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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2 .答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3 .请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4 .作答选择题，必须用2 B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用0 5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5 .如需作图，须用2 B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题：本题共12 小题，每小题5分，共 6 0 分
2、。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其 中 的 周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、缉古算经，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献.这5 部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2 部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为()2 .为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线O 4时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线时，表示收入完全不平等.记区域A为不平等区域，。
3、表示其面积，S为 此 的 面 积，将 G i n i =5称为基尼系数.累计收入n分比累计人口百分比依)对于下列说法：G i n i 越小，则国民分配越公平；设劳伦茨曲线对应的函数为y =/(x),则对V x e(O,l),均 有 侬 1；X若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y =0,1),则 G i n i =；若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y =l(x w 0,1),则 G i n i =；.其中正确的是：A.B.C.D.3.是 函 数/（力=|（以 一 1）乂在区间（0,+8）内单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.如图，在平行四边形
4、A3CD中，对角线AC与 交 于 点。，且 通=2的，则 丽=（）A.C.1 2-A D A B3 32 1 -A D A B2 1 B.-A D-A B1_ 2 _D.-A D +-A B5.设M是A4BC边BC上任意一点，N为AM的中点，A N =A A B +p A C,则丸+的值为（）1B.-21C.-31D.-46.在AA5C中，M是8C的中点,A M =19点P在AW上 且 满 足 丽=2两，则 阳（而+定）等 于（）A.4B.94C.一34D.3A333333497.设变量X，）满足约束条件x+y0A.7B.5C.3D.28.在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个
5、物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是:金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是（）A.0.2C.0.4D.0.89.已 知 在 平 面 直 角 坐 标 系 中，圆G：（x m+（y加6=2与圆。2：（x+l+（y 2 P=1交于A,B两点，若|。4卜|0邳，则实数?的 值 为（)A.11 0.已知函数/）=2(J T x 2,满足对任意的实数N声x,都 有八 0成立，则实数 的取值X 一 看A.(1,+)B.I-o o,y范 围 为()W D.11.a w B 是 cosa 工 cos 0”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C
6、.充要条件 D.既不充分也不必要条件(12 .已知函数/(x)是 R上的偶函数，且当X G 0,-8)时，函数/(x)是单调递减函数，则/(l o g 2 5),f l o g3-,蜒 5 3)的大小关系是()A./l o g31 /(l o g53)/(l o g25)B./l o g31 j /(l o g2 5)/(l o g5 3)C.f(l o g53)/f l o g3/(l o g25)D./(l o g25)/f l o g31 /(l o g53)二、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 2 0 分。13 .在一块土地上种植某种农作物，连续5 年的产量(单位：吨)分 别 为
