《2023年高考第一模拟考试卷：数学（北京B卷）（全解全析）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年高考第一模拟考试卷：数学（北京B卷）（全解全析）.pdf（24页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023年高考数学第一次模拟考试卷高三数学(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第 一 部 分(选 择 题 40分)一、选择题共10小题，每小题4 分，共 4 0 分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合4=小 2-4 -5 4 0,3=卜卜，=/7二?,则/1 8=
2、()A.x|l x-l C.x|l x-l【答案】C 分析解不等式求出A,反再根据交集的定义求解即可.【详解】A：2-4X-5 4 0.解得-14x45.x-120,解得A=x|-14x45,B=x|x21,A cB =x114x45.故选:C.2.已知复数z=(-l+3 i i,则在复平面内z 对应点的坐标为()A.(1,-3)B.(1,3)C.(-3,-1)D.(-L-3)【答案】C【分析】求出复数z,即可判断.【详解】因为复数Z=(l+3i).i=3 i,所以在复平面内Z对应点的坐标为（-3,7）.故选：C3.设a=ln2,=。=3；，则 小b,。的大小关系为（）A.c a b B.b
3、a c C.a c b D.a b c【答案】D【分析】通过0 ln 2 l,所以判断出0 a 从而判断出。，b,c 的大小关系.【详解】a=n 2,而0 ln 2 l,所以0 a l；-7.1 1 1 1又。=2=8%，c=y =9 二 令 /（x）=x6 而 函 数 在（0,+8）上递增 l bc a b 0/0）的离心率=右，则其渐近线的方程为（）n1A.y=2x B.y=+y/3x C.y=+-x D.y=-x【答案】A【分析】利用双曲线的离心率和性质求解即可.2 2【详解】因为双曲线-*=1（。0,。0）的离心率0=不，=石所 以 由“一 得5。2=2+从，c2=a2+b2所以2=2
4、,即渐近线方程为y=2x,a故选：A5.二项式（五-义 的展开式中常数项为（）A.40B.-40C.80D.-80【答案】D【分析】求出展开式的通项，再令x 的指数等于0,即可得出答案.5【详解】解：二项式的 展 开 式 的 通 项 为=C*15-5人=(-2)七厂令注15-54，则4=3,6所以常数项为(-2)3 C；=-80故选：D.6.已知向量a=(1,2),6=(，,2-?)，若a_L,则访|=()A.丛 B.275 C.2 6 D.20【答案】B【分析】根据向量垂直的坐标表示得帆=4,再求向量的模；【详解】解：由a_L，得加+4 2加=(),则机=4,即6=(4,-2)所以|6=54
5、2+(2)2=2石.故选：B7.在平面直角坐标系中，4 B 是直线x+y=z上的两点，且|AB|=10.若对于任意点P(cossin)(O 0“存在小N*,使得d=B T，但“&=2q，y 存 在 丘N*,使得”=W，因此，“S是等差数列 是存在&eN*,使得“=他”的充分而不必要条件.故选：A.1 0.如图，曲线C为函数y=sinx（0 4 x 4芳）的图象，甲粒子沿曲线C从A点向目的地8点运动，乙粒子沿曲线C从8点向目的地A点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为（巩”），乙粒子的坐标为（）,若
6、记-=/（，），则下列说法中正确的是（）A./（，）在区间号,乃）上是增函数B./）恰有2个零点C./（，）的最小值为-2D./（的图象关于点（多,0）中心对称6【答案】B【分析】由题意得到F（m）=2 s in2 m+s inm-l逐项判断.【详解】解：由题意得：n=s in/n,v=s inw=s in-2 7)=c o s 2 m,2 J所以/(7)=u =s in 机c o s2 m=2 s in2/?+s in tn ,由,0 m 2 得O M强 当，c ,5 4 C-5乃 40 -2 m A 再G2 中，E为棱8c的中点.动点P 沿着棱。C从点。向点C移动,对于下列四个结论：存在点
7、P,使得出=尸 ；存在点P,使得平面尸 4E，平面B D D、B、；两万的面积越来越小；四面体AP BE的体积不变.所 有 正 确 的 结 论 的 序 号 是.【答案】【分析】设正方体棱长为1,D P =x,求出 叶，P E3由尸干=在2解得x (0 4 x 4 1),确定正确,由正方体性得出AG，平面BB Q 0,从而由AG与平面AP E的位置关系判断，考虑到户到平面ABE的距离为变，从而易判断，以。AO CO R 为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2,设P(0,m,0),(0 4 加4 2),由空间向量法求得 尸 到 的距离，由距离的变化规律判断.【详解】设正方体棱长为1,
