2022-2023学年高二数学题型归纳与分阶培优练16等差数列“函数性质”及综合应用(人教A版2019选择性必修第二册)(解析版).pdf

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1、专 题 1 6 等 差 数 列“函 数 性 质”及 综 合 应 用 目 录【题 型 一】等 差 数 列 前 n 项 和 对 称 性.I【题 型 二】通 项 公 式 线 性(零 点 正 负).3【题 型 三】等 差 数 列 不 等 式 范 围.4【题 型 四】最 值 与 范 围 1:通 项 最 值.6【题 型 五】最 值 与 范 围 2:前 n 项 和 最 值.8【题 型 六】求 和 应 用 1:正 负 相 间 求 和.10【题 型 七】求 和 应 用 2:奇 数 项 与 偶 数 项 和.12【题 型 八】求 和 应 用 3:绝 对 值 型 和.13【题 型 九】求 和 应 用 4:取 整 函

2、数 型 数 列.15【题 型 十】求 和 应 用 5:等 差 裂 项 相 消 型.17【题 型 十 一】求 和 应 用 6;无 理 等 差 型.19【题 型 十 二】数 列 中 函 数 性 质 综 合 应 用.21【题 型 十 三】等 差 数 列 与 三 角 函 数.22培 优 第 一 阶 基 础 过 关 练.24培 优 第 二 阶 能 力 提 升 练.27培 优 第 三 阶 培 优 拔 尖 练.30【题 型 一】等 差 数 列 前 n 项 和 对 称 性【典 例 分 析】在 各 项 不 全 为 零 的 等 差 数 列 4 中,S,是 其 前 项 和,且 邑 36=$刈 8,&=$232,则

3、正 整 数 k=()A.2020 B.2021 C.2022 D.2023 答 案 c析】根 据 等 差 数 列 前 项 和 的 函 数 特 征,即 可 根 据 对 称 性 求 解.【详 解】设 等 差 数 列%的 首 项 和 公 差 分 别 为 4/,则 S“=弓 所 以 S“可 看 成 关 于 的 二 次 函 数,由 二 次 函 数 的 对 称 性 及 邑 016=5刈 8,=S刈 2,可 得-=-一,解 得 左=2022.故 选:C【提 分 秘 籍】基 本 规 律.等 差 数 列 与 函 数 关 系:(1)经 整 理 斯=加+(。|/),则 数 列(小 是 等 差 数 列=通 项 为 一

4、 次 函 数:即 an=kn+b(a,匕 为 常 数);(2)经 整 理*=1 2+(0 3,数 列 m 是 等 差 数 列 4“为 无 常 数 项 的 二 次 函 数:即 S“=A 2+B(A、8 为 常 数).【变 式 训 练】1.已 知 递 减 的 等 差 数 列%满 足。;=若,则 数 列 也,的 前 项 和 取 最 大 值 时=()A.4 或 5 B.5 或 6 C.4 D.5【答 案】A【解 析】山 a:=G,可 得=-4,从 而 得 S“=。-争,然 后 利 用:次 函 数 的 性 质 求 其 最 值 即 可【详 解】解:设 递 减 的 等 差 数 列 4 的 公 差 为,(d0

5、),因 为 q:=a;,所 以 a;=(q+84)2,化 简 得“小 一 短,所 以 S“=ria,J=-4dn+n2-n=n2-n,对 称 轴 为=因 为“eN+,&0;当”=12时,=0;当 N13时,a0,所 以 5,取 得 最 大 值 时,的 取 值 为 11或 12.3.已 知 等 差 数 列,中,旗|=|4,且 公 差”。,4。0,即 可 得 到 答 案.【详 解】由 等 差 数 列 的 公 差 4。,40。,则 数 列 的 前 项 和 取 得 最 大 值 时 的 值 为 9.故 选:B【题 型 二】通 项 公 式 线 性(零 点 正 负)【典 例 分 析】在 等 差 数 列 4

6、中,S,为%的 前 项 和,q 0,4%0,则 无 法 判 断 正 负 的 是()A.品 B.兀 C.5,3 D.S14【答 案】B【分 析】根 据 等 差 数 列,,0,4%0,可 以 求 出 d 0,且 必。,%。,6。,从 而 判 断 出 S”,几,儿 的 正 负,选 出 正 确 答 案.【详 解】设 公 差 为 d,因 为 q 0,%。,可 知:d 0,且。,的 0,所 以 4。,从 而 S=116 0,用=S;牝)=6(4+%)不 确 定 正 负,4=1佰;%)=13%0,,4=电 等 次=7(%+应)0。故 选:B【提 分 秘 籍】基 本 规 律 等 差 数 列 通 项 公 式 即

