(-4)x(_9)=口x(2)义 后=4 X居X后=4居X后=4/=8名解：(1)不正确.改正：7(-4)x(-9)=V 4 x9=V 4 X V 9=2 X 3=6(2)不正确.改正：4XV25=J X V 2 5=x 2 5=V r T 2=V 1 6 x 7 =4 7 7五、归纳小结本节课应掌握：(1)V o ,V K=ya b=(a 0,b 0),V o K=V o ,V f t (a2 0,b2 0)及其运用.六、布置作业1 .课本 P”1,4,5,6.(1)(2).2 .选用课时作业设计.七、教学反思第一课时作业设计1.化 简a一一的结果是(A.V-a
17、B.4 aC.-J-aD.-4 a2 .等式j r r i&万=，三 工 成立的条件是(A.xel B.x2-l C.-I WXW I D.xl 或 xW-13.下列各等式成立的是（）.13A.4-/5 X2-/5 =8 y5 B.5-/3 X4A/2=20-/5C.4 6 x 3 8=7 6 D.5A/3 X4A/2=20V6二、填空题1.7 1 0 1 4=.2.自由落体的公式为S=；gt2（g 为重力加速度，它的值为lOm/s?）,若物体下落的高度为720m,则 下 落 的 时 间 是.三、综合提高题1.一个底面为30cmX30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水例入一个底面为正方形
18、、高 为 10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了 20cm,铁桶的底面边长是多少厘米？2.探究过程：观察下列各式及其验证过程.|3(32-1)+3 白 -1),3 C J 32-1 一 丫 32-1 32 V 8通过上述探究你能猜测出:（a0），并验证你的结论.141 6.2二次根式的乘除教学内容Va la布=匕(a 0,b 0),反过来la 4a（a0,b 0）及利用它们进行计算和化简.教学目标理啜/(a O,b 0)la yfa和（a2 0,b 0）及利用它们进行运算.利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简.教
19、学重难点关键1.重点：理解ya(a 0,b 0),三=奈（a2 0,b 0）及利用它们进行计算和化简.2.难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定.教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题：1 .写出二次根式的乘法规定及逆向等式.2 .填空3 .利用计算器计算填空:(1)(2)6V3*垂(4)V77815规 律:君住交4；忑2 也3；忑区,V75 ：V 87每组推荐名学生上台阐述运算结果.（老师点评）二、探索新知刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地,对二次根式的除法规定:ya7T一h(a 2 0,b 0)9反过来,T i
20、b 8 b0)下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.例1.计算：（1）（2）,、V 6 4(4)瓜分析:上面4小 题利用事.（a 2 0,b 0）便可直接得出答案.解:宗凤2（4）%恃 我=2五例2.化 简:(1)64b29a2(3)9x6 4/(4)5x169/总分析：直接利用J|=（a，0,b 0）就可以达到化简之目的.解：3 664一病一816三、巩固练习 教材P14练 习1.四、应用拓展例3.已 知2二土 二装汇，且x为偶数，求（1+x）厂+4的U-6 46 V x2-l分析:只有a 2 0,b 0时才能成立.因此得至9-x0且x-6 0,即6 0，即x 0 x6；.6 0)(a
21、2 0,b 0)及其运用.六、布置作业1.习题 1 6.2 2、7、8、9.2.选用课时作业设计.七、教学反思17第二课时作业设计一、选择题A.V 5 B.C.V 27 7722.阅读下列运算过程：1 _ 6 2 _ 2 亚 _2#6 x 6-3 V5 -75 x75 -5数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作分母有理化”，那么，化简2的结果是().A.2 B.6 C.-7 6 D.V 63二、填空题1.分母有理化：(1)二3 V 21;IV12,；(3)一Vio2 V 52.已知x=3,y=4,z=5,那么+的 最 后 结 果 是.三、综合提高题1.有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与
22、宽之比 为 石：1,现用直径为3赤c m的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？181 6.2 二次根式的乘除(3)教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化筒运算.教学目标理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求.重难点关键1.重点：最简二次根式的运用.2.难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式.教学过程一、复习引入(学生活动)请同学们完成下列各题(请三位同学上台板书),u 笛 一、V3。、372 小册1
