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1、 1 容斥原理 知识概述 当两个计数部分有重复时，为了不重复计算，应从他们的和中减去重复计算的部分，这就是容斥原理。在解决包含与排除问题时，要注意一下几个方面：灵活运用容斥原理；善于利用形象的图示帮助理解题意，利用图形的重合部分，理清数量之间的逻辑关系；在计算一个总量时，可以把总量分成几个分量计算，先把每个分量加起，再从几个分量的和中减去重复计算的部分。例题精选 例 1、五年级 96 名学生都订了报纸，有 64 人订了少年报，有 48 人订了小学生报。两种报纸都订的有多少人？练习 1、一个班的 52 人都在做语文和数学作业。有 32 人做完了语文作业，有 35 人做完了数学作业。语文、数学作业
2、都做完的有多少人？练习 2、五年级有 122 人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优。其中语文得优的有 65 人，数学得优的有 87 人。语文、数学都得优的有多少人？C BC AC ABC B A AB 2 例 2、某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。已知有 35 人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有 21 人。这个学校共有多少名教师？练习 1、某校的每个学生至少爱体育和文娱中的一种活动。已知有 900 人爱好体育活动，有 850 人爱好文娱活动，其中 260 人两种活动都爱好。这个学校共有学生多少人？练习 2、某班在一次测验中有 26 人语文获优，有 30 人数学获优，其中语文
3、、数学双优的有 12 人，另外还有 8 人语文、数学均未获优。这个班共有多少人？例 3、学校开展课外活动，共有 250 人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有 83 人，参加乒乓球组的有 86 人，这两个小组都参加的有 25 人。问这 250 名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？部分理清数量之间的逻辑关系在计算一个总量时可以把总量分成几个分量计算先把每个分量加起再从几个分量的和中少人练习一个班的人都在做语文和数学作业有人做完了语文作业有人做完了数学作业语文数学作业都做完的有多少人有多少人例某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言已知有人懂英语人懂日语两种语言都
4、懂的有人这个学校共有多 3 练习 1、五（1）班有 50 人，在一次测试中，语文 90 分以上的有 30 人，数学90 分以上的 35 人，语文和数学都在 90 分以上的有 20 人。两科都在 90 分以下的有多少人？例 4、实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有 20 人获奖，在获奖者中有 16 人不是四年级的，有 12 人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？练习 1、五一小学举行小学生田径运动会，其中 24 名运动员不是六年级的，28 名运动员不是五年级的，已知五、六年级运动员共有 32 名，求五、六年级和中低年级运动员各有多少名？练习 2、少年乐团学生中有
5、170 人不是五年级的，有 135 人不是六年级的，已知五、六年级的共有 205 人，求少年乐团中五、六年级以外的学生共有多少人？例 5、在 100 个外语教师中，懂英语的有 75 人，懂日语的有 45 人，其中必然有既懂英语又懂日语的老师。问：只懂英语的老师有多少人？部分理清数量之间的逻辑关系在计算一个总量时可以把总量分成几个分量计算先把每个分量加起再从几个分量的和中少人练习一个班的人都在做语文和数学作业有人做完了语文作业有人做完了数学作业语文数学作业都做完的有多少人有多少人例某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言已知有人懂英语人懂日语两种语言都懂的有人这个学校共有多 4 练习 1、40 人
6、都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一题。已知做对第一题的有 30 人，做对第二题的有 21 人。只做对第一题的有多少人？练习 2、五年级 122 名同学参加语文、数学考试，每人至少有一门得优。已知语文 65 人得优，数学 78 人得优，求只有语文一门得优的人数。例 6、夏日的一天，有 12 人去冷饮店，有 6 人要可乐，有 5 人要雪碧，有 5人要果汁，有 3 人既要可乐又要雪碧，有 2 人既要雪碧又要果汁，有 3 人既要可乐又要果汁，有 1 人可乐、雪碧、果汁都要。有没有什么饮料都没有要的人？如果有，有几人？练习 1、六年级的 100 人中，每人至少爱好体育、文艺、和科学三项中的一项。
7、其中爱好体育的有 55 人，爱好文艺的有 56 人，爱好科学有 51 人，三项都爱好的有 15 人，只爱体育和科学的有 4 人，只爱体育和文艺的有17 人。问：有多少人只爱好科学和文艺？练习 2、六年级二班有 42 人，统计发现 26 人爱打篮球，17 人爱打排球，19人爱踢足球，9 人既爱打篮球又爱踢足球，4 人既爱打排球又爱踢足球。没有部分理清数量之间的逻辑关系在计算一个总量时可以把总量分成几个分量计算先把每个分量加起再从几个分量的和中少人练习一个班的人都在做语文和数学作业有人做完了语文作业有人做完了数学作业语文数学作业都做完的有多少人有多少人例某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言已知有
8、人懂英语人懂日语两种语言都懂的有人这个学校共有多 5 人三种球都爱好，也没有人三种球都不爱好。问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？课后检测：1、一个数学检测只有两道题，结果全班有 12 人全对，有一题有 27 人做对，第二道题有 21 人做错，两道题都做错的有 人。2、某市举行数学竞赛，所有选手都要参加两场考试。考试结果：第一场不及格人数是及格人数的71；第二场及格人数减少 24 人，不及格人数是及格人数的51。参加数学竞赛的选手一共有多少人？3、某班有 50 名学生，在一次测验中有 26 人满分，在第二次测验中有 21 人满分。如果两次测验都没得过满分的学生有 17 人，那么，两次测验都得满分
9、的有多少人？4、第一小组的同学们都在做两道数学思考题，做对第一题的有 15 人，做对第二题的有 10 人，两题都做对的有 7 人，两题都做错的有 2 人。第一小组共有多少人？部分理清数量之间的逻辑关系在计算一个总量时可以把总量分成几个分量计算先把每个分量加起再从几个分量的和中少人练习一个班的人都在做语文和数学作业有人做完了语文作业有人做完了数学作业语文数学作业都做完的有多少人有多少人例某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言已知有人懂英语人懂日语两种语言都懂的有人这个学校共有多 6 5、老师在统计考试成绩，数学得 90 分以上的有 25 人，语文得 90 分以上的有21 人，两科中至少有一科在
10、90 分以上的有 38 人。两科都在 90 分以上的有多少人？6、六一儿童节同学们做小花，有 24 朵不是红色的，有 20 朵不是黄色的，已知红花和黄花一共有 18 朵，其他颜色的花一共做了多少朵？7、全班 46 名同学，仅会打乒乓球的有 28 人，会打乒乓球又会打羽毛球的有10 人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有 6 人。仅会打羽毛球的有多少人？部分理清数量之间的逻辑关系在计算一个总量时可以把总量分成几个分量计算先把每个分量加起再从几个分量的和中少人练习一个班的人都在做语文和数学作业有人做完了语文作业有人做完了数学作业语文数学作业都做完的有多少人有多少人例某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言已知有人懂英语人懂日语两种语言都懂的有人这个学校共有多 7 部分理清数量之间的逻辑关系在计算一个总量时可以把总量分成几个分量计算先把每个分量加起再从几个分量的和中少人练习一个班的人都在做语文和数学作业有人做完了语文作业有人做完了数学作业语文数学作业都做完的有多少人有多少人例某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言已知有人懂英语人懂日语两种语言都懂的有人这个学校共有多