7、 为 一 次 函 数:即 痣=如+6(八 万 为 常 数),具 有 直 线 性 质,当 k 即 公 差 d 不 为 零 时,具 有 单 调 性,且 首 项 的 正 负,还 决 定 是 否 有“零 点。”,即 正 负 项 分 界 点【变 式 训 练】1.数 列 4 中,已 知 4,=2-17,该 数 列 中 相 邻 两 项 积 为 负 数 的 是()A.6 和%B.%和 C.。8 和 9 D,。9 和 即)【答 案】C【分 析】根 据 题 意 得。以”=(2-17)(2-15)0,进 而 求 出 w 即 可 求 解【详 解】由 题 意 得=(2-17)(2-15)0,解 得 1手 5 17 三,

8、又 eN*,.H,.满 足 条 件 的 相 邻 两 项 为 4,%.故 选:C2.首 项 为-24的 等 差 数 列,从 第 10项 起 为 正 数,则 公 差 d 的 取 值 范 围 是()A.件+8)B.即 C.串)D.&【答 案】D【分 析】根 据 等 差 数 列 的 通 项 公 式,列 出 方 程 求 解 即 可【详 解】由 等 差 数 列 的 通 项 公 式 可 得:%=-24+(-l)d,.从 第 10项 开 始 为 正 数,M X X W 解 得 沁.,.公 差 d 的 取 值 范 围 是 加,故 选:D.3.数 歹 打 4,中=5,3%+1=3a“-2(eN),则 该 数 列

9、中 相 邻 两 项 乘 积 为 负 数 的 是()A.ab-ay B.C.4 的 D.a9-al0【答 案】C【分 析】结 合 等 差 数 列 的 知 识 求 得 数 列,的 通 项 公 式,从 而 判 断 出 正 确 答 案.【详 解】依 题 意 4=5,3%M=3%-2(”e N)所 以%”二 为 一“川-4=-|,0 7?17所 以 数 列 4 是 首 项 为 4=5,公 差 为 的 等 差 数 列,所 以 4=(+5+;=-;+?,2 17 17 一 由+得 2 5=8.5,所 以 8“)0,%0,则 选 项 不 正 确 的 是()A.数 列 曳|的 最 小 项 为 第 6项 B.-t

10、 Z 0 D.5“。时,”的 最 大 值 为 5【答 案】D【5 析】根 据 题 意,由 等 差 数 列 的 性 质 及 前 八 项 和 公 式 依 次 分 析 选 项,综 合 即 可 得 出 答 案.【详 解】解:由 题 意 品=岑(4+4 0)=5(6+4)(),又 0,故 选 项 C 正 确;a,=12+2d 024由%=12,且%0,。,得,4=12+3 4 0,解 得 d 0项 B正 确;由 题 意 当 掇 女 5时,0,当”.6时,。,S=ll6 0时,”的 最 大 值 为 1 0,故 选 项。错 误;由 于 d 0,当 几.6时,0,当 机.11时,5 0,当 破 女 10时,0

11、,%an anS故 数 列 上 中 最 小 的 项 为 第 6 项,选 项 A正 确.故 选:D.a【提 分 秘 籍】基 本 规 律 等 差 女 数 列 关 于 首 项 和 公 差 的 等 式 或 者 不 等 式(不 定 方 程),会 涉 及 到 范 围 的 取 值,大 多 数 情 况 下,其 不 等 式 组 是 老 教 材“线 性 规 划”的 应 用,只 是 改 成 了 解 不 等 式 组 而 已。【变 式 训 练】1.的 前 项 和 为 S.,若 是 公 差 为 4(4 2 1)的 等 差 数 列,则()A.B.4 之&C.a2 a3a4【答 案】D【分 析】由 已 知 可 得 S“=l+

12、(l)dq,对 于 A B,令 71=2,可 得 卬=而 2,即 幺=公 1,。2由 于 正 负 不 确 定,无 法 比 较 大 小;对 于 CD,令=3,可 得 4+生=2血,即=穹 出,2d令=4,可 得 4+/+%=3 须,即/=(2?1),作 差 法 比 较 卅 2-4,进 而 得 6d到 选 项.【详 解】Q 2 是 公 差 为“(八 1)的 等 差 数 列,其 首 项 为=1。=即 l,J 4anS=1+(-1)小“对 于 A B,当=2 时,S2=ai+a2=(+d)a2,整 理 得:at=da2,即 2=421。2当 4,的 0时,(,;当 4,%0 时,q W%;故 A B

