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1、 1 第十讲 倍数与约数 一、最大公约数 知识点几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个公约数叫做这几个数的最大公约数。我们可以把自然数 a、b 的最公约数记作（a、b），如果（a、b）=1，则 a 和 b 互质。求几个数的最大公约数可以用分解质因数和短除法等方法。一个自然数的约数个数为奇数个时,这个自然数是完全平方数.求约数个数与所有约数的和的公式 1、求任一整数约数的个数 一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加 1 后所得的乘积。如 1400 严格分解质因数之后为32257，所以它的约数有(3+1)(2+1)(1+1)=4 32=24 个。(
2、包括 1 和 1400 本身)2、求任一整数的所有约数的和 一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从 1 加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。如：332100023 57 ，所以 21000 所有约数的和为 2323(1222)(13)(1555)(17)74880 例题 1、12 和 15 的公约数有哪些？其中最大的公约数是多少?练习 1、a=357，b=3513，c=3517,这三个数的最大公约数是多少？例题 2、(1)360 的约数一共有多少个。它所有约数的和是多少？(2)在 1 到 100 的所有自然数中
3、，约数个数是奇数个的数一共有多少个？练习 2、（1）105 有几个约数?它们的和是多少?（2）1100 中只有三个约数的有哪些，这些数的和是多少？2 例题 3、一张长方形的纸，长 75 厘米，宽 6 分米。现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？练习 3、用一张长 1072 毫米、宽 469 毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？例题 4、一个长方体木块，长 2.7 米，宽 1.8 分米，高 1.5 分米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？练
4、习 4、一个长方体木块的长是 45 厘米、宽 36 厘米、高 24 厘米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米？例题 5、一个数除 200 余 4，除 300 余 6，除 500 余 10.求这个数最大是多少？练习 5、一个数除 425 余 5，除 500 少 4 除 300 余 6，这个数最大是多少？例题 6、一条道路由甲村经过乙村到丙村。已知甲、乙村相距 360 米，乙、丙村相距 675 米。现在准备在路边裁树，要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树，求相邻两棵树之间的距离最多是多少法等方法一个自然数的约数个数为奇
5、数个时这个自然数是完全平方数求约数个数与所有约数的和的公式求任一整数约质因数之后为所以它的约数有个包括和本身求任一整数的所有约数的和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质所有约数的和如所以所有约数的和为例题和的公约数有哪些其中最大的公约数是多少练习这三个数的最大公约数是多 3 米？练习 6、一条公路由 A经 B到 C。已知 A、B相距 300 米，B、C相距 215 米。现在路边植树，要求相邻两树间的距离相等，并在 B 点及 AB、BC的中点上都要植一棵，那么两树间的距离最多有多少米？二、最小公倍数 知识点：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数
6、。自然数 a、b 的最小公倍数可以记作a、b，当（a、b）=1 时，a、b=a b。例题 1、12 和 14 的最小公倍数是多少？练习 1、3，5,12 的最小公倍数是多少？例题 2、一个数，被 3 除余 1，被 4 除余 2，被 7 除余 5，这样的数中最小一个是多少？练习 2、有一批水果，总数在 1000 以内，如果每 24 个装一箱，最后差 2 个；如果每 28 个装一箱，最后还是差 2 个；如果每 32 个装一箱，最后一箱只有30 个。这批水果共有多少个？例题 3、一块砖长 20 厘米，宽 12 厘米，厚 6 厘米。要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块？法等方法一个自然数的约数个数为奇
7、数个时这个自然数是完全平方数求约数个数与所有约数的和的公式求任一整数约质因数之后为所以它的约数有个包括和本身求任一整数的所有约数的和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质所有约数的和如所以所有约数的和为例题和的公约数有哪些其中最大的公约数是多少练习这三个数的最大公约数是多 4 练习 3、有 200 块长 6 厘米、宽 4 厘米、高 3 厘米的长方体木块，要把这些木块堆成一个尽可能大的正方体，这个正方体的体积是多少立方厘米？例题 4、甲每秒跑 3 米，乙每秒跑 4 米，丙每秒跑 2 米，三人沿 600 米的环形跑道从同一地点同时同方向跑步，经过多少时间三人又同时从出发点出发？练习 4、一环形跑
8、道长240 米，甲、乙、丙从同一处同方向骑车而行，甲每秒行 8 米，乙每秒行 6 米，丙每秒行 5 米。至少经过几分钟，三人再次从原出发点同时出发？例题 5、从学校到少年宫的这段公路上，一共有 37 根电线杆，原每两根电线杆之间相距 50 米，现在要改成每两根之间相距 60 米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？练习五、插一排红旗共 26 面。原每两面之间的距离是 4 米，现在改为 5 米。如果起点一面不移动，还可以有几面不移动？例题 6、在一根长木棍上用红、黄、蓝三种颜色做标记，分别将木棍平均分成了 10 等份、12 等份和 15 等份。如果沿这三种标记把木棍锯断，木棍总共被锯成
