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1、【创新设计】2014高考数学一轮复习第八章直线的倾斜角与斜率直线的方程训练理新人教A版第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程 备考方向要明了年魏栩幅陷置鲤蹲自旃淀困蜩蜀裁基槌1考 什 么怎 么 考1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，1.对直线的倾斜角和斜率概念的考查，很少单独命题，掌握过两点的直线斜率的计算公式.但作为解析儿何的基础，复习时要加深理解.2.能根据两条直线的斜率判断这两2.对两条直线平行或垂直的考查，多与其他知识结合条直线平行或垂直.3.掌握确定直线位置的几何要素；掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系.考查，如 2012年浙江T3等.3.直线
2、方程一直是高考考查的重点，且具有以下特点：(1)一般不单独命题，考查形式多与其他知识结合，以选择题为主.(2)主要是涉及直线方程和斜率.H U G A N Z H 1 S H I 归纳 知识整合1.直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角一个前提：直 线，与 X轴相交；个基准：取 X轴作为基准:两个方向：X轴正方向与直线/向上方向.当 直 线/与 X轴平行或重合时，规定：它的倾斜角为纥.倾斜角的取值范围为 0,).（2）直线的斜率定义：若直线的倾斜角，不是90,则 斜 率-tan 与计算公式：若由4（为，乂），8（x 2,必）确定的直线不垂直于x 轴，贝|衣=匕二上也一小 探究 1.直线的倾角，越
3、大，斜率力就越大，这种说法正确吗？提示：这种说 法 不 正 确.由 仁 tan 知，当小（0,总 时，。越大，斜率越大且为正；当，6 管，时，越大，斜率也越大且为负.但综合起来说是错误的.2.两条直线的斜率与它们平行、垂直的关系 探究 2.两 条 直 线 九 A垂直的充要条件是斜率之积为一1,这句话正确吗？提示：不正确，当一条直线与x 轴平行，另一条与y 轴平行时，两直线垂直，但一条直线斜率不存在.3.直线方程的几种形式名称条件方程适用范围点斜式斜率力与点（刘，为）（X一照）不含直线了=施斜截式斜率在与截距6y=-x+b不含垂直于X轴的直线两点式两点（X1,%）,（照，乃）y-y i _於Mx
4、-XiXz-X不含直线才=小（小=生）和直 线 尸.%（%=也）截距式截 距 a与bX,y 1-+7=1a b不含垂直于坐标轴和过原点的直线一 般 式4 r+y+C=0（1+疗乎0）平面直角坐标系内的直线都适用 探究 3.过两点4（不，%）,月（刘，的直线是否一定可用两点式方程表示？提示：当为=用，或必=及 时，由两点式方程知分母此时为零，所以不能用两点式方程表示.自测 牛刀小试1 .（教材习题改编）若直线x=2 的倾斜角为。，则。（）A.等于0c.等 球二 nB.等于7D.不存在解析：选C因为直线x=2垂直于x轴，故其倾斜角为方.2.（教材习题改编）过点加一2,4，M m,4）的直线的斜率等
5、于1,则卬的值为（）A.1B.4C.1 或3 D.1 或4解析：选A由题意知，=1，解得m=1.3.过两点（0,3）,（2,1）的直线方程为（）A.x y 3=0 B.x+y-3=0C.x+y+3=0 D.x y+3=03 1解析：选B直 线 斜 率 为 广=-1,其方程为尸一x+3,即x+y 3=0.4.直线/的倾斜角为30 ,若直线，则直线八的斜率左=:若直线A7,则直线七的斜率、巧解析：V 1/h,k n t an 30 V L i A.1,.,.左2=一十=一小.答 案:事 小5.已知4(3,5),8(4,7),7(-1,x)三 点 共 线,则x等于解析:因为七=不石=2,x 5 x
6、5底=-1-3=一_A,B,。三点共线，所以0=嬴，即一一=2,解 得 户 一 3.答案：一3 国 点 侬 龌 嗜 阑 型 殿K建遮提 姿 邀I逋这:-1直线的倾斜角和斜率 例1 (1)直线x s i n。+夕+2=0的 倾 斜 角 的 取 值 范 围 是()r J i 3 冗 、A.0,n)B.0,U n In|n l 冗 、C.o,y j I).I o.万，nJ(2)已知两点/E,n),B(n,加(W )，则直线U 的倾斜角为；(3)直线/过点尸(1,0),且与以4(2,1),8(0,#)为端点的线段有公共点，则直线/的斜 率 的 取 值 范 围 为.自 主 解 答(1)设直线的倾斜角为9