13、错 误;对 于 C D,当=3 时,S 3=q+%+q=(l+2 d)%,整 理 得:a+a2=2da3l 又 出=d%,(d+1)3=2d4,%=-c i-)当=4 时,S4=q+g+/+包=(l+3d)%,整 理 得:6+。2+%=3应 即(2d+i)a7=3da4,:.a4 的 的 4=而,-四 坦 皿 刈 2d12/2/+5储+41+16d(2d+l)(4+l)“22d+d+1-%3d 2d 212d(2d+l)(d+l)2显 然”)V+言+*+看 为 减 函 数,且=1又 dNl,d 1 5,1 1-1-1-+6 2d 3d2于 2 0,即 4 出 之 的/,故 D 正 确;故 选:

14、D2.设 等 差 数 列 4 的 前 n 项 和 为 S,已 知-I)+2017(%-1)=1,(2014-1)3+2017(42014-1)-1,则 下 列 结 论 正 确 的 是()A.2017=2017,%0|4 aAC.S2017=-2017,/oi4 4 D.52017=2017,a2014 0,I 2 4:.m+n=。4-1+。2014-1=0,4+“2014=2,C 2017 z、2017 z、2017 32017=(%+“2017)=2-4+“2014)=Q-x2=2017,又 加+=0 说 明 机,一 正 一 负,而 加 3+2017机=1,+2017n=-l说 明,a4-1

15、 0,a2()l4-1 1 a20l4 o 故 选:D.3.设 函 数=数 列%满 足%+1=N),若,是 等 差 数 列.X+2,x 3则 4 的 取 值 范 围 是.【答 案】(-8,一 3_-2,1【分 析】作 出 函 数 图 象,讨 论 4 的 范 围,根 据 4M=/(qJ(”sN*),再 讨 论 公 差 的 范 围,判 断 是 否 满 足 等 差 数 列,得 出 答 案.【详 解】画 出 函 数/(x)的 图 象 如 如 图 所 示.当 0 4 一 3时,=/(4)=4 一 4 4 一 7,a,=/(O2)=O2-4-3 时,因 为%是 等 差 数 列,若 其 公 差 d 0,则

16、N*,使 得%2,这 与 a”+i=f(%)=2-a:4 2矛 盾;若 其 公 差 4=0,则%-4-a;+2-q=0,解 得 4=-2或 q=1.则 当 q=-2时,。“=-2为 常 数 列.当 q=l 时,=1为 常 数 列,此 时 q 为 等 差 数 列,符 合 题 意;若 其 公 差 4-3且 4+|4-3,则 等 差 数 列 的 公 差 必 为-4,因 此+|-=-4,2-4-a M=-4,解 得 知=-3(舍 去)或,=2.又 当%=2 时,A”=4*=*+3=-=-2这 与%是 等 差 数 列 矛 盾.综 上 所 述,卬 的 取 值 范 围 是(-8,-3-2,1.故 答 案 为

17、:(-8,-邛-2,1.【点 睛】关 键 点 睛:本 题 考 查 等 差 数 列 与 函 数 的 综 合 问 题,关 键 在 于 运 用 函 数 的 图 象,值 域,以 及 等 差 数 列 的 定 义 及 性 质,讨 论 首 项,公 差 的 范 围,问 题 得 以 解 决.【题 型 四】最 值 与 范 围 1:通 项 最 值【典 例 分 析】数 列。“满 足 4=2,的 二-4,且 对 任 意 正 整 数,有 4+2=2%+1-%+1,则“的 最 小 值 为()A.-16 B.-17 C.-18 D.-19【答 案】D【分 析】构 造 法 求。川-凡 的 通 项 公 式,再 用 累 加 法 求

18、 出%的 通 项 公 式 即 可 求 解.【详 解】由 4+2=2a“+|-+1 得,联 一 n+i=4+1-a“+1,即 3+2-4+1)-(4+。)=1,所 以 数 列。向-%是 以 4-q=-6 为 首 项,1为 公 差 的 等 差 数 列,所 以+1-=-6+(-1)=一 7,所 以(oj-aJ+a4-aJ+L+(-a-i)=-6+(-5)+L+“8=(_逊,r-r;rI(1)(6+8)z?2 15H+14 r-r-1.n 15/?+18 1 2 15 八 所 以 4-4=-=-所 以“=-=-n-n+9,对 称 轴%=9=7.5,所 以 当=7 或 8 时,。“有 最 小 值 为-1

19、9.故 选:D.【提 分 秘 籍】基 本 规 律 等 差 数 列 或 者 等 差 数 列 前 n 项 和 通 项 公 式 转 化 求 最 值,转 化 为 函 数 求 最 值 与 范 围,要 注 意 对 应 的 自 变 量 是 正 整 数 n,所 以 多 把 自 变 量 限 制 在 正 实 数 或 者 1,+00)内【变 式 训 练】1.等 差 数 列 卬 i 的 前 项 和 为 S,GN*.若 S/20,Si30,70,根 据 公 差 8 0 即 可 得 出 答 案.【详 解】由 题 意 S/20,5/K0 及 5/2=6(。/+。/2)=636+。7),5/5=1307.得。6+470,47