7、 9.4,9.7,9.8,10.3,10.8.则该农作物的年平均产量是 吨.14 .已知s i n(2 a +)=p s i n，t a n(a +1)=p t a n a,其中，P为正的常数，且则。的值为.15 .若 s i n(a +马=,a(0,兀)，贝!j c o s(N-a)=.6 3 1216 .在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者12 7 人.在医护人员的精心治疗下，第 15 天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1 名患者治愈出院.如果从第16 天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2 倍，那么第19 天治愈出院患者的人数为,第 天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.三、
8、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 .(12 分)已 知 点 P(O,1),直线丁=+/。=4,P A 1 C D,在锐角 P A D中，E是边尸。上一点，且AD=PO=3 E D =3 j L(2)当7的长为何值时，A C与平面尸。所成的角为3 0?19.(12 分)已知函数/(x)=|/+c o s x (a e R),f(x)是/(幻的导数.(1)当。=1时，令/7(x)=/(x)-x+l n x,“(x)为/z(x)的导数.证明：在区间(0,5 存在唯一的极小值点;2 71(2)已知函数y =/(2 x)/在0,-上单调递减，求。的取值范围.3 _ 2
9、 _2 0.(12分)已 知C(x)=a _|x _(a 0),且/(力2 0的解集为何-3 W x 4 7 .(1)求实数。，。的值；(2)若“力的图像与直线x =0及=?(加 0|A 6 .2 2.（10分）在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示：试销价格X（元）456789产品销量y（件）898382797467已知变量左y且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲y=4 x+53;乙），=TX+10 5;丙 =7.6%+1 0 4,其
10、中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.（1）试判断谁的计算结果正确？（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据”的个数X的分布列和数学期望.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】利用列举法，从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有9种情况，由古典概型概率公式可得结果.【详解】周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、缉古
11、算经，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.记这5部专著分别为。力 ,4e,其中a,b,c产生于汉、魏、晋、南北朝时期.从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南 北 朝 时 期 专 著 的 基 本 事 件 有a e,0 c,6 4,根,c d,c e,共9种情况，所以所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为尸=m=59.故 选 D.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本事件的探求方法有（1）枚举法：适合给定
12、的基本事件个数较少且易一一列举出的；（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先（4,耳），（4,员）.（A，4）,再（4,4）,（4出）.（4,纥）依次（&与）（怎&）.（怎 纥）这样才能避免多写、漏写现象的发生.2.A【解析】对于，根据基尼系数公式G i n i =?，可得基尼系数越小，不平等区域的面积。越小，国民分配越公平，所以正确.对于，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得V x e（0/），均有f（x）x,可得 上 1,所以错误.对于，Ha=(x-x2)d x =(-x2-.t3)|o=-,所以 G i n i1-6-1-
13、2=。-5=-,所以错误.对于，因为a=(-v-x3)d x =x2-)I；,=7 所以 G i n i =?=。=:，所以正确.故选 A.J。2 4 4 d 223.C【解析】/(x)=|(a x-l)x|=|a x2-j c|,令 加 一彳=0,解得二=0,x2=当 a 0,.f(x)的图像如下图当。0,/（X）的图像如下图由上两图可知，是充要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法.4.C【解析】画出图形，以福,而为基底将向量前进行分解后可得结果.【详解】画出图形，如下图.选 取 通，而 为 基 底，则通=；而=；（通+而），:.ED=AD-AEA5-（AB+AD
14、=-AD-AB.3V 7 3 3故选C.【点睛】应用平面向量基本定理应注意的问题（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便.（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算.5.B【解析】设 的=/比，通 过 丽=:祝，再 利 用 向 量 的 加 减 运 算 可 得 丽=子 丽+；*，结合条件即可得解.【详 解】设 两=r配，则 有 丽=g丽=g（丽+丽）=g通配=g通一丽）=F而XAN AAB+pA C,HI”2/a 1/t 1所以 ，有 4+=-1 =-.t 2 2
