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1、第 章概率统计计算概率论与数理统计是一门研究随机现象并找出其统计规律的学科，广泛应用于社会、经济、科学等各个领域。MATLAB中的统计工具箱(Statistics Toolbox)包含了 200多个用于概率统计方面的功能函数，且具有简单的接口操作。通过本章学习，读者能利用统计工具箱中相关函数进行统计量计算、参数估计、假设检验、方差分析和回归分析等计算，而且还能使用统计学中的一些特殊的绘图工具，直观地认识样本的结构和分布特征。13.1MATLAB统计工具箱介绍MATLAB中的统计工具箱是一套建立在MATLAB数值计算环境下的统计分析工具，能够支持范围广泛的统计计算任务。统计工具箱主要包括如下两类
2、工具。(1)概率统计的数值计算函数该函数可以通过命令行或用户的应用程序调用，多数为MATLAB中的M 文件。(2)交互式图形工具函数该函数是能够通过图形用户界面(GUI)来使用的交互式图形工具。表 13-1给出了统计工具箱中函数的主要分类。表 1 3-1 统计工具箱中函数的主要分类函数分类具体描述概率分布参数估计累积分布函数概率密度函数概率分布逆累积分布函数随机数产生器分配函数的矩实验设计构建统计模型主成分分析对数据进行降维处理假设检验假设的统计检验描述统计学针对数据抽样的描述统计第1 3 章概率统计计算统计作图统计的作图统计的过程控制统计的过程控制续表函数分类具体描述聚集分析有相似的特性的项
3、目列入群体中线性模型对数据进行线性模型拟合非线性回归非线性回归模型的拟合文件输入，输出对操作系统文件读写数据数据示范的数据13.2随机变量的数字特征随机变量的数字特征是与随机变量有关的某些数值，它们虽然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征。本节主要讲述用MATLAB求解随机变量的期望(均 值 X 方差、矩、协方差矩阵、相关系数等数字特征。该部分所用到的命令函数属于统计工具的描述统计学(Descriptive Statistics)部分。13.2.1期望设离散性随机变量的分布律为：?X=x*=p*,&=1,2,则定义X 的期望为：c oE(X)=xkPkk=l而对于来自总
4、体X 的一个样本，设其样本值为X=(X1,X2,X),则定义样本均值为:可以证明F 依概率收敛于X 的均值。因此通常用亍来近似代替X 的均值。MATLAB中提供了函数mean。来计算这种较为简单的均值，其调用格式如下。1.m=mean(X)若X 为向量形式，则 mean(X)为向量中各元素的平均值；若X 为矩阵，则 mean(X)为一个行向量，其中的每一个元素是矩阵X 各列元素的平均值。307精通MATLAB科学计算(第2忡-2.m=mean(X,dim)函数返回X 在某一维上的均值，其中维数由标量dim设置。例如X 为一个矩阵时，mean(X,2)是一个列向量,包含矩阵X 每一行的均值。di
5、m的默认值为lo【例 13-1 样本均值计算实例l o 下面给出一组样本值来自于某一个未知分布，计算该分布的样本均值。191,135,1 2.6,1 0,1 4.6,2 4,13.7,1 5,2 0,1 3.5解：通过在MATLAB中编写程序exl301.m来实现。%exl301.m用mean()计算样本均值x=1 9.1,1 3.5,1 2.6,1 0,1 4.6,2 4,1 3.7,15,20,1 3.5 ;m=mean(x)命令窗口中输出结果为：exl301m=15.6000由以上计算结果可知，该分布的样本均值为15.6。【例 132】样本均值计算实例2O如下为来自于总体的三个样本的样本
6、值，分别计算其均值。天：2.1 3.5 5.0 1.5 3.0X2：3.2 3.0 4.5 4.2 1.4X3：2.4 2.6 4.2 3.5 3.23.2 4.2 2.5 3.0 1.81.5 5.0 4.5 3.5 3.03.3 4.0 4.2 3.6 2.8解：用矩阵的均值形式计算，在 MATLAB中编写程序exl302.m来实现。%exl302.m分别计算三个样本的均值X l=2.1X 2=3.2X3=2.43.55.01.53.03.2 4.22.53.01.8 ;备第一个样本3.04.54.21.41.5 5.04.53.53.0;%第二个样本2.64.23.53.23.3 4.0
