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1、2021-2022学 年 上 海 市 徐 汇 区 高 二 下 学 期 期 中 数 学 试 题 一、填 空 题 1.抛 物 线=2x2的 焦 点 坐 标 是【答 案】I、【分 析】将 抛 物 线 的 方 程 化 为 标 准 形 式，即 可 求 解 出 焦 点 坐 标.x=y【详 解】因 为 抛 物 线 方 程 2.，焦 点 坐 标 为 所 以 焦 点 坐 标 为 I 8A故 答 案 为：I 8人 2.直 线 xsin-y+l=的 倾 斜 角 的 取 值 范 围 是.-乃 3 1 0,u，【答 案】L 4 L 4）【分 析】根 据 直 线 斜 率，可 知 tanae卜 1,1,结 合 a e 0,
2、乃）可 求 得 结 果【详 解】由 xsin8-y+l=0 知：直 线 斜 率 A=sinee-l,l,r 乃 3万）设 直 线 倾 斜 角 为 a,则 a e T，l,又 ae0,。.4 4-3不）0,7 d 故 答 案 为：L 4 L4）3.圆/+V=5 的 过 点/（1,2）的 切 线 方 程 为【答 案】x+2y-5=01合 耒【分 析】因 为 点 在 圆 上，所 以 过 点 的 切 线 和（圆 心）垂 直，求 出 斜 率，用 点 斜 式 求 出 方 程.【详 解】根 据 题 意，圆/+/=5 的 圆 心 为 0（0,0）,半 径“石，点（1，2）在 圆 上，则 心 M=2,则 切 线
3、 的 斜 率 2,则 切 线 的 方 程 为 2、1 变 形 可 得 2夕+-5=0；故 答 案 为：x+2y-5=ox234.若 双 曲 线/b-（a0,。）的 渐 近 线 方 程 为 2,则 双 曲 线 的 离 心 率 e=.叵【答 案】2_3【分 析】由 题 知“一 5,再 根 据 离 心 率 公 式 求 解 即 可.X2/b 3 2 7=1 y=-x=x【详 解】解：双 曲 线。6（。,6。）的 渐 近 线 方 程 为，a 2,b_=3所 以，双 曲 线 的 焦 点 在 x 轴 上，且 一 5e=F V=F_9 713所 以，双 曲 线 的 离 心 率+4-2.姮 故 答 案 为：25
4、.己 知 点”（T，2）,则 点 M 关 于 直 线/：2x+y-5=的 对 称 点。的 坐 标 是【答 案】（3,4）【分 析】设 出 点 M 关 于 直 线/：2x+V-5=的 对 称 点。的 坐 标，根 据 对 称 的 几 何 性 质 列 出 方 程 组,即 可 求 得 答 案.详 解】设 点（T，2）关 于 直 线 2x+y-5=0 的 对 称 点 Q 的 坐 标 为（。力），b-2 _ 1则 l”（T）,解 得=3,b=4,故 点 时 关 于 直 线/：2x+y-5=0 的 对 称 点 Q 的 坐 标 是 3 4）,故 答 案 为：3 4）6.已 知 直 线 4：4X+N=0,/2：
5、mx+y=0,4：2x-3加 j，=4,若 它 们 不 能 围 成 三 角 形，则?的 取 值 所 构 成 的 集 合 为【答 案】6J【详 解】通 过 三 条 直 线 两 两 平 行 或 重 合，以 及 三 条 线 经 过 同 一 点 计 算 掰 的 取 值 即 可.【点 睛】当 4与 2平 行 或 重 合 时，加=4,当 4与 4 平 行 或 重 合 时，4x（-3?）=2,得 机 一 飞,当 4 与 4 平 行 或 重 合 时，切 x（_3?）=2,此 时 无 解；j2x-3my=4(_ 4_ 4？当 三 条 线 经 过 同 一 点 时，联 立 1 犹+得 2+3/2+3 川,(4_ 4
6、m 4X 4 4m 0将(2+3机 2 2+3m2)代 入 4x+y=0 得“2+3机？-2+3川 一,解 得?=4故 用 的 取 值 所 构 成 的 集 合 为 故 答 案 为:7.方 程/+(8$。)丁=1,。(0,兀)表 示 的 曲 线 可 能 为 _(填 序 号)两 条 直 线；圆；椭 圆；双 曲 线【答 案】【分 析】根 据 夕 4)，讨 论 cos。取 不 同 范 围 内 的 值 时，方 程 表 示 的 曲 线 类 型，即 可 得 答 案.【详 解】因 为 9e(，*),所 以 cos6e(T,l),当 cos9(0,l)时，/+(cose)V=l即 cos,方 程 表 示 椭 圆