7、,则 有 ta n。=s i n%其 中 s i n。w 1,1 .又。0,n),所以 OW。或 亨 W 9 0,力0).a b则有+%1,月 口=12.解 得 a=6,力=4.所以所求直线，的方程猫+a，即 2x+3y-12=0.法二：设直线1的方程为y 2=A(x 3)G K O),令 x=0,得 y=2-3 4 0；2令 y=0,得 x=3-0.K所以匾相=。(234)(3一4=1 2,解得衣=一,，Z K)o2故所求直线方程为y-2=一鼻(*3),即 2x+3y 12=0.答案(DD 2x+3y-12=o-方 法，规 的-求直线方程的常用方法(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直
8、线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程.(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程.再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程.II曜 氤 训 练5.放 的三个顶点为 4(一3,0),灰2,1),7(-2,3),求：(1)比所在直线的方程；(2)回 边 上 中 线 所 在 直 线 的 方 程；(3)比1 边的垂直平分线应的方程.y 1 Y-2解：(1)因为直线比经过6(2,1)和以一2,3)两点，由两点式得比的方程为宜=三 二 即 x+2y 4=0.(2)设 6 c 中点的坐标(x,y),则2-2X-=0,y=1 +3 1 7=2.究 边 的 中 线 过 点 4
9、(-3,0),(0,2)两点，山截距式得/所在直线方程为金+=1,即 2x-3y+6=0.%的 斜 率 4/则比1的垂直平分线瓦的斜率左=2,由点斜式得直线庞的方程为 y2=2(40),即 2x y+2=0.通 法 归纳领悟1 个关系直线的倾斜角和斜率的关系(1)任何的直线都存在倾斜角，但并不是任意的直线都存在斜率.(2)直线的倾斜角a和斜率衣之间的对应关系：3 个注意点与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点a00 。90o9090 0不存在KO(1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y 轴的直线；微距式方程不能表示
10、垂直于坐标轴和过原点的直线.在应用时要结合题意选择合适的形式，在无特殊要求下一般化为一般式.(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零.(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率存在与否加以讨论.易误警示有关直线方程中“极端”情况的易误点 典例(2013 常州模拟)过点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线1的方程为 解析 当截距不为0 时，设所求直线方程为X V一+二=1,即 x+ya=0.a a,点户(-2,3)在直线/上，.-2 4-3-3=0,.a=l,所求直线/的方程为x+y-1=0.当
11、截距为0 时，设所求直线方程为了=衿，则有33=2 k,即“=-5,此时直线/的方程为尸一左，即 3x+2y=0.综上，直 线，的方程为x+yl=0 或 3x+2尸 0.答案 x+y T=0 或 3x+2y=0 易误辨析1 .因忽略截距为“0”的情况，导致求解时漏掉直线方程3 x+2 尸。而致错，所以可以借助几何法先判断，再求解，避免漏解.2 .在选用直线方程时，常易忽视的情况还有：(1)选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况；(2)选用两点式方程时忽视与x 轴垂直的情况及与y 轴垂直的情况.变式训练已知直线/过(2,1),(/3)两点，则直线/的方程为解析：当勿=2时，直 线/的 方 程
12、为 户 2；y-1 V-2当 它 2时，直线/的方程为=，3-1 mz即 2x (m-2)y+m6=0.因为2 7 7=2 时;方 程 2 x 一(4 一2)y+加-6=0,即为x=2,所以直线1的方程为2 才 一(加 一2)y+0 6=0.答案：2 x Ur 2)p+-6=0酶 g知Z H IN能E N G稼 J IA N测C E二翁 竭 宓 。给芬曷星公园国遛姆故谟、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共 3 0 分)1.(2 0 1 3 秦皇岛模拟)直线x+#y+l=0的倾斜角是()nA.6J IB.2 冗C亍5 冗D-v解析：选 D由直线的方程得直线的斜率为4=-与，设倾斜角为。，则