15、 2.=5故选B.【点睛】本题考查了向量共线及向量运算知识，利用向量共线及向量运算知识，用基底向量向量来表示所求向量，利用平面向量表示法唯一来解决问题.6.B【解 析】由 M 是 8 c 的中点，知 A M 是 8 c 边上的中线，又由点尸在A M 上且满足Q=2而 可 得：尸是三角形A 5 C 的重心,根据重心的性质，即可求解.【详解】解：是 8 c 的中点，知 A M 是 B C 边上的中线，又由点尸在A M 上且满足A户=2PMi二产是三角形A 8 c 的重心P APB+PC=PA-AP=-|7PA|2又 2P A=-故选总【点睛】判断尸点是否是三角形的重心有如下几种办法：定义：三条中线
16、的交点.性质：百+而+正=6或A P+B P+而?取得最小值坐标法：尸点坐标是三个顶点坐标的平均数7.B【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.x+y-2-0 x-3,可得 ，2x 3y 9=0 ly=-l将 z=2x+y 变形为 y=-2x+z,平移直线y=-2x+z,由图可知当直y=-2x+z经过点（3,1）时，直线在）轴上的截距最大，z最大值为z=2x31=5,故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：
17、（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解)；(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.8.B【解析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从五行中任取两个，所有可能的方法为：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共1()种,其中由相生关系的有金水、木水、木火、火土、金土，共5种，所以所求的概率为以=0.5.10 2故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题.9.D【解析】由|。4|=|。对可得，o在A B的中垂线上，结合圆的性质
18、可知。在两个圆心的连线上，从而可求.【详解】因为|。4|=|0即，所以。在AB的中垂线上，即。在两个圆心的连线上，0(0,0),GW，加+6)，G(T，2)三点Z 7 7 +6共线，所 以 一-=-2,得加=一2,故选D.m【点睛】本题主要考查圆的性质应用，几何性质的转化是求解的捷径.10.B【解析】由题意可知函数y =/(x)为R上为减函数，可知函数 =(0数。的取值范围.【详解】a 2 0由题意知函数y =/(x)是R上的减函数，于 是 有,/、2a-2)cosa=cos(3,不充分故是必要不充分条件，答案选B【点睛】本题考查了充分必要条件，属于简单题.12.D【解析】利用对数函数的单调性
19、可得l og2 5 l og3 5 l og5 3 ,再根据f (x)的单调性和奇偶性可得正确的选项.【详解】因为 1(电3 5 l og3 3 =1,0 =l og51 l og5 3 l og 5 3 0.又 l og 2 5 l og2 4=2 =l og3 9 l og3 5 0,故 l og 2 5 l og3 5 l og53.因为当时，函数/(x)是单调递减函数，所以/(l og2 5)/(l og3 5)/(l og s 3).因为 为偶函数，故/(l og.3 ()=/(-l og3 5)=/(k g 5),所以/(噫 5)1-Z,2 V2(l-2 r)1 1 QF 1v r
20、,可证平面P C D,根据NAW =30。计算A/，得出NA犷的大小，再计算P 4的长.【详解】(1)证明：连接BO交AC于点O,连 接OE,Q C D/A B,D O C D D E O B A B 2 E P：.OE/PB又.(?(=平面 A C E,尸3 P A =A C D人平面B4。作A F L P Z),尸为垂足，连 接CF；C D 平面 PAD,A F u 平面 PAD.:.C D L A F,有 A F 1.P D,C D C P D =D,：.C F L平面 P C D：.Z A C F就是A C与平面P C D所成的角，Z A C F=30,AC=AD2+CD2=V22*A
21、 b=k，,-.sinZADF=,cos ZADF=yjl-sin2 ZADF=-AD 6 6.PA2=AD2+DP2-2 AD-DP cos ZADP=6，.PA=指PA=指 时，AC与平面PQ9所成的角为30。.【点睛】本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定与线面角的计算，属于中档题.19.(1)见解析；(2)al【解析】(1)设g(x)=(x)=1-cosx,g(x)=+sin x,注意到g(x)在(0点x x I 2,解决；9JI(2)函数y=/(2x)-/在0,-上单调递减，则y 0在0,-恒成立，3 _ 2 _ _ 2 _恒成立，构造函数/(x)=2ox-sin2x-4g xa3
