2022-2023学年上海市黄浦区高二年级上册学期期末数学试题含答案.pdf

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1、2022-2023学 年 上 海 市 黄 浦 区 高 二 上 学 期 期 末 数 学 试 题 一、填 空 题 1.已 知 必 表 示 两 个 不 同 的 平 面，加 为 平 面 内 的 一 条 直 线，贝 心 a _ L，是 的 条 件【答 案】必 要 不 充 分【分 析】根 据 直 线 和 平 面 的 位 置 关 系 以 及 充 分 必 要 条 件 的 定 义 可 判 断.【详 解】若 a，尸，加 与 面 尸 不 一 定 垂 直，若 加 上 夕，根 据 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 得 a*4，故 答 案 为：必 要 不 充 分.2.一 个 总 体 分 为 4 8 两 层，用 分

2、层 抽 样 方 法 从 总 体 中 抽 取 一 个 容 量 为 2 0的 样 本.已 知 B层 中 每 个 1个 体 被 抽 到 的 概 率 都 是 12,则 总 体 中 的 个 体 数 为.【答 案】240【分 析】根 据 分 层 抽 样 每 个 个 体 抽 到 的 概 率 相 等，即 可 求 出 结 论【详 解】因 为 用 分 层 抽 样 方 法 从 总 体 中 抽 取 一 个 容 量 为 2。的 样 本.1 1由 8 层 中 每 个 个 体 被 抽 到 的 概 率 都 为 内，知 道 在 抽 样 过 程 中 每 个 个 体 被 抽 到 的 概 率 是 五，2 0=240所 以 总 体 中

3、 的 个 体 数 为 故 答 案 为：240.3.己 知 数 据 再、X,毛 是 互 不 相 等 的 正 整 数，且 7=3,中 位 数 是 3,则 这 组 数 据 的 方 差 是【答 案】2【分 析】根 据 题 意 可 求 得 五 个 数 据，利 用 方 差 公 式 可 求 得 结 果.详 解 设 占 X2X3X4X5,则 3=3,又 因 为 数 据 是 互 不 相 等 的 正 整 数，所 以*=1 户 2=2,v x=3,x4+x5=9,X4=4,X5=52=1(x,-3)2+(x2-3)2+(x3-3)2+(x4-3)2+(X 5-3)=2故 答 案 为：2.4.若 正 四 棱 柱 的

4、底 面 边 长 为 1,用 与 底 面 48c o 成 60。角，则 4 G 到 底 面 A B C D 的 距 离 为.【答 案】8【分 析】确 定 4 a 到 底 面/8 C O 的 距 离 为 正 四 棱 柱 8 C O-4 4 G A 的 高，即 可 求 得 结 论.【详 解】.正 四 棱 柱 8 C C-4 4 G R,平 面 ABCDH平 面 4 4 G A,.4 G u 平 面，二./平 面/BCD,1 4 G 到 底 面 A B C D 的 距 离 为 正 四 棱 柱-4 4 G A 的 高 正 四 棱 柱 4 B C D-4 B C A 的 底 面 边 长 为 1,他 与 底

5、 面 A B C D 成 60。角，/.AA=/3故 答 案 为:5.某 学 校 有 学 生 1485人，教 师 132人，职 工 33人.为 有 效 预 防 甲 型 H1N1流 感，拟 采 用 分 层 抽 样 的 方 法 从 以 上 人 员 中 抽 取 50人 进 行 抽 查，则 在 学 生 中 应 抽 取 人.【答 案】45【分 析】根 据 分 层 抽 样 的 性 质，先 求 出 抽 样 比 例，进 而 可 求 出 结 果.50 _ 1【详 解】由 题 意 可 知：分 层 抽 样 的 抽 样 比 为 1485+132+33一 记,1485x=45所 以 学 生 中 应 抽 取 33,故 答