7、；x2+=1,!o COS0当 cose(-1,0)时，x2+(cos)/=lap 3，方 程 表 示 双 曲 线；当 cos6=时，x2=,:.x=+1t方 程 表 示 两 条 直 线，由 于。(0,7T),COS，H l,故 X?+(COS)r=1 不 可 能 表 示 圆，故 答 案 为：.工+2=18.己 知 产 是 椭 圆 4+一 上 的 一 点，片、月 是 椭 圆 的 两 个 焦 点，且 N 耳 产 工=60、则 月 桃 的 面 积 是.皂【答 案】3【分 析】利 用 椭 圆 的 定 义、余 弦 定 理 求 出 户 用 1艺 1的 值，再 利 用 三 角 形 的 面 积 公 式 可
8、求 得 片 即 的 面 积.X2 2 _-F y=r【详 解】在 椭 圆 4 中，。=2,b=,C=J3,由 椭 圆 的 定 义 可 得 陶+陶=2。=4,I 片 闾=2色在 平 片 中,N/7”=60”，由 余 弦 定 理 可 得 12=1 产 闽 2=|S+|P周 2_2|尸 用.归 用 cos6（r=（S|+|P周）2-3归 剧.|尸 国=16-3阀 卜 朋|,解 得 囱.附 K,因 此 S-；|呐 附 回 60”邛 正 故 答 案 为：3.【点 睛】结 论 点 睛：已 知 耳、乃 是 短 轴 长 为 筋 的 椭 圆 C 的 两 个 焦 点，P 为 椭 圆 C 上 一 点，且 M=e,则
9、 的 面 积 为 出 飞 眩 9.带 有 编 号 1、2、3、4、5 的 五 个 球，放 进 不 同 的 4 个 盒 子 里，每 盒 至 少 一 个，则 共 有 一 种 不 同 放 法.【答 案】240【分 析】先 选 出 2 个 球，分 成 4 组，再 放 进 4 个 盒 子 即 可.【详 解】五 个 不 同 的 球，放 进 不 同 的 4 个 盒 子 里，每 盒 至 少 一 个，共 有 C；A：=240种 不 同 的 放 法.故 答 案 为：240.10.若 A、8 是 抛 物 线 V=4 x 上 的 不 同 两 点，弦“8（不 平 行 于 歹 轴）的 垂 直 平 分 线 与 x轴 相 交
10、 于 点 尸（4）,则 弦 A B 中 点 的 横 坐 标 为.【答 案】2【分 析】设 出 点 4 8 的 坐 标，再 求 出 弦 的 垂 直 平 分 线 的 方 程，将。）代 入 计 算 作 答.【详 解】设 点 A、8 的 坐 标 分 别 是 区，凹）、。2，%）（工 产%）,则 疗=4为，=4 2两 式 相 减 得（%+%）（乂 _%）=4（再 _），因 x尸 2,即 有 必+%工 0,左=Z O=_=2设 直 线 8 的 斜 率 是 左，弦 N 8 的 中 点 是.（如，加）,则 占 F 必+%,从 而 48 的 垂 直 平 分 线，的 方 程 为 2，,又 点 尸（4）在 直 线/
11、上，所 以 f 一 一 彳”“），而 坨 叫 解 得 2,弦 中 点 的 横 坐 标 为 2.故 答 案 为：211.3 个 男 生 和 3 个 女 生 排 成 一 排，要 求 男 生 互 不 相 邻，女 生 不 全 相 邻，则 不 同 的 排 列 方 法 有 _ 种.【答 案】144【分 析】考 虑 三 男 三 女 均 不 相 邻，与 3 男 不 相 邻 且 3 女 中 有 2 女 相 邻 两 种 情 况，进 而 根 据 排 列 组 合 方 法 求 得 答 案.【详 解】若 3 男 3 女 均 不 相 邻，则 先 排 男 生，出 现 4 个 空 位，进 而 将 女 生 排 入 前 3 个 或