13、t a n ao3所 以a=.62.已知点力(1,-2),6 伪,2),且线段力4 垂直平分线的方程是x+2 y2 =0,则实数/的值是(A.2B.-7C.3D.14解析：选 C由已知3 2,即R=2,解得 3.3.若直线经过点(1,1),且与两坐标轴围成的三角形的面积为2,则这样的直线共有（）A.4条 B.3 条C.2条 1）.1 条解析：选 B 作图易得在第一、二、四象限各能围成一个.4.（2 0 1 3 银川模拟）已知直线/：叶 郎+6=0 和 4：（a 2）x+3 y+2 a=0,则一 A的充要条件是a 等于（）A.3B.1C.-1 D.3 或一11 a 6解析：选 C由题意知，11-
14、=三片工，a一乙 3 La即 a=.5 .直线2 x/y+1 3 加 0,当加变化时，所有直线都过定点（）2 x+l =0,解析：选 D原方程可化为（2 x+l）勿（y+3）=0,令 y+3=0,1-2-3,故所有直线都过定点（一/一3）.6.设 a,b,c 分 别 是 中 角 4 B,直线。x g i n 2 7+s i n。=0的位置关系是（A.平行C.垂直C 所对边的边长，则直线x s i n 4+a y+c=0 与）B.重合D.相交但不垂直解析：选 C由已知得a，Q,s i n 际。，所以两条直线的斜率分别为尢=一乎,人=一 匕 由正弦定理得九 4=-2 0一=一 1,所以两条直线垂直
15、.s i n B a s i n B二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共 15 分）兀 兀、2 n 7 .若直线/的斜率为4,倾 斜 角 为 而。仁石，用 口 亍，n J,则的取值范围是.解析：当看，时，Q t a n a e*,1）；当五 J时，A=ta n a e y 3f 0）.综上 k G 一木,0)1J.答 案:一 名,0)u 停 1)8.已知直线xA y+l=0 与直线y=4x1 平行，则力的值为解析：若两直线平行，则 A=(,解 得*=L答案：19.(2013 皖南八校联考)已知直线a x+y+2=0与直线b x-3+1)/-1=0 互相垂直,则 la目 的 最 小 值 为
16、.解析：两直线互相垂直，.226(才+1)=0 且。/0,才 6=，+1,.5=拉=升 a a：.ab=a+2=阔+七 2 2(当且仅当。=1 时取等号).a a答案：2三、解答题(本大题共3 小题，每小题12分，共 36分)10.设直线/的方程为入+/吠-2卬+6=0,根据下列条件分别确定勿的值：(1)直 线，的斜率为1;(2)直 线，在 x 轴上的截距为-3.解：(1)因为直线/的斜率存在，所以赭 0,于是直线/的方程可化为尸一1x+冽二回m m由题意得一,=1,解得=-1.m3(2)法一：令 尸:0,得 x=2/6.由题意得2/S6=-3,解得R=.法二：直线/的方程可化为x=my+21
17、n-6.由题意得2 k 6=-3,解得加=.11.已知两点己一 1,2),Bhn,3).(1)求直线47的方程；(2)已知实数卬6 一 半 一1，#一 1，求直线48的倾斜角。的取值范围.解：(1)当加=1 时，直线4?的方程为x=-1,当 它 一 1 时;直 线 4 7 的方程为-2=缶(*+1).(2)当加=1 时，a=-1-.当 它 一 1 时，/+i 一 乎，o）u（0,7 3 ,即 衣=(8，U|_ 3 ,+8-J I n (J i 2 n -I所以TUIT VJ-综合知，直线U 的倾斜角a的取值范围为,._ O 312.如图，射线物，仍分别与x 轴正半轴成4 5 和 3 0角，过点
18、A 1,0）作直线然分别交OA,如 于A,8 两点，当 四 的 中 点，恰好落在直线上时，求 直 线 的 方 程.解：由题意可得儿彳=ta n 4 5 =1,局=ta n（18 0 -3 0）=一 千，所以直线J ai：尸 x,lo ut y=芈 X.设力（加，n i）,B（一乖 n,n）,i _ 一 （/、3n m+n所以四的中点（一 ,亍由点。在 尸 会 上，且 4P,8 三点共线得m+n 1 加 一 1=2 2加 一0 一0、加 一_y fi n_ 1解得勿=，5,所以力（，5,十）.又一（1,0）,所以k,、B=配=培 =乎所 以 Z w:川，即直线股的方程为（3 +小）l 2 y 3
19、 -木=0.教师备选题 供款新备锦也用1.直 线/过 点（一 1,2）且与直线3 尸 2 x+l 垂直，则/的方程是（）A.3 x+2 y-l=0 B.3 x+2 y+7 =0C.2 x 3 p+5=0 D.2 x 3 y+8 =0解析：选A法一：设所求直线/的方程为3 x+2 y+4 0,贝IJ 3 X(1)+2 X 2 +0=0,得C=L即/的方程为3 x+2 y 1 =0.3 3法二：由题意知I,/的斜率是左=一亍 则直线/的方程为尸-2 =一万(才+1),即3 x+2 y-1=0.2.直线/经过点4(1,2),在彳轴上的截距的取值范围是(一3,3),则其斜率的取值范围是()A.-1 A
20、 1 或o NC.或 伙1 D.4片或A 一1解析：选D设直线的斜率为k则直线方程为7-2 =-才-1),令 尸0,得 直 线/在x2轴上的截距为1-,21贝1 一3 0,6 0),则直线/的方程为:+需 方|-=1,3 2 2a1 过点 A3,2),，一+N=1,b=彳.a b a 6“h 1,1 2a a从而 SAABO=W b=-a-=-z o 7 12+2 A/-9A-=-(12+12)-12,2L M i 2当且仅当一9 仁 匕 即 仁 一|时，等号成立.故所求直线/的方程为2 x+3-1 2 =0.法四：如右图所示，过分别作x 轴，y 轴的垂线月仇PN,垂足分别为业N.设 9=/P
21、AQ/BPN,则 SAOB=5AS 四 边 膨,w w+Sp湫X 3X 3X t a +6+9 2 2 XT9 2=6+”，+E 726+2g 2当且仅当产=5即t a n&=|时，以如=12,此时直线/的斜率为一,其方程为2x+3y12=0.第二节直线的交点坐标与距离公式 备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.能用解方程组的方法求两1.两条直线的交点坐标一般是不单独命题的，常作为知识点出条相交直线的交点坐标.2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式、会求两条平行直线间的距离.现在相关的位置关系中.2.两点间距离公式是解析几何的个基本知识点，点到直线的距离公式是高考考查的重点，一般将这两个
22、知识点结合直线与圆或圆锥曲线的问题中来考查.1触8=0饕 能!触徵I责刷物苗痴假百族联防域逐层丽 归 纳 知识整合1 .两条直线的交点设两条直线的方程为Z：4/+5 y+G=0,以4/+员 y+C=0,则两条直线的交点坐标就是方程组4x+8y+G=0,八八 的解，(1)若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标;(2)若方程组无解，则两条直线无公共点,此时两条直线平行,反之，亦成立.探究 1.如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？提示：当两条直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两条直线平行，有无数个交点时，两条直线重合.2.距离点 P(X 1,y i),2(如之间的距离PPi
23、 yf 必 一 矛 1 2+y-iy点 H (刘，到 直 线/：公+故+C=0的距离力 照+砌）+C F两条平行线 Ax-By-6i=0 与 Ax-By-G=0间的距离,C-G 探究2.使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？提示：使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式.使用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且x、y的系数对应相等.自测 牛刀小试1.(教材习题改编)原点到直线x+2广-5=0的 距 离 是()A.1B.小C.2 D.4解析：选D d=二V I +22.点力在x轴上，点8在y轴上，线段4?的中点的坐标是(3,4),则四的长为()A.1
24、0 B.5C.8 D.6解析:选 A 设 A(a,0),M 0,6),则 a=6,6=8,即 4(6,0),6(0,8).所以|四|=y l 6-0 2+0-8 2=/3 6+64=1 0.3 .若三条直线2 x+3 y+8=0,x y 1=0和x+30相交于一点，则6=()A.1 B.1C.2D.-2 x+3 y+8=0,x=l,得x y 1=0,y 2,将其代入x+=0，得6=一今4 .已知直线人与A：x+y 1=0平行，且Z与 为 的 距 离 是:，则直线Z的方程为解析：选B由解析：设直线人的方程为x+y+力=0,则=一厂一，解 得 儿=1或4=一3.即直线4的方程为x+y+l=0或x