23、.r f 算(1)-7=(2),(3),V5 V27 y2a老师点评:V3 V15 372 V6 册 2 GF 5 V27-3 y/2a a2.现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是%km,h 2 k m,那么它们的传 播 半 径 的 比 是.它们的比是12MliiRh,二、探索新知观察上面计算题1 的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点:1.被开方数不含分母；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式.学生分组讨论，推荐3 4 个人到黑板上板
24、书.老师点评：不是.例 2.如图,在 RtAABC 中,ZC=90,AC=2.5 cm,BC=6cm,求 AB 的长.19A解：因为 AB2=AC2+BC2因此AB的长为6.5 c m.三、巩固练习练习2、3四、应用拓展例3.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式:1-丘-1 r-V 2 +1-(V 2+1)(7 2-1)-2-1 一，1 1 x(6-应)也-近 片一5V 3+V 2 -(V 3 +7 2)(7 3-V 2)-3-2 一 同理可得：1=V4-V3,V4+V3从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算(-J-+_ 1+1 )(V 2 0 0 2 +1)的
25、值.V 2 +1 V 3+V 2 V 4 +V 3 V 2 0 0 2 +V 2 0 0 1分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的.解：原式=(行-1+V L&百 +V 2 0 0 2-V 2 0 0 1 )X(7 2 0 0 2+1)=(V 2 0 0 2-1)(V 2 0 0 2+1)=2 0 0 2-1=2 0 0 1五、归纳小结本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用.六、布置作业1 .习题 1 6.2 3、7、1 0.2 .选用课时作业设计.七、教学反思20第三课时作业设计一、选择题1.如果j （y0）是二次根式，那么，化为最简二次
26、根式是（2.把(a-1)B.d xy(y0)C.到y中根号外的（a-1）移入根号内得(y0)D.以上都不对A.JQ 1B.J1-aC.-J a -1D.-VTQ3.在下列各式中，化简正确的是（）A.B.C.=a?JbD.yjx3-x2=x Vx-14.化 简 二 更 的 结 果 是（V27)A V2A.-32B-j=V3c巫3D.-V2二、填空题1.化简小丁+一y2 =(x20)2.a金化简二次根式号后的结果是a三、综合提高题确,1.已知a为实数，化筒:请写出正确的解答过程:解：J-，4-a =(a-1)4-aa2.若x、y为实数，且y=工，阅读下面的解答过程,请判断是否正确？若不正Vx2-4
27、 +V4-X2+1x+2，求 Jx +y y/xV的值.211 6.3二次根式的加减教学内容二次根式的加减教学目标理解和掌握二次根式加减的方法.先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再总结经验，用它来指导根式的计算和化简.重难点关键1 .重点：二次根式化简为最简根式.2 .难点关键：会判定是否是最简二次根式.教学过程一、复习引入学生活动：计算下列各式.(1)2 x+3 x；(2)2X2-3X2+5X2；(3)x+2 x+3 y；(4)3 a2-2 a2+a3教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并.同类项合并就是字母不变，系数相加减.二、探索
28、新知学生活动：计算下列各式.(1)2 V 2+3 V 2 (2)2 册-3册+5&(3)币 +2币 +3卮i(4)3 V 3-2 V 3+V 2老师点评：(1)如果我们把正当成x,不就转化为上面的问题吗？28+3夜=(2+3)7 2=5 7 2(2)把 火 当 成y；2&-3也+5瓜=(2-3+5)V 8 =4 7 8=8 7 2(3)把J7当成z；V 7+2 7 7+7 9 小=2 V 7 +2 +3 -7 7 =(1 +2+3)币=6 后(4)百 看 为x,五 看 为y.3 V 3-2 V 3+V 2=(3-2)V 3 +V 222=sf i+p2.因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的
29、，如 2 8与次 表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的.(板 书)3 +V 8 =3 V 2 +2 /2 =5 V 23 V 3 +2 7 =3 V 3 +3 V 3 =6 A/3所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.例 1.计算(1)V 8+V 1 8 (2)V 1 6 x+V 6 4 x分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并.解：(1)y/s+V T s =2 V 2 +3 V 2 =(2+3 )V 2 =5 V 2(2)V 1 6 x+yMx=4 4 x+8 V x=(4+8
