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1、2022-2023学年度石家庄市高二第一学期期中考试数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，下列每小题所给选项只有一项符合题意.请将正确答案的序号填涂在答题卡上.1.已知空间向量。二 2,-1）,=（4,0,3）,则向量入在向量a上 的 投 影 向 量 是（）XHZ.2,2,-ZIX1-D.322,/(X5-9C3O,%/(X1-5O,3)%z(x5-9A【答 案】C【解 析】【分 析】根据向量在向量上的投影向量的概念求解即可.T -【详 解】向量人在 向 量a上 的 投 影 向 量 为:-a a产+。-3,.4(2,2,一 1),22+22+(-1)2 9故选：C2.如图,空
2、 间 四 边 形0 A 8 C中，Q4 =a，OB=h，=。，点 加 在 线 段0。上，且0 M=3 M C,点N为A B中点,则 M N=（）1 1 2A.a+b 2 3 3-2 1 ,1C.u H b H CB.3【答 案】3 3D.1 3,1a b+c2 4 21 -1 ,3a+b c2 2 4D【解 析】【分 析】由题意结合图形，直 接 利 用MN=O N O M，即可求解.【详 解】因为空间四边 形。L BC中，OA =a，OB=b，O C =c，点在 线 段0C上，S.0M =3MC,点N为AB中点,1 1 -3-所以O N =a +b,O M=-c,2 2 41 -1 3所以 M
3、N=ON-OM=a+b-土c.2 2 4故选：D3.已知点A（1,6）,5（0,1）,若直线/：（2攵+l）x一仪一2）y+（k+8）=0与线段AB有交点，则直线/斜率的取值范围为（）A.-1,1 B.（-0 0,C.（co,I p 0,1 D.【答案】A【解析】【分析】先求出直线/的定点，再结合图象利用斜率公式计算求解即可.【详解】由直线/:（2攵+1）%（攵-2）+（%+8）=0,变形可得（2%-一1）%+2丁-8 =0,由2 x-y-l =0c c八，解得x-b2y-8=0 x=2可得直线/恒过定点（2,3）,则 P A =6,:=1 kpB=-=1,-1-2 2-0若直线/与线段A3有
4、交点，则直线/斜率的取值范围为4.唐代诗人李顽的诗 古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求7 7 7 1 +&_ 2 x+5最小（）A.石B.V 1 0C.1 +%/5D.2 +V 2【答案】B【解析】【分析】将已知变形设出?(0,1),2(1,2)，则 正W +Jf _ 2x+5为点s(x,o)分别到点)(0,1)，Q(l,2)的距离之和，则|PS|+|QS闫P Q|,即可根据两点间距离计算得出答案.【详解】4r7+42一2%+5,=7(X-O
5、)2+(O-1)2+7(X-1)2+(O-2)2.设P(0,l),2(1,2),S(x,0),则4 7+i+&-2 x+5为点S(x,0)分别到点P(0,l)，2(1,2)的距离之和,点P关于x轴的对称点的坐标为P(O,-l),连接P Q,y12 -tr QO ；S 1 X/尸，.1则I P S|+|2 S|尸Q|=,J(l-0)2+2-(-l)2=V i o,当且仅当p,s,Q三点共线时取等号，故选：B.5.1 9 7 0年4月2 4日，我国发射了自己的第一颗人连地球卫星“东方红一号“，从此我国开向了人造卫层的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普物行星运动定律；卫星在以地球为焦点的椭圆轨道