8、D P =x,由平面A B C。，AP u平面A 8 C。得AA同理P C J _ E C 八所以村=M2+3 +DP2=2+X2,PE2=PC2+C C：+C.=1 +(1 -x)2+；=；+(1 x)2,由2+3%(1)2 得存在,使 得 P A=P E,正确,正方体中，由8 qL平面A4G。，46匚平面4片a口，则B 片，AG，A,C,1 B,D,B B。BR=用，B B B R u 平面 B B R D,所以 AG，平面 B B Q Q,若平面P AE1平面B D D、B 则AG u平面PA,E或AG 平面P E ,但当月在。上移动时，AG与平面P A E 总是相交，错；正方体中,8
9、平面A7GR,P c CD,所以尸到平面 4与GR 的距离不变,即尸到平面ADE的距离不变，而a A B i E 面积不变，因此三棱锥P-A B|E,即四面体AP Bg 的体积不变，正确；以DA,DC,DR 为X，y，z 轴建立空间直角坐标系，如下图，设正方体棱长为2,则A(2,0,2),(1,2,2),设正0,刊0),(0 m 2),PE=J l +(m-2)2+4 =yjm2-4 m+9，PE =(1,2-m,2),AE=(-l,2,0),4 q=石，一”.、(1,2-/n,2)-(-1,2,0)3-2 mc os =/,=/,yJ5 7 m-4?+9 15 7 m -4 m+9设 p到
10、直 线 的 距 离 为 则,I o J .,4 r r2 7 7 3-2m T lm2-8 w +3 6 yl(m-4)2+2 0a=PE s in =/m-4m+9 /l-(,=)=-T=-=-j=-,1 1 V 6 J 7-4,+9 V5 45由二次函数性质知0 W/n W 2时，y=(m-4)，20 递减，所以d递减，又4七=有 不变，所以！AP E的 面 积 为 递 减，正确，故答案为：.【点睛】方法点睛：建立空间直角坐标系，用空间向量法确定空间的距离和角，用空间向量法研究空间图形的位置关系.1 5.已知函数f(x)=j 色;其中叱-1.若存在实数乩 使得关于x 的方程/(x)=b 有
11、两个不同的实数根，则z的 取 值 范 围 是.【答案】-1,2)【分析】通过分析分段函数的单调性可得到1。&(加+2)-2 +3 0,故令g(x)=log4(x+2)-2:+3,x -l,通过导数的知识分析g(x)的单调性即可得到答案【详解】当时，/(x)=log4(x+2),是增函数;当 机时，/(x)=2x-3,也是增函数，所以当点(加,b g,(加+2)在点(狐2-3)上方时，存在实数h,使直线y=b 与曲线y=x)有两个交点，即存在实数匕，使得关于x 的方程/(力=6 有两个不同的实数根，所以log,(加+2)2m-3 即 log“(加+2)-2+30,令 g(x)=log4(x+2)
12、-2+3,工 之 一 1,所以,(上 正 小 一 2一 2，1因为当x N-1,函数y=+2)in 4单调递减 函数丫 =2,单调递增,所以当x 2-1 时，g (力=(舄&-2 1 n2 单调递减，又，(去-当1-(I n 2)22 1 n2 0)gQ=8 1 n2-4 1 n2 0,g(x)单调递增;当x e(为,+8),g (x)，g =log q 4 4+3 =0,所以当x e 1,2)时,g(x)0,故小的取值范围是-1,2),故答案为：T,2)三、解答题共6 小题，共 8 5 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 6.(本小题1 3 分)已知在-A B C 中，b3=cr
13、b+bc1-ac1 C =(1)求 A的大小；(2)在下列四个条件中选择一个作为已知，使 A B C 存在且唯一确定，并求出8 c 边上的中线的长度.，A B C 周长为2 +6；。=1；A B C 面 积 为 毡；c=6 a4【答案】(1)A =TO(2)答案见解析【分析】(1)原式可化为(户+咐(-。)=/0-4),可得分/或+=。2,通过分析即可解得兀A =6(2)由(1)知，A =B=m，C =.根据正弦定理，可推得=6 3若选MB C 周长为2+百，则。=人=1,c=百，然后根据余弦定理即可求得中线的长;若选。=1,可推得b =l,c=上,然后根据余弦定理即可求得中线的长;若选“IB
