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1、2021-2022学年上海市虹口高级中学高二上学期期末数学试题一、填空题1.在等差数列S,中，已知q=2,则【答案】f【分析】利用通项公式的相关的性质即可求解.=空 乌=_ 3【详解】设公差为a,则 2,所以=故答案为：-7=_=_2.等比数列 （wN*）中,若 2 一记，出1则=【答案】4【分析】根据等比数列的通项公式可求得答案.【详解】设等比数列也 （e、*）的公比为“，则a=a x 3=-2-,解得/=8,即q=2,所以%=/x/=g x 8=4故答案为：4.3.半径为2 的 球 的 表 面 积 为.【答案】.【分析】代入球的表面积公式:$表=4乃*即可求得.【详解】,7?=2,，由球的
2、表面积,表=4i炉 公式可得，S球 衣=4乂 万 x2?=16乃故答案为:16万【点睛】本题考查球的表面积公式;属于基础题.4.从甲、乙、丙、丁 4 名同学中选2 名同学参加志愿者服务，则甲、乙两人都没有被选到的概率为（用数字作答）.【答案】6【解析】先计算出从4 名同学中选2 名同学的情况，再计算出甲、乙两人都没有被选到的情况，即可求出概率.C：=6【详解】解：从4名同学中选2名同学共有 2 x 1 种，甲、乙两人都没有被选到有1种，甲、乙两人都没有被选到的概率为.5.己知正项等差数列“的 前 项 和 为%+%-片=0,则配=.【答案】2 2【分析】根据等差数列的性质可得=2,再根据求和公式
3、即可求出.【详解】正项等差数列/的前项和为s”.由牝+%_ ：=0 得 2 a 6-。：=0,所以 q=2,a6=0(舍)s i l nx l l=x l l =2 2 2 2故答案为：2 2【点睛】本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，考查了运算能力，属于基础题.6 .如图，以长方体/B e。-44GA的顶点。为坐标原点，过。的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若。与的坐标为(4,3,2),则的坐标为【答案】1,3,2)【详解】如图所示，以长方体的顶点。为坐标原点,过。的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，因为。与的坐标为(4,3,2),所以(4,0,0),C(0
4、,3,2),所以G=(-4,3,2)7.一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5,物理超过90分的概率是0.7,两门课都超过90分的概率是0.3,则他的数学和物理至少有一门超过90的概率为.9【答案】0.9#10【分析】利用概率加法公式直接求解.【详解】一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5,物理超过90分的概率是0.7,两门课都超过90分的概率是0.3,他的数学和物理至少有一门超过90的概率为：尸=05+0,7-0.3=0.9.故答案为：0.9.8.如图，点M 为矩形N58 的边8 c 的中点，A B=,BC=2,将 矩 形 绕 直 线 力。旋转所r得到的几何体体积记为
5、匕，将 MC。绕直线。旋转所得到的几何体体积记为右，则匕的值为【答案】6【分析】分析几何体的结构，计算出匕、匕，由此可得出结果.【详解】将矩形/8CO 绕直线4。旋转所得到的几何体是以1为底面圆的半径，母线长为2 的圆柱,所以，匕=c/x 2 =2%将A M C D绕直线C D旋转所得到的几何体是以1为底面圆的半径，高为1的圆锥，K=-x-xl2 xl=所以，3 3.因此，匕.故答案为：6.9.已知直三棱柱的各棱长都相等，体积等于（c m、）.若该三棱柱的所有顶点都在球。的表面上,则球。的体积等于2 8-7 1【答案】3【分析】先由题目条件可得三棱柱的棱长，后可结合图形确定球。的球心，后可得答