6、上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等，如图建系，设椭圆道的长轴长，短轴长，焦距分别为2 a,2b,2 c,下列结论正确A.卫星向径的最大值为北B.卫星向径的最小值为2bC.卫星绕行一周时在第三象阻内运动的时间小于在第四象限内运动的时间D.卫星向径的最小值与最大值的比值越大，桶圆轨道越圆【答案】D【解析】【分析】选项A B,由卫星向径的最小值为。七，最大值为a+c判断；选项C,由开普勒行星运动定律卫星a c*1 。2的向径在相同的时间内扫过的面积相等判断；选项D,由=-1 +判断.a+c 1+e 1+e【详解
7、】解：由题意得：向径为卫星与地球的连线，即椭圆上的点与焦点的连线的距离，由椭圆的几何性质可知卫星向径的最小值为小c,最大值为a+c,故AB错误；由开普勒行星运动定律卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，在第二象限运动时扫过的面积大于在第一象限运动时扫过的面积，故卫星在第二象限内运动的时间大于在第一象限运动时扫过的时间，由椭圆的对称性可知，卫星绕行一周时在第三象限内运动的时间大于在第四象限运动的时间，故C错误；a c 1 。2当卫星向径的最小值与最大值的比值越大时，由 一-=-=-1+-，可得e越小，椭圆越圆，故Da+c 1+e 1+e正确，故选：D6.在长方体ABCD-AISGOI中，M为4
8、 5中点，下列说法正确的是（）A.平面 DiMC B.GOi 平面 ACM C.CM平面 4 8。D.S C平面【答案】D【解析】【分析】在长方体中，判断选项中直线与各平面的平行关系，可以通过取正方体棱的中点，找到各平面与长方体的表面的交线，即找到长方体的截面，再判断选项中直线与平面的位置关系.【详解】选项A,如 图1,取B区的中点N,连结MN,N C,又M为4囱 中点，则M N/A.B ,根据长方体的对称性可知AB/QC,所以M N/D ,M,N,C,Q四点共面，直线与NC相交，所以BG与平面N C A相交，所以选项A错误；选项B,如图2,取8 c l的中点E,由选项A同理可证，M E/A
9、C，四点共面，在平面A4 1 G 2内，直线G与相交，所以G A与平面M 4CE相交，所以选项B错误；选项C,如图3,在平面4。片 内，直线与CM相交，所以CM与平面4 8。相交，所以选项C错误;选 项 D,如图4,取。的中点尸，连结。尸，B F，M F，由长方体的对称性，BF/D.M,A，8,M 四点共面，在平面A。瓦内，直线”/4 C,平面。例B,M Fu 平面口 M B,所以BiC平面2M B,选项D正确.故选：D.7.已 知 点$0,0),8(3,0),。卜2,6),0(0,-6),仍 却=2 户 小 则|P C|+两产必的取值范围为()A.(0,473 B.473,8 C.4,8 D
10、.筋,4 6【答案】C【解析】【分析】求得动点尸的轨迹方程，可得尸的轨迹为圆心是M(-l,0),半径为2的圆，再由三角函数的恒等变换和正弦函数的值域可得所求取值范围.【详解】设尸(X,y),由|P 人=2|P A|得3,+|的取值范围是4,8.故选：C8.已知二面角 C-AB-O 的大小为 120。，CAAB,DBLAB,AB=BD=4,AC=2,M,N分别为直线 BC,A D上两个动点，则|M/V|最小值为()A 3百 口 3造 46 口 4石5 5 5 5【答案】D【解析】【分析】将二面角C-A B-。放到长方体中，根据二面角的定义得到NC4E=120。，根据几何知识得到|MN|最小值为异
11、面直线BC,AD的距离，然后将异面直线8C,A。的距离转化为直线8 c到平面ADE的距离，即点C到平面ADE的距离，最后利用等体积求点C到平面ADE的距离即可.如图，将二面角C AB。放到长方体中，取 C E =B D =4,过点E作 打 工 面 加 交 面 板 于点F，由题意可知A 6J.A E，C A 1 A B,所以N C 4F为二面角C-A 5 -。的平面角，即NC4尸=120。，因为M,N分别为直线8 C，AO上的两个动点，所以|MN|最小值为异面直线BC,A。的距离，由题意知CE 加，C E=B D,所以四边形C8DE为平行四边形，C B/D E,因为D E u平面ADE,C B