30、)4 x =1 2 y/x例 2.计算(1)3 7 4 8-91+3A/12(2)(V 4 8+V 2 0 )+(V 1 2-V 5 )角 平：(1)3 V 4 8 -9 +3 V 1 2 =1 2 V 3 -3 V 3 +6 V 3 =(1 2-3+6)V 3 =1 5 V 3(2)(V 4 8+V 2 0 )+(V 1 2-V 5 )=+V 2 0+V 1 2-V 5=4 /3 +2 5/5 +2 V 3 -#)6 V 3 +/5三、巩固练习教材P 1 9 练 习 1、2.四、应用拓展例 3.已知 4 x2+y2-4 x-6 y+1 0=0,求(X/9 x+y2-3-(X?-5 x )的值
31、.分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2 x-l)2+(y-3)2=0,即x=；,y=3.其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值.解：V 4 x2+y2-4 x-6 y+1 0=023V4X2-4X+1 +y2-6y+9=0(2x-l)2+(y-3)2=0=2x IX+-X yJx+5 y 1=x x+6 fxy7,y=3 时,原式=-1 X.1+62 V2五、归纳小结本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式;式进行合并.六、布置作业1.习题 16.3 1、2、3、5.2.选作课时作业设计.七、教学反思相
32、同的最简二次根24第一课时作业设计一、选择题1 .以下二次根式：瓦；亚；岛 J方 中，与百是同类二次根式的是（）.A.和 B.和 C.和 D.和2 .下列各式：3A/3+3=6 V 3 ；;，=1；V 2 +V 6 =s/s=2V 2 ；=2A/2,其中错误的有（）.A.3个 B.2个 C.1个 D.0个二、填空题1 .在 次、反、马 屈、J市、2历、工、-2、口 中，与 病 是 同 类 二 次3 3 a V 8根式的有.2.计算二次根式56-3 -7 6+96的 最 后 结 果 是.三、综合提高题1 .已知6 P 2.236,求（病-Jg）-（+痂）的 值.（结果精确到0.0 1）2.先化简
33、，再求值.(6x +J xy3)-(4x J+336孙)3其中 x=,y=27.251 6.3 二次根式的加减（2）教学内容利用二次根式化简的数学思想解应用题.教学目标运用二次根式、化简解应用题.通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题.重难点关键讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点.教学过程一、复习引入上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固.二、探索新知例 1.如图所示的RtAABC中，/B=90,点 P
34、 从点B 开始沿BA边 以 1厘米/秒的速度向点 A 移动；同时，点 Q 也从点B 开始沿BC边以2 厘米/秒的速度向点C 移动.问：儿秒后aPBQ的面积为35 平方厘米？（结果用最简二次根式表示）分析：设 x 秒后aP B Q 的面积为35 平方厘米，那 么 PB=x,B Q=2 x,根据三角形面积公式就可以求出x 的值.解：设 x 后aP B Q 的面积为35 平方厘米.贝 I 有 PB=x,BQ=2x依题意，得：x,2x=352X2=35x=V35所 以 屈 秒 后 4P B Q 的面积为35 平方厘米.答：屈 秒 后 A PEQ 的面积为35 平方厘米.例 2.要焊接如图所示的钢架，大
35、约需要多少米钢材（精确到0.1m）?分析：此框架是由AB、BC、BD、A C 组成，所以要求钢架的钢材，只需知道这四段的长度.26解：由勾股定理，得A B=y l A D2+BD2=V 42+22=V 2 0=2 V 5BC=4BD2+CD2=V 22+l2=也所需钢材长度为A B+BC+A C+BD=27 5+7 5+5+2=37 5+7 2 3 X2.24+7 1 3.7 (m)答：要焊接一个如图所示的钢架，大约 需 要1 3.7 m的钢材.三、巩固练习教材 练 习3四、应用拓展例3.若最简根式+3 b与 根 式，2。喋-1+6/是 同 类 二 次 根 式,求a、b的 值.(同类二次根式就
36、是被开方数相同的最简二次根式)分 析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事 实 上，根式d 2 a b 2 b 3+6 b?不 是 最 简 二 次 根 式,因 此 把，2加-/+6/化简成 J 2 a-A +6 ,才山同类二次根式的定义得3a-b=2,2a-b+6=4 a+3b.解：首 先 把 根 式 菽 万 飞7化为最简二次根式：d 2 a b -b +6/=J/(2 a-1 +6)=l b l ,2 a b +6由题意得4 a +3b -2 a-/+63a b =2.2 a +4 b =6 3 a-b2；.a=l,b=l五、归纳小结本节课应掌握运用最简二次根式的
