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1、初中代数、几何所有最值问题一代数问题中的最值问题1、从-3,-2,-1,4,5中任取两个数相乘,所得积中最大值为。,最小值为6,求;的值?b.4答案:?2、若。,b,c都是大于1的自然数,且个 =252b,求的最小值?答案:42.解析:252b可以分成某数基的形式。252b=6X6X7 b,b=7,即a=6X7=42.X 即3、下面是按一定规律排列的一组数:第一个数:1-11+二f l2)2V /)3 r(_1产n_-|l+_ U+_ II1+.H+I T/4 J(7 2 J那么在第10个数,第11个数,第12个数中,最大数是?答案:第10个。解析:第个数是1-n2(+1)把=10,=11,=
2、12,=13分别代入得出答案。4、已知:说是整数,求满足条件的最小整正数 的值?答案:5解 析.2 0 n=4 X 5 X n,因为.20月是整数,20n是一个完全平方数,n的最小值为54、当(m+n)z+1取最小值时,求 -+相 的值?答案:0解析:(m+n)?+1取最小值,m+n=0时最小。再用特值法求出答案。5、设a=35。,6=440,c=53。,求a,6,c中最大和最小的是?答案:最大是6,最小时。解 析:350=35,O,440=44,O,53 0=53,v 44 3 5 5 3,a c二.b最大,c最小.6 已知正整数。,方,。(其 中 满 足ac=M+30,求a+b+c的最大值
3、和最小值。?答案:最大值是3 3,最小值是13.舟惭:v abc-ah=30,/.a/,(c-l)=5x61x30又为正整数,且a工b?.当a=5且c-l=6时有最小值。,a=5,b=l,c=7Q+b+c=3当 (。_1)=以30时有最大值,ab=30,c-=1a=30,b=1,c=2,.,.a+b+c=3 2 6x2+12x+107、求分式-的值的最小值?x2+2x+2统4解析:把分子与分母看成是两个二次函数,分别求出最小值在比商得出答案。8、已知三角形的三边a、b、c都是正整数,且a,b,c=60,(a.b)=4,(b.c)=3.求a+b+c的最小值?答案:31解析:由a,b,c=6O可知
4、,A,B,C的最小公倍数是6 0,6 0=2 X 2 X 3 X 5,由(a,b)=4可知,a,b的最大公约数是4,;.a=4,b=12,由(b,c)=3可知,b,c的最大公约数是3,c=15,且 a=4 b=12,c=15 能组成三角形。.,.a+b+c=319、2020年2月20 S,全 国19省市对口支援湖北的16个市,为援鄂的白衣天使骄傲。将176名医护逆行者分成甲乙两组,因感染人的不断增加,将从甲组抽出16名医护到乙组,这时乙组人数比甲组人数的m倍 还 多3 1人,求乙组原来至少有多少人?答案:131解析:这是带参数的二元一次方程组。设甲原来有x人,乙原来有y人,卜+y=176lv-
5、i6=a(v+16)+31整理得 用+1 Vx,y,m都是整数,.当m=5或29或144时此方程为整数。,.当m=5时,y值最小。最小值为131.9、有两个整数的和,差,积,商的和为1 4 4,求这两个数对有几种可能?这两数和的最小值是多少?这两数积的最大值是多少?答案:有7对(11,1 1)(一13,-1 3),(3,27),(-5,-4 5),(2,32),(4,-6 4)(-2,-2 8 8)。和最大值是3 4,积最大值是576.解析:设两数分别是x,y,由题意可知:(x +1)+(x-)+孙+L=1 4 4y整理得;3+1)2=1 X 3 2 x 4 2y分类讨论=1,3+1)2=1
6、4 4;y当t=9时3+1)2 =1 6y当士=1 6 时(y +l)2=9y当=1 4 4时3+1)2=1,解出四种情况得出答案。Y1 0 如果两个数x,歹满足x +y+3 =1 0-7-工 一 歹,求x +y的最小值。答案:一3解析:设、+=加,任根据缉对值地几何意R可得出答案。1 1 已知非负数x,yf z满足与=2 3 1=设卬=3 x +4 y+5 z,求卬的最大值和最小值?答案:最小值:1 9;最大值:3 5,3解析:题目中w含三个未知数,但这三个未知数满足一个等式,因此用换元法得出一个新的方程,将题目简化。1 2、已知实数x,yf求 7 =5/一4切+/4工+6的最小值和当它取最
7、小值时工与的值?答案:x =2,y=4f最小值:2解析:把右边进行配方成完全平方,利用非负数的性质来求最小值。1 3、已知a,b,c是三个非负数,并满足3Q+26+C=5,2Q+6-3c =1,设机=3a+b-7 c,记x为根的最大值,y为?的最小值。求中的值。a=7c-3解析:由条件组成方程组,解得a,6的值,代入m =3a+b-7 c,/=7-l l c3 7z n=3c-2.又a,b,c为非负数,故一一7 11当c =Z时,x-当c =2时,y=-:11 11 7 7平面几何中的最值问题:几何模型(代数几何化;两点之间线段最短;三角形三边关系);函数模型。几何模型:【几 何 数化求最值】
8、代1、如图,是 由9个等边三角形组成的装饰图,已知中间最小的三角形的边长为1 c m,现在要此图的外围镶一条彩带,问彩带最少要多长?答 案:30解析:AG=x转化成方程来解。【两点之间线段最短】1、如图,在一条船笔直的公路M N的同旁有两个新开发区A,B,已 知AB=10千米,直线AB与 公 路M N的夹角/A O N=3 0,新开发区B到 公 路M N的 距 离BC=3千米。求新开发区A到 公 路M N的距离。现从M N上某一点P处向新开发区A,B修两条公PA,PBo使 点P到新开发区A,B的距离和最短,请用尺规作图找出P的位置(保留作图痕迹,不写画法),并求出此时的最小值?答案:8千米将军