12、u平面A D E,所以CB 平面A 0 E,则异面直线BC,AD的距离可转化为直线B C到平面A D E的距离，即点C到平面A D E的距离，设点。到平面 A D E 的距离为 d ,则 Vc_Al)K=Vn_C A E,g-S A。d=g-5 a*AB,在直角三角形C 4 中，NC4H=180-120=60,C4=2,所以“4=1,C H =E F =6A F =3,AE=,3?+(8?=2百，直角梯形A B O/中，FD=V 42+l=V r 7-A D=V 42+42=4 7 2 -DE=（可 +17=2&，因为AC +AE?=C E 2,AE?+。七2 =仞 2,所以C4，A,AEDE
13、,5 =1 x 2 x 2 7 3 =273,S 32昂2石=2底d S.ckAB 2 6 x 4 4 石S.ADE 2/15 5故选：D.【点睛】方法点睛：求异面直线距离的方法：（1）找出异面直线的公垂线，然后求距离；（2）转化为过直线甲且与直线乙平行的平面与直线乙的距离.二.多项选择题：本题共4 小题，每题5 分，共 20分，每题给出的选项中有多项符合要求，全部选对得5 分，错选得0 分，部分选对得2分.9.已知圆M：（x+c o s 0-l）2+（y +s i n ）2=l,直线/：kx-y-k=0,下面四个命题，其中真命题 是（）A.存在实数上与仇使得直线/与圆M相离B.圆心M在某个定
14、圆上C.对任意实数心必存在实数仇 使得直线/与圆M相切D.对任意实数仇必存在实数灯使得直线/与圆M相切【答案】B C【解析】【分析】先判断M 在定圆上和动直线所过的定点，从而可判断A B的正误，根据特例可判断D的正误，根据圆心到直线的距离以及辅助角公式可判断D的正误.【详解】由题设可得M（/l c o s as i n。、），故fxMw=1-cos%=_sin9故（x“1+用=1,故”在圆（x i y +y 2=i 运动变化，故 B正确.直线/过定点（1,0）,而（1+c o s，-1）+（0+s i n e）=1 ,故（1,0）在圆M 上，故 直 线 依-y-k =。与圆M 不可能相离，故
15、A 错误.取 6 =兀，则圆M：（%-2）-+y2=1,k 网则 M 到 直 线 一 y k=0的 距 离 为 诰 兴 =1,yjk2+ylk2故此时直线去一 y-=0与圆M始终相交，故D错误.对于任意的,M到 直 线 履 y-k=0的距离为:|Zr(l-cos)+sin6-/r|cos-sin 0yjk2+“2 +1cos 0 1 sin 0,1设 cos(p=.,sin(p 2 +kM+i故M到直线依一 y-左=0的距离为卜in -。)，当6=+也,4 e Z时，有卜in(8-)|=1,故此时直线版一 y-=0与圆M相切，故C正确.故选：BC.10.已知椭圆C：工+匕=1上一点尸，分别为左
16、，右焦点，NFPF,=0,P B E的面积为S,25 9则下列选项正确的是()A.若 S=36，贝U。=60B.若5=12,则满足题意的点尸有四个C.椭圆C内接矩形周长的最大值为4扃D.若刃为钝角三角形,则SG(9,12【答案】AC【解析】【分析】由题可得a=5乃=3,c=4,设P(M，X),结合选项利用面积公式可判断选项A、B、D；设椭圆。内接矩形的一个顶点为(4 c o sa,3 sin a)(0 a ),利用辅助角公式可得周长的范围可判断选项C.22 2【详解】椭圆C：土 +匕=1,25 9.“=5,0=3,.c=4,|助|+归 国=1(),忻玛|=8.设P(M，y),则用 闻=4血，闻