20、0,。6|“7|,且 公 差 d0,所 以 Rd最 小.故 选:B2.已 知 函 数 f(x)=若 数 列%的 前 项 和 为 s“,且 满 足 S,=/(a,-3 4=卬,则 生 的 最 大 值 为()A.9 B.12 C.20 D.4【答 案】C【分 析】先 得 到 4=苧 吟 及 递 推 公 式(4用+4,)(4向-%-2)=0,要 想 最 大,则 分 两 种 情 况,生 为 负 数 且 最 小 或 出 为 正 数 且 最 大,进 而 求 出 最 大 值.【详 解】S“=W*,当=1时,4=.吟,当 2 2 时,SnT所 以 一 得:%=1 3,整 理 得:(4用+4)(q+1-4-2)

21、=0,所 以+1=一/,或 4+-4=2,当。2,-,“10是 公 差 为 2 的 等 差 数 列,且 1=-10时,。2最 小,“I最 大,此 时 4o=%+8x2=_q1=-a2,所 以(4)面=-8,此 时 4=20;当。3=-4 且 3,即 是 公 差 为 2 的 等 差 数 列 时,出 最 大,%最 大,此 时 Q”=4+8x2=-4+16=%,所 以(%)m x=8,此 时 4=12综 上:4 的 最 大 值 为 20。故 选:Cs3.等 差 数 列 q 的 前 项 和 为 S”.已 知 q=-5,4=T.记 2=7(=1,2,),则 数 列 也 的()A.最 小 项 为。3 B.

22、最 大 项 为 A C.最 小 项 为 D.最 大 项 为 a【答 案】C【分 析】根 据 题 意 求 得 等 差 数 列 的 通 项 公 式 4=2-7和 前 项 和 S,=2 6,得 到 2=止 也,结 合 4“,可 排 除 A、D,再 求 得 数 列 的 单 调 性,得 到 B 不 正 确,C 正 确.【详 解】由 题 意,设 等 差 数 列 4 的 公 差 为 d,因 为 q=-5,a3=-l,可 得 d=_1_(-5)=2,3-1 2所 以%=-5+(-l)x2=2-7,s,=(6;/)=(一 5|-7)=“2 _6,则 t=n.可 得 打=3-6x3=9也=4 6x4=_ 8,所

23、以 仇/,可 排 除 A、D;设 an 2/2-7 2x3-7 2x4-7,/、x2-6x ri 7.,7、X)=-,xel,+-)1(-,+oo),zx-/M、(2x-6)(2x-7)-(x2-6x)x 2 2,一 7x+21)八.则 7 X)=1-0 玲-=-不 一,因 为 A=(-7)2-4X1X21V0,所 以(2x-7)(2x-7)/”)0,所 以 在 区 间 1,g 和 g,+8)上 都 是 单 调 递 增 函 数,即 当“=1,2,3时,数 列 2 为 递 增 数 列,当 N4,eN+时,数 列 也 卜 也 为 递 增 数 列,其 中 4=1也=也=9也=-8您=一:,475例

24、如 当 九=25时,可 得%=丁 4,所 以 B 不 正 确,C 正 确.故 选:C.【题 型 五】最 值 与 范 围 2:前 n 项 和 最 值【典 例 分 析】5已 知 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列”“的 前 n 项 和 S“,4+%=10,%是 4 和%的 等 比 中 项,则%()A.有 最 大 值 9 B.有 最 大 值 25 C.没 有 最 小 值 D.有 最 小 值-24【答 案】DS【解 析 根 据 条 件 列 出 方 程 组 求 出 首 项 与 公 差,由 求 和 公 式 与 通 项 公 式 得 出 求 最 值%【详 解】设 公 差 为 4 则 有 2q+4d=10q

25、(q+4d)=(4+3d J 5则 S“=9 2 2 J()_/,可 令 z=H_2,可 得 2=1 1 T,则 an 9 25 1)-11-2/?当=1,t=9,/。)=1;当=5,r=1,/(/)=25,可 得/在=1 到=5 递 增;s当=6,t=-l,/(0=-24,n=l,r=3,/(O=-7,可 得/在 6递 增,则 有 an最 小 值-2 4,而 无 最 大 值,故 选:DS|()M-M2【点 睛】关 键 点 点 睛:利 用 差 数 列 的 通 项 公 式 和 求 和 公 式 可 得=不 7,通 过 令=11-2 un 11 z.n1 gg换 元 可 转 化 为/(。=-;0 一