14、C面积为 地，根据面积公式可推得“=G，c=3,然后根据余弦定理即可求得中4线的长；若选c=0 a，由(1)可推得c=x/,与条件 =缶矛盾，即不存在这样的三角形.【详解】(I)由=4%+/?/可得，b3-a2b=be2-ac2,即b伊-a2)=c2(b-a),所以(A?+abb-a)=c2(b-a),所以6-。=0 或 Z?+ab=b2+a b，这与从+9?=。2矛盾，舍去.所以，A=W6若选，由（1）知，A=8=2，C=J.6 3由正弦定理可得a:A:c=sin A:sin 3:sinC =1:1:6，又，ABC周长为2+百，所以。=匕=1,c=6,则 ABC存在且唯确定.设8 c 中点为
15、O,则C=（BC=1，2 22兀1在,AC。中，有 C=石，A C =l,C D =,由余弦定理可得，A D1=A C2+C D2-l A C CD c o s C+-2 x lx lx（-l =2,所以，A D =-；.2若选，即a=l,由（1）知，A=8=二,C=芍.则6=1,根据正弦定理三二三，可得,=丝贬=-=,s in A s inC s in A2则JRC存在且唯一确定.设B C中点为C,则C D =B C =1，2 22 7 t1在,A C。中，有C =7，A C =,C D=2山余弦定理可得，A D2=A C2+C D2-2AC-CDcosC=l2+-2X1X|X-1|=L所以
16、，ADW；.2若选，即 C面积 为 地.由(1)知，A=B=y,C =4，则4 6 3S.BC=absin C =a2 x,所以 a?=3,则 a=G，所以。=G，,2 2 2 4根据正弦定理三s in As inC-rze as inC可得c=.,s in A3,2则,AB C存在且唯一确定.设3c中点为。，则C D =3 C =走，2 2,7r6在，A 8中，有C =-7-,A C =G，C D =,3 2由余弦定理可得，A D2=A C2+C D2-2 A C CDcosC=(+1-2 x x xf-lk!-所以，AO=叵：.2若选c =0a.由(1)知，A =B =g6根据正弦定理，7
17、 =$s i n A s i n C旦,可得。=耳,s i n A 2与c =0a矛盾，所以，不存在这样的ABC.1 7.（本小题1 4分）如图，在多面体A B C D E F中，梯形A O E F与平行四边形A B C。所在平面互相垂直,AF/DE,DE 1 AD,AD 1 BE,AF=AD=-D E =1,AB=C .2(1)求证：8 尸 平面CDE；(2)求二面角3-的余弦值；(3)判断线段B E 上是否存在点。，使 得 平 面 平 面 B E F?若存在，求 出 黑 的 值，若不存在，说明理由.【答案】(1)详见解析 如3(3)存在点Q；BE 7【分析】(1)根据线面平行的判断定理，作
18、辅助线，转化为证明线线平行；(2)证得Z M,DB，OE两两垂直，从而建立以力点为原点的空间直角坐标系，求得平面。防 和平面8 E F 的一个法向量，根据法向量的夹角求得二面角的余弦值：(3)设5。=；1 郎=(0,-九2为(/1 0,1 ),求得平面8C的法向量 为 人 若平面82,平面B E F,则他=(),从而解得义的值，找到。点的位置.【详解】(1)取。E的中点M,连结M F,MC,因为=所以 A F =DW,且 A F =Z W,所以四边形A D M 尸是平行四边形，所以M F A ,且M尸=,乂因为A )B。.且 A 力=BC,所以M F/BC.M F=BC,所以四边形3 c M
19、尸是平行四边形，所以8 F/C M.因为0平面C O E.CM u平面CDE,所以8 尸平面C D E：E(2)因为平面 4)F，平面 ABC。，平面 AOEE 1 平面=DE J.AD,所以。E l 平面ABC。，Bu平面ABCD,则D E ID B，故ZM,DB,O E 两两垂直，所以以ZM,DB,O E所在的直线分别为x 轴、轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系，则 仇 0,0,0),4(1,0,0),5(0,1,0),C(-l,l,0),(0,0,2),尸(1,0,1),所以 BE=(),-1,2),F=(1,0-1),为=(0,1,0)为平面DEF 的一个法向量.设平面BEF的一个法向
20、量为血=(x,y,z),i-y +2z=0由 m-BE=0，m-EF=0,得，x-z =0令z=l,得加=(1,2,1).如图可得二面角5-所-。为锐角，所以二面角3-防 一。的余弦值为 业.3(3)结论：线段5 E 上存在点。，使得平面CW2L平面3所.证明如下:设 BQ=A.BE=(0,-2,2A)(A G 0,1),所以 DQ=DB+8Q=(0,1-A,22).设平面8 2 的法向量为=(a,b,c),又因为OC=(-1,1,0),所以wQQ=0,u-DC=0(l-A)/?+2Ac=0-a+b=Q即若平面 CDQ J平面 尸，则/%=(),即 a+2Z?+c=0,解得2=J e 0,1.
