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1、2022-2023学年河南省洛阳市老城区九年级(上)期中数学试卷1.方程一/+5%-2=0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是()A.1 5,2 B.1 5,2 C.-1,5,-2 D.0,5,22.若点4(0,2)与点B 关于原点对称，则点8 的 坐 标 为()A.(2,0)B.(-2,0)C.(0,2)D.(0,-2)3.抛物线y=(x+I)2+1的顶点坐标是()A.(1,1)B.(-1,1)C.(1,-1)D.(-1,-1)4.若将抛物线y=3/先向左平移4 个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为()A.y=3(x+4)2 1 B.y=3(x-4)2+1C.y=3(x 4
2、)2 1 D.y=3(x+4)2+15.抛物线y=a/+bx+c(a 0)的位置如图所示，则关于x 的 y,元二次方程ax?+b%+c=0(a4 0)根的情况是()A.有两个不相等的实数根,B.有两个相等的实数根 Oc.有两个实数根 Y D.没有实数根6.若关于x 的一元二次 方 程-2)/+2%-1=0有实数根，则/的取值范围是()A.f c 1 B./c 1 且 k 羊 2 D.k 27.已知点力(一 1,%)，B(4,2)是抛物线y=(%-2)2+k上的两点，则乃的大小关系为()A.月 y2 C.=y2 D.无法确定8.直角三角形两直角边是方程/一 8 x+14=0的两根，则它的斜边为(
3、)A.8 B.7 C.6 D.2V79.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线丫=。%2 +8%+：的对称轴为直线=1,与 x轴的一个交点为(-1,0),则下列说法中正确的是()A.abc 0C.不等式a/+bx+c 0的解集为1 x 3D.c-a B以lcm/s的速度匀速运动到点B,图2是点尸运动时，FBC的面积y(on2)随时间x(s)变化的关系图象，则a的值为()C.V5 D.2V511.某足球预选赛实行主客场赛制，每两个参赛队都要进行两次比赛.若某个预选赛区共要比赛72场，则参赛队有 支.12.如图，在AABC中，以C为中心，将 ABC顺时针旋转38。得到 O E C,边ED,4 c相
4、交于点F,若Z4=30。，则4EFC的度数为.13.抛物线y=-2(x 2/+3,当0W xW 3时，y的 最 小 值 是,y的 最 大 值 是,14.用配方法解方程K +6x+4=0时，原 方 程 应 变 形 为()2=5.15.如图，等腰RtAZBC中，。是AC上一动点，连接BD.将BCD绕点B逆时针旋转90得 至B A E,连接ED.若BC=5,贝AED周 长 最 小 值 是.16.解方程:(l)5x(x+2)=3x4-6；(2)9(x+I)2-(x-2)2=0.17.如图，在等腰直角AABC中，点。是AB边上中点，连接C Q,将线段C。绕点C按顺时针方向旋转90。后得到C E,连接4E
5、.求证：AE/CD.18.已知关于x的方程/-2kx+fc2=9.(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；(2)若方程有一个根为2,试求3k2-12k+2022的值.19.某体育用品店购进一批单价为20元的球服，如果按单价40元销售，那么一个月内可售出200套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高4元，销售量相应减少20套.设销售单价为x(x 2 40)元，销售量为y套.(1)求出y 与 x的函数关系式，并写出自变量取值范围；(2)当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？2 0.如图，A B C 三个顶点的坐标分别为4(1,1),B(4,2)
6、,C(3,4).(1)请画出将4 4 B C 向左平移4个单位长度后得到的图形 为B】G；(2)请画出 4 B C 关于点(1,0)成中心对称的图形 4 2 8 2 c 2；(3)若4 4B1G绕点M旋转可以得到 4 2 8 2 c 2，请直接写出点M的坐标.2 1.如图，隧道的截面由抛物线D E C 和矩形4 8 C。构成，矩形的长AB为 6 机，宽BC为4僧,以。C所在的直线为x 轴，线段CQ的中垂线为)，轴，建立平面直角坐标系.y 轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面距离为5 米.(1)求出抛物线的解析式.(2)如果该隧道内设单行道(只能朝一个方向行驶)，现有一辆货运卡车高4.5米，宽 3
