2021-2022学年高二下学期期中考试（理科）数学试卷含解析.pdf

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1、2021-2022学 年 高 二 下 学 期 期 中 考 试(理 科)数 学 试 卷 学 校:姓 名：班 级：考 号：一、单 选 题 1.下 列 说 法 不 正 确 的 是 A.系 统 抽 样 是 将 差 异 明 显 的 总 体 分 成 几 部 分，再 进 行 抽 取 B.分 层 抽 样 是 将 差 异 明 显 的 几 部 分 组 成 的 总 体 分 成 几 层，然 后 在 每 个 层 中 按 照 所 占 比 例 随 机 抽 取 C.简 单 随 机 抽 样 是 一 种 逐 个 抽 取 不 放 回 的 抽 样 D.系 统 抽 样 是 将 总 体 进 行 编 号，等 距 分 组，用 简 单 随 机

2、 抽 样 法 在 第 一 组 中 抽 取 第 一 个 样 本，然 后 按 抽 样 距 抽 取 其 他 样 本 2.已 知 a,b eR,a+3i=(b+i)i(i 为 虚 数 单 位)，则()A.a yb=-3 B.a=-l,b=3 C.a=-l,b=-3 D.a=T,b=33.已 知 函 数 f(x)的 定 义 域 为 R,则“存 在 M e R,对 任 意 x e R,均 有 是“/(x)有 最 大 值”的()A.充 分 而 不 必 要 条 件 B.必 要 而 不 充 分 条 件 C.充 分 必 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 4.如 图 是 某 高 三 学 生 1

3、4次 模 考 数 学 成 绩 的 茎 叶 图，第 1次 到 第 14次 的 考 试 成 绩 依 次 记 为 A，A?,，A&.将 14次 成 绩 输 入 程 序 框 图，则 输 出 的 结 果 是()1011121314A.862 43 5 6 82 3 4 62 1B.9/输 出/C.10 D.115.已 知 随 机 变 量 X 服 从 二 项 分 布 若 E(X)=2,(X)=p 贝 叱=()6.连 续 抛 掷 一 枚 质 地 均 匀 的 硬 币 3 次，每 次 结 果 要 么 正 面 向 上，要 么 反 面 向 上，且 两 种 结 果 等 可 能.记 事 件 A 表 示“3 次 结 果

4、中 有 正 面 向 上，也 有 反 面 向 上“，事 件 B 表 示“3次 结 果 中 最 多 有 1次 正 面 向 上”，事 件 C 表 示“3 次 结 果 中 没 有 正 面 向 上”，有 以 下 说 法:事 件 B 与 事 件 C 互 斥;P(A)=事 件 A 与 事 件 B 独 立;记 C 的 对 立 事 件 为 己,则 P)=，其 中 正 确 的 是()A.B.C.D.7.按 下 面 的 流 程 图 进 行 计 算.若 输 出 的 x=202,则 输 入 的 正 实 数 x值 的 个 数 最 多 为 A.5 B.4 C.3 D.28.在 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列%中

5、，q=1,且 有 乌 詈=16,求%=()A.2 B.4 C.64 D.1289.有 诗 云：“芍 药 乘 春 宠，何 曾 羡 牡 丹 芍 药 不 仅 观 赏 性 强，且 具 有 药 用 价 值.某 地 打 造了 以 芍 药 为 主 的 花 海 大 世 界.其 中 一 片 花 海 是 正 方 形，它 的 四 个 角 的 白 色 部 分 都 是 以 正 方 形 的 顶 点 为 圆 心、正 方 形 边 长 的 一 半 为 半 径 的 圆 弧 与 正 方 形 的 边 所 围 成 的（如 图 所 示）.白 色 部 分 种 植 白 芍，中 间 阴 影 部 分 种 植 红 芍.倘 若 你 置 身 此 正

6、方 形 花 海 之 中，则 恰 好 处 在 红 芍 中 的 概 率 是（）10.点 M是 棱 长 为 3 的 正 方 体 ABC。-ABC。中 棱 AB的 中 点，CN=2NCX,动 点 P在 正 方 形 A4QR（包 括 边 界）内 运 动，且？瓦 面。M N,则 PC的 长 度 范 围 为（）A.而,B.p,V19 C.2 G M D.而 11.AABC的 内 角 4,8,7所 对 的 边 分 别 为。,仇。.已 知/72+0）,P（分 3）=0 9,则 P（l“2）=.14.在 长 方 体 A8CO-A8 c A 中，已 知 A8=1,B C=B B 2,在 该 长 方 体 内 放 置