6、 案 为：45.6.过 正 方 形 N8C。之 顶 点 4 作 尸/，平 面/8 C O,若 P4=4 B,则 平 面 力 8尸 与 平 面 C O P 所 成 的 锐 二 面 角 的 度 数 为.【答 案】45。【分 析】将 四 棱 锥 补 成 正 方 体 即 可 求 解.【详 解】根 据 已 知 条 件 可 将 四 棱 锥 补 成 正 方 体 如 图 所 示：E p连 接 C E,则 平 面 C D P 和 平 面 C P E 为 同 一 个 平 面，由 题 可 知 PE_L平 面 5 C E,BE，C E u 平 面 BCE,PE 1 BE,PE 1.CE,又 平 面 4 8尸 八 和

7、平 面 CDP=尸 E,BE u 平 面 ABP,（7=平 面。）尸，N C E B 为 平 面 ABP和 平 面 C D P 所 成 的 锐 二 面 角 的 平 面 角，大 小 为 45。.故 答 案 为：45。.7.的 三 边 长 分 别 为 3、4、5,尸 为 平 面 力 8 c 外 一 点，它 到 三 边 的 距 离 都 等 于 2,则 产 到 平 面/8 C 的 距 离 是.【答 案】6【分 析】作 2 工 平 面/8 C 于,由 题 可 得。是 2 8 c 的 内 切 圆 圆 心，可 得 半 径,=1,进 而 即 得.详 解 如 图 力 8 C,AB=3,BC=4,AC=5 则”8

8、 C 为 直 角 三 角 形，作 0 1 平 面/8 C 于。，PD _L 4 B 于 D,P E 工 B C 于 E,PF 1.A C 于 F,连 接。，。瓦。尸，由 题 可 知 PD=PE=PF-2,故 0D=OE=OF,由 尸。工 平 面 ABC,AB U 平 面 ABC,所 以 P。2 又.4 8 1尸。，尸。1 1尸=,/）0 1=平 面/50。，尸。u 平 面 尸 0。，4 8 工 平 面 P。，。3 平 面 尸。，AB 0D,同 理 8C_L 0E,NC_L OF,故。是 的 内 切 圆 圆 心，设 其 半 径 为 厂，、；x3x4=；x(3+4+5)r所 以 r=0=l,所 以

9、 PO=-/22-i=75故 答 案 为：68.口 袋 内 装 有 一 些 大 小 相 同 的 红 球、黄 球、白 球，从 中 摸 出 一 个 球，摸 出 红 球 或 白 球 的 概 率 为 0.6 5,摸 出 黄 球 或 白 球 的 概 率 为 0.6,那 么 摸 出 白 球 的 概 率 为.【答 案】0.25【详 解】设 摸 出 白 球、红 球、黄 球 的 事 件 分 别 为“1，C,根 据 互 斥 事 件 概 率 加 法 公 式 尸（4+8）=尸（/）+尸（8）=0.65 尸（N+C）=P（N）+P（C）=0.6P（4+8+C）=P（Z）+P（8）+P（C）=l,解 得 P（N）=0.2

10、59.在 如 图 所 示 的 茎 叶 图 中，甲、乙 两 组 数 据 的 中 位 数 分 别 是 甲 89 12 57 8 5623456乙 94 58 2 63 57【答 案】45,46兀【详 解】1 0.如 图，在 长 方 体 8 8-4 8 C A 中，AB=BC=2,4。与 8 c 所 成 的 角 为 则 8 G 与 平 面 8B Q O所 成 角 的 正 弦 值 为【答 案】2#0.5【分 析】由 题 可 得 为 正 方 体，根 据 正 方 体 的 性 质 结 合 条 件 可 得 为 直 线 8 G 与 平 面 8B Q Q所 成 角，进 而 即 得.详 解 因 为 在 长 方 体

11、Z8C。-4 8（；中，4B=BC=2,上 下 底 面 为 正 方 形,7T连 接 则 8C/2,Q 与 8 G 所 成 的 角 为 5,兀.4。与 所 形 成 的 角 为 5,即：44,D、D 为 正 方 形，ABCD-A M C R 为 正 方 体，设 4 G n s e=。,则 GCJ_B闽,因 为-L 平 面 ABCiDi(G O u 平 面 AiBxCDi,所 以 A 8 J.G O,又 4 8 n 8 a=q,81Bu 平 面 B8QD,B R U 平 面 BBRD所 以 G O，平 面 8 3 a 0,连 接 80,则 NC#为 直 线 8 G 与 平 面 8 8 Q D 所 成