26、-2),考 查 函 数 的 单 调 性,注 意 feN*,求 函 数 最 值,属 于 中 档 题.【提 分 秘 籍】基 本 规 律 与 等 差 数 列 前 n 项 和 有 关 的 最 值,大 致 有 以 下:LS”为 无 常 数 项 的 二 次 函 数:即 S,=A 2+B(4、8 为 常 数).涉 及 到 最 值 即 可 从 二 次 函 数 图 像 对 称 轴 来 求 解。2.涉 及 到 等 差 数 列 首 项 和 公 差 异 号,则 可 以 从 正(或 者 负 项)和 最 大(小)入 手。Cl)n 2 0,I.当 00,d0且 满 足 一 时,Sm最 大;而+1W0Clm 0,H.当。0,

27、上 0 月.满 足、八 时,S机 最 小.3.涉 及 到 与 1/n有 关,可 以 从 构 造 对 钩 函 数,双 曲 函 数 等 构 造 函 数 入 手。【变 式 训 练】1.已 知 S”是 等 差 数 列”“的 前 项 和,若$238$202。,”2 0 2 0,计 算 1 一 0.“2018”2019厂 匚+-得 到 答 案.,2 0 1 8 2019详 解】S,是 等 差 数 列 4 的 前 项 和,若 S2OI8 s202()0,生。2。0,2=4 4+4+2,故 二,n anan+an+21 c l 1 c l 1 c当(2017 时,0,=-0,”2018。2018 2019 2

28、020”2019。2 0 1 9 a 20204 0 2 1+_J J=0 2 0 1 9+2020 02018”2019 4 2 0 1 8 2 0 1 9 a 2020 2 0 1 9 2 0 2 0 2 0 2 1 2 0 1 8 a 2 0 1 9 a 2020 2021当“2 2020时,故 前 2019项 和 最 大.故 选:B.2.等 差 数 列 叫 的 前 项 和 为 S“,且 4 0,$5。=。.设 d=a M+4+2(N*),则 当 数 列 也 的 前”项 和 刀,取 得 最 大 值 时,”的 值 为 A.23 B.25 C.23 或 24 D.23 或 25【答 案】D【

29、分 析】先 依 据 条 件 知 等 差 数 列 4 的 前 2 5项 为 正 数,从 第 2 6项 起 各 项 都 为 负 数,所 以 可 以 判 断 也,的 前 2 3项 为 正 数,阳 为 负 数,%为 正 数,从 第 2 7项 起 各 项 都 为 负 数,而 h2i+h25=O,故 也 的 前“项 和 7;取 得 最 大 值 时,的 值 为 2 3或 25.【详 解】4 0,55。=0,.等 差 数 歹 岂 叫 的 公 差 d(;。)=25(包+%,)=0则 5 0,2 6 0,且 I W T W,由 2=4 4+4+2(W N+),知 也 的 前 2 3项 为 正 数,&为 负 数,区

30、 为 正 数,从 第 2 7项 起 各 项 都 为 负 数,而&与 怎 是 绝 对 值 相 等,符 号 相 反,相 加 为 零,:之 后,越 来 越 小,所 以 数 歹()4 的 前“项 和 T”取 得 最 大 值 时,的 值 为 2 3,2 5,故 选 D.3.已 知 数 列,满 足%-q=2,若 不 等 式 a;+a2+-+,V 33恒 成 立,则 n的 最 大 值 为 A.6 B.7 C.8 D.9【答 案】B【解 析】根 据 已 知 判 断 出 勺 为 等 差 数 列,利 用 等 差 数 列 的 前“项 和 公 式 化 简 不 等 式,根 据 一 元 二 次 不 等 式 有 解,判 别

31、 式 大 于 或 等 于 零 列 不 等 式,由 此 求 得 的 最 大 值.【详 解】由 于 2,故 数 列 是 公 差 为 d=2的 等 差 数 列,其 前 项 和 S=叫+当,故 可+%+=-+-a1+可 工 33,即,+()q+-33 W 0,此 不 等 式 有 解,其 对 应 一 元 二 次 方 程 的 判 别 式 即 3 2 2 133V(),(n-7)(3n+19)=(4+2+8+2+L+4*57+2)+2x15=30+(6+4x5;+2)x=i8oo.故 选:D.【提 分 秘 籍】基 本 规 律 形 如“向=(_ l)+f(n),多 可 以 通 过 奇 偶 取,再 二 次 消

