高考试题数学文上海秋季解析版.pdf

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1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文科）解析 重庆合川太和中学 杨建 一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生必须在答题纸相应编号的空 格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分。1.已知集合 1,3,A m，3,4 B，1,2,3,4 A B 则m 2。解析：考查并集的概念，显然 m=2 2.不等式204xx的解集是 2 4|x x。解析：考查分式不等式的解法204xx等价于（x-2）(x+4)0,所以-4x2 3.行列式cos sin6 6sin cos6 6 的值是 0.5。解析：考查行列式运算法则cos sin6 6sin cos

2、6 6=213cos6sin6sin6cos6cos 4.若复数1 2 z i（i为虚数单位），则z z z i 2 6。解析：考查复数基本运算z z z i i i i 2 6 2 1)2 1)(2 1(5.将一个总数为A、B?、C三层，其个体数之比为 5:3:2。若用分层抽样方法抽取容量为100 的样本，则应从C中抽取 20 个个体。解析：考查分层抽样应从C中抽取20102100 6.已知四棱椎P ABCD 的底面是边长为 6 的正方形，侧棱PA底面ABCD，且8 PA，则该四棱椎的体积是 96。解析：考查棱锥体积公式96 8 3631 V 7.圆2 2:2 4 4 0 C x y x y

3、 的圆心到直线3 4 4 0 x y 的距离d 3。解析：考查点到直线距离公式 圆心（1,2）到直线 3 4 4 0 x y 距离为 354 2 4 1 3 8.动 点 P到 点(2,0)F的 距 离 与 它 到 直 线 2 0 x 的 距 离 相 等，则 P的 轨 迹 方 程 为 y2 8x。解析：考查抛物线定义及标准方程 定义知 P的轨迹是以(2,0)F为焦点的抛物线，p=2 所以其方程为y2 8x 9.函数3()log(3)f x x 的反函数的图像与y轴的交点坐标是(0,2)。解析：考查反函数相关概念、性质 法一：函数3()log(3)f x x 的反函数为3 3 xy，另 x=0，有

4、y=-2 法二：函数3()log(3)f x x 图像与 x 轴交点为（-2,0），利用对称性可知，函数3()log(3)f x x 的反函数的图像与y轴的交点为（0，-2）10.从一副混合后的扑克牌（52 张）中随机抽取 2 张，则“抽出的 2 张均为红桃”的概率 为 351（结果用最简分数表示）。解析：考查等可能事件概率“抽出的 2 张均为红桃”的概率为513252213CC 11.2010 年上海世博会园区每天 9:00 开园，20:00 停止入园。在右边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前 1 个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 S S

5、a。解析：考查算法 12.在n行m列矩阵1 2 3 2 12 3 4 1 13 4 5 1 21 2 3 2 1n n nn nnn n n n 中，记位于第i行第j列的数为(,1,2,)ija i j n。当9 n 时，11 22 33 99a a a a 45。解析：11 22 33 99a a a a 1+3+5+7+9+2+4+6+8=45 13.在平面直角坐标系中，双曲线 的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5,0)，1(2,1)e、2(2,1)e 分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线上的点P，若12OP ae be（a、b R），则a、b满足的一个等式是 4ab 1。解析：因为 1

6、(2,1)e、2(2,1)e 是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为x y21，又1,2,5 b a c 双曲线方程为1422 yx，12OP ae be=),2 2(b a b a，1)(4)2 2(22 b ab a，化简得 4ab 1 14.将直线1:1 0 l x y、2:0 l nx y n、3:0 l x ny n（*n N，2 n）围成的三角形面积记为nS，则limnnS 12。解析：B)1,1(nnnn 所以 BO AC，nS=)1(21)2221(221 nnnn 所以limnnS12 二选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在

7、答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分。15.满足线性约束条件2 3,2 3,0,0 x yx yxy 的目标函数z x y 的最大值是 答（）（A）1.（B）32.（C）2.（D）3.解析：当直线z x y 过点 B(1,1)时，z 最大值为 2 16.“24x k k Z”是“tan 1 x”成立的 答（）（A）充分不必要条件.（B）必要不充分条件.（C）充分条件.（D）既不充分也不必要条件.解析：14tan)42 tan(k，所以充分；但反之不成立，如145tan 17.若0 x是方程式 lg 2 x x 的解，则0 x属于区间 答（）（A）（0，1）

8、.（B）（1，1.25）.（C）（1.25，1.75）（D）（1.75，2）解析：04147lg)47()75.1(,2 lg)(f f x x x f 由 构造函数 0 2 lg)2(f知0 x属于区间（1.75，2）18.若ABC的三个内角满足sin:sin:sin 5:11:13 A B C，则ABC（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.解析：由sin:sin:sin 5:11:13 A B C 及正弦定理得 a:b:c=5:11:13 由余弦定理得011 5 213 11 5cos2 2 2 c，所以角 C

9、为钝角 三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。19.（本题满分 12 分）已知02x，化简：解析：原式 lg(sinx cosx)lg(cosx sinx)lg(sinx cosx)2 0 20.（本大题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4 个全等的矩形骨架，总计耗用 9.6 米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该 最大值（结果精确到 0.