7、4.23.62.8 ;%第三个样本X=X1;X2;X3;m l=m ean(X,2)X=X 1ZX2,ZX3,；m2=mean(X)务将三个样本作为X的各行%计 算X各 行 的 均 值，即得各样本均值8将三个样本作为X的各列省得各列均值命令窗口输出为：exl302ml=2.9800308 -第 章概率统计计算3.38003.3800m2=2.9800 3.3800 3.3800由以上计算结果可知，样本X I的均值为2.98,样本A 2的均值为3.38,样本X3的均值为3.38。【例 13-3】样本均值计算实例3。设随机变量X、丫的联合分布律如表13-2所 示，分别计算 E(X),E(Y),E(
8、R 3)以及 E(X+Y)O表 13-2 x、丫联合分布律1234p(y=j)01/100001/10104/102/101/107/1020002/102/100g)1/104/102/103/101解：用均值定义计算，通过在MATLAB中编写程序exl303.m来实现，具体代码如下所示。%exl303.m分别计算二维离散分布的均值X=0,l,2;Y=l,2,3,4;Px=0.1,0.7,0.2;%x各点对应的概率Py=0.1,0.4,0.2z0.3;mX=sum(X.*Px)mY=sum(Y.*Py)z=X+3;%Y各点对应概率%E(X)sum为求和函数。mX3=sum(z.*Px)mXY
9、=mX+mY%E(X+3)%E(X+Y)命令窗口输出为：exl303mX=1.1000mY=2.7000mX3=4.1000mXY=%E(x)%E(Y)%E(X+3)3.8000%E(X+Y)在 MATLAB中还给出了求其他形式均值的一些函数，其命令形式与mean相同。各命令具体含义详见表13-3。309精通MATLAB科学计算（第2蚪表1 3-3几种均值函数函 数 名功能geomean求样本几何均值harmmcan求样本调和平均值nanmean可忽略样本中的非数值输入，并计算相应均值trimmean除去输入样本中一些数值变化太大的值，然后再计算样本均值如需了解表13-3中函数的详细用法，可到
10、MATLAB的 Help中的相关部分检索查询函数的详细使用说明。310 第13章概率统计计算13.2.2方差、标准差、矩方差是用来刻画随机变量x 取值分散程度的一个量。其一般用下式表达：D(X)=Ex-E(x)1在应用上还引入与随机变量X 具 有 相 同 量 纲 的 量 向 方，记为b(X)，称为标准差或均方差。X 的左阶中心矩应为：EX-E(X)k,k=2,3,-可知方差即为二阶中心矩。对于一个样本来说，样本方差通常有两种形式表达，如下所示。无偏估计式：有偏估计式：)2 /=!样本标准差也对应有如下两种形式：s=*3a或S=g=I眩(XL 4 2V,=1样本的Z阶中心矩为：MATLAB中用方
11、差函数var()来计算样本方差，用标准差函数std()来计算样本的标准差，用矩函数moment。计算样本的各阶中心矩，具体用法如下。1.var()方差函数k=var(X)若X 为向量则返回向量的样本方差值，若 X 为矩阵则返回矩阵各列向 311精通MATLAB科学计算(第2忡-量方差组成的行向量。其采用无偏式计算方差。V=var(X,1)函数采用有偏估计式计算X 的方差，即 前 置 因 子 为 var(X,O)等同于 var(X),其采用无偏式计算方差，前置因子为K=var(X,w)函数返回X 以 w，为权的方差。对于矩阵X,w 的元素个数必须等于X的行数；对于向量X,w 的元素个数与X 元素
12、个数相同。V=var(X,flag,dim)函数返回X 在特定维上的方差，dim指定维数，flag指定选择的计算式。即 flag=O,选择无偏式计算；flag=l,选择有偏式计算。此 外，nanvar()是忽略非数(NaNs)的方差计算函数，调用格式与var()相同。2.std()标准差函数s=std(X)函数返回向量(矩 阵)X 的标准差(前置因子/n-卜s=std(X,flag)flag=O,前置因子为!n-;flag=l,前置因子为 l/n0s=std(X,flag,dim)函数返回X 在特定维上的标准差，dim 指定维数，flag指定选择的计算式。nanstd()函数用法同std(),