37、合并原理解决实际问题.六、布置作业1 .习题 1 6.3 7.2 .选用课时作业设计.七、教学反思27第二课时作业设计一、选择题1 .已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和 5,那么斜边的长应为（）.（结果用最简二次根式）A.5A/2 B.V 5 0 C.2A/5 D.以上都不对2 .小 明想自己钉一个长与宽分别为3 0 cm 和 2 0 cm 的长方形的木框，为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米.（结果同最简二次根式表示）A.13A/W0 B.V 1 3 0 0 C.1 0 V 1 3 D.5 /1 3二、填空题1 .某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽
38、的2倍，它 的面积是1 6 0 0 m2,鱼塘的宽是m.（结果用最简二次根式）2 .已知等腰直角三角形的直角边的边长为行，那么这个等腰直角三角形的周长是.（结果用最简二次根式）三、综合提高题1 .若最简二次根式2,3 加2 2与2/2 1 0 是同类二次根式,求m、n的值.32 .同学们，我们以前学过完全平方公式a 2 2 a b+b?=（a b）2,你定熟练掌握了吧!现在,我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如 3=（百）2,5=（JF）2,你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：（,/2 -I）、（y/2）与 2 1 ,V 2 +12=2-2 V 2 +1
39、=3-2 A/2反之，3-2 =2-2 +1=（V 2 -1）2：.3-2收=（V 2-1）2A A/3-2/2=V 2-1求：V3+2V2；(2)4 +2 3 ；(3)你会算屈吗?（4）若 力 26=诟 6,则 m、n与 a、b的关系是什么？并说明理由.281 6.3二次根式的加减(3)教学内容含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用.教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用.复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算.重难点关键重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；
40、难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算.教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题：1.计算(1)(2 x+y),z x (2)(2 x2y+3 x y2)-4-x y2 .计算(1)(2 x+3 y)(2 x-3 y)(2)(2 x+l)2+(2 x-l)2老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现.它主要有(1)单项式X单项式；(2)单项式X多项式；(3)多项式+单项式；(4)完全平方公式；(5)平方差公式的运用.二、探索新知如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立.整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，
41、当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式.例1.计 算：(1)(V6+V8 )X V3 (2)(4瓜3血)+2行分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律.解：(1)(V6+V8)x V3=V6 x V3+V8 x V3-/8 +-2 4 =3 /2 +2 y/b解：(4/6 -3 -JT,)4-2A/2 =4 4-2-/2 -3 V2 +2 V22例2.计算(1)(6+6)(3-V5 )(2)(V1 0 +V7 )(V1 0-V7 )分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立.解：(1)(V5+6)(3
42、-V5 )=3 5 -(V5 )2+1 8-6 V5=1 3-3 V529（2）（V i o+V 7）（V 1 0-V 7）=（V i o）2-（V 7）2=1 0-7=3三、巩固练习课本练习1、2.四、应用拓展Y h X n例 3.已知=2-,其中a、b是实数，且 a+b WO,a h化简Jx+1 -sx Jx+1 +y/xJx+1 +yx Jx+1 -y/x并求值.分析：由 于（J77T+4）（V 7+T-V ）=1,因此对代数式的化简，可先将分母有理化,再通过解含有字母系数的一元次方程得到X 的值，代入化简得结果即可.L （J.+1 -（/X+1 +*/x）2(A/X+1 -5/x)2(
43、Vx+1 +Vx)2-1-(x+l)-x(x+l)-x=(x+1)+x-2 J x(x +1)+x+2 yj x(x 4-1)=4 x+2.x-b -x-a.-=2-a bAb (x-b)=2 a b-a (x-a)b x-b2=2 a b-a x+a2(a+b)x=a2+2 a b+b2/.(a+b)x=(a+b)2:a+b#0 x=a+b 原式=4 x+2=4 (a+b)+2五、归纳小结本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算.六、布置作业1 .习题 1 6.3 1、8、9.2 .选用课时作业设计.七、教学反思30第三课时作业设计一、选择题1.（-3 岳+2（|）X0 的 值 是（）.A.