7、一 个 球，则 最 大 球 的 体 积 为.15.（x-2 y）（x-y 的 展 开 式 中 工 2 的 系 数 为.（用 数 字 填 写 答 案）2 X+a x 1,则”的 取 值 范 围.三、解 答 题 17.中 华 人 民 共 和 国 道 路 交 通 安 全 法 第 47条 的 相 关 规 定：机 动 车 行 经 人 行 横 道 时，应 当 减 速 慢 行；遇 行 人 正 在 通 过 人 行 横 道，应 当 停 车 让 行，俗 称“礼 让 斑 马 线”，其 中 第 90条 规 定：对 不 礼 让 行 人 的 驾 驶 员 处 以 扣 3 分，罚 款 50元 的 处 罚.如 表 是 某 市

8、一 主 干 路 口 监 控 设 备 所 抓 拍 的 5 个 月 内 驾 驶 员 不“礼 让 斑 马 线”行 为 统 计 数 据：月 份 1 2 3 4 5违 章 驾 驶 员 人 数 120 105 100 95 80（1）请 利 用 所 给 数 据 求 违 章 人 数 y 与 月 份 x 之 间 的 回 归 直 线 方 程，=队+机（2）预 测 该 路 口 10月 份 的 不“礼 让 斑 马 线”违 章 驾 驶 员 人 数.参 考 公 式：b=-,=Z）i=参 考 数 据:2（%.）（%一 亍）=-90,（七 可=10.1=1（=118.第 七 次 全 国 人 口 普 查 数 据 显 示，我

9、国 60岁 及 60岁 以 上 人 口 已 达 2.64亿，预 计“十 四 五”期 间 这 一 数 字 将 突 破 3 亿，我 国 将 从 轻 度 老 龄 化 进 入 中 度 老 龄 化 阶 段.为 了 调 查 某 地 区 老 年 人 生 活 幸 福 指 数，某 兴 趣 小 组 在 该 地 区 随 机 抽 取 40位 老 人（其 中 男 性 20人,女 性 20人），进 行 幸 福 指 数 调 查，规 定 幸 福 指 数 越 高 老 年 生 活 越 幸 福，幸 福 指 数 大 于 或 等 于 50的 老 人 为 老 年 生 活 非 常 幸 福，反 之 即 为 一 般 幸 福.调 查 所 得 数

10、 据 的 茎 叶 图 如 图:男 性 老 人 女 性 老 人 8 9 7 59 85 9 7 3 18 7 5 4 27 2 14(1)根 据 茎 叶 图 31234567己 成 3 41 5 5 81 2 4 5 81 1 7 8 92 5 63卜 列 2x2列 联 表；一 般 幸 福 非 常 幸 福 合 计 男 性 20女 性 20合 计 40(2)通 过 计 算 判 断 能 否 有 90%的 把 握 认 为 老 年 人 幸 福 指 数 与 性 别 有 关？n(ad-hcY*附：K=,其 中-a+b+c+d.(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)尸(K f 务)0.15 0.10 0.0

11、5 0.025k。2.072 2.706 3.841 5.02419.已 知 椭 圆 C：&+=l(a%0)的 离 心 率 为 母，椭 圆 C 的 左、右 焦 点 分 别 为 6,%，点 尸(4,2),且 百 工 的 面 积 为 2面.(1)求 椭 圆 C 的 标 准 方 程；过 点(2,0)的 直 线/与 椭 圆 C 相 交 于 A,8 两 点，直 线 R 4,尸 8 的 斜 率 分 别 为 勺，右,求 用“的 取 值 范 围.20.已 知 函 数/(x)=ax+cosx(04xK；T,qR)(1)当 时，求/(X)的 单 调 递 增 区 间：23(2)若 函 数/(1)恰 有 两 个 极