6、案.【详解】如图，三棱柱圈G是直三棱柱，且所有棱长都相等，该三棱柱的顶点都在球。的表面上，且三棱柱的体积为1 8,x a x t/x s i n 6 0 x。=1 8设三棱柱的棱长为。，则 2 ,解得 =26，分别设上下底面中心为Q、i,则0 0 2 的中点即为三棱柱外接球的球心，O2A =、依 a 2-（扬 2 =2所以球的半径R =S次+0 0；=可 与=币,则球。的体积等于3 3 .10.如图，一质点A从原点。出发沿向量 4=即 ）到达点4,再沿y轴正方向从点4前进到达点4,再沿。4的方向从点4前进5%到达点4,再沿V轴正方向从点4前进/川 到 达 点 4,，这样无限前进下去，则质点A最
7、终到达的点的坐标为.【答案】哼 令【分析】根据已知前进规律，再应用无穷等比数列求和公式可得横纵坐标.s s）f l|【详解】等比数列前项和公式“q 当-*0,“1-/根据已知前进规律,探究y 轴正方向的规律，得 4“石 石 石 4百75 4-1-1 =r =-4 16 3同理也可发现x 轴正方向变化规律-4侬3故质点A 最终到达的点的坐标为3 3故答案为：49二、单选题11.设“事件A 与事件8 互斥，是“事件A 的对立事件是8”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由对立事件及互斥事件的关系即可得出结论.【详解】由对立事件一定
8、是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，故“事件A 与事件B互斥”是“事件A 的对立事件是8，的必要而不充分条件.故选：B.12.如图，正方体4 4 G 2-/B 8 中，E、/分别为棱4 、8 c 上的点，在平面/O R 4 内且与平面。平 行 的 直 线（）A.有一条C.有无数条【答案】CB.有二条D.不存在【分析】设/u平面&J H D E ,可证明/平面。E F,从而可得正确的选项.【详解】设/u平面且/D E,又。E u 平面D M,/u平面。所，平面D E F ,显然满足要求的直线/有无数条.故选：C.【点睛】本题考查线面平行的判断，注意根据所求直线在定平面中去构造与平面平行的直线
9、，本题属于容易题.a+b1 3.实数“，6 满足。坊0 且。我）,由。、6、2、疯按一定顺序构成的数列（）A.可能是等差数列，也可能是等比数列B.可能是等差数列，但不可能是等比数列C.不可能是等差数列，但可能是等比数列D.不可能是等差数列，也不可能是等比数列【答案】B【分析】由实数a,b 满足ab 0 且存b,分 a,b 0 和 a,b b 0a+b则有a 2 而ba+b a+b若能构成等差数列，则 a+b=h +J 不，得 丁 =2瓶,解得a=b（舍），即此时无法构成等差数列1 而 空 =2而若能构成等比数列，则 ab=2，得2,解得a=b（舍），即此时无法构成等比数列（2）若 b a a
10、h则有 24ab+b=a+r-r若能构成等差数列，则 2,得 2。H=3ab于是b3a4ab=9a2-6ab+b2得 b=9 a,或 b=a（舍）当 b=9a时这四个数为3a,a,5a,9 a,成等差数列.于是b=9 a 0,满足题意a+b但此 时 疯.b 0,不可能相等，故仍无法构成等比数列故选B【点睛】本题考查的知识点是等差数列的确定和等比数列的确定，熟练掌握等差数列和等比数列的定义和性质是解答的关键._1_ 41 4.已知正项等比数列S 满 足%=%+2%,若存在两项品，%,使得=则+7 的最小值为（）3 4 25A.2 B.3 c.6 D.不存在【答案】A【分析】根 据%=4+25求出
11、公比4=2,再 利 用 血 Z =得到机+”=6,结合?，均为正整数,得到五组值，代入求出最小值.【详解】设正项等比数列%的公比为因为%=6+2生，所 以=为 夕+2%,化为k-4-2 =0,“0,解得9=2.因 为 存 在 两 项 使 得 疯 7 =4%,所 以&：2 一 2-=4%,化为小+”=6.贝 ij？=1,n=5.m=2,=4；7n=3,n=3.加=4,n=2;tn=5 t =1.1 4 4 9T-=1+-=-贝 lj 当=1,=5 时，tn n 5 5,m n 22,14 1 4 5-1=I=3 3 3 ,44,Lb+4=幺m n 55 ,当 7 =2,=4 时当m=3,=3时当