32、去,得 到 奇 数 项 或 者 偶 数 项 累 加 法(或 者 跳 项 等 差 等 比 数 列)的 通 项 公 式【变 式 训 练】1.数 列 4 满 足.=(-1)/%+2-1,则 数 列。,的 前 4 8项 和 为()A.1006 B.1176 C.1228 D.2368【答 案】B【分 析】根 据 题 意,可 知。川-(-l)”a“=2-1,分 别 列 出 各 项,再 整 理 得 出 q+为=2,a,+a4=8,a5+a7=2,ab+=2 4,L,a4 5+a47=2,a46+a48=184,uj 知,相 邻 的 奇 数 项 之 和 为 2,相 邻 的 偶 数 项 之 和 为 等 差 数

33、 列,首 项 为 8,公 差 为 1 6,利 用 分 组 求 和 法,即 可 求 出%的 前 4 8项 和.【详 解】解:由 题 可 知,.=(-1广,+2-1,即:1-(-1 广=2-1,则 有:出-4 口,a3+2=3,a4 a3=5,a+a4=l,a6-a5=9,a7+a6=11,aa-,=13,%+%=15,L,“4 7+”4 6=91,“4 8 447=93.所 以,a,+a3=2,a2+a4=8,a5+a7=2,q+4=2 4,L,ai5+a47=2,=184,可 知,相 邻 的 奇 数 项 之 和 为 2,相 邻 的 偶 数 项 之 和 为 等 差 数 列,首 项 为 8,公 差

34、 为 16,设 数 列%的 前 48 项 和 为 5 4 8,则 S&8=4+。2+%+“4+。5+a 6+。45+”46+”47+。4 8,=(4+%+%+%+%5+“47)+(%+“4+。6+“8+0 4 b+”48)=12x2+12x8+与 1 x 1 6=11 7 6,所 以 数 列 4 的 前 4 8项 和 为:1176.故 选:B.2.记 5为 数 列%的 前“项 和,若 4=1,%=2,且 限-4=1+(-1),+,贝”侬 的 值 为()A.5050 B.2600 C.2550 D.2450【答 案】B【分 析】讨 论 为 奇 数 或 偶 数 时,/对 应 的 数 列 通 项,根

35、 据 奇 偶 数 项 分 组 求 和,即 可 求 的 值.【详 解】当 为 奇 数 时,4.2-4,=2,数 列%,1 是 首 项 为 1,公 差 为 2 的 等 差 数 列:当”为 偶 数 时,%+2-%=,数 列 4.是 首 项 为 2,公 差 为 0 的 等 差 数 列,即 常 数 列.50 x49则 S(x)=(4+/+W+4+4oo)=50 i-x 2+50 x 2=2600.故 选:B.3.已 知 数 列 4 满 足%+2+(1)%=3,q=l,%=2,数 列%的 前 项 和 为 S“,则$3。=()A.351 B.353 C.531 D.533【答 案】B【分 析】根 据 题 意

36、 讨 论”的 奇 偶,当 为 奇 数 时,可 得%+2-%=3,按 等 差 数 列 理 解 处 理,当 N为 偶 数 时,可 得 4+2+凡=3,按 并 项 求 和 理 解 出 来,则 邑 0按 奇 偶 分 组 求 和 分 别 理 解 处 理.【详 解】依 题 意,+2+(-!)=3,显 然,当“为 奇 数 时 有 见+2-%=3,即 有 4-4=3,a5-a3=3,=3,令 乩=4 1,故 b”.b,=3,所 以 数 列 勿 是 首 项 为 1,公 差 为 3 的 等 差 数 列,故=3”-2;当 为 偶 数 时 有 4+2+4=3,即/+%=3,%+。4=3,”2,+2+2=3,于 是,$

37、30=(4+4+%)+(%+%+%0)=(4+4+九)+%+(%+必)+(28+C!3()=-X15+2+7 X3=330+23=353,故 选:B.【题 型 七】求 和 应 用 2:奇 数 项 与 偶 数 项 和【典 例 分 析】含 2+1项 的 等 差 数 列,其 奇 数 项 的 和 与 偶 数 项 的 和 之 比 为()2/1+1A.-nc a+1B.nC.nD.n+l2n【答 案】B【解 析】利 用 等 差 数 列 的 前 项 和 公 式 即 可 求 解.【详 解】设 该 等 差 数 列 为%,其 首 项 为 4,前 项 和 为 S“,则 S,广 5+叭 4+限)2(4+/.)2 4+