17、3,又若|P照=帆,户 周=且m+=2a,NFPF?=。0,兀),在耳P6中有S=-mnsin 02,则 4c2=m2+/一 2mn cos 6S=-mn sin 022b2=2 (l+cos0)所以Sb1 sin。1 +cos 02b2 sin-cos-。J _ 2 =%an U2cos2 g 22选项A,由椭圆的焦点三角形面积公式5=tanS=9tan0=3 6，tan-2 2 2T)2，则。=6 0，故A正确;选项B,若S=1 2,则|%|=3,故满足题意的点尸有两个，为椭圆的上下顶点，故B错误;选项C,设椭圆C内接矩形 一个顶点为(5 8 5/3 5足0)(0。工)，2则椭圆C内接矩形
18、周长为4(5cosa+3sina)=4 A sin(e +0)，其中sin p=孑 叵，cos。=。为一个锐角,由0 a u-4 5 ,即 e 9 0，此时，的面积 S=4|x|=12；当。=90 时，S=b2 tan 45=9，所以S e(9,1 2 ；A2 Q当/尸片马是钝角时，先考虑临界情况，当NPGK为直角时，易得|yJ=L =,此时S=4|X|G(0,雪故D错误.故选：AC.11.已知双曲线C：W-方=1(。0力0)的左,右焦点分别为人、尸2,且I6月|=4AP,B为双曲线上不同的三点，且4,B两点关于原点对称，直线PA与PB斜率的乘积为1,则下列正确的是()A.直线4B倾斜角的取值
19、范围为B.若 环/月=0,则三角形尸尸声2的周长为4+2新c.2 x-y的取值范围为(00,/6 J +c o)D.2/-孙的最小值为2 +百【答案】B C D【解析】【分析】设A(x”y),),P(x),%),首先根据已知条件，确定双曲线的方程，对 于A,根据双曲线的渐近线的斜率进行判断;对于B,设归用=人归用|=4根据双曲线定义和已知条件列出方程组,求解即可；对于C,令z =2 x-y,则y =2 x-z,转化为直线y =2 x-z与双曲线有交点时，直线y =2 x -z在y轴上的截距c 2 r 2/一孙的 范 围 求 解 即 可;对 于D,将 原 式 化 为2 f=2广2-，2 ,k1-
20、2e(1,1),转化为9。/Z.T，设，=2 4e(l,3),利用基本不等式即可求解.1 -K【详解】设焦距为2 c厕c =2,设4(%,乂),5(-%作 差 得 匕 生=冬 江，即a2 b2贝m2M.惠a21,故a =乩 又 +/?2=。2=4,所以a =b=2则双曲线方程为工-7二=1,2 2对于A,双曲线的渐近线方程为y =x,直线A8过原点，由题可知直线AB与C有两个不同的交点，所以直线兀A8倾斜角的取值范围为0,-3兀彳,兀)故A错误.对 于B,设|P周=见 归 闻=,因为。耳，8=0,则尸6人尸工,所以9 2 1/m+n=1 6,i，解得 m+n=2 v 6,m-n=2y/2则三角
21、形P FR的周长为4+，故 B 正确.对于C,令 z=2 x-y,则 y=2 x-z，转化为直线y=2 x-z 与双曲线有交点时，直线y=2 x-z 在 y 轴上的截距的范围,当直线y=2 x-z 与双曲线相切时，2 2工 匕=1联立2 2 ，得3 d -4Z X+Z2 +2 =0,A=1 6Z2-1 2(Z2+2)=0,解得 z=-76,所以2 x-y 的取值范围为(f,-#V 6,田 上 故 C 正确.2、2x2-xy对于D,2 龙-孙=2.f令人=?1,1),2-k则(*)式化为2 丁 不，1-k设 f=2 Z e(l,3),则左=2r,所以2 2-k-k2=2-71-(2-疗-4 +3