7、 米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论.22.如 图，函数y1=a(x+2)2+3(x W 0)的图象过原点，将其沿y 轴翻折，得到函数y?的图象，把函数为与丫 2的图象合并后称为函数小的图象.(l)a 的值为；函数为的 解 析 式 为(注 明 x 的取值范围)；对于函数L，当函数值y随 x 的增大而增大时，x 的 取 值 范 围 是；(2)当直线y=x+b与函数L的图象有4 个交点时，求b的取值范围.23.如图(1),AABC是等边三角形，点。、E 分别在边AB、BC上，BD=B E,连接。E、AE,C D,点 M、N、P 分别是 AE、C D、AC 中点，连接 PM、P N
8、、MN.(1)CE与 MN的 数 量 关 系 是.(2)将4 BDE绕点B逆时针旋转到图(2)和图(3)的位置，判断C E 与MN有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图(2)或图(3)进行证明.答案和解析1.【答案】C【解析】解：方程一M +5 X-2 =0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是1,5,-2,故选：C.根据一元二次方程的一般形式得出答案即可.本题考查了一元二次方程的一般形式，正确记忆相关知识点是解题关键.2.【答案】D【解析】解：两点关于原点对称，二 横坐标为-0=0,纵坐标为-2,点(0,2)关于原点的对称点的坐标为(0,-2).故选：D.根据两点关于原点对称的特点解答即可
9、.考查两点关于原点对称的特点，正确记忆两点关于原点对称,横纵坐标均互为相反数是解题关键.3.【答案】B【解析】解：因为y=(x+1)2+1是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(-1,1).故选：B.直接利用顶点式的特点可求顶点坐标.本题考查了二次函数的性质，将解析式化为顶点式y=a(x-/i)2 +k,顶点坐标是(儿卜)，对称轴是 x=h.4.【答案】A【解析】解：根 据“左加右减，上加下减”规律知：若将抛物线y=3/先 向 左 平 移4个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为y=3(x+4)2-1.故选：A.直接利用平移规律求新抛物线的解析式.主要考查了函数图象
10、的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式.5.【答案】。【解析】解：T抛物线、=&%2 +故+(;与工轴没有交点，二关于x的一元二次方程a/+必+c =0(a二0)没有实数根.故选：D.根据图象可得出抛物线y =a x2+bx+c与x轴没有交点，则可得出答案.本题考查了一元二次方程的根的判别式以及二次函数的图象的性质，熟练掌握抛物线与x轴的交点情况是解题的关键.6.【答案】C【解析】解：.一 元 二次方程(k -2)/+2x-1=0有实数根，k-20,即k *2,0,即 4=22-4(f c-2)x(-1)=4/c-4 0,解得k 1,k的取值范围是/c 1且k
11、R2.故选：C.由一元二次方程(k-2)x2+2x-l =0有实数根，则k-2 H 0,即上力2,且A 2 0,即4=2?-4(/c-2)x(-1)=4k -4 2 0,然后解两个不等式得到k的取值范围.本题考查了一元二次方程a x?+b x+c=0(a*0,a，,c为常数)的根的判别式Z =一 4a c.当Z 0,方程有两个不相等的实数根；当/=0,方程有两个相等的实数根；当4 +K,此抛物线开口向上，对称轴x=2,力(一1，月)关于对称轴的对称点是(5,yD，此抛物线开口向上，对称轴x=2,在对称轴右侧y随x的增大而增大，4 0,对称轴为直线 =-*=1,2a b=2a,b V 0,抛物线
12、与y 轴交点在y 轴负半轴，A C 0,故 4 错误，不符合题意；由图象知，当 =1时，y 0,二 a+b+c V 0,故 5 错误，不符合题意；由图象可知当一1 V%0,不等式a/+c 0的解集为一 1 V%0,，4a 0,-c a 0,故。正确，不符合题意.故选c.由开口方向和与），轴的交点位置以及对称轴判定选项4；由x=1时y E,再由图象可知，BD=遮,应用两次勾股定理分别求BE和a.本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，意函数图象变化与动点位置之间的关系是解题的关键.11.【答案】9【解析】解：设参赛的球队有x 支，根据题意可得x(x-1)=72.解得X=-8(舍去)，x2=9,
