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1、2020 年高考数学一轮总复习 三角函数、三角形、平面向量 专题 04 三角函数的应用 文（含解析）1 专题 04 三角函数的应用 一、本专题要特别小心：1。图象的平移(把系数提到括号的前边后左加右减）2。图象平移要注意未知数的系数为负的情况 3。图象的横坐标伸缩变换要注意是加倍还是变为几分之几 4.五点作图法的步骤 5.利用图象求周期 6。已知图象求解析式 二【学习目标】1理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性 2会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期 3理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题 三【方法总结】1。三角
2、函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致：(1)首先看定义域是否关于原点对称；(2)在满足（1)后，再看f（x)与f(x）的关系.另外三角函数中的奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x，偶函数一般可化为yAcos xb的形式。2.三角函数的单调性(1)函数yAsin(x）(A0，0）的单调区间的确定，其基本思想是把x看作一个整体，比如：由 2k错误!x2k错误!（kZ)解出x的范围，所得区间即为增区间。若函数yAsin（x）中A0，0，可用诱导公式将函数变为yAsin（x），则yAsin(x）的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间.对函数yAcos(x)，yAtan(x
3、）等单调性的讨论同上。(2)三角函数单调性的应用主要有比较三角函数值的大小，而比较三角函数值大小的一般步骤：2020 年高考数学一轮总复习 三角函数、三角形、平面向量 专题 04 三角函数的应用 文（含解析）2 先判断正负;利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数;再利用单调性比较。3。求三角函数的最值常见类型：(1）yAsin(x)B或yAtan(x)B，（2)yA(sin xa)2B，(3）ya（sin xcos x）bsin xcos x（其中A,B，a，bR，A0，a0）。四【题型方法】（一)利用三角函数测量应用 例 1。如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯
4、角分别为75,30，此时气球的高是60m,则河流的宽度BC等于（)A B C D 【答案】B【解析】记A点正下方为O，由题意可得60OA,，在AOB中,由，得到；在AOC中,由得到，2020 年高考数学一轮总复习 三角函数、三角形、平面向量 专题 04 三角函数的应用 文（含解析）3 所以河流的宽度BC等于米。故选 B 练习 1.习总书记在十九大报告中指出:必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念。某市为贯彻落实十九大精神，开展植树造林活动，拟测量某座山的高。如图,勘探队员在山脚 A测得山顶 B的仰角为，他沿着倾斜角为的斜坡向上走了 40 米后到达 C，在 C处测得山顶 B的仰角为,则山高约为
5、_米.（结果精确到个位，在同一铅垂面）。参考数据：。【答案】【解析】过 C做 CMBD 于 M，CNAD 于 N,设 BM=h,则CM=，解得h=20(），BD=h+20 （二）与圆有关的三角函数应用 例 2。如图，A，B是半径为 2 的圆周上的定点，P为圆周上的动点，APB是锐角，大小为。图中阴影区域的面积的最大值为 2020 年高考数学一轮总复习 三角函数、三角形、平面向量 专题 04 三角函数的应用 文（含解析）4 A4+4cos B4+4sin C2+2cos D2+2sin【答案】B【解析】观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值,此时BOP=AOP=-,面积S的
6、最大值为2222+SPOB+SPOA=4+.故选：B。练习 1如图，四边形ABCD内接于圆O,若1AB，2AD，则BCDS的最大值为（）A74 B7 24 C7 34 D72 2020 年高考数学一轮总复习 三角函数、三角形、平面向量 专题 04 三角函数的应用 文（含解析）5【答案】C【解析】做DECB于点 E，在直角三角形CDE中，可得到根据该四边形对角互补得到 在三角形 ABD中，应用余弦定理得到 在三角形 DCB中,应用余弦定理以及重要不等式得到 进而得到 故答案为：C。练习 2.位于潍坊滨海的“滨海之眼”摩天轮是世界上最高的无轴摩天轮，该摩天轮的直径均为124 米,中间没有任何支撑，