22、=2、1-?Z +-4t 7因为f+百，当且仅当/=6时等号成立，/U G、I。1 1 一。4+2 73 _ r-所以 2 -2 2 x-=2 x-=2 +V3,一。_4 16 4即2-孙的最小值为2 +百,故 D正确.故选:BCD.12.在正方体ABC。一4 B|C Q|中，AB =3,E,F,M 分别为8 4，C D,CQ 的中点，则下列正确的是A.A.F1AEB.B-ADXE=%1-ACEc.若点尸是正方体表面上一动点且满足AM J _C P,则点P的轨迹长度为3石+J 5D.已知平面a过点C且A V _ L a,若Q e a,且|沙|=2|。4|，则Q点 的 轨 迹 长 度 为 三【答
23、案】ABD【解析】【分析】以点。为原点，DA,DC,O Q为坐标轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积可判断A；求出点E到平面A G的距离再求体积可判断B；求出点P的轨迹长度可判断C；求出点Q的轨迹方程，进而求得截面圆的半径可求。点的轨迹长度判断D.【详解】在正方体ABC。一 A 4 G 4中，以点。为原点，DA,D C,。乌为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系，则 4（3,0,0）,5（3,3,0）,C（0,3,0）,A（3,0,3）,A（0,0,3）,4（3,3,3）,C,（0,3,3）,对于A：棱C中点F（0,g,o ,棱84中点E （3,3，）则 AE =（0,3，T,A尸=（一3,
24、1，3）,33则 AE.AE=-3XO +5X3+(-3)X =O,则 即故A正确；对于B：DJA _ L 平面 A8 BI 4 ,11 J 3 9匕-AD(E =%-A B E=ADi ,AB=-X3X-X3X1=-,0 =(3,0,-3),D.C,=(0,3,0),设平面A R G的一个法向量。=(X,y,Z),2 A =3 x-3 z =0则.n-DC=3 y =0令 z =l，得=(1,0,1),则点E到平面A R G的距离为：d L J=30,|V 2 4而 A Q _ L G，SA4G=TA”G=；X3X3 0 =竽,v_v _ 1 Q,1 9 7 2 3 V 2 _ 9%-AGE
25、=%-g G =S AO,c,-0,则4=.【答案】3【解析】【分析】利用向量 坐标运算求得求出X。+6 =(4/-44),根据空间向量模的公式列方程求解即可.【详解】因为a=(O,l,l)为=(4,1,0),阳+同=扬，所以 Act+6 =(4,1%,4),可得 1 6 +(1 4)2+丸2=2 9，因为20,解得2 =3,故答案为3.1 4 .已知圆 C：(x +l p +y 2=9与直线/：(l +3 4)x+(l +;l)y-2-4；l =0(/l e R)交与 A,8两点，当区用最小值时，直 线/的 一 般 式 方 程 是.【答案】2 x+y-3 =0【解析】【分析】根据直线/的方程
26、得到直线/过定点E(U),根据几何知识得到当C E垂直直线/时，|A 8|最小，然后根据垂直列方程，解方程得到2即可得到直线/的方程.【详解】由圆的方程可得圆心为。(-1,0),直线/的方程可整理为/l(3x+y-4)+x+y-2 =0,令 x+y-2 0 解得jy l 所以直线/过定点(U)当C E垂直直线/时最小 所以9土一 +y 2=2 5和圆C2：。7 y+;/=2 5一个内切一个外切，则点M的轨迹方程为.【答案-=11 6 9【解析】【分析】根据内切和外切的性质及双曲线的定义得到点M的轨迹为双曲线，然后求方程即可.【详解】当圆与圆G内切，与 圆 外 切 时，|MG|=Q-5,|M C
27、z|=友+3,当圆M与 圆 外 切，与圆G内切时，|(4=九+5,|。2|=为 一3,2 2所以|四。2卜|M G|=8|GG|=1，点M的轨迹为双曲线，设轨迹方程为一2=1，2 a =8,a bc =5,则a =4,0)的左顶点为A,左焦点为尸，P为渐近线上一动点，且尸在第二象限内，。为坐标原点，当N A P F最大时，|。尸|=6,则 双 曲 线 的 离 心 率 为.答案2【解析】【分析】设出P点的坐标，然后表示出PAPE的斜率，利用到角公式表示出t a n N A P E,最后结合基本不等式求出t a n Z A P/取得最大值时的条件，结合此时|。尸|=6,即可求出离心率.h b【详解