21、所以线段B E上存在点。，使得平面CDQ_L平面B E F，且此 时 翳=；.DC,/1 8.(本小题13分)开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程.某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如下表:男女支持方案一2416支持方案二2535假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立.(1)从样本中抽1 人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率；(2)从该校支持方案一和支
22、持方案二的学生中各随机抽取1 人，设 X 为抽出两人中女生的个数，求 X的分布列与数学期望；(3)在(2)中，y 表示抽出两人中男生的个数，试判断方差。(X)与。(y)的大小.(直接写结果)【答案】(1)看59(2)分布列见解析,E(X)=N(3)(y)=o(x)【分析】(1)利用古典概型的概率公式计算即可求解;(2)根据题意可得X的可能取值为0,1,2,求出所对应的概率，即可列出分布列，利用随机变量的期望公式即可求解;(3)根据已知条件得出丫 =2-X,再利用方差的性质即可求解.【详解】(1)依题意支持方案二的学生中，男生有2 5 人、女生3 5 人，所以抽到的是女生的概率.3 5 7 2
23、5 +3 5 -1 2，(2)记从方案一中抽取到女生为事件A ,从方案二中抽取到女生为事件5,则P(A)=一 7 2 4 +1 67n则X的可能取值为0、1、2,所以尸(x=o)=_ /2 7 1 4P(X=2)=x =,7 5 1 2 6 0所以X的分布列为:X012P_43 16 01 46 0所以E(X)=0/+lx 2+2*竺=竺.(3)依题意可得y=2 x,所以o(y)=o(2-x)=(-i y o(x)=o(x),即 z(y)=o(x).1 9.(本小题1 5 分)已知椭圆C中心在原点。，焦点在坐标轴上，其 离 心 率 为 乎，一个焦点为尸(0,1).(1)求椭圆c的标准方程；(2
24、)过点F且不与坐标轴垂直的直线/与椭圆相交于AB两点，直线OAO8分别与直线y =2 相交于两 点,若 NMON为锐角，求直线/斜率%的取值范围.【答案】W+2=l2(2)(c o,-1)._1(L+O O)【分析】（1）根据椭圆的离心率和焦点坐标可求出的值，再利用”,c的关系即可求解出方程；（2）设直线/的方程为=+1,4内,）,8 3,%），根 据 题 意 求 出 点 的 坐 标，由NMON为锐角,可得O M.O N 0 且不平行，将直线方程与椭圆方程联立方程组，由韦达定理可 得&的取值范围.【详解】（1）由题意知：桶圆C的离心率6 =也a 2因为一个焦点为尸（0,1）,所以0 =1,则=
25、加，由6?=/+C2可得：=1 ,2所以楠圆c的标准方程为d+匕=1.2（2）设直线/的方程为丁 =丘+1,4（外,%）,8（%2，2），联立方程组3q 印，整理可得“+小+2-,则有x,+x2=由条件可知：直线0 4 所在直线方程为：因为直线Q 4 与直线y =2 相交于M所以M（生,2）,同理可得：N（2 2,2）,必 必则。加二（生,2）,0 N =（注,2）芦 巴若NMON为锐角，则有O M.O N 0，所以0 M.e W =&上+4 =如应-+4 =-如国-+4必必(f c v,+l)(f c c2+1)k2xtx2+k(xy+x2)+l=竺4 2 一-7 ，则4竺k2 一-2 0,
26、解得：公c 1或2 1，k2-i k2-i 2所以 一 也 A 1 或4,ln2【分析】(D求导得到导函数，根据/=0计算得到答案.(2)求导得到/()=/三，根据导数的正负得到单调区间.(1+x)(3)先证明ln(l+x)xln(l+x)山2,且/%)0,函数单调递增;当xe(l,T8)时，r(x)0,函数单调递增；当xe(l,物)时，/(x)0,ln(x+l)0,故x)ln2.故W ln2,满足条件.当 xe(0,+oo)时，设 g(x)=ln(l+x)-x,故&(力=一=一/j。，故 g(x)g(O)=O,即 ln(l+x)0,函数单调递增；当x e(3,)时，)=个?0,函数单调递减；