7、摩天轮顺时针匀速旋转一圈需要 30 分钟，当乘客乘坐摩天轮到达最高点时,距离地面 145 米,可以俯瞰白浪河全景，图中与地面垂直,垂足为点，某乘客从 处进入 处的观景舱，顺时针转动 分钟后,第 1 次到达 点，此时 点与地面的距离为 114 米,则(）2020 年高考数学一轮总复习 三角函数、三角形、平面向量 专题 04 三角函数的应用 文（含解析）6 A16 分钟 B18 分钟 C20 分钟 D22 分钟【答案】C【解析】根据题意，作，如下图所示：直径为，则,所以 则 所以，即 所以 因为摩天轮顺时针匀速旋转一圈需要 30 分钟 所以从 A到 B所需时间为分钟 所以选 C 练习 3.定义在封
8、闭的平面区域 内任意两点的距离的最大值称为平面区域 的“直径.已知锐角三角形的三个顶点在半径为 1 的圆上，且，分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域，则平面区域 的“直径”的最大值是_ 2020 年高考数学一轮总复习 三角函数、三角形、平面向量 专题 04 三角函数的应用 文（含解析）7 【答案】【解析】设三个半圆圆心分别为 G，F,E，半径分别为M,P,N 分别为半圆上的动点，则PM+GF=+=，当且仅当 M,G，F,P 共线时取等；同理：PN MN,又外接圆半径为 1，,所以，BC=a=2sin=,由余弦定理解 b+c2,当且仅当 b=c=取等；故 故答案为 （三)模型
9、的应用 例 3。据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上，按月呈的模型波动(x为月份)，已知 3 月份达到最高价 9 千元，7月份价格最低为 5 千元，根据以上条件可确定的解析式为(）A B 2020 年高考数学一轮总复习 三角函数、三角形、平面向量 专题 04 三角函数的应用 文（含解析）8 C D【答案】A【解析】因为 3 月份达到最高价 9 千元，7 月份价格最低为 5 千元,所以半周期，故，所以，又,所以，所以，当时，,，.,故选 A.练习1。国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：（美元）(t（天),，)，现采集到下列信息：最高油价 80 美元，当（天）时达到最低油价
10、，则 的最小值为_【答案】【解析】由最高油价为 80 美元知.由（天）时达到最低油价知，所以，又，所以 的最小值为。练习 2。为解决城市的拥堵问题,某城市准备对现有的一条穿城公路 MON 进行分流，已知穿城公路 MON 自西向东到达城市中心O后转向ON方向，已知MON34,现准备修建一条城市高架道路 L，L在 MO上设一出入口 A,在 ON上设一出口 B，假设高架道路 L在 AB部分为直线段，且要求市中心O与 AB的距离为 10km （1)求两站点 A，B之间的距离；(2）公路 MO段上距离市中心O30km处有一古建筑群 C，为保护古建筑群,设立一个以 C为圆心，5km为半径的圆形保护区因考虑
11、未来道路 AB的扩建，则如何在古建筑群和市中心O之间设计出入口 A，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区？2020 年高考数学一轮总复习 三角函数、三角形、平面向量 专题 04 三角函数的应用 文（含解析）9 【答案】(1）20(21)；（2）【解析】（1)过O作直线 OEAB 于 E，则 OE 10,设EOA,则EOB34,（42），故 AE 10tan,BE10tan（34），AB 10tan+10tan(34）10（），又 coscos（22cos+22sin）由42，可得:2，故 cos，当且仅当 242，即38时取等号，此时，AB有最小值为 20（21)，即两出入口之间距离的最小值为
12、 20（21）（2）由题意可知直线 AB是以O为圆心，10 为半径的圆O的切线,根据题意，直线 AB与圆 C要相离，其临界位置为直线 AB与圆 C相切，设切点为 F，此时直线 AB为圆C与圆O的公切线，因为，出入口 A在古建筑群和市中心O之间,如图所示，以O为坐标原点，以CO所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy,由 CF5，OE 10，因为圆O的方程为 x2+y2100，圆C的方程为(x+30）2+y225，设直线 AB的方程为 ykx+t（k0),2020 年高考数学一轮总复习 三角函数、三角形、平面向量 专题 04 三角函数的应用 文（含解析）10 则：，所以两式相除可得:|30|t