12、 后 3 个 空 位,有 A；(2A；)=7 2种 情 况；若 3 男 不 相 邻，3 女 中 有 2 女 相 邻，出 现 4 个 空 位，进 而 将 女 生 排 入 中 间 2 个 空 位，有 A；(C；A；A；)=7 2 种 情 况 所 以，一 共 有 144种 情 况.故 答 案 为：144.x I*I y 3=1 2.若 实 数 x,夕 满 足 4 9,且 I3x+2 y|的 最 大 值 为 3正，则 实 数 的 值 是.【答 案】3上【分 析】根 据 象 限 取 绝 对 值 符 号，根 据 的 几 何 意 义，然 后 数 形 结 合 可 得.%2/-1-1【详 解】当 x o，y 时
13、，曲 线 为 椭 圆 4 9 在 第 一 象 限 的 图 象，当 时，曲 线 为 双 兰 _片 _ 1 片 一 片=1曲 线 4 9 在 第 四 象 限 的 图 象，当 时，曲 线 为 双 曲 线 9 4 在 第 二 象 限 的 图 象，当 x O,y 时，原 方 程 无 实 数 解.片 一 片=1 _=1因 为 直 线 3x+2y=是 双 曲 线 4 9 和 9 4 的 渐 近 线，|3x+2y-彳 令 3x+2 y-f=0,贝 屈 表 示 曲 线 上 的 点 到 直 线 3x+2 y t=的 距 离，|3x+2 y T|3726因 为|3x+2y|的 最 大 值 为 3后，所 以 后 的
14、最 大 值 为 一 十 由 图 知，曲 线 上 到 直 线 3x+2y=距 离 最 大 的 点 在 椭 圆 4 9 上，设 椭 圆 上 动 点 坐 标 为(2 cos 0,3 sin 0),0 e(0,y)1 6 cos。+6 sin 0，近 sin(0+/由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 得 62+22 屈 136 廊 3 底|3x+2y-f|3 房 因 为 一 元 一 一 i F,所 以 V13 要 想 有 最 大 值 一 百 一，直 线 3x+2y=需 向 上 平 移，使 得 平 移 6A/26 3A/26 3726后 的 直 线 与 直 线 3x+2y=的 距 离 为 一 E 召
15、 一 一 一 百 一，3回 即 直 线 3*+2=与 直 线 3x+2y-f=的 星 巨 离 为,，t 3x/26所 以 配 13,解 得，=3及，二、单 选 题 13.圆 上 有 5 个 点，过 每 3 个 点 画 一 个 圆 内 接 三 角 形，则 一 共 可 以 画 的 三 角 形 个 数 为（）A.10 B.15 C.30 D.60【答 案】A【分 析】利 用 组 合 知 识 进 行 计 算 即 可.【详 解】圆 上 有 5 个 点，过 每 3 个 点 画 一 个 圆 内 接 三 角 形，属 于 组 合 问 题，故 一 共 可 以 画 的 三 角 形 个 数 为 C；=10.故 选：A
16、14.命 题 p：直 角 坐 标 系 中 动 点 尸（X/）到 定 点 厂（1）的 距 离 比 到 y 轴 的 距 离 大 1；命 题/动 点 P（xj）的 坐 标 满 足 方 程 V=4 x,则 是 夕 的（）A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 C.充 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【答 案】B【分 析】求 出 平 面 内 到 定 点/。)的 距 离 比 到 y 轴 的 距 离 大 1的 动 点 P 的 轨 迹 方 程，结 合 充 分、必 要 条 件 的 定 义 判 定 得 答 案.【详 解】解：/动 点 尸(X/)到 定 点 厂 9)的
17、距 离 比 到 y 轴 的 距 离 大 1.当 命 题 P 成 立 时，=国+1,当 x 0 时，J(x-1)-+V=f+l,两 边 平 方 并 整 理 得 了 二.当 x 2 0 时，J(x-1?+=x+1,两 边 平 方 并 整 理 得=4 x则 动 点 P 的 轨 迹 为 V=4 x或 y=O(x 0)：q：动 点 P G M 满 足 方 程 4 x,可 知 p 不 能 推 出 4,夕 能 够 推 出 p,则 p 是 g 的 必 要 不 充 分 条 件.故 选：B.冗 a R,a w+左 1(攵 c Z).1 5.已 知 2 设 直 线/:尸 xtana+m,其 中 件 0,给 出 下