44、V3-3V30 B.3屈2 63 3C.2 7 3 0-V3 D.V3-V3O3 32.计 算（4+J x-l ）（Vx-V x-1）的 值 是（）.A.2 B.3 C.4 D.1二、填空题i1.（-+）2的计算 结 果（用最简根式表示）是2 22.（12百）（1+2百）-（2省 1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是3.若 x=6 1,则 x?+2x+l三4.已 矢 lla=3+2/5,b=3-2/2,贝 lj ab-ab?三三、综合提高题.由 y/5+V71.化简 7=-7=-7=V10+V14+V15 +V211 ,q X+l+/x+X x+l /r +,rr,m A .一、，t、I
45、一.2.当 x=-时，求-/1 +-/）的 值.（结果用最简二次根式表小）V2-1 x+1-v x2+x x+1 +v x2+x31课外知识1 .同类二次根式：儿个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式.练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）.A.岳 与W B.C.与&D.J.+与+2 .互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差 公 式（a+b）（a-b）=a2-b2,同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1-J x?+2与x+l +J x?+2 x就是互为有理化因式;yx
46、 与 r=yj x也是互为有理化因式.练习：血+石 的 有 理 化 因 式 是:X-6的 有 理 化 因 式 是.-V7+T-K 1的有理化因式是3 .分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的.练习：把下列各式的分母有理化（2）1 +2V3V2（3）口 厂:/6 /2（4）3 G+4 03V3-4V24.其它材料:如果n是任意正整数,练习:理由:321 7.1 勾股定理（一）一、教学目的1 .了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面枳法证明勾股定理。2 .培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。3 .介绍我国古代在勾股定
47、理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。二、重点、难点1 .重点：勾股定理的内容及证明。2 .难点：勾股定理的证明。三、例题的意图分析例 1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。例 2 使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。四、课堂引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建
48、议，发射一种反映勾股定理的图形,如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。让学生画一个直角边为3 c m 和 4 c m 的直角 A B C,用刻度尺量出A B 的长。以上这个事实是我国古代3 0 0 0 多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3,长的直角边（股）的长是4,那么斜边（弦）的长是5。再画一个两直角边为5 和 1 2 的直角 A B C,用刻度尺量A B 的长。你是否发现3、4 2
49、 与 5 z 的关系，5?+1 2 2 和 1 3?的关系，即 3 4 4 2=5 2,52+1 22=1 32,那么就有勾、股 三弦 二对于任意的直角三角形也有这个性质吗？五、例习题分析例 1（补充）已知：在A B C 中,Z C=90,N A、N B、/C的对边为a、b、求证：a2+b2=c2C o分析:让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。拼成如图所不,其等量关系为：4SA+S小 正=S 大 正4X a b+（b a）?=?,化简可证。2发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。（4）勾股定理的证明方法，达 3 00余种。这个古老的
50、精彩的证法,激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。例 2已知：在4 A B C 中，ZC=90,N A、N B、Z C 的对边为 a、b、C o求 证:a2+b2=c2分析：左右两边的正方形边长相出自我国古代无名数学家之手。等，则两个正方形的面积相等。左边 S=4X -a b+c22右边 S=(a+b)2左边和右边面积相等，即4X a b+c2=(a+b)2化简可证。六、课堂练习1.勾股定理的具体内容是：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _