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1、成都市高2020级第一次诊断测试数学理科试卷满分：150分 时间：120分钟一、单项选择题（本题共12道小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.设集合=%-1 x 2,B=x|x2-4x+3 0 ,则 力 n B=（）A.x|-1 x 3 B.x -1 x 1C.x I 1 x 2 D.x|1 x 0,则z=x+2y的最大值是（）y 0.A.2 B.4 C.6 D.86.下列命题中错误的是（）A.在回归分析中，相关系数r 的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强B.对分类变量X与丫，它们的随机变量K2的观测值k越小，说 明“X与丫 有关系”的把握
2、越大C.线性回归直线y=bx+自 恒过样本中心（无 歹）D.在回归分析中，残差平方和越小,模型的拟合效果越好7.若 函 数 f（x）=+a）2在x=1处有极大值，则实数a 的 值 为（）A.l B.-1 或一 3 C.-l D.-38 .己知直线l,z n 和平面a,.若a _ L夕/_ La,则“I _ L m”是 m J.的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9 .已知数列 斯 的前n 项和为S n.若%=2,an+1=S”则S g =（）A.5 1 2 B.5 1 0 C.2 5 6 D.2 5 41 0 .日光射入海水后，一部分被海水吸收（变
3、为热能），同时，另一部分被海水中的有机物和无机物有选择性地吸收与散射.因而海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可 用/=表示其总衰减规律，其中K 是平均消光系数（也称衰减系数）,。（单 位：米）是海水深度册（单位：坎德拉）和/。（单位：坎德拉）分别表示在深度。处和海面的光强.已知某海区1 0 米深处的光强是海面光强的3 0%,则该海区消光系数K 的值 约 为（参考数摸:，n 2 0.7,Z n 3 1.1,m5 1.6）（）A.0.12 B.0.11 C.0.0 7 D.0.0 111.已知侧棱长为2百的正四棱锥各顶点都在同一球面上.若该球的表面积为36 兀，则该正四棱锥的体积为（）16 8
4、7 2 8 32A B.U C.-D.3 3 3 31 2.已知平面向量a,b,c 满足a,b=0,|a|=|b|=1,（c a）,（c b）=今 则|c a|的最大值为（）A，V 2 B.i+立 C.-D.22 2二、填 空 题（本题共4 道小题，每小题5 分，共 20分）13.在公差为d 的等差数列%中，已知的+a2+a3=3,a4+a6=4,则d =14.卜 _ 合 6 的展开式中常数项是r15 .已知双曲线 2土 一v2匕=i（a 01 0）与圆 2+y 2=2c 2（c 为双曲线的半焦距）的四个交点恰为一a2 b2，个正方形的四个顶点，则双曲线的离心率为16 .已知函数/（x）=si
5、n2x sinx+k,x E 0,n.有下列结论：若函数f（X）有零点，则k的取值范围是（-8,月；函 数 f（x）的零点个数可能为0,2,3,4;若 函 数 f（x）有四个零点X 1，%2，%3，4，则k e（0,/）,且久1 +%2+%3+%4=2兀；若 函 数/（X）有四个零点X 1，%2，%3，%4（乂 1 X2 X3 b 0)的左，右焦点分别为0,尸2,上顶点为D,且AOF1F2为等边三角形.经a b过焦点尸2的直线，与椭圆C相交于4 8两点,F14B的周长为8.求 椭 圆C的方程；(II)试探究：在x轴上是否存在定点7,使得刀.汴为定值？若存在，求出点7的坐标；若不存在，请说明理由
6、.21.(本题满分12分)已知函数/(x)=/n(ax),a 0.(I)当 a=1时，若曲线y /(x)在x 1处的切线方程为y=kx+b,证明:/(x)fcx+6;(II)若f(x)0)-贝|J a2=b2+c2 2bccosA 5m2.a=V5m-由 ac=2V10,得rn=1.a=V5,b=3,c=2V2.1 1 L 71 SABC=o bcsinA=5 x 3 x 2V2sin 7=3.NN 41 9.【解析】(I)DE/1B,OE u平面u 平面P4B,OE 平面 PAB.DE u平面PDE,平面PDE n平面PAB=I,：.DE/1.由图 DE 1 AC,得DE 1 DA,DE D
7、P,：.11 DA,11 DP.DA,DP u平面4D P Q e DP=D,I 1 平面 4DP.(II)由题意，得 DE=DP=2,DA=1.AP=4s=yjDP2+DA2,DA 1 DP.又 DE LDP,DE ID A,以。为坐标原点，刀，施，前 的方向分别为x轴,y轴,z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则 0(0,0,。),E(0,2,0),F(l,3,0),P(0,0,2),PD=(0,0,2),方=(0,2,-2),PF=(1,3,-2).设平面PBE的一个法向量为n=(x,y,z).令 z=1,得n=(-1,1,1).设 PD与平面PEB所成角为。.2nPD 2
8、 x/3 直线P。与平面PEB所成角的正弦值为理.32 0.【解析】由。片 尸 2为等边三角形,|D a|=DF2=Q,得0=2c（c为半焦距）.INF/+AF2=2atBFr+BF2=2a,&4B的周长为4a=8,得a=2.c=l,b=Va2 c2=V3-r 椭圆E的方程 为2二+v匕2=1.4 3(II)设%轴上存在定点T(t,0),由(I)知 产 2(1,0).由题意知直线】斜率不为。.设 直线上 =my+1,4(%1，、1),8(%2，月)1x=my+1,*要1显然 A=1 4 4(/+1)0.6m 9 yi+y2=5-f 2=5-3m+4 3m+4TA-TB=Qi-t)(x2-t)+
9、yiy2=O%+1-t)(m y2+1-t)+y，2=(m2+l)yxy2+(1-t)M yi+y2)+(1-t)2 9-6T T I=(m2+1)-5-F(1 t)m-=-1-(1 t)23m+4 3 m+4(6t 15)m2 9.=-/-+(i-1)23 m+4故当 处 士 =二 2,即 寻 时 雨.河 为定值一卷.3 4 8 64 存在定点T(，O),使得方而为定值.2 1.【解析】(I)当 a=1时,/(x)=Inx.由题意知曲线y=/(x)在x=1处的切点为(1,0).1；/(%)=十/=/)=L*/V 曲 线 y=/(%)在 =1处的切线方程为y=x-l.记 g(x)/(%)kx
10、b=Inx%+1.g，(x)=49(X)在(。，1)上单调递增，在(L+8)上单调递减.g(x)g(l)=0.即 In xkx+b成立.(II)记 h(x)=(x l)ex-a /(x)=(x l)ex-a Inx-lna,x 0.则 h(x)0恒成立.:九 (%)=xexa 九 (%)在(0,+8)上单调递增,1 hr1 1-a 1x e2 2 0,2 a+1 3x0 6+1),使得=0,即x()e”。一。=。(*)当 6(O,%o),h(%)0,九(x)单调递增.二 h(x)m in=ft(x0)=(x0 l)ex-a-lnxQ Ina.(*)i由(*)式，可得e%-a=-j,a =Xo+
11、2Xo.x0代 入(*)式，得九(&)=-l n xo-l n(xo+2/nx0)x0当 6(1,+8)时，记t(%)=-Inx.v tx)=Q坐-2)0,t(x)在(1,+8)上单调递减.y=-Zn(x+2)在1,+8)上单调送减，力(%0)在(1,+8)上单调递减.当%0 G(1,+8)时,九(&)h(l)=0,不合题意;当o W&1时，由(/)知 1-x0，ln(xQ+2/n%0)1 (%o+2Znx0)%八 _ _ _:.h(%Q)=-ITIXQ-/H(%Q+21TLXQ)-ITIXQ+1-(%Q+2/HXQ)0 x0Xn-1%。一 1 7、=-3 ITIXQ&+1)-5-3(%Q-1
12、)%o+10 x0_(1一殉)(2工 0-1)(2和+1)=A 由 a e G，1 ,g o)0.故满足f (x)0,实数a 的取值范围是(0,1.2 2.【解析】(I)由 圆 G 的参数方程消去参数t,得圆G 的普通方程为。一 2)2+y2=i,圆心4(2,0).把 x=pcos0,y=psbi。代入(x-2)2+y2=1,化简得圆Q 的极坐标方程为p2-4pcos0+3=0.(II)由题意，在极坐标系中，点 4(2,0).点8 在曲线。2上，设B(2-2cosd,3).在 4 0 B 中，由余弦定理有AB?=o/2+0 B2-2。/0B cosAOB,即 3 =4+(2 2c o s 6)
13、2 2 x 2(2 2 cos6)cos0.化简得 1 2c o s 2。-1 6 cosd+5=0.解得 cosO=J 或c o s。=f.Z 6故 p=2 -2 cos9=1 或p=2 2 cos6 =1,点 8 的极径为1或-.323.【解析】当 a =l,b=凯寸,x)=|x-3|+|x+2|.当 x 4-2 时,/(x)=1 -2%7,解 得%4-3;当-2 x 7,此时无解；当 工3 时,/(%)=2 x-1 7,解 得 x 4.综上,不等式/(%)7 的解集为(一 8,-3 U 4,+8).(II)由 /(%)=|x-3 a+|x+4 b|x+4 b-(x-3 a)|=3 a+4 b,当且仅当一 4 力4 (3Q时，等号成立.v a 0,b 0.:.f(%)min=|3 a +4 b|=3Q+4 b=6.由柯西不等式，得 同+历=1.属+3.施J/+信 3 a +4 b=挈当且仅当2 =噂 时，即a,b =泵等号成立.综上，诚+也的最大值为 瘦.2