13、故参赛队有9 支.故答案为：9.每支球队都要比赛(久一1)场.根据题意可得x(x-1)=7 2,求解即可.本题主要考查一元发二次方程的应用，找出题目中的等量关系是关键.12.【答案】68【解析】解：由旋转的性质得：/。=乙 4=30。，4DCF=38。，乙 EFC=NA+d)CF=30+38=68；故答案为:68。.由旋转的性质得出4。=44=30,Z.DCF=3 8 ,由三角形的外角性质即可得出答案.本题考查了旋转的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握旋转的性质是解题的关键.13.【答案】-53【解析】解：？y=-2(x-2)2 +3,抛物线开口向下，顶点坐标为(2,3),函数最大值为3,将
14、x=0 代入y =-2(x 2)2+3 得y 5,.当O S xW 3时，-5 S y W 3,.y的最小值为-5,最大值为3,故答案为：5,3.由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解.本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系.14.【答案】x+3【解析】解：x2+6x+4=0,x2+6x=-4,7 +6x+9=5,(x+3)2=5.故答案为：x+3.利用解一元二次方程-配方法：先把二次项系数化为1,然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进行计算即可解答.本题考查了解一元二次方程-配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程
15、的步骤是解决问题的关键.15.【答案】10【解析】解：将ABC。绕点8 逆时针旋转90。得到A B4E,AE=CD,BE=BD,Z.DBE=90,.-.AE+AD=AD+CD=AC,DBE是等腰直角三角形，DE=y/2BD,.当BO取最小值时，DE的值最小，则4ED周长的值最小，当B0_L4C时，BD的值最小，4BC是等腰直角三角形，BC=5,AC=y/2BC=5V2,BD=C =|V 2,DE=5,4ED周长最小值是4 c+DE=10,故答案为：10.根据旋转的性质和等腰直角三角形的判定和性质定理即可得到结论.本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关
16、键.16.【答案】解：(1)5x(4+2)=3x+6,因式分解,得5x(x+2)-3(x+2)=0,则(x+2)(5%3)=0,于是得x+2=0,5%3=0,解 得=2,x2=|;(2)9(%+I)2-(x-2)2=0,则3Q+I)/-(x-2)2=0,因式分解，得(3%+3+%-2)(3%+3-+2)=0,即(4x+l)(2x+5)=0,于是得4x+1=0,2x+5=0,解 得=_/,芯 2=-|-【解析】(1)利用提公因式法解出方程；(2)利用平方差公式把方程的左边因式分解，进而解出方程.本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键.17.【答案】证明
17、：在等腰直角力BC中，点。是 A 3边上中点，Z.ACD=*CB=45,Z.BAC=45,AD=CD=AB,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90。后得到CE,乙DCE=90。，CD=CE,Z.ACE=45,AD=CE,Z-DAC=Z-ACE,AD/CE,四边形ADCE是平行四边形，AE/CD.【解析】根据等腰直角三角形的性质和旋转的性质，以及平行四边形的判定和性质即可得到结论.本题考查了平行线的判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.18.【答案】(1)证明：4=(-2/c)2-4*2-9)=36 0,所以方程有两个不相等的实数根；(2)把x=2代入方程得4 一
18、 4k+好一 9=0,所以卜2 一位=5,所以3k2-12k+2022=3(/c2-4k)+2022=2037.【解析】(1)计算判别式的中得到A=3 6,然后根据判别式的意义得到结论；(2)把x=2代入方程廿 一 4k=5,再把3k2 -12k+2022表示为3(1 -4k)+2022,然后利用整体代入的方法计算.本题考查了根的判别式和整体代入思想，掌握根的判别式的性质是解题关键.19.【答案】解：(1)销售单价为x 元，则销售量减少FX20,故销售量为y=200-三竺 x 20=-5x+400(%40)；4(2)设一个月内获得的利润为w 元，根据题意得：w=(x-20)(-5x+400)=