12、?=4,=2 时当阳=5 ,=1时，3故最小值为5.故选：A.15 .已知函数/（X）是定义在R上的严格增函数且为奇函数，数列“是等差数列，4。”,则/（。1 ）+/（%）+/（%）+./（。2 0 2（）+/（。2 0 2 1 ）的 值（）A.恒为正数 B.恒为负数 C.恒为0 D.可正可负【答案】A【分析】根据函数/（X）的性质可判断函数值正负，从 而 结 合 等 差 数 列 性 质 推 出+八。2 J ,进而将八4）+八出）+/（4 ）+/（%侬）+/（%以）结合等差数列的性质即可判断答案【详解】因为函数“X）是R上的奇函数且是严格增函数，所以“0）=0,且当 x 0 时，f（x）0.当
13、 x 0 时，/,故/（%。“）.再根据+2 0 2 1 =,所以”一。20 2 1,则/（%）/（一“2 0 2 1）=一/（。2 0 2 1）,所以/（1 ）+./（。2 0 2 1 ）。同理可得/（。2）+/（。2 0 2 0）。，/（%）+/（。2 0 1 9）。，所以/（。1 ）+/（“2 H/Q）1/（“2 0 2 0 ）+/（“2 0 2 1 ）=/（）+7（0 2 1）+/（4）+出。2。）+/（*）+/（*）+/（）0故选：三、解答题16.在高中学生军训表演中，学生甲的命中率为0.4,学生乙的命中率为0.3,甲乙两人的击互不影响，求：甲乙同时射中目标的概率；（2）甲乙中至少有
14、一人击中目标的概率.【答案 0.1 2 0.58【分析】（1）设出相应的事件，找出对应事件的概率，利用相互独立事件的概率求解即可,（2）利用对立事件性质求解即可.【详解】（I）设“甲击中目标”为事件A,“乙击中目标”为事件5,则P =0.4,P =0.3,且事件A,5 相互独立，所以甲乙同时射中目标的概率为0（4 B）=P（4 P（B）=0,4X03=0.1 2（2）设“甲乙中至少有一人击中目标”为事件C,则它的对立事件为“甲乙都没有击中目标”记为：A B,n.P（C）=-P（A-5）=1 -P（2）-P（f i）=1 -（1 -0.4）（1 -0.3）=0.58人 J 1 7.如图，已知力8
15、1平面B C D,B C 1 B D,直线4。与平面8 c o 所成的角为30。，且A B=B C=1（1）求三棱锥/-8 的体积；（2）设M 为8。的中点，求异面直线/。与CM所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）【答案】（1）33行a r c c o s-14【分析】（1）由题目条件可得80,后可由三棱锥体积公式得答案：（2）取 48中点N,连接CM MN ,她M N/A D ,NCMN即 为 异 面 直 线 与 CM所成角，后可由余弦定理得答案.【详解】（1）因为48/平 面 8CQ,所 以 即 为 直 线 与 平 面 88所成的角，。BD =-=2 V 3所以408=30 ,所以 t
16、 a n 30 ,V.B C D=-S B C D-A B=-B C BD-A B=-x-x2x2y/3x2=-43所以三棱锥力-88的体积 也。3 6 3 2 3;(2)取NB中点N,连接CM MN ,则/。，所以/CMV即为异面直线AD与C M所成角，又 4B 工平面 BCD,8Du 平面 B C D,i j i y A B 1 BD ,A D =yjA B2+B D2=4,MN =-A D =2得2C N=/C 52+NB2=后,C M =y CB2+B M2=S.则在 ACA/?V 中，MN =2,C N =/5 C M=5 ,“MN +M N9 3所以 2 c M MN 1 4 ,a