12、 角,由 题 可 知 RtGO 中，8 G=2/，CO=ylsin ZC,S0=-,即 8 G 与 平 面 BBQ、D 所 成 角 的 正 弦 值 为 g.故 答 案 为：2.11.如 图，在 三 棱 柱/8 C _ 4 4 G 中，ZJC5=90,乙 4CC=60。,N 8 C G=4 5。，侧 棱 CG 的 长 为 1,则 该 三 棱 柱 的 高 等 于 1 _【答 案】2#0.5【分 析】过 G 作 平 面/C8、直 线 8 C、/C 的 垂 线，交 点 分 别 为。，D,E,可 得 四 边 形。EC。为 矩 形，结 合 条 件 可 得 吟，进 而 即 得.【详 解】过 G 作 平 面/

13、C B、直 线 8 C、/C 的 垂 线，交 点 分 别 为。，D,E,连 接 8、OC、0 E,则 G 即 为 三 棱 柱 的 高，由 G。，平 面 HC5,/。匚 平 面 4 7 8,可 得 C 0，z c,又 力 C_LCE,G n G E=C,C 0 u平 面 CQE,G E u 平 面 G E所 以 平 面 C O E,又 0 E u 平 面 G E,所 以 N C O E,同 理 可 得。1 BC,又 4 c 2=90。，所 以 四 边 形 8 为 矩 形，在 直 角 三 角 形 和。C G中，4 C G=6 0,/8 C G=4 5。，侧 棱 C G的 长 为 1CE=-C C,

14、=-则 2 2V 2CD=C、D=2OD=CE=-所 以 2,所 以 0 cl=4DC；-OD-=2,即 三 棱 柱 的 高 等 于 5.故 答 案 为：2.12.根 据 中 华 人 民 共 和 国 道 路 交 通 安 全 法 规 定：车 辆 驾 驶 员 血 液 酒 精 浓 度 在 2080mg/100ml（不 含 80）之 间，属 于 酒 后 驾 车，处 暂 扣 一 个 月 以 上 三 个 月 以 下 驾 驶 证，并 处 200元 以 上 500元 以 下 罚 款；血 液 酒 精 浓 度 在 80m g/100ml（含 80）以 上 时，属 醉 酒 驾 车，处 十 五 日 以 下 拘 留 和

15、 暂 扣 三 个 月 以 上 六 个 月 以 下 驾 驶 证，并 处 500元 以 上 2000元 以 下 罚 款.据 法 制 晚 报 报 道，2009年 8 月 1 5日 至 8 月 2 8日，全 国 查 处 酒 后 驾 车 和 醉 酒 驾 车 共 28800人，如 图 是 对 这 28800人 血 液 中 酒 精 含 量 进 行 检 测 所 得 结 果 的 频 率 分 布 直 方 图，则 属 于 醉 酒 驾 车 的 人 数 约 为【答 案】4320【分 析】根 据 频 率 分 布 直 方 图 结 合 醉 酒 驾 车 的 含 义 即 得.【详 解】由 题 意 结 合 频 率 分 布 直 方

16、图 可 得，醉 酒 驾 车，即 血 液 酒 精 浓 度 在 80mg/100ml（含 80）以 上 的 人 数 约 为：28800 x（0.01+0.005）x10=4320故 答 案 为：4320.二、单 选 题 13.已 知/是 直 线，区 夕 是 两 个 不 同 平 面，下 列 命 题 中 的 真 命 题 是（）A.若 la,甲，则 a 夕 B,若 则 C,若/JL a,啰，则 D.若/a，a%,则 啰【答 案】C【分 析】利 用 空 间 中 线、面 的 平 行 和 垂 直 的 性 质 和 判 定 定 理 即 可 判 断.详 解 若=m，加 J a a J u 夕，则 有/a,/，故 可