13、忽略非数的标准差计算函数。【例 13-4】样本方差、标准差计算实例。分别计算向量*=1,-1,1,2的方差和标准差以及加权后的方差和标准差，其中加权向量为v=l,2,3,4o(加权方差和标准差值指的是计算样本方差或标准差时，各样本值要乘以相应的权值，然后再除以总的权值。)解：通过在MATLAB中编写程序exl304.m来实现，具体代码如下所示。%exl304.m 计算x的方差和标准差x=-l-112;w=l 2 3 4;当用各种命令形式计算方差vl=var(x)v2=var(x,0)v3=var(x,1)v4=var(x,w)v5=var(x,1,w)多用各种命令形式计算向量标准差sl=std
14、(x)s2=std(x,1)s3=std(x,w)在命令窗口中运行该文件，得如下结果：3输入向量X告权向量W exl304vl=2.2500%var(X)v2=312 第13章概率统计计算2.2500%var(X,0)v3=1.6875%var(X,1)v4=1.5600%var(X,w)v5=0 00 0%var(X,1,w)s i=1.5000%std(X)s2=1.2990%std(Xz1)s3=1.2490%std.(X,w)3.moment。矩函数 7=moment(X,o rd e r)函数返回向量(矩 阵)X 的左阶中心矩。order规定中心矩的阶数。?=moment(X ord
15、er,dim)函数返回dim维上的X 的中心矩。【例 13-5】中心矩计算实例。随机产生正态分布的一组随机数，计算其3 阶中心矩。解：通过在MATLAB中编写程序exl305.m来实现。%exl305.m 计算正态随机数的3 阶矩X=randn(5 4)%产生正态分布的随机数矩阵，行数为5,列数为4ml=moment(X,3)%计算矩阵X 各列的3 阶矩m2=moment(X,3,2)%计算矩阵X 各行的3 阶 矩，并返回2 维上的中心矩 exl305X=-0.43261.1909-0.18670.1139-1.66561.18920.72581.06680.1253-0.0376-0.588
16、30.05930.28770.32732.1832-0.0956-1.14650.1746-0.1364-0.8323ml=-0.11350.03620.87800.0586m2=0.1983-1.7088-0.02270.7167-0.000413.2.3协方差、相关系数随机变量X、y 的协方差和相关系数的定义式如下：313精通MATLAB科学计算(第2忡-cov(x,y)=x-E(x)y-E(y)c t、cov(x,y)cof(x,y)=i J对 于n维随机变量，通常用协方差矩阵描述它的2 阶中心矩。如对于二维随机变量(XD,定义协方差矩阵形式为：(C C 12。22 J其 中：cix=E
17、x-E(x)2cl 2=Ex-E(x)y-E(y)c2 i=Ey-E(y)x-E(x)c2 2=Ey-E(y)2其相应的样本协方差形式此处不再给出。与样本方差形式类似，也具有两种形式。MATLAB中用cov()和 corrcoef。计算协方差和相关系数。具体用法如下。1.COV。计算协方差C=cov(X)X 为向量时，函数返回此向量的方差。X 为矩阵时，矩阵的每一行表示一组观察值，每一列代表一个变量。函数返回此矩阵的协方差矩阵，其中协方差矩阵的对角元素是X 矩阵的列向量的方差值。c=cov(x,F)返回x、y 的协方差矩阵，其中x、y 行数和列数相同。C=cov(X,l),C=cov(X,y,
18、l)计算协方差矩阵时前置系数取1/rto cov(X,0)与 cov(X)相同，都是取前置系数为1/n-l,此用法可参考var函数。2.corrcoe%)计算相关系数R=corrcoef(X)返回矩阵X 的相关系数矩阵，其各点值对应于相关矩阵的各点值除以相应的标准差。7?=corrcoef(x,y)返回x、y 的相关系数矩阵。若 x、y 分别为列向量，则该命令等同于 7?=corrcoef(,r y)o7?,P=concoef(.)返回的P矩阵是不相关假设检验的p值。R,P,RLO,RUP=corrco砥 )对于每一个R值 返回的95%置信区间为RLO,RUP。.=corrcoef(.,par
19、am 1,vail,param2,v al2,.)设定特殊的可选项。corrcoef函数功能强大，本节仅讨论它的前两种常用用法。【例 13-6】协方差和相关系数计算实例。计算向量x 和向量y 的协方差和相关系数。314 第13章概率统计计算向量X与向量J，分别如下所示：x=1,222,1,2y=2,3,2,2,3,2解：通过在MATLAB中编写程序cxl306.m来实现，具体代码如下所示。%exl306.m计算向量之间的协方差和相关系数x=1,2,2,2,1,2;y=2,3,2,2,3,2;cx=cov(x)vx=var(x)cxy=cov(x,y)cor=corrcoef(x,y)exl30