17、 r c c o s 前所 以 异 面 直 线 与 C 所成角的大小为 1 4 .A;1 8.己知数列也 满足4=1,且，川=2/+3令”=%+3,求 证:也 是等比数列;(2)求数列E 的通项公式4及 数 列 的前 项和.【答案】(1)证明见解析(2)a =2+，-3,数 列 也 的前项和为2 2 -3”-4【分析】(1)根据题意结合等比数列定义运算分析；(2)根据题意结合等比数列的通项公式求得q=2 川-3,再利用分组求和以及等比数列的求和公式运算求解.详解(1)因为“向=2 见+3,所以。,川+3 =2 a+3),又.也=4,+3,则%=2，且4 =4,所以也，是以首项4=4 ,公比。=
18、2的等比数列.由（1）得=421=2，所 以%=*-3,斫,S =（22-3）+（23-3）+.+（2n+,-3）=（22+23+24+.+2）-3 n/1 少 4。-2）,=-3n=2n+2-3 一41-21 9.如图，在圆柱 中，是圆柱的母线，8 c是圆柱的底面0 的直径，。是底面圆周上异于8、C的点.（1）求证：。,平 面/8。；若3 0 =2,8=4,A C =6,求圆柱03的侧面积.【答案】（1）证明见解析（2）8百 加【分析】（1）由 圆 柱 的 性 质 可 得 底 面8 8,即可得出/8 L C Z）,再由直线与平面垂直的判定得出结论：（2）由已知解直角三角形求出圆柱的底面半径及
19、母线长，即可求出答案.【详解】（1）证明：底面8 8,且C u底面38,A B C D又；C D A.B D ,且 48rl/8、8。u 平面,，。，平面力皿；（2）.在R t AB C D 中，BD =2,C O =4,3 C =物+4 2 =2#又,*在 R t AAB C 中，A C=6,A B=4 （2布 y=4二圆柱的底面半径为石，母线长为4,圆柱0的侧面积为2 T x石x 4 =8&.2 0.若数列“满足”对任意正整数i,j,都存在正整数%,使得%=&%”,则称数列“”具有性质P”.（1）判断各项均等于的常数列是否具有“性质尸”，并说明理由；（2）若公比为2的无穷等比数列“具有性质
20、尸”，求首项的值；（3）若首项4=2的无穷等差数列”“具有“性质p，,求公差d的值.【答案】（1）答案见解析；（2）4=2”,於2一1且加ez；（3）=1或=2.【分析】（1）根据性质P计算，由“巧=/=解 得。=或”=1,可得结论：（2）通项公式%然后由求出4,由机=/+l T-J的范围可得的值的形式；（3）由4=的，得 k-2n+l ,由对于任意的正整数，存在整数仁和勺，使得4=/七,两式相减得见=（右 一 编 首 先 确 定d，0,得勺=修一：是整数,因此“也是整数,然后说明d q即可得），0时只有d=1或2,并说明符合题意.【详解】解：（1）若数列%具有“性质尸”，由己知对于任意正整数
21、i,j,都存在正整数k,使得4=吗，所以 =解得。=。或。=1.所以当。=0或。=1时，常数数列满足“性质P”的所有条件，数列具有“性质P”；当。二且44时,数列%不具有“性质P”.（2）对于任意正整数i,j,小,存在正整数3使得=，即,q=2，令 A+1 i /=机 e Z ,则。1=2”.当用2-1且?e Z时，则。“二。2 1 =2 ，对任意正整数i,j,i j,由4 =4得2+1=2小一.2叫 得 上3.+/+而+是正整数，所以存在正整数无=/+加T 使得a =a-a成立，数列具有“性质户”.若机 4一2,取 i=l =2,i2=2mx2m+1=22m+1(2m+1h 0；+凡若 个%
22、,所以不存在正整数k使得知,=%成立从而d 0时，不具有“性质pd=-左-2附+1是正整数，都是正整数，因此=1或2.当d=l时,数 列2,3,4,+1,，对任意正整数i,j,*,由4 =4巧得 l =(i+l)-(/+l),得左=，+/+八/,而i+/+i,/是正整数，从而数列具有“性质户”.当=2时，数列2,4,6,，2，对任意正整数i,J,由/=4,%得2k=2i?j,得=2 ),而2,)是正整数，从而数列具有“性质P”.综上所述=1或1=2.【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，考查学生的创新意识，推理能力.解题关键是理解新定义并能运用新定义解题.性质尸，即对任意的叽 C N*,存在上e N*,使得4 只要根据这个恒成立式求得数列即可.