12、值 点，记 极 大 值 和 极 小 值 分 别 为 M、加，求 证：f x=3+3f21.已 知 直 线/的 参 数 方 程 为。为 参 数)，以 坐 标 原 点 为 极 点，X轴 的 正 半 y=-2+2t轴 为 极 轴，建 立 极 坐 标 系，曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 p2+3p2sin24=0.(1)求 直 线/的 直 角 坐 标 方 程 和 曲 线 C 的 普 通 方 程；(2)若 点 尸 为 直 线/上 的 动 点，点 Q 是 曲 线 C 上 的 动 点，求|尸。|的 最 小 值.22.已 知 函 数 f(x)=2x-4|+|x+l|.求 不 等 式 7(x)21的 解

13、 集；设 g(x)=/(x)Tx-2|,若 g(x)的 最 小 值 为 实 数 a也 c均 为 正 数，且 a+A+c=m；求，的 最 小 值.a b c参 考 答 案:1.A【解 析】根 据 简 单 随 机 抽 样，系 统 抽 样，分 层 抽 样 的 概 念，可 得 结 果.【详 解】A选 项 错 误，系 统 抽 样 是 将 总 体 进 行 编 号，等 距 分 组，用 简 单 随 机 抽 样 法 在 第 一 组 中 抽 取 第 一 个 样 本，然 后 按 抽 样 距 抽 取 其 他 样 本 所 以 A选 项 不 对 故 选：A【点 睛】本 题 考 查 简 单 随 机 抽 样，系 统 抽 样，

14、分 层 抽 样 的 概 念，属 基 础 题.2.B【分 析】利 用 复 数 相 等 的 条 件 可 求 4,6【详 解】a+3i=l+历,而 b为 实 数,故 a=-l,b=3,故 选：B.3.B【分 析】根 据 最 大 值 的 定 义，结 合 充 分 性、必 要 性 的 定 义 进 行 判 断 即 可.【详 解】只 有 当 mMeR,V xeR,且 叫 e R,使 得/(%)=M,这 时/(x)有 最 大 值，反 之，若“X)有 最 大 值，则 存 在 A/e R,对 任 意 x e R,均 有 成 立.所 以 函 数“X)的 定 义 域 为 R,则 存 在 M w R,对 任 意 x w

15、R,均 有 是“x)有 最 大 值”的 必 要 不 充 分 条 件.故 选：B4.D【分 析】算 法 的 功 能 是 计 算 学 生 在 14次 数 学 考 试 成 绩 中，成 绩 大 于 等 于 120的 次 数，根 据 茎 叶 图 可 得 成 绩 大 于 等 于 120的 次 数，即“值.【详 解】解：由 程 序 框 图 知：算 法 的 功 能 是 计 算 学 生 在 14次 数 学 考 试 成 绩 中，成 绩 大 于 等 于 120的 次 数，由 茎 叶 图 得，在 14次 测 试 中，成 绩 大 于 等 于 120的 有：123、125、126、128、132、133、134、136、

16、139、142、141 共 11 次，二 输 出 的 值 为 11.故 选：D.【点 睛】本 题 借 助 茎 叶 图 考 查 了 循 环 结 构 的 程 序 框 图，根 据 框 图 的 流 程 判 断 算 法 的 功 能 是 关 键，属 于 基 础 题.5.C【分 析】由 随 机 变 量 X 服 从 二 项 分 布 8,p),结 合 期 望 及 方 差 的 公 式 运 算 即 可 得 解.【详 解】由 随 机 变 量 X 服 从 二 项 分 布 B(.4又 夙 X)=2,(X)=-,4所 以 叩 二 2,np(l-p)=解 得：p=g,故 选：C.【点 睛】本 题 考 查 二 项 分 布 与

17、次 独 立 重 复 试 验 的 模 型，运 用 二 项 分 布 的 期 望 及 方 差 的 公 式 运 算 即 可 求 解，属 于 基 础 题.6.D【分 析】事 件 B 包 含 事 件 C 可 判 断，利 用 对 立 事 件 的 概 率 求 法 可 判 断，根 据 相 互 独 立事 件 的 定 义 可 判 断，利 用 条 件 概 率 公 式 求 解 可 判 断.【详 解】事 件 8,C 可 能 同 时 发 生，错 误；P(A)=l-(g)x2=1,正 确；+C；x/=g,尸(A8)=C；x|=P(A)P(8),故 A 与 8 独 立 正 确;,、1 1/P(BC)C；x歹 3网 0=不=子

