高考数学真题分类汇编专题19：导数在函数中的应用.pdf

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1、(完整版)2019 年高考数学真题分类汇编专题 19：导数在函数中的应用(综合题)1(完整版)2019 年高考数学真题分类汇编专题19：导数在函数中的应用(综合题)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整版)2019年高考数学真题分类汇编专题 19：导数在函数中的应用(综合题)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快

2、业绩进步，以下为(完整版)2019 年高考数学真题分类汇编专题 19：导数在函数中的应用(综合题)的全部内容。(完整版)2019 年高考数学真题分类汇编专题 19：导数在函数中的应用(综合题)2 2019 年高考数学真题分类汇编 专题 19：导数在函数中的应用（综合题)1.(2019 江苏）设函数()()()(),()f xxaxb xc a b cR fx 为 f(x）的导函数(1)若 a=b=c，f(4）=8,求 a 的值；（2)若 ab,b=c，且()f x和()fx的零点均在集合3,1,3中，求()f x的极小值；（3)若0,01,1abc，且 f（x)的极大值为 M,求证：M427【

3、答案】（1）解:因为 a=b=c，所以3()()()()()f xxaxb xcxa 因为 ,所以 ，解得 （2）解:因为 ，所以 ,从而 令 ，得 或 因为 ，都在集合 中,且 ，所以 此时 ，令 ，得 或 列表如下：1 +0 0+极大值 极小值 所以 的极小值为 （3）解：因为 ，所以 ，因为 ,所以 ,(完整版)2019 年高考数学真题分类汇编专题 19：导数在函数中的应用(综合题)3 则 有 2 个不同的零点，设为 由 ，得 列表如下:+0 0+极大值 极小值 所以 的极大值 解法一：因此 解法二:因为 ，所以 当 时，令 ，则 令 ,得 列表如下:+0 极大值 所以当 时,取得极大值

4、，且是最大值，故 (完整版)2019 年高考数学真题分类汇编专题 19：导数在函数中的应用(综合题)4 所以当 时,，因此 【考点】利用导数研究函数的极值,不等式的证明 【解析】【分析】利用已知条件 a=b=c ，f（4）=8,求出 的值。（1)利用求导的方法判断函数的单调性，再结合 ab ，b=c ，且 f(x）和 的零点均在集合 中，从而求出函数的极值.（2）利用两种方法证出 M ，第一种方法是利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值,再利用均值不等式求最值的方法结 ，且 f(x)的极大值为 M ，从而证出 M ；第二种方法利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，从而

5、求出函数的最值从而证出当 时 ，因此 。2。（2019浙江）已知实数 a0,设函数 f（x）=alnx+1x.x 0。（1)当 a=34时，求函数 f（x）的单调区间；（2）对任意 x21e，+)均有 f（x）2xa，求 a 的取值范围。【答案】(1）当 a=34时，所以，函数 的单调递减区间为(0,3），单调递增区间为（3，+）(2）由 ，得 当 时，等价于 令 ,则 (完整版)2019 年高考数学真题分类汇编专题 19：导数在函数中的应用(综合题)5 设 ,则 （i）当 时，则 记 ，则 .故 1 0+单调递减 极小值 单调递增 所以，因此，（ii)当 时，令 ，则 ，故 在 上单调递增，

6、所以 由（i）得 所以，因此 由（i）（ii）得对任意 ，即对任意 ，均有 (完整版)2019 年高考数学真题分类汇编专题 19：导数在函数中的应用(综合题)6 综上所述，所求 a 的取值范围是 【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值 【解析】【分析】(1）将 a=-代入，求导数，结合导数确定函数的单调性即可；（2）采用换元法,构造函数，求导数，结合导数确定函数的单调性,求出函数的最值,即可求出不等式成立时相应的实数 a 的取值范围。3。(2019 天津)设函数()ln(1)xf xxa xe，其中aR.（)若0a，讨论()f x的单调性；(）若10ae，（i)证明()f x

7、恰有两个零点(ii）设0 x为()f x的极值点，1x为()f x的零点,且10 xx，证明0132.xx 【答案】解:（）解：由已知，的定义域为 ，且 因此当 时,从而 ，所以 在 内单调递增.(）证明：（i）由（）知 .令 ，由 ，可知 在 内单调递减，又 ，且 .故 在 内有唯一解，从而 在 内有唯一解，不妨设为 ，则 。当 时,，所以 在 内单调递增；当 时，所以 在 内单调递减，因此 是 的唯一极值点。(完整版)2019 年高考数学真题分类汇编专题 19：导数在函数中的应用(综合题)7 令 ，则当 时，故 在 内单调递减，从而当 时，所以 .从而 ,又因为 ，所以 在 内有唯零点。又