28、】由已知得A(-a,O),尸(c,0),渐近线方程为y =-x,设尸(九,一一%),(/0),a ab bn l ll 一 xo 一 xo则乙 a 卜 -a口尸一 ，R pA 一 ，X。+C/+Q所以合亮2y XQ+C IC +(a+C)XQab.(c a)Q_c2 ac-y/H-C l+C)a-x02()公a此时|O P|=|X o|=y/ac=b,B P ac=b2=c2-a2,即e 2 e 1 =0,解得e =上 二 叵 或 匕 好(舍 去).2 2故答案为：吏 上12四、解答题(本大题有6个小题，共70分，其中第17题10分，其余每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在
29、答题纸的相应位置)1 7.设全体空间向量组成的集合为V,a =(4,02M3)为丫中的一个单位向量，建立一个 自变量 为向量，“因变量”也是向量的“向量函数/(x)=x +2(r0a(x e V).(1)设 =(-1,0,0),v=(0,0,-l),若=求向量a；(2)对于V中的任意单位向量%,求|/(x)+2 x|的最大值.【答案】(1)3,0,一 一 或 一 一,0,一 2 2)2 2 J(2)3【解析】【分析】(1)设&=(乌，4，/)，根据题意列方程，解方程即可得到a；(2)设x与a的夹角为a ,根据数量积的运算律得到|/(x)+2 x|=的 8c o s2 a ,即可得到最大值.【小
30、 问1详解】依题意得：/(a)=+2(-M-a)a =v,设a式。”%4)，卜2：=(近 丘、(垃 垃、则 a =q,2。|。2=oa=或。=-,0,-；1 2 2 2 22的3=-1 、)7【小问2详解】设元与d的夹角为a ,则元占=|斗 同cos a =8sa,贝”/(x)+2 x|=p x 2(x -a)a|=J(3 x-2 cos a a)2 =,9-8 cos?a +2 =0,记 一 A B C外接圆圆心记为M.求:(1)圆M的方程；(2)已知圆N：(%-3)2+(y +l)2=l,过 圆 和 圆N外一点P分别作两圆的切线，与圆M切于点A,与圆N切于点8,且1 PH 求尸点的轨迹方程
31、.【答案】(1)(x +l)2+(y-l)2=1 0(2)8 x-4 y-1 7 =0【解析】【分析】(1)由A(2,0),8(0,4),可知AB中垂线方程为x -2 y +3 =0,将 其 与 欧 拉 线y+2 =0联立，可得外心坐标，后 可 得 外 接 圆M的方程；(2)设P(x,y),由题有=|F M|2 归回2=归 呼 _ 忸 甘，后可得答案.【小问1详解】因4(2,0),5(0,4),则 的 中 点 为(L 2的4-0又阳5=-7=一2,则A 3的中垂线方程为 2丁 +3 =，x 2 y +3 =0 x=-l将其与欧拉线方程联立有1 “c八，解得|，x-y +2 =。y =l故一AB
32、C的外心为用(一 1,1),则 外 接 圆 半 径 为r=|A 4|=J(2 +l)2+(-1)2=J I B ,故圆M 的方程为(龙+1)2 +(y 1)2 =1 0.【小问2详解】设P(x,y),由题有网=|PM|2-|AM|2=(x+i)2+(y-i)2-i o,附2 =|P N一忸N=(x _ 3)2 +(y +1)2 _ 1.因|=|,贝ij|尸那=|PBn(x +(y -_ 0 =(x 3 +(y +1)2 T.化简得：8尤一4 y 1 7 =()所以点P的轨迹方程为：8 x 4 y 1 7 =0.1 9.如图，在三棱台A 8 C-A/i G中，侧面A 4 C C J _底面A B