13、kt2，所以 t 20k,或 t 60k，所以，此时 A（20,0)或 A（60，0)（舍去），此时 OA 20，又由（1）可知当4时,OA102,综上,OA 即设计出入口 A离市中心O的距离在 102km到 20km之间时，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区 练习 3一半径为的水轮如图所示，水轮圆心 距离水面；已知水轮按逆时针做匀速转动，每 转一圈，如果当水轮上点 从水中浮现时（图中点）开始计算时间.(1）以水轮所在平面与水面的交线为 轴，以过点 且与水面垂直的直线为 轴,建立如图所示的直角坐标系，将点 距离水面的高度表示为时间的函数；（2)点 第一次到达最高点大约要多长时间?2020 年
14、高考数学一轮总复习 三角函数、三角形、平面向量 专题 04 三角函数的应用 文（含解析）11【答案】(1）（2）【解析】（1）设，则，,，。，(2）令，得，点 第一次到达最高点大约要 的时间.练习 4.已知某海滨浴场海浪的高度(米）是时间 的(，单位：小时）函数，记作，下表是某日各时的浪高数据：（时）0 3 6 9 12 15 18 21 24（米）1.5 1.0 0。5 1.0 1.5 1.0 0。5 0。99 1.5 经长期观察，的曲线，可以近似地看成函数的图象（1）根据以上数据，求出函数近似表达式;（2）依据规定，当海浪高度高于米时才对冲浪爱好者开放,请依据（1）的结论,判断一天内的上午
15、时至晚上时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？【答案】（1）;（2）从 8 点到 16 点共 8 小时.【解析】（1）设函数，同一周期内,当时，当时，函数的周期，得，且，,又由题意得点是函数图象上的一个最低点，2020 年高考数学一轮总复习 三角函数、三角形、平面向量 专题 04 三角函数的应用 文（含解析）12,，函数近似表达式为（2)由题意得，即，解得，即，在规定时间上午 800 时至晚上 2000 时之间，令，得，在规定时间上午 800 时至晚上 2000 时之间，从 8 点到 16 点共 8 小时的时间可供冲浪者进行运动 (四）数学文化中的三角应用 例 4.我国古代数学家僧一行应用“九
16、服晷（gu）影算法”在大衍历中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表根据三角学知识可知，晷影长度 等于表高 与太阳天顶距 正切值的乘积,即已知天顶距时，晷影长现测得午中晷影长度，则天顶距 为（）（参考数据：,，）A B C D【答案】B【解析】，且顶距时，晷影长，当晷影长度，2020 年高考数学一轮总复习 三角函数、三角形、平面向量 专题 04 三角函数的应用 文（含解析）13 故选：B 练习 1我国古代数学家刘徽于公元 263 年在九章算术注中提出“割圆术：割之弥细,所失弥少，割之又割，以至于不可割,则与圆合体，而无所失矣.即通过圆内接正多边形细割圆，并使正
17、多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率。如果用圆的内接正 边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为,那么用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值可表示成(）A B C D【答案】A【解析】令圆的半径为 1,则圆内接正 边形的面积为，圆内接正边形的面积为，用圆的内接正 边形逼近圆，可得；用圆的内接正边形逼近圆，可得;所以.故选 A 练习 2“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形 若直角三角形中较小的锐角为，现
18、已知阴影部分与大正方形的面积之比为,则锐角(）2020 年高考数学一轮总复习 三角函数、三角形、平面向量 专题 04 三角函数的应用 文（含解析）14 A B C D【答案】D【解析】设 大正方形的边长为 a,小正方形边长为 b，则=b,阴影三角形面积为小正方形面积为又阴影部分与大正方形的面积之比为所以整理得 1，解得 故选：D （五）三角形中的三角函数 例 5.某小区拟对如图一直角ABC区域进行改造,在三角形各边上选一点连成等边三角形DEF,在其内建造文化景观.已知，则DEF面积最小值为_ 【答案】75 37【解析】因为,所以，显然,，设，则，且02，则,所以，2020 年高考数学一轮总复习
19、 三角函数、三角形、平面向量 专题 04 三角函数的应用 文（含解析）15 在BEF中,由正弦定理可得：，求得，其中，则02，因为，所以当2 时，sin()取得最大值 1，则x的最小值为10 217，所以面积最小值为，练习 1.海上一艘轮船以的速度向正东方向航行，在 处测得小岛 在北偏西的方向上,小岛 在北偏东的方向上，航行后到达 处测得小岛 在北偏西的方向上，小岛 在北偏西的方向上，则两个小岛间的距离_.【答案】【解析】在中，由题意可得 由正弦定理 在中，由于 2020 年高考数学一轮总复习 三角函数、三角形、平面向量 专题 04 三角函数的应用 文（含解析）16 由正弦定理可得 可得 中，