8、 在 内有唯一零点 1，从而,）在 内恰有两个零点。（ii）由题意，即 ，从而 ，即 .因为当 时，,又 ，故 ,两边取对数，得 ，于是 ，整理得 。【考点】利用导数研究函数的单调性,不等式的证明，函数零点的判定定理 【解析】【分析】（)根据题意,由函数的解析式求出导函数，通过当 时，判断 ，得到函数的单调性；（)(）求导，分析导函数可得函数 的单调性和极值点,再根据极值点的取值范围分析函数在不同区间的正负，即可得函数 的零点个数。（）根据 为 的极值点，为 的零点可列出等式，化简整理得 ，由（）可得 ，两边取对数，即可得 ,整理即可得.4.（2019天津）设函数()cos,xf xex()g

9、 x为()f x的导函数.(完整版)2019 年高考数学真题分类汇编专题 19：导数在函数中的应用(综合题)8(）求()f x的单调区间；（)当,4 2x时，证明()()()02f xg xx；（)设nx为函数()()1u xf x在区间2,242mm内的零点，其中nN,证明20022sincosnnenxxx 。【答案】解：()由已知，有 。因此，当 时，有 ，得 ，则 单调递减；当 时，有 ,得 ，则 单调递增.所以，的单调递增区间为 的单调递减区间为 .（）证明：记 。依题意及(），有 ，从而 .当 时,故 。因此，在区间 上单调递减，进而 。所以，当 时，.（)证明：依题意，即 .记

10、，则 ，且 .(完整版)2019 年高考数学真题分类汇编专题 19：导数在函数中的应用(综合题)9 由 及（)，得 .由()知，当 时，,所以 在 上为减函数,因此 .又由(）知，,故 。所以，【考点】利用导数研究函数的单调性，不等式的证明，反证法与放缩法 【解析】【分析】本题主要考导数的计算、不等式证明及导数在研究函数中的应用.()对函数 求导可求出 的单调递增区间和单调递减区间；（）先构造函数 ，再对（)求导，找出 的单调递减区间，结论得以证明;（)由已知条件 得出 ,进而得出 ,，结合（）在 为减函数，即可得到 ，再由（）可知 ，利用单调性即可证得结论.5.（2019全国）已知函数32(

11、)22f xxax.(1）讨论()f x的单调性；（2）当 0a3 时，记()f x在区间0，1 的最大值为 M，最小值为 m，求 的取值范围.(完整版)2019 年高考数学真题分类汇编专题 19：导数在函数中的应用(综合题)10【答案】（1）解：令 ,得 x=0 或 。若 a 0，则当 时，;当 时，故 在 单调递增,在 单调递减；若 a=0，在 单调递增；若 a0，则当 时,;当 时，故 在 单调递增，在 单调递减。（2)当 时，由（1）知，在 单调递减，在 单调递增，所以 在0，1 的最小值为 ，最大值为 或 。于是 ，所以 当 时,可知 单调递减，所以 的取值范围是 .当 时，单调递减

12、,所以 的取值范围是 .综上，的取值范围是 .【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值 【解析】【分析】（1)先求导，令 ，得 x=0 或 ,分三种情况讨论 a，即可求出函数 的单调区间；（2）分三种情况讨论 a，利用（1）中函数 单调性,分别求出函数 的最值,即可求出 的取值范围.(完整版)2019 年高考数学真题分类汇编专题 19：导数在函数中的应用(综合题)11 6。（2019全国）已知函数 f（x）=2x3-ax2+b。（1）讨论 f（x）的单调性；（2）是否存在 a，b，使得 f（x)在区间0,1 的最小值为1 且最大值为1？若存在，求出 a,b 的所有值；若不

13、存在，说明理由.【答案】（1)解:令 ，得 x=0 或 .若 a0,则当 时,；当 时，故 在 单调递增，在 单调递减；若 a=0，在 单调递增；若 a0，则当 时,;当 时，故 在 单调递增，在 单调递减.（2）满足题设条件的 a ，b 存在。（i）当 a0 时,由(1）知,在0，1单调递增，所以 在区间0，l 的最小值为 ，最大值为 。此时 a ,b满足题设条件当且仅当 ，即 a=0，(ii）当 a3 时，由(1)知,在0,1 单调递减,所以 在区间0，1 的最大值为 ，最小值为 此时 a ，b 满足题设条件当且仅当 ,b=1，即 a=4，b=1（iii）当 0 a3 时，由（1)知，在