9、饮马模型求p点。PA+PB的最小值是14千米。解析:作AD_LMN与D点,利 用Rt 中30所对的直角边等于斜边的一半求出答案过B作HB _LM N,连 接A B 交M N与 点P,P点即为所求。PA+PB的最小值 就 是AB过A作A H _ L H B,垂 足 为H,根 据 三 角 函 数 可 知HB=5,HB =11,AH=5 KAB,=dAH 2+HB,=+11?=4=PA+PB【三角形三边关系】:1、如图、在A B C 中,A C=B C=2,/A C B=9 0,P 为B C 边上一定点,(不与点B,C 重 合),Q 为A B 边上一动点,设B P=a,(0 a/CB2+BP,2=V
10、 4+a2/.C Q +P Q =V 4+a22、在A A B C 中,Z A=15,A B 是定长,点D,E 分别在A B,A C 上运动,连接B E,E D,若B E+E D 的值最小值是2,求A B 的长。图1答案:A B=4解析:作B 关于A C 的对称点B,过B 作B D A B,交A C 于E。连接A B 由对称性可知A B=A B ,D B =D E+B E 性,/B A B =30 AB=AB=-=4s i n 30 3、如图,平行四边形A B C D 中,N B A D=60,A B=6,B C=2,P 为C D 边上的一动点,则*争。的最小值?答案;:3右解析:过作B H
11、_ L A D 的延长线与H 点。.,A B D C;./H D C=N A=60,.,.B H=s i n 60 X 6=3HP=sin 60 xDP=x DP,2BH=HP+BP=OP+PS=3V324、B M=6.P 西】如图,在正方形A B C D 中,A B=8,A C 与B D 交于0 点,N 是0 A 的中点,点M 在B C 上,且B I=6.P 为对角线上一点,贝 U P M-P N 的最大值是_ _ _ _.图1答案:2解析:找N 关于B D 的对称点N,连接M N 交B D 于P 点。根据题意易得;A N=O N=O N =N C=2V 2CNCM 2V2B C 8尤=-,
12、Z N C M8=NACB.“N CM iA C B,NM I AB,PM _LBCPM=tan 45 x MB=6NN CM=CNM=ZPN N=Z PNC=45NP=PN=4P M-P N =6-4=2【几何中面积最值】:本质是各种图形的面积公式,方法:转化成1、总面积等于部分面积和;2、转化成函数问题。1、如图,R t Z ABC 中,ZB=9 0 ,AB=4,BC=3,动点P从A以2 个单位每秒的速度向B运动,动点Q以1 个单位速度每秒从B向C 运动,当时间为多少时,四边形APQC 的面积最小?答案:1解析:此题所求面积是总面积(不变)-ap e Q的面积。要使此面积最小,只有三角形的
13、面积最大。设时间为,&BPQ=S PxBQ=-r2+2 z当仁一22 x(-1)=1 时,面积最大,此时四边形4 PQC 的面积最小。2,如图,平行四边形ABC D 中,AB=4,BC=3,ZBAD=1 2 0 ,E 为BC 上一动点,(不与B重合),作E F _ LAB与点F,设BE=x,AD E F 的面积为S,当E 运动到何处时,$有最大面积,最大值为多少?答案:E 与C 重 合 时(x=3),最大值为34解析:由题可知,s 与x是函数关系,故延长F E,D C 交于点G.F G 1 D G V ZBAD-1 2 O0,由三角函数可求得E F,D G 的长。S=-E FXDG=-X2+-
14、X2 8 8其中0 =OB-O r=-=-3 3 3【解析几何中的最值问题】:1、二次函数图像的最值;解题方法:在区间取两端;2、函数图像与几何图形中的最问题:值解题的核心:用解剖法各个击破(题中告诉啥就干啥)1、已知二次函数y=x?2 x+2 在t W xW t+1 时有最小值是t,求t 的值?答案:1 或2解析1:有题意可知:对称轴x=l,开口向上,当*丸+1 时,函数有最小值t.可得方程:t=(t+l)2 2 (t+1)+2此方程无解当对称轴x=l在t 与t+1 之间时,最小值t=l;当x在对称轴的右边时,y随x 的增大而增大,止 匕 时 x=t有最小值t,即t=t?-2t+2解得:t=
15、l 或2综合上述:t的值为1 或2.解析2:在区间取两端。当x=t是函数值最小为t,代入得t=t2 2t+2,解得t=l 或2,当乂丸+1 时代入得,方程无解。故答案是1 或2.4、已知二次函数Y=x?(m+1)x 5 m (m 为 常 数),在一1WXW3的范围内至少有一个x 的值使y 2 2,求m 的取值范围?答案:mW,2解析:把x=T或3代入方程得出答案。5、已知二次函数y=x?2h x+h,当自变量x 的取值范围在一l W x W l 时,函数有最小值n,求n的最大值。4公 案.4解析:此函数的对称轴是X=h.当h-l 时,X=-1 时最小。,n=l+3h W-2n=h2-2h2+h 0)上一动点,且满足NPBO=/POA,求AP的最小值?图1答案:25/5-2解析:由已知易知NBP0=90(定角),且0B=4(定线段),P点为动点,必作圆。,以0B为直径作圆O c连接AC交圆与P点即为所求的动点,Ac=IOC2+OA2=722+42=2后OP=OC=2,:.AP=CA-CP=2A/5-2