17、 判 断 人 错 误.若 ac/3=m,lm,lBa,则/6 或/u,故 B 错 误.若/,a,/,则/存 在 直 线 与/平 行，所 以 a#,故 C 正 确.若/a,a 尸，则 或/u，故 D 错 误.故 选：C.14.设 直 线/u 平 面 c,过 平 面 a 外 一 点 A与/，a 都 成 30。角 的 直 线 有 且 只 有：A.1条【答 案】BB.2 条 C.3 条 D.4 条【分 析】过 A与 平 面 a 成 30。角 的 直 线 形 成 一 个 圆 锥 的 侧 面（即 圆 锥 的 母 线 与 底 面 成 30。角），然 后 考 虑 这 些 母 线 中 与 直 线/成 30。角

18、的 直 线 有 几 条，通 过 圆 锥 的 轴 截 面 可 得.【详 解】如 图，A O l a,以 4 为 轴，A为 顶 点 作 一 个 圆 锥，圆 锥 轴 截 面 顶 角 大 小 为 120。，则 圆 锥 的 母 线 与 平 面 a 所 成 角 为 3 0,因 此 过 A的 所 有 与 平 面 a 成 30。角 的 直 线 都 是 这 个 圆 锥 母 线 所 在 直 线，过 圆 锥 底 面 圆 心 O作 直 线/交 底 面 圆 于 民 两 点，圆 锥 的 母 线 中 与 直 线 厂 夹 角 为 30。的 直 线 是 母 线 也 只 有 这 两 条 直 线，故 选：B.15.一 个 正 方

19、体 纸 盒 展 开 后 如 图，在 原 正 方 体 纸 盒 中 有 下 列 结 论:ABLEF；Z 8与 C M成 60。的 角；E尸 与 是 异 面 直 线；A/NIICD其 中 正 确 的 是（）A.B.C.D.【答 案】D【详 解】将 展 开 图 还 原 为 正 方 体，由 于 E FIIN D,而 ND1AB,；.EF，AB；显 然 A B与 C M平 行；EF与 MN是 异 面 直 线，M N与 C D也 是 异 面 直 线，故 正 确，错 误.1 6.在 发 生 某 公 共 卫 生 事 件 期 间，有 专 业 机 构 认 为 该 事 件 在 一 段 时 间 没 有 发 生 在 规

20、模 群 体 感 染 的 标 志 为“连 续 10天，每 天 新 增 疑 似 病 例 不 超 过 7 人”.根 据 过 去 10天 甲、乙、丙、丁 四 地 新 增 疑 似 病 例 数 据，一 定 符 合 该 标 志 的 是 A.甲 地：总 体 均 值 为 3,中 位 数 为 4 B.乙 地：总 体 均 值 为 1,总 体 方 差 大 于 0C.丙 地：中 位 数 为 2,众 数 为 3 D.丁 地：总 体 均 值 为 2,总 体 方 差 为 3【答 案】D【详 解】试 题 分 析：由 于 甲 地 总 体 均 值 为？，中 位 数 为】，即 中 间 两 个 数（第,6 天）人 数 的 平 均 数

21、为 1,因 此 后 面 的 人 数 可 以 大 于 一,故 甲 地 不 符 合.乙 地 中 总 体 均 值 为 1,因 此 这】0天 的 感 染 人 数 总 数 为 1 0,又 由 于 方 差 大 于 0,故 这 1 0天 中 不 可 能 每 天 都 是 1,可 以 有 一 天 大 于，故 乙 地 不 符 合，丙 地 中 中 位 数 为，众 数 为 3,3 出 现 的 最 多，并 且 可 以 出 现 8,故 丙 地 不 符 合，故 丁 地 符 合.【解 析】众 数、中 位 数、平 均 数、方 差 三、解 答 题 1 7.如 图，正 四 棱 锥 S-4B C D的 底 面 边 长 为“，侧 棱

22、长 为 2,点 P、。分 别 在 8。和 S C上，并 且 BP:PD=1:2,尸。平 面 S/D,求 线 段 P Q 的 长.岂【答 案】3【分 析】过 尸 作 尸 例 交。于，根 据 线 面 平 行 即 面 面 平 行 的 判 定 定 理 可 得 平 面 POM”平 面 进 而 然 后 利 用 余 弦 定 理 结 合 条 件 即 得.【详 解】如 图，过 P 作 P M/8 C,交 C D 于 M,连 结因 为 PMHBC,ADUBC,所 以 月 W/,又 P A/a平 面 S4D,4)u 平 面 S/。，所 以 PM 平 面 S/D,又 P。平 面 S4J,又 P M C P Q=P,P