14、0，1 的最小值为 ，最大值为 b 或 若 ，b=1，则 ，与 0a3 矛盾。(完整版)2019 年高考数学真题分类汇编专题 19：导数在函数中的应用(综合题)12 若 ,，则 或 或 a=0，与 0a3矛盾 综上，当且仅当 a=0,或 a=4,b=1 时，在0，1的最小值为1，最大值为 1【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值 【解析】【分析】（1）先求导,令 ，得 x=0 或 ，分三种情况讨论 a，即可求出函数 的单调区间;（2）先判断满足题设条件的 a,b存在，再分三种情况讨论 a,利用（1）中函数 单调性分别求出 a，b的值进行判断,即可得结论。7。（2019全

15、国）已知曲线 C:22xy,D 为直线12y 的动点，过 D作 C的两条切线，切点分别为 A，B.（1)证明：直线 AB过定点；（2）若以 E（0,52)为圆心的圆与直线 AB相切，且切点为线段 AB的中点，求四边形 ADBE 的面积。【答案】（1)解：设 ，则 .由于 ,所以切线 DA的斜率为 ,故 .整理得 设 ，同理可得 .故直线 AB的方程为 .所以直线 AB过定点 。（2)由(1）得直线 AB的方程为 .(完整版)2019 年高考数学真题分类汇编专题 19：导数在函数中的应用(综合题)13 由 ,可得 .于是 ，.设 分别为点 D ,E到直线 AB的距离，则 。因此，四边形 ADBE

16、 的面积 .设 M为线段 AB的中点,则 。由于 ，而 ，与向量 平行，所以 .解得 t=0 或 .当 =0 时，S=3；当 时，.因此，四边形 ADBE 的面积为 3 或 .【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】(1)先求导，分别得到切线 DA和 DB的方程，可得直线AB的方程，即可证明直线 AB过定点；（2）由（1)中直线 AB的方程与抛物线方程联立，利用弦长公式和点到直线的距离公式，分别得到|AB与点 D，E到直线 AB的距离，由 与向量 平行列式，即可求出四边形 ADBE 的面积.8。（2019卷）已知函数()(1)ln1f xxxx，证明：

17、（1）()f x存在唯一的极值点;（2）()0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数。【答案】(1）解：()f x的定义域为（0，+)。.(完整版)2019 年高考数学真题分类汇编专题 19：导数在函数中的应用(综合题)14 因为 单调递增，单调递减，所以 单调递增，又 ，故存在唯一 ，使得 。又当 时，单调递减；当 时，单调递增.因此，存在唯一的极值点。(2）由（1）知 ，又 ，所以 在 内存在唯一根 。由 得 .又 ，故 是 在 的唯一根。综上，有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】【分析】（1）首先求出原函数的导函数，再由导函数的性质研究出

18、原函数的单调性以及极值的情况结论即可得证。（2）利用根与方程的关系即可得证。9。（2019卷）已知函数1()ln1xf xxx.（1）讨论()f x的单调性，并证明()f x有且仅有两个零点；（2)设 x0是()f x的一个零点，证明曲线 y=ln x 在点 A（x0，ln x0)处的切线也是曲线xye的切线.【答案】(1)解：f（x）的定义域为（0，1）,（1，+）单调递增 因为 f（e）=，所以 f（x）在（1,+)有唯一零点 x1 ，即 f(x1）=0(完整版)2019 年高考数学真题分类汇编专题 19：导数在函数中的应用(综合题)15 又 ，故 f(x）在(0，1）有唯一零点 综上，f

19、(x）有且仅有两个零点(2）因为 ，故点 B(lnx0 ，）在曲线 y=ex上 由题设知 ,即 ,故直线 AB的斜率 曲线 y=ex在点 处切线的斜率是 ，曲线 在点 处切线的斜率也是 ，所以曲线 在点 处的切线也是曲线 y=ex的切线【考点】导数的几何意义，函数的零点与方程根的关系 【解析】【分析】(1)对函数 f(x)解析式求导,判断导函数的正负来判断函数 f（x）的单调性，由于定义域为（0，1)，（1，+）,取特殊值 f(e)，f(e2）可证在在（0，1）上函数 f(x)必存在唯一零点,又 ，则在（1，+)上函数 f(x）也存在唯一零点。由此此题即解出。(2）求出曲线 y=lnx 在 A