9、多少段？法等方法一个自然数的约数个数为奇数个时这个自然数是完全平方数求约数个数与所有约数的和的公式求任一整数约质因数之后为所以它的约数有个包括和本身求任一整数的所有约数的和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质所有约数的和如所以所有约数的和为例题和的公约数有哪些其中最大的公约数是多少练习这三个数的最大公约数是多 5 练习六、用红笔在一根木棍上做了三次记号，第一次把木棍分成 12 等份，第二次把棍分成 15 等份，第三次把木棍分成 20 等份，然后沿着这些红记号把木棍锯开，一共锯成多少小段？三、最大公约数和最小公倍数综合应用 知识点两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关系：最大公因数最小公倍
10、数=两数的乘积，即(a,b)a,b=a b 例题 1、两个数的最大公因数是 15，最小公倍数是 90，求这两个数分别是多少？练习 1、两个自然数的和是 52，它们的最大公约数是 4，最小公倍数是 144，这两个数各是多少？例题 2、两个自然数的积是 360，最小公倍数是 120，这两个数各是多少？练习 2、已知两个数的最小公倍数是 210，它们的积是 1260.它们的和是 72，求这两个数的差。法等方法一个自然数的约数个数为奇数个时这个自然数是完全平方数求约数个数与所有约数的和的公式求任一整数约质因数之后为所以它的约数有个包括和本身求任一整数的所有约数的和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解
11、质所有约数的和如所以所有约数的和为例题和的公约数有哪些其中最大的公约数是多少练习这三个数的最大公约数是多 6 例题 3、两个自然数的最大公约数是 6，最小公倍数是 180，这样的数共有几组？练习三、最小公倍数是 120，最大公约数为 4 的数共有几组？课后练习：1、下列判断中，正确的有（）个。A、1 B、2 C、3 D、4 自然数 a 除以自然数 b，商是 4。那么 a 是 a 与 b 的最小公倍数。两个面积相等的三角形，一定能拼成一个平行四边形。长方体的每个面一定都是长方形，而不可能有正方形。一个数，既是 32 的倍数，又是 32 的因数，那么这个数就是 32。在小数点后面添上 0 或去掉
12、0，小数的大小不变。2、互 质 的 两 个 合 数，它 们 的 最 小 公 倍 数 是 702，这 两 个 数 分 别是 、。3、一个数，被 10 除余 7，被 7 除余 4，被 4 除余 1，这样的数中最小一个是 。4、一个自然数,它的最小因数、最大因数、最小倍数之和恰好是 2009，这个数是 。5、甲数=554，乙数=445。甲、乙两数的最大公因数是 ，最小公倍数是 。6、某校五年级有学生若干人，若 3 人一排最后余 1 人，7 人一排余 5 人，8 人一排余 6 人，五年级至少有 人。法等方法一个自然数的约数个数为奇数个时这个自然数是完全平方数求约数个数与所有约数的和的公式求任一整数约质
13、因数之后为所以它的约数有个包括和本身求任一整数的所有约数的和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质所有约数的和如所以所有约数的和为例题和的公约数有哪些其中最大的公约数是多少练习这三个数的最大公约数是多 7 7、甲数=235，乙数=227，丙数=237，甲、乙、丙的最大公因数是 ，最小公倍数 。8、一个分数的分子与分母的和是161，约分后得158，这个分数是 。9、梨和苹果共100 只，分给三年级的小朋友，每组分梨6 只，苹果 8 只，梨正好分完，苹果还余2 只，那么梨有 只，苹果有 只。10、将一个长60 分米、宽 45 分米的长方形铁皮剪割成若干个小正方形铁皮，如果铁皮正好没有剩余，那么至
14、少剪割成 个。11、有连续的三个自然数a、1a、2a，它们恰好分别为 5、4、3 的倍数，这三个自然数中最小的数至少是 .12、沿湖的环形小路旁边每隔 10 米栽一颗柳树，每隔 12 米栽一颗腊梅，但如果位置重叠，就只栽腊梅。李大爷沿湖散步一圈，发现共有柳树 180 颗，那么沿湖一周的长度是 米。13、某校五年级一班的同学开展活动。若每 2 人分为一组，则敲好多出 1 人；若每 3 人分为一组，则恰好多出 2 人，若每 7 人分为一组，则恰好多出 5 人，那么，该班至少有 人。14、深冬的一个早晨，李明和他爸爸踏着积雪，一前一后沿着一个圆形跑道从同一起点朝同一方向跑步锻炼，爸爸每步 50 厘米
15、，李明每步 30 厘米，雪地上脚印时有重合，一圈跑下，一共留有 1680 个脚印，这个跑道一圈的长度是多少米？法等方法一个自然数的约数个数为奇数个时这个自然数是完全平方数求约数个数与所有约数的和的公式求任一整数约质因数之后为所以它的约数有个包括和本身求任一整数的所有约数的和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质所有约数的和如所以所有约数的和为例题和的公约数有哪些其中最大的公约数是多少练习这三个数的最大公约数是多 8 15、甲、乙、丙三人绕着 400 米的跑道跑步，甲每分钟跑 50 米，乙每分钟跑80 米，丙每分钟跑 100 米，他们三人从同一起点出发，至少再过多少分钟，他们又能同时从同一起点出发？法等方法一个自然数的约数个数为奇数个时这个自然数是完全平方数求约数个数与所有约数的和的公式求任一整数约质因数之后为所以它的约数有个包括和本身求任一整数的所有约数的和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质所有约数的和如所以所有约数的和为例题和的公约数有哪些其中最大的公约数是多少练习这三个数的最大公约数是多