33、 C,三角形4 8 c是边长为2的正三角形，侧面A C G A i为等腰梯形，且AC尸A 4=l,。为4G的中点.(1)证明：ACLBD；(2)求 直 线 与 平 面 8B1GC所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】(1)根据线面垂直即可求证线线垂直，(2)根据空间向量的夹角即可求解线面角.【小 问 1详解】证明：如图，作 AC的中点M,连接。M,BM,在等腰梯形ACGAi中，D,M 为 A C”AC的中点，.ACLQM,在正三角形ABC中，M 为 AC的中点，.ACL8M,：AC1DM,AC IB M,DM BM=M ,DM,BMu 平面；.AC，平面 B D M，又 8D
34、u 平面 B D M，：.AC-LBD.【小问2 详解】AC,平面B O M,以 M 为坐标原点，以AM，MB，MD 分别为*，z,轴正向，如图建立空间直xyA（1,O,O）,B（0,7 3,0）,C（-l,0,0）,（向 （iD 0,0,Ci,0,l 2 J -1292 J,A,2一,0,设 平 面 的 法 向 量 为 =（x,y,z），CB=（1，百,0）,e gi o后 则 有，C5=0,即CC n=0 x+/3y=01 G n-x-z=012 2（1则 可 取 =（一出,1），又AA,二 一5 2 J设 直 线A A与 平 面8 8 C C所 成 角 为a,则sinc=直 线4 A与
35、平 面B B C C所 成 角 正 弦 值 为 巫,5_ V3 _V15x2 v22 0.已 知 椭 圆G 彳+白=1（4力0）,左 顶 点 分 别 为A,上 顶 点 为8,左右焦 点 分 别 为 Q,尸2,P为椭圆上一点，|P国 最 大 值 为3,ZvlB B的面积为 岁.（1）求椭圆方程;1 1（2）已 知 直 线 过 后 与 椭 圆C交 与M N两 点（M在N上 方），且 耳N,若3丸万，求直线斜率的值范围.【答 案】（1）-1-=14 3（2）P H【解 析】【分 析】（1）根 据|桃|最大值和 A B B的面积，求出儿。的值，即可求出椭圆方程.（2）分类讨论直线斜率是否存在时的两种情
36、况，让直线的解析式与椭圆方程联立，消 去x,得 到 弘，力 的表达 式，代入韦达定理，即可得到直线斜率的取值范围.【小 问1详 解】由题意在椭圆c：2 2二 +马=1(。/?0)中,a b-归 闾 最大值为3,Z V I B B 的 面 积 为 券.a+c =3（-0a=2.（a+c）Z?=3 ,解得：,/?=62V 1 22,2 2 C =1b+c =a I2 2.椭圆方程为：三+汇=14 3【小问2 详解】由题意及（1）得2 2椭 圆 C：亍+4_ =1 中，6（1,0）,直线过凡与椭圆C交与“，N两 点（M在 N上方），且“耳=2 6N,1 2 06k飞+叱且 x%=_%2一 3+4 公
37、由得:-6Aky1 -(4*2+3)(1-2)6k-b-(4A:2+3)(l-2)代入中得:-9k2 _-36k23+442-(3+422)2(1 4)2因为当上0时，2=-不成立，3，义 3 1 3 n(1-4 4/+1 _2 413 2)20/，4在N上方k e -,0 .L 2 JT T21.如图，四棱锥尸-AB C。的底面为菱形，Z A B C -,AB=AP=2,%J_底面AB C。，E,产分别是线段PB,P。的中点，G是线段P C上的一点.B(1)若G是直线P C与平面AEF的交点，试确 定 二 的值；P C3(2)若直线A G与平面4E尸所成角的正弦值为二，求三棱锥C-EF G体