18、列 结 论：直 线/的 方 向 向 量 与 向 量 3=(cos d sin a)共 线：0 a-a 若 4,则 直 线/与 直 线 y=x 的 夹 角 为 4.直 线 1与 直 线 xsin a-y cosa+=0(一 定 平 行：上 述 结 论 是 真 命 题 的 个 数 是()A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【答 案】B【分 析】对，写 出 方 向 向 量，由 向 量 共 线 与 坐 标 的 关 系 即 可 判 断；对，由 斜 率 及 倾 斜 角 的 关 系 求 得 两 直 线 倾 斜 角，即 可 求 得 夹 角；对，两 直 线 平 行 需 进 一 步 判 断 是 否 存 在
19、 重 合.【详 解】对 于，直 线/的 方 向 向 量 是 t a n a),它 与 向 量 万=(c o sa,sin a)共 线，是 真 命 题；0 a 对 于，当 4 时，直 线/的 斜 率 是 t a n a,倾 斜 角 是 a,冗 兀-C C直 线 y=x 的 斜 率 是 1,倾 斜 角 是 4,两 直 线 的 夹 角 为 4,是 真 命 题；对 于，直 线/的 斜 率 是=t a n a,在 V轴 上 的 截 距 是 加，n直 线 xsina-ycosa+=0 的 斜 率 是 g t a n a,且 在 N轴 上 的 截 距 是 cosa,nm=-当 8$。时,两 直 线 重 合，
20、不 平 行，是 假 命 题.综 上，真 命 题 的 序 号 是.故 选：B.16.一 个 平 面 a 斜 截 一 个 足 够 高 的 圆 柱，与 圆 柱 侧 面 相 交 的 图 形 为 椭 圆 M 若 圆 柱 底 面 圆 半 径 为 r,平 面 a 与 圆 柱 底 面 所 成 的 锐 二 面 角 大 小 为 I 2九 则 下 列 对 椭 圆 E 的 描 述 中，错 误 的 是 A.短 轴 为 2 r,且 与。大 小 无 关 B.离 心 率 为 c o s,且 与 r 大 小 无 关 nr1C.焦 距 为 2，tan。D.面 积 为 cos【答 案】B【分 析】根 据 椭 圆 的 性 质，结 合
21、 题 中 的 数 据 对，对 每 个 选 项 逐 一 分 析 即 可.【详 解】由 题 意 得 椭 圆 短 轴 长 2b=2厂，而 长 轴 长 随 夕 变 大 为 变 长 且“一 嬴 万，I j.2 八 e=-sin 0所 以 c n l a-T-r t a n，故 a,焦 距 为 2c=2八 an。，由 椭 圆 在 底 面 投 影 即 为 底 面 圆，则 cos。等 于 圆 的 面 积 与 椭 圆 面 积 的 比 值，所 以 椭 圆 面 积 为 cos。，综 上，A C D正 确，B 错 误,故 选:B.三、解 答 题 17.已 知 直 线 小 2-1=和 4：x-y+2=的 交 点 为 尸
22、，求：(1)以 点 P 为 圆 心，且 与 直 线 3x+4y+l=相 交 所 得 弦 长 为 1 2的 圆 的 方 程；9(2)直 线/过 点(L2),且 与 两 坐 标 轴 的 正 半 轴 所 围 成 的 三 角 形 面 积 为 2,求 直 线，的 方 程.【答 案】（x-3）-+3-5）2=72 x+y-3=0 或 4x+y-6=0【分 析】（I）求 出 两 直 线 交 点 P 的 坐 标，根 据 弦 长 求 出 所 求 圆 的 半 径，即 可 得 答 案；（2）设 出 所 求 直 线 的 方 程，求 出 与 坐 标 轴 的 交 点 坐 标，根 据 三 角 形 面 积 列 出 方 程，解