20、6ex=0.2667vx=0.2667exy=0.2667-0.0667cor=1.0000-0.2500-0.06670.2667-0.25001.0000金计算向量X 的协方差，可知其等于X 方差3x方差用 x、y 协方差%x.y 相关系数号运行exl306【例 13-7】随机变量数字特征综合计算实例。根据表13-4中所示的数据计算各变量的均值、方差以及它们之间的协方差矩阵和相关系数。表 1 3 4 几组变量数据VOLHPMPGSP894965.496925555.99792704 9.0105925346.59689704 6.2105925545.497948043.410789733
21、 9.310389663 9.6100917838.9106解：通过在MATLAB中编写程序exl307.m来实现，具体代码如下所示。%exl307.m 计算各变量均值、方差以及它们之间的协方差矩阵和相关系数矩阵 315精通MATLAB科学计算(第2版i-VOL=89 92 92 92 89 92 94 89 89 9 1，HP=49 55 70 53 70 55 80 73 66 7 8 1;MPG=65.4 55.9 49.0 46.5 46.2 45.4 43.4 39.3 39.6 38.9 1;SP=96 97 105 96 105 97 107 103 100 1 0 6 1;X=
22、VOLZHPZMPG,SP;%将变量数据按列存到一个矩阵中m=mean(X)%计算X 均 值，得各变量样本的均值v=v a r(X)3计算X方 差，得各个变量样本值之间方差cX=cov(X)%计算变量之间的相关矩阵cv=diag(cX)corX=corrcoef(X)%取相关矩阵对角元素S计算变量之间的相关系数输出计算结果为：3.2111123.211168.647119.9556 exl307m=90.9000 64.9000v=3.2111 123.2111cX=3.2111 2.43332.4333 123.2111-0.7822-64.86001.0222 47.8000cv=46.9
23、600 101.200068.6471 19.9556-0.7822 1.0222-64.8600 47.800068.6471-20.4356-20.4356 19.9556corX=1.0000 0.12230.1223 1.0000-0.0527-0.70520.1277 0.9640-0.0527 0.1277-0.7052 0.96401.0000-0.5521-0.5521 1.000013.2.4偏斜度和峰度偏斜度和峰度是用来描述随机变量分布的形状与对称形式，或正态分布型的偏离程度的统计量，其分别定义如下。随机变量工的偏斜度：E(x-E(x)3一卬(x)产2随机变量X的峰度：,(
24、x-(x)4卬(x)在 MATLAB中分别用函数skewness。、kurtosis。来实现上述计算。316 第1 3章概率统计计算1.skewness 函数调用格式如下：y=skewness(X),X为向量时，函数返回此向量的倾斜度；X为矩阵时，矩阵的每一行表示一组观察值，每一列代表一个变量，函数返回此矩阵的每一列的倾斜度。y=skewness(X,fla g),fla g用于设定是否要修正偏差。若fla g=O，则计算倾斜度时修正系统偏差；fla g=l(默认值)时不修正偏差。y=skewness(X,fla g,d i m),在矩阵X的d i m维上计算倾斜度。通常对于二维矩阵，d im
25、=l,函数计算各列的倾斜度；d im=2,函数计算各行的倾斜度。2.kurtosis 函数调用格式如下：k=kurtosis(X),函数返回X的峰度。k=kurtosis(X,flag),flag 意义同 skewness。k=kurtosis(X,flag,dim),参数意义同 skewness通过上面各式可以计算出向量(矩 阵)X的偏斜度和峰度。式中fla g默认值为I表示不进行偏移修正;fla g可以赋值为0，表示进行偏移修正。d im指定在矩阵X的特定维上求相应统计量。下面是一段在M A T L A B命令窗口中输入的计算偏斜度和峰度的例子：x=20.1,12.4,22,2,18.0,