20、由余弦定理可得 解得 即 C、D之间的距离为 故答案为 练习 2如图，有一壁画,最高点 处离地面 6 m,最低点 处离地面 3。5 m 若从离地高 2 m的处观赏它，则离墙_m时，视角 最大 【答案】【解析】如图,过点 作的垂线，垂足为 设米，则 在中，由余弦定理可得:（）.2020 年高考数学一轮总复习 三角函数、三角形、平面向量 专题 04 三角函数的应用 文（含解析）17 令，则 当时，最大，此时最小，此时 最大.即 时，视角 最大.练习 3.某小区拟对如图一直角ABC区域进行改造,在三角形各边上选一点连成等边三角形DEF,在其内建造文化景观。已知，则DEF面积最小值为_ 【答案】75
21、37【解析】因为，所以，显然，设，则，且02,则，所以，在BEF中,由正弦定理可得：,求得，其中，则02,因为，所以当2 时，sin()取得最大值 1,2020 年高考数学一轮总复习 三角函数、三角形、平面向量 专题 04 三角函数的应用 文（含解析）18 则x的最小值为10 217，所以面积最小值为 (六）三角函数的综合应用 例 6.如图是一个半径为 2 千米,圆心角为 的扇形游览区的平面示意图 是半径上一点,是圆弧上一点，且.现在线段,线段及圆弧三段所示位置设立广告位,经测算广告位出租收入是:线段处每千米为元，线段及圆弧处每千米均为 元设弧度，广告位出租的总收入为 元 (1）求 关于 的函
22、数解析式，并指出该函数的定义域；(2）试问：为何值时,广告位出租的总收入最大?并求出其最大值【答案】(1）;（2）当时，广告位出租的总收入最大,最大值为元。【解析】(1）因为,所以。在中,，,.由正弦定理，得，得，。又圆弧长为，所以 2020 年高考数学一轮总复习 三角函数、三角形、平面向量 专题 04 三角函数的应用 文（含解析）19。(2）记，则,令,得。当 变化时，的变化如下表:所以在处取得极大值,这个极大值就是最大值，即。故当时，广告位出租的总收入最大，最大值为元 练习 1.某地拟在一个U形水面PABQ（A=B=90）上修一条堤坝（E在AP上，N在BQ上），围出一个封闭区域EABN,用
23、以种植水生植物为了美观起见，决定从AB上点M处分别向点E，N拉 2 条分隔线ME，MN,将所围区域分成 3 个部分(如图)，每部分种植不同的水生植物已知AB=a，EM=BM，MEN=90，设所拉分隔线总长度为l（1）设AME=2，求用 表示的l函数表达式，并写出定义域；（2）求l的最小值 【答案】（1）l=，（0，）；（2）lmin=2a【解析】(1）EM=BM，B=MEN，BMNEMN,BNM=MNE，2020 年高考数学一轮总复习 三角函数、三角形、平面向量 专题 04 三角函数的应用 文（含解析）20 AME=2,BNM=MNE=，设MN=x，在BMN中，BM=xsin,EM=BM=xs
24、in，EAM中,AM=EMcos2=xsincos2，AM+BM=a,xsincos2+xsin=a，x=，l=EM+MN=，（0，）；(2）令f(）=sin（1-sin)，sin（0，），f(），当且仅当=时，取得最大值，此时lmin=2a 练习 2。如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通 A、B两地，A处位于东西方向的直线 MN上的陆地处，B处位于海上一个灯塔处，在 A处用测角器测得,在 A处正西方向 1km的点 C处，用测角器测得，现有两种铺设方案：沿线段 AB在水下铺设；在岸MN上选一点 P，先沿线段 AP在地下铺设,再沿线段 PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为 2 万元
25、/km，4 万元/km.（1）求 A、B两点间的距离；（2）请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由.【答案】（1)千米;（2)方案,理由见详解。【解析】（1)过点 作于点，设，因为，所以，又,，所以,即，解得,所以(km）.（2)由（1）可知（km），方案:沿线段 AB在水下铺设，总铺设费用为万元；2020 年高考数学一轮总复习 三角函数、三角形、平面向量 专题 04 三角函数的应用 文（含解析）21 方案:设，则，其中,在直角三角形中，所以，则总铺设费用为，设,则，令得，列表如下：单调递减 极小值 单调递增 所以的最小值为。所以该方案的总铺设费用为,此时。而，所以应选择方案进行铺设，点 选择 的正西方处，总铺设费用最低。2020 年高考数学一轮总复习 三角函数、三角形、平面向量 专题 04 三角函数的应用 文（含解析）22