23、M,尸 0 u 平 面 尸 0 M,所 以 平 面 平 面 S 4),又 平 面 尸。例 n 平 面 SDC=M 0,平 面 Scn平 面 S/O=S E,MQ/SD,2 2由 研：必 1:2,可 得 加 严 丁 1 2:.QM=-S D=-a3 3,-S D/Q M，AD/M P，?.NPMQ=NADSAD7 1/cos/ADS=-SD 4,PQ2=P M2+QM2-2P M QM cos/.PMQ=-a2+-a2-2 x-a x-a x-=所 以 9 9 3 3 4 9,岂 所 以 线 段 P。的 长 为 31 8.如 图 所 示 是 一 多 面 体 的 表 面 展 开 图，加，产 分 别

24、 为 展 开 图 中 线 段 8C,C,Z)的 中 点，则 在 原 多 面 体 中，求 直 线 A/E与 平 面 N P 0所 成 角 的 正 弦 值.2V14【答 案】石【分 析】先 还 原 几 何 体，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，计 算 线 面 角 正 弦 值.【详 解】还 原 多 面 体 为 长 方 体，以。为 原 点，分 别 为 轴，建 立 如 图 空 间 直 角 坐 标 由 题 意 得。(0,0,0),4(2,0,0),。(0,1,0),尸(0,0,2),(0,0,4),71/(1,2,0)PA=(2,0,-2),PQ=(0,1,-2),M E=(-1,-2,4)设 面 力

25、尸。的 法 向 量 7=（xj,z）,itPA=02 x-2 z=0则 小 P 2=,即 y-2z=0,令 x=得=(1,2,1)设 直 线 M E 与 平 面 A P Q 所 成 角 为 a,sina=则 n-M EV14421 9.设 在 直 三 棱 柱/8 C-/4 G 中，/8=/C=/4=2,/A 4 C=90。产 F 依 次 为 C Q B C的 中 点.(D求 异 面 直 线 所 成 角 e 的 大 小(用 反 三 角 函 数 值 表 示);(2)求 点 用 到 平 面 AEF的 距 离.娓 arc cos【答 案】3 指【分 析】(1)建 立 空 间 直 角 坐 标 系，利 用

26、 向 量 求 异 面 直 线 所 成 的 角.(2)先 求 出 平 面/后 尸 的 法 向 量，利 用 空 间 向 量 求 点 到 面 的 距 离.【详 解】(1)以 A 为 原 点 建 立 如 图 空 间 坐 标 系，则 4(0,0,2),5(2,0,0),B、(2,0,2),(0,2,1),尸(1,1,0),4 3=(2,0,-2),E F=(1,-1,-1)ABEF 2V2XV3 3Z a r c cos 3(2)设 平 面 4 或 7的 一 个 法 向 量 为 v A E=(0,2,1)(=(1,1,0),n-AE=0 j2y+z=0n-AF=0 I x+y0 解 得：=(x,-x,2

27、x)令 x=l 可 得=(1,T,2),.丽=(2,0,2)6=V6,.点 5i到 平 面 A E F 的 距 离 为 V620.为 预 防 甲 型 H1N1病 毒 暴 发，某 生 物 技 术 公 司 研 制 出 一 种 新 流 感 疫 苗，为 测 试 该 疫 苗 的 有 效 性（若 疫 苗 有 效 的 概 率 小 于 9 0%,则 认 为 测 试 没 有 通 过），公 司 选 定 2000个 流 感 样 本 分 成 三 组，测 试 结 果 如 下 表：/组 5 组 C 组 疫 苗 有 效 673 Xy疫 苗 无 效 77 90 Z已 知 在 全 体 样 本 中 随 机 抽 取 1个，抽 到