18、尸(同。)=1=7,故 正 确，1-8因 此 正 确.故 选：D.7.A【详 解】程 序 框 图 的 用 途 是 数 列 求 和，当 x100时 结 束 循 环，输 出 x 的 值 为 202：当 202=3x+l,解 得 x=67；即 输 入 x=67时，输 出 结 果 202.202=3(3x+l)+1,解 得 x=22；即 输 入 x=22时，输 出 结 果 202.202=3(3(3x+l)+1)+1.即 201=3(3(3x+l)+1),；.67=3(3x+l)+1,即 22=3x+l,解 得 x=7,输 入 x=7 时，输 出 结 果 202.202=3(3(3(3x+l)+1)+

19、1)+1.解 得 x=2,输 入 x=2 时，输 出 结 果 202.202=3(3(3(3(3x+l)+1)+1)+1)+1.解 得 x=；,输 入 x=g 时，输 出 结 果 202.共 有 5 个 不 同 的 x 值.故 答 案 为 A.8.C【分 析】根 据 等 比 数 列 的 通 项 公 式 列 出 方 程 求 出 公 比，即 可 求 解.详 解】设 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列%公 比 为 4 0,则 立 冬 二 1 6,即 中 铝 二 16,q+q q O+q）解 得 4=2,所 以=4/=2,=64,故 选：C9.A【分 析】设 正 方 形 的 边 长 为 2,分

20、 别 求 得 正 方 形 与 阴 影 部 分 的 面 积，结 合 面 积 比 的 几 何 撷 型,即 可 求 解.【详 解】由 题 意，设 正 方 形 的 边 长 为 2,可 得 以 正 方 形 的 顶 点 为 圆 心 的 圆 的 半 径 为 厂=1,可 得 正 方 形 的 面 积 为 S=2*2=4,阴 影 部 分 的 面 积 为 H=S-4 x；/户=4-%，根 据 面 积 比 的 几 何 概 型，可 得 恰 好 处 在 红 芍 中 的 概 率 是 故 选：A.10.B乃-4-=n-4=【分 析】建 立 空 间 直 角 坐 标 系，利 用 向 量 法 表 示 尸 点 坐 标 满 足 的 关

21、 系 式，进 而 求 得 P C 长 度 的 取 值 范 围.【详 解】建 立 如 图 所 示 空 间 直 角 坐 标 系，依 题 意 加 卜，*0）N（0,3,2）,设 平 面 D W N 的 法 向 量 为 3=（x,y,z）,，_ 3,ri-DM=3x+y=0 一-,、则|_ 2，,故 可 设=（1,一 2,3）,n-D N=3y+2z=0设 P（x,0,z）,0 x3,0z3,S,（3,3,3）,P=（x-3,-3,z-3）,由 于 PB平 面 O W N,所 以/即=x-3+6+3z-9=x+3z6=0,则 x=6 3z,06-3z3,lz2,C(0,3,0),|pc|=V X2+9

22、+Z2=7(6-3Z)2+Z2+9=710z2-36z+45-函 数 y=10z2-36z+45的 开 口 向 上，对 称 轴 为=-=j=1.8,所 以 y=10z2-36z+45在 1,1.8 上 递 减，在 1.8,2 上 递 增.J10 xl2-36xl+45=厢，110 x22-36x2+45=屈，V10 xl.82-36x1.8+45,所 以 P C 长 度 的 取 值 范 围 是 管,M.故 选：B11.B7T【分 析】利 用 余 弦 定 理 求 出 A=和 a=2,利 用 面 积 公 式 和 基 本 不 等 式 求 出 AA B C 的 面 积 的 最 大 值.【详 解】在 中

23、，由 余 弦 定 理，b2+c2-a2=b c B l c o s A=h+ca=11.2bc 2bc 2rr因 为 Ae(O,%)，所 以 A=1.+2 仁 2 2.2-Z,2由 余 弦 定 理，cosC+ccos3=2可 化 为：b-+c-=2,解 得：a=2（。=02ab 2ac舍 去）.因 为 2+H/=反，ffflika2=b2+c2-bc 2bc-bc=bc f BP fee 4（当 且 仅 当=c=2 时 取 等 号）.所 以 AABC的 面 积 S=1 csin A L X4 X=6.2 2 2故 选：B12.A【分 析】由 已 知 条 件 得 出 心 8=A AC，结 合 斜