19、-5 x2+500 x-8000=-5(x-50)2+4500.V%40,当x=50时，w的最大值为4500.故当销售单价为50元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是4500元.【解析】(1)由销售单价为x元得到销售减少量，用200减去销售减少量得到y与x的函数关系式；(2)设一个月内获得的利润为w元，根据题意得：w=(%-2 0)(-5 x4-4 0 0),然后利用配方法求最值.本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，掌握数学建模思想方法,求出表达式是解题的关键.20.【答案】解:(1)如 图:的 顶 点 坐 标 分 别 为:(-3,1),(0,2),(-1,4);(2)如图，力2B2
20、c2即为所求，图形如下：(3)如图，点M即为所求，点M的坐标(一 1,0).【解析】(1)分别作出A,B,C的 对 应 点B i，G即可；(2)分别作出A,B,C关于点(1,0)的对称点42,B2,C2即可；(3)连接8/2交于点M,点M即为所求.本题考查作图-旋转变换，平移变换，熟练掌握基本作图知识是解题的关键.21.【答案】解:(1)根据题意得:D(-3,0),C(3,0),F(0,l),设抛物线的解析式为y=ax2+l(a 4 0),把。(一3,0)代入得：9a+1=0,解得a=J,抛物线的解析式为y=-+1；(3)这辆货运卡车能通过该隧道，理由如下：在丫 =-/+1中，令y=4.5-4
21、 =0.5得：y0.5=-#+1,解得*=备，2x=,R 8.4 9(m),8.4 9 3,.这辆货运卡车能通过该隧道.【解析】(1)抛物线的解析式为y =a/+1,根据力点的坐标由待定系数法就可以求出结论;(2)当y =4.5时代入(1)的解析式，求出x的值即可求出结论.本题考查了二次函数的知识，掌握二次函数的应用是关键.2 2.【答案】一丫2 =-2 +3(x 0)%1 或0%1【解析】解：(1)函数y 1=a(x +2)2 +3(x 0)的图象过原点,0 =a(0 +2)2+3,解得：a =-|,y i=-1(x +2)2+3(x 0),将函数y i沿)，轴翻折，得 到 函 数 的 图
22、象，二月=一,(%_ 2)2+3(X 2 0),函数L：_ f-(x +2)2+3(x 0)当函数值)，随x的增大而增大时，x的取值范围是x 一 1或0 x 0)；%4-1或0 4%0)与y =x+b联立得：一 2)2+3=x+b,整理得：3 8 x +4 =0,当4 =(-8)2-4 8 6 =0时，b=l，此时直线丫=x +b与函数乙的图象有3个交点，如 图1,把。(0,0)代入y =x +b得：0 +b =0,解得：b =0,此时直线、=x +b与函数L的图象有3个交点，.当直线y =x +b与函数L的图象有4个交点时，0 b 0)与y =x +b联立，并运用根的判别式即可求得b的最大值
23、,再把。(0,0)代入即可求得b的最小值，从而得出答案.本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，抛物线的图象与线段或直线的交点个数问题，轴对称变换的性质，二次函数的图象与性质，运用数形结合思想和方程思想并熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.2 3.【答案】CE=2NM【解析】解：(1)如 图 1中,图1 .ABC是等边三角形，BD=BE,AD=CE,点M、N、尸分别是4E、CD、AC中点，EC=2PM,AD=2PN,MP/EC,NP/AD,PM=PN,AAPM=乙ACB=6 0 ,乙CPN=Z.BAC=60,乙4PM=乙CPN=60,LMPN=60,.MNP是等边三角形，:
24、.MN=MP,:.EC=2MN.故答案为：CE=2MN.(2)如图3 中，结论仍然成立.图3理由：ABC和ACDE是等边三角形，CD=CE,CA=C B,4ACB=4DCE=60,v 乙ABC+乙ABE=乙DBE+/-ABE,：乙 ABD=乙CBE,.EC BAD AB(SAS),:,CE=AD,Z-DAB=乙ECB,点M、N、P 分别是AE、CD、AC中点，A EC=2PM9 AD=2PN,MP/EC,NP/AD.PM=PN,/.APM=4ACE=60-乙E C B,乙CPN=DAC=60+Z.DAB,乙CPN+APM=120.乙MPN=60,.MNP是等边三角形，MN=MP,EC=2PM EC=2MM(1)如图中，只要证明APM/V是等边三角形，再利用三角形的中位线定理即可解决问题.(2)如图中，结论仍然成立.连接A O,证明AECBg D B 4,推出CE=A C,再利用三角形的中位线定理得出PM=P N,再证明NMPN=6 0 ,得出aPM/V是等边三角形，再利用三角形的中位线定理即可解决问题.本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握三角形中位线定理.