28、B 组 疫 苗 有 效 的 概 率 是 0.33.（1）求 x 的 值；（2）现 用 分 层 抽 样 的 方 法 在 全 体 样 本 中 抽 取 360个 测 试 结 果，问 应 在 C 组 抽 取 多 少 个?（3）已 知 y 2 465/2 2 5,求 不 能 通 过 测 试 的 概 率.【答 案】=66 902_ 11【分 析】（1）根 据 概 率 与 频 率 的 关 系 求 解；（2）根 据 分 层 抽 样 的 抽 取 方 法 求 解；（3）利 用 古 典 概 率 模 型 求 解.【详 解】（1）因 为 在 全 体 样 本 中 随 机 抽 取 1个，一=0.33抽 到 8 组 疫 苗

29、有 效 的 概 率 是 2000,所 以 x=660.（2）C 组 的 样 本 个 数 为 y+z=2000-（673+77+660+90）=500,3 6 0 x-=90所 以 应 在 C 组 抽 取 2000.(3)由 可 知，V+z=5 0 0,且 y,z e N,所 以 样 本 空 间 包 含 的 基 本 事 件 有:(465,35),(466,34),(467,33),(468,32),(469,31),(470,30),(471,29),(472,28),(473,27),(474,26),(475,25),共 有 1个，若 测 试 不 能 通 过，则 77+90+Z 2000X

30、7,解 得 Z 33,所 以 包 含 的 样 本 点 由(465,35)，(466,34)共 2 个，所 以 不 能 通 过 测 试 的 概 率 为 H.2 1.如 图，在 多 面 体 ABCDEF中，四 边 形 ABCD是 正 方 形,AB=2EF=2,EF|AB,EF1FB,ZBFC=9O,BF=FC,H 为 BC 的 中 点,(I)求 证：FHII平 面 EDB;(D)求 证：AC1平 面 EDB;(H I)求 四 面 体 B D E F的 体 积；【答 案】1/3【分 析】(I)要 证 明 线 面 平 行，先 本 题 先 要 作 直 线 和 直 线 F H 平 行；再 利 用 线 面

31、平 行 的 判 定 定 理 证 明 即 可；(口)要 证 明 线 面 垂 直，只 需 证 明 直 线 和 同 一 平 面 内 的 两 条 相 交 直 线 垂 直 即 可.由 已 知 四 边 形 ABCD是 正 方 形 可 得 A C 1 B D,E G cB D=G,所 以 只 需 再 证 明 AC _ L E G即 可；(ID)要 求 四 面 体 的 体 积，需 求 四 面 体 的 底 面 积 和 高 即 可；根 据 已 知 得 B F，平 面 C D E F,所 以 B F为 四 面 体 B-DEF的 高；由 E F,平 面 B F C,得 E h F C,即 尸。为 底 面 D EF底

32、边 E F上 的 高，可 算 出 底 面 的 面 积；再 代 入 四 面 体 的 体 积 公 式 即 可.【详 解】(I)证 明：设 A C与 B D交 于 点 G,则 G 为 A C的 中 点，连 结 GE,GH,G H=-A B,G H/A B由 于 H 为 B C的 中 点，故 2,EF=AB,EF/AB 口 又 2,.EF/GH,EF=GH,二 四 边 形 EFHG为 平 行 四 边 形，.EG|FH,而 E G U平 面 EDB,.FH 平 面 EDB（口）证 明：由 四 边 形 ABCD为 正 方 形，有 A B L B C,又 E F U A B,EF 1 BC,而 E F J.

33、F B,.E FJ,平 面 B F C,.E F _L F H,.A B J_F H,又 BF=FC,H 为 B C的 中 点，.FH 1 BC，-F H 1 平 面 ABCD，.FH 1 AC，又 FH/EG,.AC_LEG,又 AC_LBD,E G cB D=G,.AC J平 面 EDB.（加 解：.EF_LFB,ZBFC=90,.BF_L平 面 C D E F,所 以 B F为 四 面 体 B-DEF的 高，又 BC=AB=2,:BF=FC=6,又 E F J.平 面 B F C,即 所，EC,.S F=FF-FC2,【解 析】直 线 与 平 面 平 行 的 判 定 与 性 质；四 面 体 的 体 积；直 线 与 平 面 垂 直 的 判 定 与 性 质.