23、 方 程，即 可 求 得 答 案.【详 解】（1）直 线 4：2X-,T=和/2：A）+2=的 交 点 为 7,（2x-y-l=0 Jx=3由 x-y+2=0,得 1=5,即 尸（3,5）,13x3+4x5+11 30,a=-=6点 尸（2 到 直 线 3x+4 l=0 的 距 离 V32+42 5,设 所 求 圆 的 半 径 为，由 垂 径 定 理 得 弦 长/=2*-3 6=1 2,解 得 户=72,所 以 所 求 圆 的 方 程 为 a 7）?+3-5）2=7 2；9（2）设 过 点（L2）,且 与 两 坐 标 轴 的 正 半 轴 所 围 成 的 三 角 形 面 积 为 5 的 直 线/
24、的 斜 率 为 k,则 0,所 以/的 方 程 为 W 2=k（x-1）,即 far-+2=0,0）它 与 两 个 坐 标 轴 的 交 点 分 别 为（0,2-4），k,（2 e 匕=2则 2 k 2,解 得=-1或 左=-4,当 左=-1时，直 线/的 方 程 为 x+y-3=o,当 衣=-4 时，直 线/的 方 程 为 以+k 6=0,综 上，直 线/的 方 程 为 x+3=0或 4x+y-6=018.我 们 称（w N*）元 有 序 实 数 组（士 用,天）为 维 向 量，区|+|%|+“,+氏|为 该 向 量 的 范 数,已 知 维 向 量”=（再,当，x“），其 中 x,e-1,0,
25、1,=1,2,.,，记 范 数 为 奇 数 的 维 向 量 的 个 数 为 4,这 4 个 向 量 的 范 数 之 和 为 B.求 4 和 层 的 值;（2）当 为 正 偶 数 时，求 4 的 通 项 公 式.答 案 4=4,与=4A_ 与,一 2【分 析】（1）由 定 义 用 列 举 法 求 4、纥 即 可；（2）按 照 含 0 个 数 为 1,3,，n-l进 行 讨 论，可 得 4=C；J 2、C：.2,+C；.2,结 合（2+1）“、（2-1）”的 展 开 式，即 可 得 4 的 通 项 公 式.【详 解】（1）范 数 为 奇 数 的 二 元 有 序 实 数 对 有（1，），（7，），（
26、，1），（，T）,它 们 的 范 数 依 次 为 1,1,1,1,所 以 4=4,B2=4（2）当 为 偶 数 时，在 向 量“=（x”X2，“，x.）的 个 坐 标 中，要 使 得 范 数 为 奇 数，则 0 的 个 数 一 定 是 奇 数，所 以 可 按 照 含 0 个 数 为 1,3,，n-l进 行 讨 论：Z 的 个 坐 标 中 含 1个 0,其 余 坐 标 为 1或 T,共 有 C J 2个，每 个 Z 的 范 数 为 n-1；Z 的 个 坐 标 中 含 3 个 0,其 余 坐 标 为 1或 T,共 有 C 2”个，每 个 Z 的 范 数 为-3；的 个 坐 标 中 含 n-1个 0
27、,其 余 坐 标 为 1或-1,共 有 个，每 个 Z 的 范 数 为 1；所 以 4,=CJ 2T+C：2 T+C 丁,2,因 为(2+1)=C:2+CJ 2T+C/.2+C：,(2-1)=C：-2-C；-2T+，-得,14=C；.2T+C：.23+.+C：T.2=-19.如 图，O M，是 某 景 区 的 两 条 道 路（宽 度 忽 略 不 计，。“为 东 西 方 向），。为 景 区 内 一 景 点,Z 为 道 路 O M 上 一 游 客 休 息 区，已 知 tan/MON=-3,OA=6（百 米），。到 直 线。M，O N 的 距 离 6M分 别 为 3（百 米），丁（百 米），现 新
28、修 一 条 自 力 经 过。的 有 轨 观 光 直 路 并 延 伸 至 道 路 N于 点 B,并 在 8 处 修 建 一 游 客 休 息 区.（1）求 有 轨 观 光 直 路 力 5 的 长；（2）已 知 在 景 点。的 正 北 方 6 百 米 的 P 处 有 一 大 型 组 合 音 乐 喷 泉，喷 泉 表 演 一 次 的 时 长 为 9 分 钟，表 演 时，喷 泉 喷 洒 区 域 以 尸 为 圆 心，为 半 径 变 化，且/分 钟 时，尸=2而（百 米）（0 4 Y 9,.当 喷 泉 表 演 开 始 时，一 观 光 车 S（大 小 忽 略 不 计）正 从 休 息 区 8 沿（1）中 的 轨