26、24.0,25.2,20.0,21.2;%输入向量 x y=10.2,9.4,8.5;12.1,10.3,11.0;12.1,13.4,11.4;毛输入矩阵 y skewness(x)%求 x 偏斜度ans=-1.4381 skewness(xz1)ans=-1.4381 skewness(xz 0)ans=-1.7433 kurtosis(x)ans=4.0773 skewness(y)ans=-0.7071 0.5636-0.6559 skewness(yz1,2)%f lag=1%flag=0*求x峰度金求y偏斜度%flag=l,dim=2-0.07190.26410.3480 317精
27、通MATLAB科学计算(第 2 版i-kurtosis(y)超求y峰 度，flag默 认1,dim默 认1ans=1.5000 1.5000 1.500013.2.5其他数字特征除了上面介绍的几类重要的数字特征外，MATLAB的统计工具箱中还有很多对数据性质进行描述的函数，下面通过一些表格对这些函数进行简单介绍。表 13-5所示给出数据比较和简单计算类函数；表 13-6给出了几种特殊的统计学函数。表1 3-5数据比较和简单计算类函数函 数 名功 能max求样本中的最大值元素nanmax忽略样本中的非数求最大值元素tnin求样本中的最小值元素nanmin忽略样本中的非数求最小值元素median求
28、随机变量的中值续表函 数 名功能nanmedian忽略样本中的非数求中值sum求样本元素的累和nansum忽略样本中非数求和cumtrapz梯形累和函数cumsum求此样本值之前的元素和mad计算样本绝对偏差的均值或中值，由参数设定sort将样本值按从小到大排列sortrows将样本的行作为一个整体进行排序range求样本值中最大值和最小值之差prctile求样本的在不同分位数上的值iqr求四分位差值，即样本在75%分位点与25%分位点上取值之差表13-6 一些特殊函数函 数 名功 能jackknife计算jackknife样本的特定统计量bootstrp通过对数据进行bootstrap重采样
29、计算相应的统计量bootci计算bootstrap统计量的置信区间tabulate以矩阵形式给出样本值的频数表13.3特殊分布的概率计算318 -第 章概率统计计算概率统计类课程中曾给出一些具有特殊分布的随机变量，例如均匀分布、二项分布、正态分布和泊松分布等。MATLAB中也有专门的对这些特殊分布进行操作处理的函数。MATLABT的统计工具箱支持2 0 多种特殊概率分布。对于每种分布，该工具箱都提供相应的用于计算其常用统计量的5 种基本函数。它们分别是：概率密度函数、累积分布函数、逆累积函数、均值和方差函数以及随机数发生器，下面分别进行讲述。13.3.1概率密度函数表 13-7给出了 MATL
30、AB-7支持的20 多种分布以及它们名称的字母缩写。MATLAB可以识别这些字母所代表的分布，并进行相应的计算和操作。表 13-7 MATLAB支持的分布类型分布名称字母缩写分布名称字母缩写Beta分布beta负二项分布nbin二项分布bino非中心F 分布ncf,2 分布chi2非中心/分布net指数分布exp非中心/分布ncx2续表分布名称字母缩写分布名称字母缩写极值分布Ev正态分布norm产分布f或F泊松分布poiss7 分布gam瑞利分布rayl几何分布geo，分布t广义极值分布gev均匀分布unif广义帕累托分布gP离散均匀分布unid超几何分布hyge韦伯分布wbl对数正态分布lo
31、gnMATLAB中求概率密度有一个通用的函数pdf()，通过此函数可以求表I3-7中所示的23种输入分布的概率密度函数，此函数的调用格式如下：Y=pdf(name,X,A,N2,A3)其 中，name为 表 13-7中分布的字母缩写，X 为样本矩阵，、4 2 和 N 3是分布参数矩 阵，y 为概率密度矩阵。对于某些分布，有些参数矩阵可以不必输入。X、41、N 2和 4 3 必须是具有同样的大小的矩阵，当其中之一输入为标量时，程序会将其调整为与其他输入同维的矩阵。另 外，MATLAB对于每一种分布还有一个专用的求其概率密度的函数。它们的基本用法和含义见表13-8。Y 319精通MATLAB科学计