24、 率 公 式 可 求 得 实 数”?的 值.【详 解】由 于 A（2,3）、B（3,2）、C（%）三 点 共 线，3+2 tn 3.则 配=L，即-2-31 1,0，解 得 加=不，+2 2故 选：A.13.0.4#-5【分 析】根 据 正 态 分 布 的 对 称 性 进 行 求 解.【详 解】由 正 太 分 布 的 对 称 性 可 知：2）=1二 2 0二;（I）=04故 答 案 为：0.414.-#-n6 6【分 析】根 据 给 定 条 件 求 出 长 方 体 内 置 球 的 最 大 半 径，再 利 用 球 的 体 积 公 式 计 算 即 得.【详 解】在 长 方 体 A B C Q-A

25、4 G R 中，AB=,BC=BB=2,则 长 方 体 内 最 大 球 只 能 与 平 面 A D R/和 B C C g 相 切，此 时 球 的 直 径 为 I,所 以 长 方 体 内 置 球 的 体 积 最 大 值 为 V=丫=工 故 答 案 为：J615.-64【分 析】先 求(x-y 展 开 式 的 通 项 公 式 q+1=C；x8Y(-y),0V左 4 8,进 而 得 当 Z=7时 和 当&=6时 的 项，再 根 据 乘 法 原 则 计 算 即 可 得 答 案.【详 解】解：由 二 项 式 定 理 得(x-y 展 开 式 的 通 项 公 式 为：加 产 或 产(-y,O W 左 W8

26、,故 当 k=7时，7；+1=Cjx(-y)7=-8 当=6时，71=CX2(-J)6=28X2/,所 以(x-2#(x-y)8 的 展 开 式 中/丁 的 项 为：x)+(,2 y),28x2/=-64x2/,故(*-2)，乂 了 一 日 8的 展 开 式 中 的 系 数 为：_64.故 答 案 为：-64【点 睛】本 题 考 查 二 项 式 定 理 的 运 用、求 指 定 项 的 系 数，考 查 逻 辑 推 理 能 力、运 算 求 解 能 力.本 题 解 题 的 关 键 在 于 根 本 就 通 项 公 式 求 得 当 女=7 时，产 C；x(-旧=-8k 7,当=6时,Q 尸=28/76,

27、再 结 合 乘 法 运 算 即 可.【分 析】根 据 分 段 函 数，当 XW1时，有 力 僦 20成 立，利 用 均 值 不 等 式 求 得 其 最 小 值，当 X1时，f(x)=ex-alnx0,转 化 为 4 4 r 恒 成 立，令(x)=卢，用 导 数 法 求 得 其 最 nx Inx小 值，然 后 两 种 情 况 取 交 集.【详 解】当 工 41时，“力=言+。之 0等 价 于/(%)疝 了 0,/、2x 2 2 1业 八 4 J(X)=-T+。=7-尸+。=一 一+。当 x0 时，八 X2+4 r+4-2/4 2X4 1 i当 且 仅 当 x 则 X=-2时，等 号 成 立，则/

28、()*=-5 得 2 于 当 x l时，/(工)二 幺 一。111工 之 0等 价 于。4 言 恒 成 立，令 3=1，则(”=enx-e(lnx)2e(lnx-l)(lnx当 x e 时，(x)O,/?(x)递 增，当 1cxe时，递 减,x=e时，a(x)取 得 最 小 值/?(e)=e2,a/?(x)min=e。,综 上：。的 取 值 范 围 是；，片.故 答 案 为：卜 2.17.(l)y=9x+127;(2)37.【分 析】(1)求 出 样 本 的 中 心 点，再 利 用 最 小 二 乘 法 公 式 计 算 作 答.(2)利 用(1)的 结 论 计 算，即 可 求 出 预 测 值 作