20、（x0 ，lnx0）的切线表达式，根据两个切线斜率相等的条件进而求出 y=ex的切线表达式，最后由已知条件化简两个表达式,即证得是同一条切线.10。(2019 北京）已知函数321()4f xxxx。（I）求曲线()yf x的斜率为 1 的切线方程；（II)当 x 2，4 时，求证：x-6f（x）x;（IlI)设 F(x）=f（x）（x+a)（aR），记F(x）在区间 2,4 上的最大值为 M（a)。当 M（a）最小时，求 a 的值。(完整版)2019 年高考数学真题分类汇编专题 19：导数在函数中的应用(综合题)16【答案】解（I）,令 ，则 ,因为 ,故斜率为 1 的直线为 y=x 或 ，

21、整理得，斜率为 1 的直线方程为 x-y=0 或 ；（II）构造函数 g（x）=f（x）-x+6，则 ，令 ，则 ，故 g（x)在-2，0 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,故 g（x）的最小值为 g（2)或 ，而 g（2）=0，故 ,所以 ，故在-2,4 上，;构造函数 h（x)=f（x）-x，则 ，令 ,则 ，故 h（x）在-2,0 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，故 h(x）的最大值为 h（0）或 h（4），因为 h（0）=0，h(4）=0,所以 ,故在-2，4上，综上在2，4 上,;（）令 ,则 ，令 ，则 ，故 （x）在-2，0 上单调递增，在 上单调递减，在

22、上单调递增，(完整版)2019 年高考数学真题分类汇编专题 19：导数在函数中的应用(综合题)17 所以 （x)的最小值为 （2）=-6-a或 ,最大值为 （0）=a 或 (4）=12-a,故 其最大值 ,故当 a=3 时,M(a）有最小值 9.【考点】导数的几何意义，利用导数求闭区间上函数的最值 【解析】【分析】(I）求导数,根据导数的几何意义，结合斜率为 1，求出切点坐标，利用点斜式，即可求出相应的切线方程；（II）构造函数，要证 ，只需要证在-2,4 上 和 即可，求导数,利用导数确定函数单调性，求出函数极值即可证明;（）求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数的最值，确定 M（a)的表

23、达式，即可求出 M（a）取最小值时相应的 a 值。11。（2019卷）已知函数 f（x)=2sinx-xcosxx，()fx为 f（x)的导数。(1）证明：f(x）在区间（0，）存在唯一零点；（2）若 x0,时，f（x）ax，求 a 的取值范围。【答案】（1）设 ,则 .当 时，；当 时,，所以 在 单调递增，在 单调递减.又 ,故 在 存在唯一零点。(完整版)2019 年高考数学真题分类汇编专题 19：导数在函数中的应用(综合题)18 所以 在 存在唯一零点.（2）由题设知 ，可得 a0。由（1）知，在 只有一个零点，设为 ,且当 时，；当 时,所以 在 单调递增,在 单调递减。又 ，所以，

24、当 时，.又当 时，ax0，故 。因此,a 的取值范围是 .【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用 【解析】【分析】（1)利用求导的方法判断函数的单调性,再利用零点存在性定理证出函数 在区间（0，)存在唯一零点。(2)由题设知 ，可得 a0。由（1)知,在 只有一个零点,利用求导的方法判断函数的单调性，再利用零点存在性定理求出 的取值范围。12。（2019卷）已知函数 f(x）=sinx ln（1+x),()fx为 f（x）的导数。证明:(1）()fx在区间(1，2）存在唯一极大值点;（2）f(x)有且仅有 2 个零点.【答案】(1）证明：(完整版)2019 年高考数学真题分类汇编专题 19：导数在函数中的应用(综合题)19 存在 使 0 极大值 所以 在区间 存在唯一极大值点。(2）证明:存在 当 时，递减，又 当 时，当 时，当 时,综上所述,有且仅有 2 个零点。(完整版)2019 年高考数学真题分类汇编专题 19：导数在函数中的应用(综合题)20【考点】利用导数研究函数的极值，根的存在性及根的个数判断 【解析】【分析】（1)对函数两次求导,用求导的方法判断函数的单调性,从而求出函数的极值，从而证出()fx在区间 存在唯一极大值点.（2）用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性,再利用零点存在性定理证出 有且仅有 2 个零点。