32、算（第2回表 1 3-8 概率密度函数分布名称概率密度函数常用调用格式Beta分布betapdfr=betapdft%J,fi)二项分布binopdfy=binopdf(X,N,P)/分 布chi2pdfy=chi2pdRX,F)混合分布copulapdfy=copulapdf(GaussianU,rho)：y=copulapdf(z,(7,rho,Nu)K=copulapdfl；family,t/,alpha)极值分布cvpdfy=cvpdRX,mu,sigma)指数分布exppdfy=exppdf(Xmu)产分布fpdfyfpdV,H,r2)7 分布gampdfy=gampdRX/l,8)
33、几何分布gcopdfQgcopdRXP)广义极值分布gevpdf片 gevpdRXK,sigma,mu)广义帕累托分布gppdfP=gppdfX,K,sigma,theta)超几何分布hygcpdfy=hygcpdf(X,M,K,M对数正态分布lognpdfKlognpd fl Amu,sigma)多项式分布mnpdfr=mnpdf(XPROB)多元正态分布mvnpdfy=mvnpd*X);H=mvnpdf(X1mu)：K=mvnpdRX,mu,sigma)多元/分布mvtpdfY=mvtpdfU,C,助续表分布名称概率密度函数常用调用格式负二项分布nbinpdf修nbinpdRXKF)非中心
34、户分布ncfjxify=ncmd”,NU 1 ,NU2,DELTA)非中心，分布nctpdfy=nctpdf(A；KDELTA)非中心/分布ncx2pdfK=ncx2pdf(XV,DELTA)正态分布normpdfnonnpdffXmu,sigma)泊松分布poisspdfr=poisspdf(XLAMBDA)瑞利分布raylpdfr=raylpdXS)学生（分布tpdfy=tpdfIXO离散均匀分布unidpdfN=unidpdfWV)连续均匀分布unifpdf u n ifp d V J)韦伯分布wblpdf外 wblpdRXS/)上述函数的输出均为对应分布在X 处的概率密度。后面的几个输
35、入参数是描述分布的参数矩阵。需要注意的是，输入的参数的维数必须相等，否则会导致错误结果。【例 13-8 概率密度计算实例。计算坐标 0,2 上的均匀分布在0.4,0.6,1,4,1.6处的概率密度值。解：可以分别用通用函数pdf和专用函数unifjxlf求解。在 MATLAB中编写程序exl308.m来实现，具体代码如下所示。320 第1 3 章概率统计计算%exl308.m求 0,2 均匀分布在某点的概率密度值clear allx=0.4,0.6,1.4,1.6;fl=pdf(unifzxz0,2)%用 pdf()计算f2=unifpdf(xz0z2)unifpdf()计算结果为：exl30
36、8fl=0.5000 0.5000 0.5000 0.5000f2=0.5000 0.5000 0.5000 0.5000【例 13-9 概率密度图绘制实例。作出N(0,l),N(0,4),N(l,4)的概率密度图。解：通过在MATLAB中编写程序cxl309.m来实现，具体代码如下所示。%exl309.m绘制正态分布的概率密度图clear allx=-10:0.1:10;fl=normpdf(xz 0,1);%N(0,1)pdff2=normpdf(xz 0,2);(0,4)pdff3=normpdf(x,1,2);%N(1,4)pdfp l o t r o ,x,f 3,g+)legend
37、XN(0,1)I 3N(0,4)I”N(1,4)D计算结果如图13-1所示。13.3.2累积与逆累积分布函数 321精通MATLAB科学计算（第2版i-1.累积分布函数若随机变量X 的概率密度函数为/（x）,则累积分布函数的定义如下：XF（x）=P（X-00与求pdf类 似，MATLAB中也有一个通用的函数和一些专用的函数来求解累积分布函数值。MATLAB中用cdfCname;A:41/2,/3）可求解各种分布的累积概率分布值，其中各参数含义可参见pdfo表 13-9给出了各分布的专用的累积分布函数。其具体参数含义和对应的pdf函数相同。表 1 3-9 累积分布函数分 布 名 称累积分布函数常