25、y/l+l 2+y-3 =0.答案：/+y+l=0 或 x+_ y 3 =05.点 3)关于直线x+y+l=0的对称点是.解析：设对称点为(a,6),则6-3R ja+2 b+3、丁+丁+1=k .直线1的方程为y-l=-1(%+2),即x+2尸0.法二：；直 线/过 直 线A和A的交点，.可设直线/的方程为x+y+l+A (x y+3)=0,即(1 +4)x+(1 4)y+1 +3 4=0.与入垂直，.北 +刃 一0一4)：。，解 得 乂=一1O9 4二直线1的方程为鼻犬+鼻尸0,即x+2y=0.因为两直线，与心相交，所以当卯=0时，入的方程为尸一?，心的方程为x=,o Z两直线相交，此时创
26、满足条件/=0,R；当 得0时;由两直线相交.所 以 解 得 层4,此时，/,满足条件加W 4,R.2 m 答案 x+2尸0 m W 4,/?G R若将本例(i)中条件“垂直”改 为“平行”试 求1的方程.x+y+l=O,(x 2,解：由方程组 解得 矛 一p+3 =0,|y=l,即点尸(-2,1).又/4,即*=2,故直线/的方程为y 1=2(x+2),即 2 x y+5=0.-方法规 例-经过两条直线交点的直线方程的设法经过两相交直线4 x+8 y+G=0和4 x+A y+G=0的交点的直线系方程为+4 (4 x+&/+G)=0(这个直线系方程中不包括直线4 x+氏y+G=0)或/(4x+
27、A y+G)+nAi x+Bi y+C i)=0.训 练1.设直线/,：y=/h x+l,尸L x1,其中实数左，左满足左左+2=0.(1)证明乙与A相交；(2)证明人与人的交点在椭圆2 f+/=i上.证明：反证法：假 设/与A不相交，则人与人平行，则 有4=的 代入左左+2=0得 如=房=2,显然不成立，与已知矛盾，从而即4与A相交.(2)由方程组y=k i x+lfy=k z x,解得交点0的 坐 标 为 高,浅),而2 a 7言2+管)_ 8 +电+居+2左 左电+居一2 A A 2居+贬+4=发+店+4=1 即交点P(x,0在椭圆2 V+炉=1上.距离公式的应用 例2 已知点尸(2,-
28、1).(1)求过。点且与原点距离为2的直线1的方程；(2)求过P点且与原点距离最大的直线/的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过户点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理 自主解答(1)过一点的直线/与原点距离为2,而尸点坐标为(2,-1),可见,过夕(2,1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此 时1的斜率不存在，其方程为x=2.若斜率存在，设1的方程为y+l =(x2),即 k x y 2k 1=Q.I 9 k 1 I 3由已知得“=2,解得4=1.弋如+1 4此时/的方程为3 x-4y-1 0=0.综上，可得直线7 的方程为x=2 或 3 x4y 1 0=0.(2)作
29、图可得过一点与原点。的距离最大的直线是过一点且与 垂直 的直线，如图./由/_ 1 _ 例 得 k i k a=1,所以左=；=2./|由直线方程的点斜式得y+1 =2 (x2),即 2 xy 5=0.I R I r-即直线2 xy 5=0 是过户点且与原点。距离最大的直线，最 大 距 离 为 二十.(3)由(2)可知，过一点不存在到原点距离超过乖的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线.-方法税律-求两条平行线间距离的两种思路(1)利 用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.(2)利用两平行线间的距离公式.IIB训 练2.已知/(4,-3),夙2,-
30、1)和直线/：4*+3 9-2=0,在坐标平血内求一点?，使|序|=I 必|,且点尸到直线I的距离为2.解：设点尸的坐标为(a,6).V/J(4,-3),8(2,-1),3 +1 线段随?的中点材的坐标为(3,-2).而 46的斜率以1,.线段48 的垂直平分线方程为y+2 =x-3,即x-y-5=0.:点尸(a,8)在上述直线上，二 a-6-5=0.又点P(a,3到直线/：4x+3 y 2=0的距离为2,4a+3 6 2|5=2即 4a+3 6 一2=1 0,由联立可得a1,b=4,2 7a=8b=-7或，.,.所求点P的坐标为(1,一4)或 停，一身.对 称 问 题 例 3 已知直线：2k
31、3y+l=0,点/(-1,-2).求:(D 点 4 关于直线/的对称点 的坐标；直 线 加 3 x-2 y-6=0 关于直线/的对称直线的方程.自主解答(1)设/(x,y),再由已知y+2 27HX3=-1解得3 3“=一运2 X-3XZ+l=0,4F故 H3 3I?13/(2)在直线m上取一点,如必(2,0),则以2,0)关于直线/的对称点,必在直线 匕+1=0,得 fA当U 3 1 1 3/设直线如与直线/的交点为M 则|2 A 3 y+l =0,叫 3 x2 y-6=0,得 M4,3).又:m 经过点M4,3),由两点式得直线而 的方程为9y-46y+102=0.-方法规律-求点关于直线