38、4 向=2+4 2,,.5奇 _+1.故 选:B【提 分 秘 籍】基 本 规 律 H+1含 2+1项 的 等 差 数 列,其 奇 数 项 的 和 与 偶 数 项 的 和 之 比 为.一 丁【变 式 训 练】1.一 个 等 差 数 列 共 有 2 八+1 项,其 奇 数 项 的 和 为 5 1 2,偶 数 项 的 和 为 4 8 0,则 中 间 项 的 值 为()A.3 0 B.3 1 C.3 2 D.3 3【答 案】C【分 析】利 用 等 差 数 列 前 刘 项 和 公 式,对 奇 数 项 的 和、偶 数 项 的 和 列 式.通 过 等 差 数 列 的 性 质,都 转 化 为 的 形 式,然

39、后 两 式 相 减,可 得 到 的 值.【详 解】中 间 项 为.因 为%=(+7)(+1)=(+1)*=512,5倘=生 产.”=。+产 480,所 以-S儡=512-480=32.故 选 C.2.已 知 数 列 叫 的 前 项 和 为 S“q=l,且 满 足”M,M=2S“,数 列 也 满 足 仇=1 5,=2n,则 数 列 中 第 项 最 小.【答 案】4【详 解】分 析;由 题 可 得 到 数 列 乙 为 等 差 数 列,首 项 为 1,公 差 为 1.可 得 数 列 2 满 hn足=15也 用-2=2 利 用 累 加 求 和 方 法 即 可 得 出.可 得 二,利 用 不 等 式 的

40、 性 质 即 可 得 出.详 解:由 题 2 2 时,2a=25-2s,i=aa+t-aa,;a“*0,化 为%-a,t=2.n=时,=2q,解 得 弓=2.,数 列 a1=l,a2=2的 奇 数 项 与 偶 数 项 分 别 成 等 差 数 列,公 差 都 为 2,q=l,%=2.进 而 得 到 数 列 4 为 等 差 数 列,首 项 为 1,公 差 为 1.,=1+数 列 4 满 足 4=15,bn+i-b=2n,:.n2 时,(一=2(n-l)+(-2)+.+2+l+15=2xv;+15=/I(H-1)+15,n=时.也 成 立.6=n(/i-l)+15.-A=/J-1+2V15-1A=3

41、+A=7.则 数 列,4 J 中 第 4 项 最 a n 4 4%a,J小.即 答 案 为 4.2 23.已 知 数 列%、b,=/一,b,=,其 前 项 和 分 别 为 S“,7”,记 最 接 近 S“-7;2n-l 2+1的 整 数 为 C“,则 C|+C2+coo=【答 案】2550【分 析】根 据 给 定 条 件 利 用 裂 项 相 消 法 求 出 5.一(,探 讨 5.值 的 范 围,确 定 c“的 表 达 式 即 可 计 算 作 答.【详 解】依 题 意,tr n2 2n2 1 八 1 x 1 1 z 1-=-弓-=-(1 H-z)=1-(-2n-l 2+1 4 2-1 2 4/1

42、2-1-2 4 2n-l2+1)则 S 一 4=(4+4+)一(+%+”)=(4 2)+(生 一 区)+(af l-hfl)_n lr/1 1 1 1,1 1、r n n(n+)+(-)1=一+-=-2n l 2/?+1 2 2(2 勿+1)2+11 1 1 _ 2 1 2,n,2+1即 有=-+-77,从 而 有-F 因 此,彳 5一 4 一 丁,S-Tn n n+”+1 S-Tn n 2 2+1 n若 n=2k 1(%N,),Wic=/:=,若=2Z 伏 eN,),则 c“=Z=5,所 以 J+c2+4()0=2(1+2H-b 50)=2550.故 答 案 为:2550【题 型 八】求 和

43、 应 用 3:绝 对 值 型 和【典 例 分 析】已 知 等 差 数 列 4 满 足:同+|出|+=4 一;+。2-;+4 一;3 3 3=a+a2+2+/=72,则 的 最 大 值 为()A.18 B.16 C.12 D.8【答 案】c【分 析】根 据 等 差 数 列 性 质 分 析 题 中 数 列 变 化 规 律,计 算 得 出 结 果.详 解 同+同+=q _ g+a2-g+4=7 2,叫 不 为 常 数 列,且 数 列 的 项 数 为 偶 数,设 为 象(keN*)则,一 定 存 在 正 整 数 人 使 得 4M。或 见。,田 句。不 妨 设/(0,%+,0,即,cii,0 q+(k-

44、l)d a+kdQd0aA 0从 而 得,数 列 叫 为 单 调 递 增 数 列,1八 1 1-1 1at 0,:,ak-2,1%+kd N 根 据 等 差 数 列 的 性 质,为 句-4=4+2-。2=2*-ak=kd二 同+同+=阎+同+|%=%|+4+2+&-4-4 一-ak=k2d=127?72k2=36.n=2k3,eN),满 足 14|+1/I+1 I=14+11+1/+11+14+”=14-2|+1生-2|+1a“-2|=2019,则()A.的 最 大 值 为 50 B.”的 最 小 值 为 50C.的 最 大 值 为 51 D.”的 最 小 值 为 51【答 案】A【分 析】首