22、,求导讨论心一)的最值即可.【详解】(1)由已知，f(x)=x s in x,所以/z(x)=lnx sinx,1-1设 g(x)=h(x)=-cosx,g(x)=+sinx,x x当时，g(x)单调递增，而g(l)0,且g(x)在(0,不断.所以g(x)在I。，上有唯一零点a,上单增，再利用零点存在性定理即可即20-5亩2X一耳4 1o3 40在0,71上U上图象连续当x e(O,a)时，g (x)0；.g(x)在(0。)单调递减，在(a,单调递增，故g(x)在区间(0,5 上存在唯一的极小值点，即 (x)在区间(0,、上存在唯一的极小值点；(2)设z(x)=x-s i n x,xG 0,-
23、H)O),Z (x)=1 c o s x N O ,，左(x)在 0,4 w)单调递增，k(x)k(O)=O9即x N s i n x,从而s i n 2 x 4 2 x,9 jr因为函数y =/(2 x)可 九4在0,上单调递减，A九：.m(x)=2 a r-s i n2 xA3。在 0,上恒成立，3 _ 2 _m(x)=2 a-2c o s2 x-4 x2=p(x),:s i n 2 x 2 x,:.p(x)=4 s i n 2 x-8x 0,冗，m(x)在 o,上单调递减，2 (无)m a x =根(o)=2 a -2,y r当时，加(x)0,则“(x)在0,-上单调递减，m W 0所以
24、一定存在与e(0,?,当O K x 0 ,皿x)在 (),毛)上单调递增，加(%)加(0)=()与题意不符，舍去.综上，”的取值范围是。V I【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点、不等式恒成立问题，在处理恒成立问题时，通常是构造函数，转化成函数的最值来处理，本题是一道较难的题.2 0.(1)a =5,6=2；(2)(o o,l【解析】(1)解绝对值不等式得人-a W x W h+a,根据不等式的解集为 R 3 x 7 列出方程组，解出即可；(2)求出/(x)的图像与直线x =0及y=租(加3)交点的坐标，通过分割法将四边形的面积分为两个三角形，列出不等式，解不等式即可.【详解】(1)由/(
25、X)*。得：x-ta,h-a x 1 4.化简得：m2-1 4/77+1 3 0.m 1 3(舍)或 加1.故，的取值范围为(0 0,1 .【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求法，以及绝对值不等式在几何中的应用，属于中档题.2 1.(1)(%+2)2+(y +l)2=l,x2=4 y；(2)证明见解析.【解析】分析：(1)设 的标准方程为F=2py,由题意可设E(2 a,a).结合中点坐标公式计算可得的标准方程为x2=4 y.半径r=时=1,则E的标准方程为(x +2 y+(y +l)2 =l.(2)设/的斜率为左，则其方程为y =k(x+l),由弦长公式可得|4回=2后.联立直线与抛物线的
26、方程有x2-4kx-4k=0.设。(冷X),。(,必)，利 用 韦 达 定 理 结 合 弦 长 公 式 可 得=5/匹1后一引=4 必1叱贝！|粤=亚萼亡9 华=2.即|8|阳明.AB k k详解：(1)设厂的标准方程为/=2py,则q已知E在直线y =g x上，故可设E(2 a,a).因 为 关 于M(1,0)对称，所以2。+0 2+6 Z2 二 o,2解得p=2.所以的标准方程为V=4 y.因为 与x轴相切，故半径厂=同=1,所以E的标准方程为(x+2)+(y +l)2 =1.(2)设/的斜率为人，那么其方程为y=A(x+l)，则矶2,1）到/的距离d =,所以|AB|=2 k d 2=2
27、2 kk2+x 4 y,由 ，/.八消去)并整理得：/一4日 一 奴=().y=&(x+l)设C(石,乂),)(工2，旷2)，则玉+x2=4 k,xtx2=-4 k,那 勾CD|=扬+卜 _%2|=2+.y-4中2 =4 lk2+-/k2+k-|CD|2 _ 1 6(2+1)(2+)_ 2(k2+l (k2+k)2 k _所以丽=k T=2-k2+l所以|C球 2|A 2,CDy/2 AB.点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式H 8|=xi
28、 +X 2+P，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.2 2.(1)乙同学正确(2)分布列见解析，E(x)=2【解析】(1)由已知可得甲不正确，求出样本中心点丘,5)代入验证，即可得出结论；(2)根 据(1)中得到的回归方程，求出估值，得到“理想数据”的个数，确定“理想数据”的个数X的可能值，并求出概率，得到分布列，即可求解.【详解】(1)已知变量乂)，具有线性负相关关系，故甲不正确，.=6.5,1 =7 9,代入两个回归方程，验证乙同学正确，故回归方程为：y=4 x+1 05(2)由(1)得到的回归方程，计算估计数据如下表：X456789y8 98 38 27 97 46 7y8 98 58 17 77 36 9“理想数据”有3个，故“理想数据”的个数X的取值为:0,1,2,3.于是“理想数据”的个数X的分布列P(X、cc3=0=h L =)C；1-2 0,P(X=T)=c39 2 0P(X=2)=c2c_ 9_P(X 二T)=J _c3-2 0)-2 0i n g 3.-.E(X)=0 x +l x+2 x +3x =-,2 0 2 0 2 0 2 0 2X0123p12 092 092 012 0【点睛】本题考查样本回归中心点与线性回归直线方程关系，以及离散型随机变量的分布列和期望，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.