27、故/z(x)4旗3)=ln4 2co,故ln(l+x)Jl+x.xln(1+j+ln(x+l)x +Jx+1)f(x=、-+ln2-+ln2-=+ln2 V x+x+1 4x+l即/(x)可以无限接近In 2.综上所述：we(-4)其中如生，即eZ,且”八若 数 列,外，4满足当，=2,3,，A 1时，q=%+】或4=即 一1，则称A：力 0为数列A的“紧数列”，的，aN例如，数列 A：2,4,6,8 的所有“紧数 歹!1”为 2,3,5,8；2,3,7,8；2,5,5,8；2,5,7,8.(1)直接写出数列A：1,3,6,7,8的所有“紧数列”A；(2)已知数列4满足：4=1,aN=2 N,
28、若数列A的所有“紧数列”A均为递增数列，求证：所有符合条件的数列A的个数为N+1；（3）已知数列A满足：4=0,生=2,对于数列A的一个“紧数列”A ,定义集合S（A）=,-W =2,3、N-1,如果对任意x e S（A）,都有-x e S（A）,那么称4为数列A的“强紧数列”.若 数 列A存在“强紧数列”，求斯的最小值.（用关于N的代数式表示）【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析 2 N-3【分析】（D根据“紧数列”的定义写出即可：（2）先证明数列A从第2项开始到第（N-1）项是连续正整数，再把问题转化成求满足要求的知的个数为（N+1）即可；（3）根据“强紧数歹 的定义求解即可.【详解】
29、（I）解：根据“紧数列”的定义得A :1,2,4,7,8；4:1,2,6,7,8；A?:1,5,4,7,8 ；A,：1,5,6,7,8 .（2）解：对任意 1 =2,3 N-2,有4=1+1 或=4+i T ,4+1 =q+i或4+i =+2-1，数列A的所有“紧数列”A均为递增数列，%+1 +1 ；?,+1-1%2 1 ；,-1 +1 4*2 T ；q+|-1 q +1 .,/数列A为递增数列，.显然成立，ai+14q4+i-l q+2-l，也成立，对，“i+i 4 +2 ,也即 4+i w q +1 ,又 4+i 亍 q +1,aM=a,+1 ,/.数列A从第2项到第N-1项为连续正整数.
30、2 2 4 +1 =2 ,N T=cty+(N 1 2)x 1 =N 3+/M。，丫 -1=2N 1 ,a2 N+2,:.2 a22,.,.+4+3,4-1=-%+1不能成立,记1=，卜 _ =4 _ l,i=2,3 N-1 1,笃=一 3 =一 九|+1,i=2,3 N-1,则 汇%=0且7；u 4=2,3 N-1,若存在/e 5且2 W/W N-2,即与一%=-%+|+1,则/+否则，若，+1e7；,则%+|-%引=不符合题意,因此，集合I、心有下列三种情形，7；=2,3 N-l,T2=0,对Vi=2,3,N-,有4 3 2,则。Z=4+(8+公 T)+%N 0+(W-2)X2+1 =2 N-3,当且仅当 勿=%T=2,=1取等号;(2)7；=2,3 k,T2=k+,k+2 N 1 ,其中女=2,3 N-2,对X/i e 7J,行4 3 2,对Vj e(，有bj+i 2,“=4+(&+bk)+bk+x+bk+2+bM+与)W0+(A:-l2+l+(N&-l2=2N 3：4=2,3 N 1 ,7=0,对 Viw2,3 N 1 ,有 如 32,ctN=4 +&+(&+&+bT+%N)2 0+2+(N-2)-2=2N 2 2N 3,综上，即的最小值为2N-3.【点睛】本题注意“夹逼思想 在数列问题中的运用；第 3 问中求心的最小值用到了“累加法”，解题关键是对集合工、刀分类讨论.