45、 先 数 列。,中 的 项 一 定 满 足 既 有 正 项,又 有 负 项,不 妨 设,由 此 判 断 出 数 列 为 偶 数 项,利 用 配 凑 法 和 关 系 式 的 变 换 求 出”的 最 大 值.【详 解】%为 等 差 数 列,则 使 同+&|+|q1=|i+1|+|/+1|+|。“+1|=|%-2用%-2|+|a“-2|=2019,所 以 数 列 4 中 的 项 一 定 有 正 有 负,不 妨 设 4 0,因 为 1all+&卜-=|i+1|+|2+lp-H“+l卜|4-2,&-2 1-an-2=2019为 定 值,a.+I 0 a.+I-20.故 设 c,且,n,解 得 d 3.若

46、 q 0 且 4+1 0,则 4 一%+1=1,同 理 若%。以+10,则 何+卜 闻=1.所 以 力|q|-t,+l|=f+同=所 以 数 列 4 的 项 1=1 1=1 i=k+l i=k+l数 为 24,所 以|q|+&|+|a|=-a1-a2-ak+aM+ak+2+a2k=-2(4+劣+4)+(%+o J=-2 kat+_-d+2kay+2k(2k+l)d2(=A%=2019,由 于 d 3,所 以 2d=29193廿,解 得 人 0【分 析】设”=2k,AeN+,等 差 数 列 的 公 差 为 d,不 妨 设*”八,则 4 0,且 4+140,即 ak0,得 到 即 有 d 2 2,

47、再 根 据 等 差 数 列 的 前“项 和 公 式,求 得 二 d=2021,从 而 得 出 20212 2,即 可 求 解.【详 解】解:由 题 意 知:等 差 数 列 4 满 足|4+同+同=何+1|+同+1|+|%+1|=|q T+E T+L+|a-l|=2021,故 等 差 数 列 不 是 常 数 列,且 4 中 的 项 一 定 满 足 或,且 项 数 为 偶 数,3+1 o设.=2k,kcN:等 差 数 列 的 公 差 为,不 妨 设 z 八,则 q 0,且 4+1W0,HP a,-1,由 华 1之 0,则-l+&d N q+k/N l,即 初 2 2,即 有 4 2 2,则=一 4

48、 一%-L-火+4+i+L+a2kr.k(k l)d.j k k V).2 j reel Zx?|H-+k(ci+kd)4-cl=k d=2021,可 得 202122A2,解 得&=31.7,即 有 II的 最 大 值 为 31,的 最 大 值 为 62.故 答 案 为:62.3.已 知 数 列 4 的 通 项 公 式 为%=|19-2|,n w N:则 其 前 20项 的 和 为.【答 案】202【分 析】利 用 分 组 求 和 直 接 计 算.详 解 由 4=|19一 21,当 4 9 时,4,=19_2”,当“2 10时,。“=2”-19,所 以 S20=4+/+49+40+。“+%o

49、=17+15+1+1+3+21J17;1)X9+0+21)X11=2O2)故 答 案 为:202.2 2【题 型 九】求 和 应 用 4;取 整 函 数 型 数 列【典 例 分 析】国 为 不 超 过 x 的 最 大 整 数,设%为 函 数 x)=xx,xeo,)的 值 域 中 所 有 元 素 的 个 数.若 数 列 的 前 项 和 为 5“,则$2=()M+2JA H B.1 C.吗 D.也 1013 2 4040 1012【答 案】D【分 析】先 根 据 题 意 求 出 q=;*之,一 汽*,进 而 用 裂 项 相 消 法 求 和.【详 解】当=1时,xe(o,l),x=0,x.r=o,故

50、 xx=0,即 q=l,当=2 时,xe0,2),x=O,l,xA-eOvjl,2),故 xx=0,l,即 g=2,当=3 时,X G 0,3),=0,1,2,xx G 0 VJ1,2)J4,6),故 xx=0,l,4,5,即 出=4,以 此 类 推,当 2 2,工 40,)时,区=0,1,2,xxe0 1,2)1 4,6)j(n-l)2,W(n-l),故 山 用 可 以 取 的 个 数 为,1 八 1-+21+1+2+-1=-,2即。=-,当 n=1时 也 满 足 上 式,故=-广 工,w N、_ 2 _ 2 _ 2_2_所 以 a“+2 n2+3n+2(+1)(+2)n+i+20X 2 2

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