38、积.【答案】(1)-39【解析】【分析】(1)取B C的中点M,连接A M,分别以AM,AD,A P,所在直线为X,%z轴建立空间直角坐标系，设P G =PC()1),求得平面AEF的一个法向量加=(a,b,c),由A G 机求解；(2)设 P G =/I PC(O 4 1),由 si n=c os(/?,AG)=1,求得 4,先求得吃一七松，再由VjE F G=2Vp_EFG 求解.【小 问1详解】解：取8 c的中点M,连接A M,则AM L AZ),分别以AM,AD,A P,所在直线为无，、/轴建立空间直角坐标系A-xyz,如图所示,py则 A(O,O,O),B(省,-l,0),C(l,0
39、),P(0,0,2),0(0,2,0),E ,-1,1 ,F(O,1,1),7AE=,G 1 、设 PG=PC(O1),则 AG=4P+PG=AP+2PC=(0,0,2)+(l,-2)=(加,2 2)设平面AEF的一个法向量为?=(a,b,c),AE-rnQ,所以AF-m=0则V3 n3。一”+c=0,取M=1 卜/?+c=0易知AG_Lm，所以AG=JxJ4+一(2 2)=0,解得=!，此时”=1;3 PC 3【小问2详解】设 PG=/iPC(O 4,1,2)=4 2 22)则 sing=cos/m,AG)|=/尻=2、/I 石x，3%+%+(2 2不 5，2 2整理得272 124 4=0
40、,解得；1 =1或；1 =一 (舍去)，3 9PC=(73,1,-2),PD=(O,2,-2),设平面 PCO 的一个法向量为 =(x,y,z),则PCn=0,所以PD n=0百x+y-2z=02y-2z=0取=(1,G,6),又 EP=-#442 27则点E到平面P C D的距离即点E到平面P F G的距离为由已知条件，在“P C O中，P C=P D=2 O，C D=2,可得 S Pc o=g *币 x 2=V 7弋 1 PFPGsinZFPG,丛 PF G=2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _S4 PC D 1 P D-PCsinNFPG2PF PG一 PD
41、PC1 2-P C-P D2 3PDPC _3所以 S&PF G=_ S&PC D =，Vp_E F G=q SMQF3 3 V 7 9因啮I所以匕=2V p F F C r t t r U2百92 222.已知双曲线C：，一 卷=l（a0,b0）过点（3,J7）且右焦点尸（2,0）.（1）求双曲线的方程；（2）点M是双曲线上位于第一象限内的一动点，直线x =l与x轴交于点A,N M E 4的平分线与直线x =l交于点3,试 问 直 线 是 否 恒 过 定 点，若过，则求出定点坐标，若不过，请说明理由.【答案】（1）-=12 2（2）过定点，定点为卜血,（）【解析】【分析】（1）根据双曲线的性
42、质结合已知列出关于。，。的方程组，求解得出。，8的值，即可得出答案；（2）设”（公，九），表示出直线M尸的方程，由F 7?为NM E 4的平分线，得出点8到直线F B和以距离相等，利用点到直线的距离公式得出=（应_0；+2二 八,即 可 表 示 出 直 线M 8,化简得出定点坐标.【小 问1详解】由 已 知 得 出b2，解得a =b=6,a2+/?2=c2=42 2所以双曲线方程为-=1.2 2【小问2详解】设 (%,九)，则直线 MF为 yox-(xo-2)y-2yo=O,设3(1,加)，因 为 所 为NME4的平分线,所以点B到直线F B和F A距离相等，y0-m(x0-2)-2y0_ 即业+(%-2)2 因为野一火=2且“在第一象限,所以上式可变为%+加(%-2)我(与-1)二m一 为解得%_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _所 以 直 线 可 以 表 示 为 (V2-l)x0+2-V2y-=-；-(x-化简得二4(1。)即 尸所以直线M B恒过卜夜,0).