29、 答.(I)-1+2+3+4+5x=-=120+105+100+95+80=100),_9 0 _于 是 得 6=I、-=-=-9,含=y-凯=100+9x3=127,Z(七 7)-/=1所 以 违 章 人 数 y 与 月 份 X 之 间 的 回 归 直 线 方 程 为 y=-9X+127.(2)由(1)令 x=10,得：=90+127=37,所 以 该 路 口 10月 份 的 不“礼 让 斑 马 线”违 章 驾 驶 员 人 数 约 为 37.18.(1)答 案 见 解 析(2)有 90%的 把 握 认 为 老 年 人 幸 福 指 数 与 性 别 有 关【分 析】（1）根 据 茎 叶 图 中

30、的 数 据 进 行 整 理，填 入 列 联 表 即 可;（2）根 据 题 目 数 据，独 立 性 检 验 的 计 算 过 程 计 算 求 解 即 可.（1）2x2列 联 表 如 下：一 般 幸 福 非 常 幸 福 合 计 男 性 16 4 20女 性 11 9 20合 计 27 13 40(2)依 题 意 得,40 x(16x9-1 lx4)220 x20 x27x13a 2.849 2.706,有 90%的 把 握 认 为 老 年 人 幸 福 指 数 与 性 别 有 关.2 219.(1)J 匕=18 2(2)4 k2,1【分 析】（1）利 用 题 设 条 件 可 以 列 出 一 组 关 于

31、，C的 方 程，解 出。，。即 得 所 求（2）分 情 况 讨 论，当 直 线/的 斜 率 不 存 在 时，此 时 当 直 线/的 斜 率 存 在 时，设 直 线/的 方 程 为 丁=3+2,4（%,弘）,3（%，力），以 机 为 参 数 表 示 尢 自，求 其 取 值 范 围 即 得 所 求（1）设 椭 圆 C：5+=1（“/,0）的 焦 点 为 6（-GO）,（c,0）,由 点 P（4,2）,且 PE工 的 面 积 为 2#，可 得;x2cx2=2,解 得 c=卡，又 由=，可 得 a=2/2，所 以/?=y/a2-c2=5/2.a 2所 以 椭 圆 C 的 标 准 方 程 为 三+二=1

32、.8 2（2）当 直 线/的 斜 率 为 0时，4 卜 2a,0）,4 2 夜,0）2 2 1财 当 直 线/的 斜 率 不 为 0时，设 A（X，yJ,8（孙 力），直 线/的 方 程 为 x=my+2,由：整 理 得（加 2+4）;/+4冲 _4=0,X=+2/I-47n-4则 X+M=1 7，乂 必=r 1，加+4 nr+4又 X=tny+2,x2=my2+2,所 以 仁 左 2=2 f 2-%4-X|4 x?（2-、）（2-必）（2-冲）（2-冲 2）=4 2(。+”)+),%=4 2 Q?+J+Q 2+j一 4-2 心+%)+，-4 _ 2(+V/n2+4 J in2+4 J加？+2

33、加+3 1 2机+1=-+-,2nr+4 2 2m2+4令，=2机+1,当，=0 时，履 也 2=3；.八 r t J.k,lk-z y=1 I-r-2-t-=-1 H-2当 U O 时，-2 f2-2r+9 2,9 cn设，）=/+,2,0,则 由 对 勾 函 数 性 质 可 知/（f 8U4收）,2 2于 是 9 9-+-2 t+-2 4故 纸 2e；g）u 综 上：kt-k2e 1,12。（呜）和 信(2)证 明 见 解 析.【分 析】(1)利 用 导 数 讨 论 函 数 的 单 调 性 即 可 求 解；(2)根 据 极 值 点 的 定 义 可 得 方 程 a-sinx=O有 两 个 不

34、 相 等 的 实 根 为、x2(x,x=g 或?，2 3 3当 x e(0,y)时，,f(x)0,/(x)单 调 递 增，当 x呜 争 时，_f(x)0,/(x)单 调 递 增，所 以 函 数 的 单 调 递 增 区 间 为(0,5和(耳,左)；/(x)=or+cosx=r(x)=a-sinx,因 为 函 数/(x)恰 有 两 个 极 值 点，所 以 方 程/(x)=a-sinx=0有 两 个 不 相 等 的 实 根，设 为 百、且 可(x；,当 0 4 x 4 乃 时，函 数 V=sinw图 象 关 于 直 线 x=1 对 称，则 入+/=4，即 sin M=sinx2=a,因 为 OWxW