29、道 创 以 叵（百 米/分 钟）的 速 度 开 往 休 息 区 4 间：观 光 车 在 行 驶 途 中 是 否 会 被 喷 泉 喷 洒 到，并 说 明 理 由.【答 案】（1）9匹；（2）喷 泉 的 水 流 不 会 洒 到 观 光 车 上，理 由 见 解 析【分 析】（1）建 立 如 图 平 面 直 角 坐 标 系，易 得（6）,直 线 N 的 方 程 为 广-3x,6,3）（%0）,由 点 到 直 线 距 离，求 出*，3）,从 而 直 线，。的 方 程 为 N=-（X-6）,联 产 方 程 组 求 出 8 的 坐 标，由 此 能 求 出 轨 道 的 长；（2）将 喷 泉 记 为 圆 尸，由
30、 题 意 得 P 0 9）,生 成/分 钟 时，观 光 车 在 线 段 上 的 点 C 处，则 BC=M,0/0）|3x0+3|6 厢 由 加 5,解 得%=3,所 以。G，3）.故 直 线 N Q的 方 程 为=_（x _ 6）,y=-3x(x=-3,由 L+y-6=0得 y=9,即 8(-3,9),故 AB=-3-6 川=9 6答：水 上 旅 游 线 的 长 为 90km.（2）将 喷 泉 记 为 圆 P,由 题 意 可 得 P（二 9）,生 成/分 钟 时，观 光 车 在 线 段 月 8 上 的 点 C 处，则 3c=,0r,对 e 9 恒 成 立，即 PC?=（6-/丫+f 2=2/2
31、-12f+36 4at当，=时，上 式 成 立，zzn 0-|2a t+-6=6 垃-6当 e g，刃 时，t,I Ain,当 且 仅 当，=312时 取 等 号，因 为（0,1）,所 以 r）；S，-G）u（G,y）；存 在，（TO）.【分 析】（1）根 据 双 曲 线 的 定 义 即 可 求 得 方 程；（2）联 立 直 线 与 双 曲 线 方 程，转 化 成 方 程 有 解 问 题：（3）假 设 存 在 点 河，联 立 直 线 和 双 曲 线 整 理 成 二 次 方 程，根 据 正 血=0结 合 韦 达 定 理 求 解.【详 解】因 为 耳（O）,乙（2,0）,点 尸 满 足|尸 用-|
32、阴|=2 0）所 以 轨 迹 r 的 方 程：3_ Z 八 X2 _ 2 L=1（2）斜 率 为 左 的 直 线/过 点 工，直 线 方 程 为、=6 一 2）,代 入 3,3厂 Z-4x+4）3=0 口 口（3 卜？+4&4 3=0天 3 n人 才 飞 丁 珀 x x、7，即 尸 有 两 个 不 等 正 根 不 应，3-公 N OA=164-4（3-Jl2）（-4A:2-3）04k2八 xt+x2=一-4公 一 3 八 x,x.=-0 3-k24公 由 3-公 0 2 2-0得 人 3,当 无 3时，3-k2“=16/-4（3-公）（_4公-3）0即 不 等 式 组 的 解：户 3所 以“3
33、-6（也 必）（3）假 设 存 在,设 点（见），国 凹 8。2,%）,使 例 _1,俯,/y2 T由（2）：斜 率 为/的 直 线/过 点 用，直 线 方 程 为=*（”-2）,代 入、一 5 一，3x2-左 2VG 2 4 X+4）-3=0 小|（3-/b 2+4%4-4 公 一 3=0天.人 丁 甘 p1 Hx x7，即 尸 有 两 个 不 等 正 根 玉 应，公 3A=16%4-4（3-左 2X-4左 2-3）04k2X.+X,=-71 2 3-k2-4 k2-33-k2例 _L必，所 以 M 4-M 8=0 G-见 必）G-机，必）=0,（占 一 机）（&-?）+%=（须 一 加）（
34、乙 一 加）+%（占 一 2）左（工 2-2）=0(k2+1卜 工 2-(242+加 入 网+工 2)+加 2+4A2=03 者 34k2、+加 2+4左 2=0-4%，-7/-3+8A4+4 8”?+3/一 公 川+2-4&4=o公（一 川+4+5）+3/一 3=,时 公 3恒 成 立，-m2+4加+5=0）在 第 一 象 限 的 交 点 为 A.曲 线 C 是 丁 一 丁 一（1W共/）和 为 十（/）组 成 的 封 闭 图 形.曲 线 C 与 X轴 的 左 交 点 为、右 交 点 为 N.二 一 片=1 占+己=1（1）设 曲 线 丁 一 下 一 与 曲 线 为 十 下 一（。）具 有