32、对称问题的基本方法(1)已知点与对称点的连线与对称轴垂直；(2)已知点与对称点的中点在对称轴上.利用以上两点建立方程组可求点关于直线的对称问题.训 练3.直线y=2x是 的 个 内 角 平 分 线 所 在 的 直 线，若点4(4,2),以3,1),求 点C的坐标.解：把力，夕两点的坐标代入尸2x知，A,夕不在直线y=2x上，因 此y=2x为b2的平分线，设点力(-4,2)关 于 尸2才的对称点为4 E 6),则也=不，线 段%的 中b-2 不*=-1,点坐标为a-4 b+2 2=2.2 2a=4,解得 (4,-2).b=-2,y=2是NH级平分线所在直线的方程，/在直线加 上，直线%的 方 程
33、 为、=彳 一434,即 3x+y10=0.y=2x,3x+y-10=0,解得x=2,y=4,由 以2,4).通 法 归纳领悟1条规律与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线A x+B y+。=0(1+4W 0)垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：Bx Ay+m=0：(2)平行：Ax-By+nQ.1种思想转化思想在对称问题中的应用一般地，对称问题包括点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关于点的对称，直线关于直线的对称等情况，上述各种对称问题最终化归为点的对称问题来解决.2 个注意点判断直线位置关系及运用两平行直线间的距离公式的注意点（1）在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是
34、否存在.两条直线都有斜率,可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑;（2）运用两平行直线间的距离公式d=京 三的前提是将两方程中的x,y的系数化为分别相等.创新交汇新定义下的直线方程问题i.直线方程是高考的常考内容，但一般不单独考查，常与圆、圆锥曲线、函数与导数、三角函数等内容相结合，以交汇创新的形式出现在高考中.2.解决新定义下的直线方程的问题，难点是对新定义的理解和运用，关键是要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中.典例（2 0 1 3 上海模拟）在平面直角坐标系中，设点P（x,y）,定义 明=|x+|y|,其 中。为坐标原点.对于以下结论
35、：符合。回=1 的点P的轨迹围成的图形的面积为2；设月为直线m x+2 y 2=0 上任意一点，贝 IJ 网的最小值为1;其 中 正 确 的 结 论 有（填上你认为正确的所有结论的序号）.解析 山 明=1,根据新定义得，|x|+|引=1,上式可化为y=x+1 （0W启 1）,y=x1 （f 后 0）,y=x+l （1 W 后 0）,尸 x-l（0 W x l）,画出图象如图所示.根据图形得到四边形力颇为边长是贬的正方形，所以面积等于2,故正确；当点p为（泉，o 时，丽=|x+39=诟+0 1,所以 组的最小值不为1,故错误；所以正确结论有.答案 名师点评1 .本题有以下创新点（1）考查内容的创
36、新，对解析几何问题与函数知识巧妙地结合创新.（2）考查新定义、新概念的理解和运用的同时考查思维的创新，本题考查了学生的发散思维，思维方向与思维习惯有所不同.2.解决本题的关键有以下两点（1）根据新定义，讨论x的取值，得到y与 x的分段函数关系式，画出分段函数的图象,即可求出该图形的面积；(2)认真观察直线方程，可举一个反例，得到 班的最小值为1 是假命题.3.在解决新概念、新定义的创新问题时，要注意以下几点(1)充分理解概念、定理的内涵与外延；(2)对于新概念、新结论要具体化，举几个具体的例子，代入几个特殊值；(3)注意新概念、新结论的正用会怎样，逆用会怎样，变形用又将会如何.变式训练四边形而
37、比1 的四个顶点坐标分别为。(0,0),4(6,2),6(4,6),C 6),直 线 尸%旅 3)把四边形物比分成两部分，S 表示靠近x 轴 侧那部分的面积.(1)求 5=(啰的函数表达式；(2)当在为何值时，直 线 将 四 边 形 以 比 分 为 面 积 相 等 的 两 部 分.解：如图所示，由题意得2*T(/%A(4,6)1 3当尔5 时，直线y=k x与线段AB：2 x+y=1 4 相交，6 2)y=k x,由3+尸 1 4,解得交点为夕(提，第1 A Q k 1 1因 为 点 A到 直 线OA：x 3y=0的 距 离 为d=-f=-，所 以S=-OA d=y 10 k+2/1 4 3