38、 用 调 用 格 式Beta分布betacdfy=betacdfX48)二项分布binocdfy=binocdfX,MP)/分 布chi2cdfK=chi2cdfX,r)经验分布（kaplan-Meier分 布）ecdff,x=ecdf(y);4r,flo,fup=ecdKy,param Lvalue 1 ,param2,value2.)极值分布evcdfY=evcdftX、mu、sigma)续表分 布 名 称累积分布函数常 用 调 用 格 式指数分布expcdfK=expcdf(Xmu)F 分布fcdf修fbdfU iH JZ7 分布gamcdfy=gamcdRX/,8)几何分布geocdf
39、r=geocdV)广义极值分布gevcdfQgevcdf(X,K,sigma,mu)广义帕累托分布gpcdfP=gpcdf(X,sigma,theta)超几何分布hygecdf上 hygecdRX,M,KM对数正态分布logncdfF=logncdf(Af,mu,signia)负二项分布nbincdfy=nbincdRX,R,P)非中心F 分布ncfcdfJncfcdN U 1 ,NU2,DELTA)非中心I 分布nctcdfy=nctcdf(XDELTA)非中心X1分布ncx2cdfr=ncx2cdn%,r,DELTA)正态分布normcdfy=normcdf(X,mu,sigma)泊松分布
40、poisscdfr=poisscdRA,LAMBDA)瑞利分布raylcdfy=raylcdWX,8)学生,分布tcdf心 tcdRXM离散均匀分布unidcdfy=unidcd，M322 第13章概率统计计算连续均匀分布unifc d fy=unifb d RX J,3)韦伯分布wb lc d fy=w b l c d f t M,8)2.逆累积分布函数逆累积分布函数是累积分布函数的反函数，也称分值点函数。通用求解函数为icdf,具体调用格式与cdf相同。表 13-10给出了 MATLAB中的专用的逆累积分布函数。表1 3-1 0逆累积分布函数分 布 名 称累积分布函数常 用 调 用 格 式
41、B e t a分布b eta invA b e t a i n v(M )二项分布b inoinv月 b inoinv(K N,P)力2分布c hi2invM=c hi2inv(Y,r)极值分布evinvA=evinv(K,mu,sigma)指数分布eypinvA=expinv(y,mu)“分布finvy分布ga minvM=ga minv(y/,8)几何分布geoinvX=geoinv(匕 尸)广义极值分布gevinvAngevin v(Y,K,sigma,mu)广义帕累托分布gpinvX=gpinv(Y,K,sigma,theta)超几何分布hygeinv代 hygeinv(Y“W X M
42、对数正态分布logninvA=logninv(Y,mu,sigma)续表分 布 名 称累积分布函数常 用 调 用 格 式负二项分布nb ininv=nb ininv(K/?,P)非中心”分布nefinvA=nc finv(Y,N U 1,N U 2,D E L T A)非中心f分布nc tinvA nc tinv(r,r,D E L T A)非中心x1分布nc x2invA=nc x2inv(r,r,DELTA)正态分布norminv%=norminv(K mu,sigma)泊松分布poissinv*=poissinv(X,L A M B D A)瑞利分布ra ylinv代 ra ylinv*
43、/)学 生，分布tinvA tinv(r,r)离散均与分布unid invX=unid inv(y,N)连续均匀分布unifinvX=uniflnv(K4 8)韦伯分布wb linvA=wb linv(y 4,5)【例 13-10】累积分布函数和逆累积分布函数应用实例。设 秋 1,9）分别求下面的值：(1)P(X”4),尸(1 6),尸(|X4)(2)若尸(Xc)=0.5，求 c 值。323精通MATLAB科 学 计 算(第2回解：通过在MATLAB中编写程序exl310.m来实现，具体代码如下所示。%exl310.m累积分布函数和逆累积分布函数编程实现clear all%宅用累积分布函数计算
44、概率值yl=normcdf(4,1,3)%P(X4)y2=normcdf(5,1,3)-normcdf(1,1,3)%P(1X6)y4=normcdf(4,1,3)-normcdf(-4,1,3)%P(|X|4)会带的用逆累积分布函数计算给定概率值的X值c=norminv(0.5Z1,3)%P(X exl310yi=0.8413y2=0.4088y3=0.0478y4=0.7936由计算结果可知，P(x 4)=0.8413,P(6)=0.0478,P(|X 4)=0.7936 o 当 c=1 时，P(X c)=0.5。【例 13-11 概率计算应用实例。设在一次实验中某事件发生的概率为0.4,