35、zr,所 以 w(O,l),当 X(O/)时，f(x)0,/(x)单 调 递 增，当 工(不 工 2)时，/(%)o,/(司 单 调 递 增，所 以 4 当 分 别 是 函 数 的 极 大 值 点 和 极 小 值 点，即 M=/(%)=ox+cos%,tn=/(x2)=ax2+cos x2,于 是 有 2M-m=2(or,+cosx,)-(ax2+cosx2),因 为 斗+工 2=4，所 以 42=万 一%，所 以 2A/7 77=3O+3COSX-an,而 sin%=a,所 以 2M-m=3xx sin%+3COSE 4 sin%,h(x)=3xsinx+3cosx-sinx,0 x fTT

36、 TT贝 i j”(x)=(3X-TT)COS x,令 hx)=0=x=或 5,当 0 x q 时，(x)0,/?(x)单 调 递 减，jr TT当 工 x 0,(x)单 调 递 增，3 2所 以 当 x=(时，函 数 有 最 小 值，即/?(x)而=呜)=|，3 3因 此 有 h(x)-,即 2M-m.2 2【点 睛】在 解 决 类 似 的 问 题 时，要 熟 练 应 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性、极 值 与 最 值，要 掌 握 极 值 与 极 值 点 的 定 义，缕 清 极 值 点 与 方 程 的 根 之 间 关 系，善 于 培 养 转 化 的 数 学 思 想，学 会 构 造

37、 新 函 数，利 用 导 数 研 究 新 函 数 的 性 质 即 可 解 决 问 题.21.(l)2x 3 12=0,-+y2=14(2)21113【分 析】(1)直 接 消 去 参 数 f,可 得/的 直 角 坐 标 方 程，利 用 极 坐 标 与 直 角 坐 标 的 互 化 公 式 可 求 得 曲 线 c 的 普 通 方 程；(2)求 出 曲 线 C 的 参 数 方 程，设 Q(2cos6,sin。)，然 后 利 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 表 示 出 点。至 U直 线 2x-3y-12=0 的 距 离，化 简 变 形 后 可 求 出 其 最 小 值(1)f x=3+3/,由。

38、,(,为 参 数)，消 去 参 数 E,可 得/的 直 角 坐 标 方 程 为 2x-3y-12=0.y=-2+2/由 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 02+3，sin2-4=0 及 psin0=y,可 得 V+9+3,2-4=o,整 理 得 上+/=1,4所 以 曲 线 C 的 普 通 方 程 是 E+y 2=l.4(2)、fx=2cos。直 线/的 普 通 方 程 为 2x-3y-12=0,曲 线 C 的 参 数 方 程 为.(，为 参 数，0。2乃).y=sin 夕 设 Q(2cose,sin 夕),则 点。到 直 线 2x-3y-12=0 的 距 离 d=|4cose-3sin12

39、|=15cos(。+协-1斗=12-5cos(0+9)(其 中 tan仍=之)V13 V13 屈、4 当 COS(，+Q)=1 时，min=今 早 所 以 同 1 小 噜 22.(1)(-,1U*+8)(2)3【分 析】(1)分 段 取 绝 对 值 再 求 解 即 可;(2)根 据 绝 对 值 的 三 角 不 等 式 可 得 m=3,再 根 据 基 本 不 等 式 求 解 最 小 值 即 可.(1)/(x)4,即|2 x-4|+|x+l 已 4.7当 了 之 2时，2 x-4+x+l3 4,解 得 当 一 I 4,询 用 得 又 一 l v x v 2,所 以 一 I v x K l；当 尤(一 1 时，4-2 x-x-l 4,解 得 x 一 g,X x|(x-2)-(x+l)|=3,当 且 仅 当(X-2)(X+1)4 0,即 一 1 4 x 4 2时 取 等 号，所 以 8。)“而=3,即 m=3.所 以 I+Z,?+C=3o,1+71+-1=71(z+Z,?+1 1 1 a b c a c b C)-+-+-=-3+:+工+a b c 3 a b c)3 b a a c b c)3 3+2郎 1+2后“2自 斗 3,当 且 仅 当 1时，等 号 成 立,即*然 的 最 小 值 为 3.