38、4 一1k+2；当Sw-3时，直 线 尸 履 与 线 段 8 a 尸 6相交于点616 Q k所 以 见？=全 月&6=厂一/K又因为S 四 边 形 愀,=区 月 加+5 k 收=1 4+6=20,8所以 S=S 四 边 膨 OABC S O P2C=26 故 S=f(k)=26 一 黑 W同1 4 3k 1(2)若要直线尸加平分四边形物园的面积，由 ，知只需一7-7=1 0，解得力K I/1 7而痴熊榜测Z H IN E N G JIA N C E【螂 题 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共 3 0 分)1.点(1,-1)到直线X 一/+1=0 的 距 离 是()C逑 口更L 2 2
39、痴，加 注 ,1 1 T 义1 +1|3 解析：选 C d -2 2,2.(20 1 3 海口模拟)直线Z的斜率为2,九人，直 线 A过点(一1,1)且与y轴交于点尸,则尸点坐标为()A.(3,0)B.(-3,0)C.(0,-3)I).(0,3)解析：选 D由题意知，直 线 心的方程为y-l=2(x+l),令 x=0,得 y=3,即点尸的坐标为(0,3).3.(2 01 3 南昌模拟)夕点在直线3 x+y 5=0 上，且一到直线x y 1 =0 的距离为啦,则一点坐标为()A.(1,2)B.(2,1)C.(1,2)或(2,-1)D.(2,1)或(-1,2)解析：选 C 设。(5 3.)，I x
40、5+3 x-1 1 贝 Id=、“二也,|4 十 一 6|=2,4 x-6=2,V I +-1即 x=l 或 x=2,故 P(1,2)或(2,-1).4.(2 01 3 南京调研)与直线3 x 4 y+5=0 关于x 轴对称的直线方程为()A.3 x+4 y+5=0 B.3 x+4 y 5 =0C.-3 x+4 y-5 =0 D.一3 叶 4 丁+5=0解析：选 A 与直线3 x 4 p+5=0 关 于 x轴对称的直线方程是3 x 4(y)+5 =0,即3 x+4 y+5=0.5.直线,通过两直线7x+5 y-2 4 =0 和x-y=0的交点，且 点 1)到1的 距 离 为 枷.则/的方程是(
41、)A.3 x+y+4 =0C.3 x y 4=0B.3 x y+4 =0D.%3 y 4 =0 7x+5 y 2 4=0,解析：选C由 八 得交点(2,2),x-y=0,设/的方程为 y 2=k(x2),即 k xy+2-2 4=0,1 5 A-1+2-2k I-:1再与:=限，解得=3.1 的方程为 3 x y 4=0.6 .曲 线*一 彳=1与 直 线 尸2 x+有两个交点，则加的取值范围是()A.勿 4或 冰 一4 B.-4 冰4C.勿 3或水一3 D.-3 欣3解析：选A曲 线 片 一 十=1的草图如图所示.与直线尸2入+位有两个交点.贝I J以 4或 成 一4.二、填空题(本大题共3
42、小题，每小题5分，共1 5分)7.已知坐标平面内两点A(x,x)和 佶，0),那么这两点之间距离的最小值是答案：|8.与直线x y 2=0平行，且它们的距离为2平 的直线方程是解析：设与直线XL2=0 平行的直线方程为x-y+c=0,贝1|2蚯=下=1得c=2或c=6,即所求直线方程为x y+2=0或x y 6=0.答案：/y+2=0 或才一/一6=09 .平面上三条直线x+2 y 1 =0,x+l=0,x+k y=0f如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数A的 所 有 取 值 为(将 你 认 为 所 有 正 确 的 序 号 都 填 上).。吗 1 2 3解析：三条直线将平面分为6部分，则这
43、三条直线相交于一点或有且只有两条平行，经验证可知，当衣=0,1,2时均符合题意.答案：三、解答题(本大题共3小题，每小题1 2 分，共 3 6 分)1 0.过点户(0,1)作直线/使它被直线7i：2 x+y 8=0 和乙：x 3 y+1 0=0 截得的线段被 点。平分，求直线/的方程.解：设九与/的交点为小a,82 a),则由题意知，点/关于点尸的对称点庾一a,2 a 6)在右上，代 入 乙的方程得一a3(2 a6)+1 0=0,解 得 a=4,即点/(4,0)在直线/上，所以直线/的方程为x+4 y 4=0.1 1 .光线从小一4,2)点射出，到直线y=x上的6点后被直线y=x 反射到y 轴