45、重复该实 验 100次，求出现该事件次数不小于50次的概率。若该事件刚好发生30次，求其概率。解：设该事件为X,则易知X 服 从(10(),0.4)的二项分布。在 MATLAB中编写程序 exl311.m来实现，具体代码如下所示。%exl311.m计算二项分布的概率clear alla=binocdf(49,100,0.4);pl=l-ap2=binopdf(30,100,0.4)%P(X=50),事件出现不小于50次概率%P(X=30)输出结果为：exl311Pl=0.0271p2=0.0100由以上计算结果可知，出现该事件次数不小于50的概率为0.0271,该事件刚好发生30324 第13
46、章概率统计计算次的概率为（）.01。13.3.3特殊分布的期望和方差除了上节介绍的简单的均值函数mean以及方差函数var外，MATLAB中还为每一种特殊分布提供了相应的计算其均值和方差的函数，详细函数说明见表13-1U表1 3-1 1特殊分布的期望和方差函数函 数 名常用调用格式函 数 功 能b eta sta tA/,K|=b c ta sta tG4,)B e t a分布的期望和方差b inosta tA/M=b inosta t(N,P)二项分布的期望和方差c hi2sta tMH=c hi2sta t(r)/分布的期望和方差evsta tM,K =evsta t(mu,sigma)极
47、值分布的期望和方差eypsta tM,r=expsta t(mu)指数分布的期望和方差fsta tA/，K l=fsta t(n,F2)”分布的期望和方差ga msta tM,F=ga msta t(/1,B)7分布的期望和方差geosta tA/,K =geosta t(P)几何分布的期望和方差gevsta t M F/=gevsta t(/f,sigma,mu)广义极值分布的期望和方差gpsta tA/,F=gpsta t(j4,5)连续均匀分布的期望和方差wb lsta tA/,K =wb lsta t(J,B)韦伯分布的期望和方差下面举例说明部分函数的用法。【例 13-12 特殊分布的
48、期望和方差计算实例1。求参数为0.4和 0.8的夕分布的期望和方差。325精 通MATLAB科 学 计 算(第2忡-解：在 MATLAB命令窗口中输入：mz v=betastat(0.4,0.8)输出结果为：m=0.3333v=0.1010【例 13-13 特殊分布的期望和方差计算实例2。求参数为5 的泊松分布的期望和方差。解：在 MATLAB命令窗口中输入：mzv=poisstat(5)输出结果为：m=5v=5由此例可知泊松分布的均值和方差相同，且都等于参数【例 13-14 特殊分布的期望和方差计算实例3。分别计算参数为1 6 的离散均匀分布的均值和方差。解：在 MATLAB命令窗口中输入：
49、mz v=unidstat(1:6)输出结果为：m=1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000 3.5000v=0 0.2500 0.6667 1.2500 2.0000 2.9167由此例可知，表 13-11中的函数还可以同时计算具有不同参数的相同类型分布的均值和方差。值得注意的是，输入的参数矩阵须具有相同的维数。13.3.4随机数生成器MATLAB的统计工具箱中，提供了通用的随机数产生函数random和特定分布的随机数产生函数(以 m d结尾卜可以直接调用这些函数来获得所需的随机数。对于MATLAB-7支持的2 0 多种特殊分布，每种分布的随机数都可以任意产生。函
50、数326 -第 章概率统计计算可以产生单个随机数或随机数矩阵，这取决于函数调用时所采用的参数。表 13-12给出了几种常用的随机数生成函数。表 1 3-1 2 几种常用的随机数生成器函 数 名常 用 调 用 格 式函 数 功 能betamdH=betamd(46)Beta分布的随机数binornd/?=binornd(jV,P)二项分布的随机数chi2mdR=chi2md/分布的随机数eypmdR=expmd(mu)指数分布的随机数frnd/?=frnd(ri,F2)厂分布的随机数gammdR=gammd(4f)z分布的随机数geomdR=geomd(P)几何分布的随机数nommid/?=no