35、相 同 的 一 个 焦 点 F,求 线 段 的 方 程；（2）在（1）的 条 件 下，曲 线 上 存 在 多 少 个 点 S,使 得 NS=NF,请 说 明 理 由.（3）设 过 原 点 的 直 线/与 以 为 圆 心 的 圆 相 切，其 中 圆 的 半 径 小 于 1,切 点 为 7.直 线/与 曲 线 C在 第 一 象 限 的 两 个 交 点 为 P.。.当 1 1 2-27+2-=OTOP OQ对 任 意 直 线/恒 成 立,求，的 值.y=XT-1-W 茶 5 1 y=-(x+5)j-5 W 茎【答 案(1)-3 3 15 J 或.4 1 I).（2）一 共 2 个，理 由 见 解 析
36、;（3）答 案 见 解 析.【分 析】（1）先 求 曲 线 的 焦 点，再 求 点 A 的 坐 标，分 焦 点 为 左 焦 点 或 右 焦 点，求 线 段/尸 的 方 程；（2）分 点 S在 双 曲 线 或 是 椭 圆 的 曲 线 上，结 合 条 件，说 明 点 S的 个 数；（3）首 先 设 出 直 线/和 圆 的 1 1 2方 程，利 用 直 线 与 圆 相 切，以 及 直 线 与 曲 线 c 相 交，分 别 表 示 P Q,并 计 算 得 到 产 的 值.【详 解】（1）两 个 曲 线 相 同 的 焦 点，1+。=49-。，解 得：。=24,“2-1即 双 曲 线 方 程 是 24,椭
37、圆 方 程 是 49 24,焦 点 坐 标 是（一 5,），（5,）,联 立 两 个 曲 线 f 上=124x2 y2.7.24/49 24,得 5,5,即 7 245，-5当 焦 点 是 右 焦 点 时，尸 色）y=线 段 月 尸 的 方 程 4 x-3 32&55当 焦 点 时 左 焦 点 时，（一 5，）A7 245 TF（-5，。）,线 段 z尸 的 方 程 y 一。+5）5、茶?（2）可（7,0）,NF=2假 设 点 S在 曲 线 1 24 上 SN=7（X-7）2+/=（X-7）2+24（A-2-1）=V25x2-14x+50 1 1W W75单 调 递 增.SN 2 6所 以 点
38、 S不 可 能 在 曲 线 1x2所 以 点 S只 可 能 在 曲 线 打 上 上 11-222422224-+根 据 M=得（X-7）2+/=4,x2 y2,cfl61,481 49 24 可 以 得 到 v 25 25）当 尸 左 焦 点，NF=12,同 样 这 样 的 S使 得 NF=N S 不 存 在 所 以 这 样 的 点 S一 共 2 个（3）设 直 线 方 程 圆 方 程 为（x T）+y2=r2（0Yi）直 线 与 圆 相 切，所 以,公+/2 f，OT OT2=0D2-DT2=-7k2+1y=kx y2 n Xp2=1 1 C l k2x2y=l P 定=(l+/)xj=(?
39、+iy=kx*x 2 v2=xn2=4,1 _ 1 _ a+49Z一+=1 C Q+49%2=-=V A-49 a OQ(1+k)XQ 49。+1)。1 1 a-k2+49 2=1(4 左 2+49.)二 0芯+(t2+l)d+49(/+1 一(公+1)1 a+49。；-49(/+1)+2=OT 50 _ 2._ 5/2根 据 O P OQ 得 到 而 一 一-补 充 说 明：由 于 直 线 的 曲 线 有 两 个 交 点，受 参 数。的 影 响，蕴 含 着 如 下 关 系,2 1200a-r-7 W 1当 1176a+49-，存 在 7,否 则 不 存 在 T这 里 可 以 不 需 讨 论，因 为 题 目 前 假 定 直 线 与 曲 线 c 有 两 个 交 点 的 大 前 提，当 共 焦 点 时 I 35 Ju(O,l)f=存 在 72 4 0 八-,135)不 存 在.【点 睛】关 键 点 点 睛：本 题 考 查 直 线 与 椭 圆 和 双 曲 线 相 交 的 综 合 应 用，本 题 的 关 键 是 曲 线 c 由 椭 圆 和 双 曲 线 构 成，所 以 研 究 曲 线 C 上 的 点 时，需 分 两 种 情 况 研 究 问 题.