44、上的C点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点。(-1,6),求比所在的直线方程.解：作出草图，如图所示，设/关于直线y=x的对称点为小,D 力 一 斗 _，D，关于y 轴的对称点为，则易得/(一2,-4),D (1,6).由入射 Jc /r=x角等于反射角可得4 D 所在直线经过点6 与 C /%;故 比 所 在 的 直 线 方 程-为6 然=-枭1，即 1 0 x 3 y+8=0.1 2.已知直线1经过直线2 x+y-5=0 与x-2 y=0的交点P,点力(5,0)到。的距离为3,求/的方程；(2)求点4(5,0)到1的距离的最大值.解：(I”.经过两已知直线交点的直线系方程为(2 x+y
45、5)+1(x 2y)0,即(2+4)*+(1 2 4)y5=0,1 的方程为 x=2 或 4 x 3 y 5=0.由x 2y Q,解得交点夕(2,1),如图，过户作任一直线1,设 d 为点4到/的距离,则 武 加(当1 L P A时等号成立).c LPA y flO.A(5,0尸教师备选题 供徽婶各裸也用1 .记直线(叶2)x+3/y+l =0与直线(2)*+(叶2)了 一3=0相互垂直时勿的取值集合为弘直线x+y+3=0与直线x+4 y+6=0平行时n的取值集合为N,则机J N=.解析：当直线(叶2)叶3亚+1=0与直线(L2)X+(叶2)/一3=0相互垂直时，如满足(+2)(勿 一2)+3
46、川G w+2)=0,解 得 勿 或 勿=2,故 材=/2,4；直 线x+y+3=0与直线x+4y+6=0平行，当=0时，显然两直线不平行；当W 0时，两 直 线 平 行 的 充 要 条 件 是,即 =一2,所 以 从=-2 .7 2 4 0故 皿 卜2,答案J-2,92 .已 知1(3,1)、5(-1,2),若 的 平 分 线 在 尸x+1上，则/C所在直线方程是解析：设点力关于直线尸x+1对称的点片为(刘，),曰=_1,I 扬3 8=0,贝 叫 解得，即A(0.4).|%+1 典+3 _ 齿=4,I 2 =2 +1,故直线4 8的方程为2 x-y+4=0.2 x y+4=0,x=-3,由 得
47、y=x+l,尸 一2,即 C(3,-2).故直线4c的方程为x 2 y l=0.答案：%-2 y-l=03.已知 直 线/过 点P(3,1)且被 两 平 行 线 入x+y+l=0,72：x+y+6=0截得的线段长为5,求直线/的方程.解：法一：若直线/的斜率不存在，则直线，的方程为x=3,此时与九 七的交点分别是4(3,-4),6(3,-9),截得的线段长1/8 =1 4+9 1=5,符合题意.当直线，的斜率存在时，设直线)的方程为尸衣(才一3)+1,分 别 与 直 线 九，2的方程联立,由尸I +1，x+y+l=O,y=k x-3+1,由,x+y+6=0,解得解得3 A2什1 3 7k+1
48、91-4k+l/1 9*k+1由两点间的距离公式，得（3k 2 3A-7Y ,1-4A 1-9 A晨+1 -什 1）+晨+1 -什1/=2 5,解 得=0,即所求直线方程为尸1.综上可知，直 线）的方程为k3或y=L法二：设 直 线/与 人4分别相交于力由，y i）,6（孙 先）,则 汨+1=0,照+%+6=0.两式相减，得（x i 矛2）+（=5.又（必一照）旺（力一度）2=2 5,联立可得/0 点在圆外；(x o a)+(%点在圆内.自测 牛刀小试1 .(教 材 习 题 改 编)圆 4 x+6 y=0 的圆心坐标是()A.(2,3)B.(-2,3)C.(2.-3)I).(2,3)解析：选
49、D 圆的方程可化为(*2)2+5+3)2=1 3,所以圆心坐标是(2,-3).2 .已知方程f+/+2 A x+4 y+3%+8=0 表示一个圆，则实数4的取值范围是()A.-1 K 4 B.-4 A 1 D.衣 一1 或衣 4解析：选 D 由(2 衣)2+4 2 4(3 4+8)=4(2 3 4-4)0,解得旅一 1 或力4.3 .若点(2 a,a+1)在圆/+31)2=5 的内部，则 a的取值范围是()A.-l a l B.0 a l11C.-l a 7 D.-7 a l5b解析：选 A .点(2 a,a+1)在圆*+(7-1)2=5 的内部，(2 a)2+才 5,解得一 1 水1.4.以
50、线段4 层 x+y 2=0(0 W;2)为直径的圆的方程为()A.(A-+l)2+(y+l)2=2 B.(-l)2+(y-l)2=2C.(x+1)+(y+1)-=8 D.(xl)+(y 1)8解析：选 B .易得线段的中点即圆心为(1,1),线段的端点为(0,2),(2,0),.圆的半径为二圆的方程为51 尸+51)2=2.5.(教材习题改编)经过圆(x l)2+(y+l)2=2 的圆心，且与直线2 x+y=0 垂直的直线方程是.解析：圆心为(1,-1),所求直线的斜率为/所以直线方程为y+l=；(x-D,即 X-2 y 3=0.答案：X 2 y 3=0廊 建 睡 整 脸 阑 型 的1磔 提