10、01 平方米）;(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为 0.3 米的灯笼，请作出 用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）.解 析：(1)设 圆 柱 形 灯 笼 的 母 线 长 为 l，则l 1.2 2r(0r0.6)，S 3(r 0.4)2 0.48，所以当 r 0.4 时，S 取得最大值约为 1.51 平方米；(2)当 r 0.3 时，l 0.6，作三视图略 21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题，第一个小题满分 6 分，第 2 个小题满分 8 分。已知数列 na的前 n项和为 nS，且 5 85n nS n a，*n N(1)证明：1na 是等比数列；(2)求数列 nS

11、的通项公式，并求出使得1 n nS S成立的最小正整数n.解析：(1)当 n 1 时，a1 14；当 n 2 时，an Sn Sn 1 5an 5an 1 1，所以151(1)6n na a，又 a1 1 15 0，所以数列 an 1 是等比数列；(2)由(1)知：151 156nna，得151 156nna，从而1575 906nnS n(n N*)；由 Sn 1Sn，得15 26 5n，562log 1 14.925n，最小正整数 n 15 22.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3小题满分 8 分。若实数x、y、m满足x

12、m y m，则称x比y接近m.（1）若21 x 比 3 接近 0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：2 2a b ab 比3 3a b 接近2ab ab；（3）已知函数()f x的定义域,D x x k k Z x R.任取x D，()f x等于1 sinx 和1 sin x 中接近 0 的那个值.写出函数()f x的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.解析：(1)x(2,2)；(2)对任意两个不相等的正数 a、b，有2 22 a b ab ab ab，3 32 a b ab ab，因为2 2 3 3 2|2|2|()()0 a b

13、ab ab ab a b ab ab a b a b，所以2 2 3 3|2|2|a b ab ab ab a b ab ab，即 a2b ab2 比 a3 b3 接近2ab ab；(3)1 sin,(2,2)()1|sin|,1 sin,(2,2)x x k kf x x x kx x k k,k Z，f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期 T，函数 f(x)的最小值为 0，函数 f(x)在区间,)2k k 单调递增，在区间(,2k k 单调递减，k Z 23（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 8 分.已知

14、椭圆 的方程为 2 22 21(0)x ya ba b，(0,)A b、(0,)B b 和(,0)Q a为的三个顶点.（1）若点M满足1()2AM AQ AB，求点M的坐标；（2）设直线1 1:l y k x p 交椭圆于C、D两点，交直线2 2:l y k x 于点E.若21 22bk ka，证明：E为CD的中点；（3）设点P在椭圆内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆的两个交点1P、2P满足1 2PP PP PQ 1 2PP PP PQ？令10 a，5 b，点P的坐标是（-8，-1），若椭圆上的点1P、2P满足1 2PP PP PQ，求点1P、2P的坐标.解析：(1)(

15、,)2 2a bM；(2)由方程组12 22 21y k x px ya b，消 y 得方程2 2 2 2 2 2 2 21 1()2()0 a k b x a k px a p b，因为直线1 1:l y k x p 交椭圆于C、D两点，所以 0，即2 2 2 210 a k b p，设 C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，则21 2 102 2 2120 1 02 2 212x x a k pxa k bb py k x pa k b，由方程组12y k x py k x，消 y 得方程(k2 k1)x p，又因为2221bka k，所以2102 2 22 1 122 02 2 21a k p px xk k a k bb py k x ya k b，故 E 为 CD的中点；(3)因为点 P 在椭圆 内且不在 x 轴上，所以点 F 在椭圆 内，可以求得直线 OF的斜率 k2，由1 2PP PP PQ 知 F 为 P1P2 的中点，根据(2)可得直线 l 的斜率2122bka k，从而得直线 l 的方程 1(1,)2F，直线 OF 的斜率212k，直线 l 的斜率212212bka k，解方程组2 21121100 25y xx y，消 y：x2 2x 48 0，解得 P1(6,4)、P2(8,3)