小学数学解题思路大全.pdf

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1、1.想 数 码 例如,1989 年“从小爱数学”邀请赛试题 6:两个四位数相加,第一个四位数的每一个数码都不小于 5,第二个四位数仅仅是第一个四位数的数码调换了位置。某同学的答数是 16246。试问该同学的答数正确吗?(如果正确,请你写出这个四位数;如果不正确,请说明理由)。思路一:易知两个四位数的四个数码之和相等,奇数奇数偶数,偶数偶数偶数,这两个四位数相加的和必为偶数。相应位数两数码之和,个、十、百、千位分别是 17、13、11、15。所以该同学的加法做错了。正确答案是 思路二:每个数码都不小于 5,百位上两数码之和的11 只有一种拆法 56,另一个 5 只可能与 8 组成 13,6 只可

2、能与 9 组成 15。这样个位上的两个数码,8916 是不可能的。不要把“数码调换了位置”误解为“数码顺序颠倒了位置。”2.尾数法 例 1 比较 1222 1222 和 1221 1223 的大小。由两式的尾数 224,133,且 43。知 1222 122212211223 例 2 二数和是 382,甲数的末位数是 8,若将 8 去掉,两数相同。求这两个数。由题意知两数的尾数和是 12,乙数的末位和甲数的十位数字都是 4。由两数十位数字之和是 817,知乙数的十位和甲数的百位数字都是 3。甲数是 348,乙数是 34。例 3 请将下式中的字母换成适当的数字,使算式成立。由 3 和 a5 乘积

3、的尾数是 1,知 a5 只能是 7;由 3 和 a4 乘积的尾数是 725,知 a4 是 5;不难推出原式为 1428573428571。3.从较大数想起 例如,从 110 的十个数中,每次取两个数,要使其和大于 10,有多少种取法?思路一:较大数不可能取 5 或比 5 小的数。取 6 有 65;取 7 有 74,75,76;取 10 有九种 10 1,102,109。共为 1 357925(种)。思路二:两数不能相同。较小数为 1 的只有一种取法 110;为 2 的有 29,210;较小数为 9 的有 910。共有取法 12345432125(种)这是从较小数想起,当然也可从 9 或 8、7

4、、开始。思路三:两数和最大的是 19。两数和大于 10 的是 11、12、19。和是 11 的有五种 110,29,38,47,56;和是 1119 的取法 54433221125(种)。4.想大小数之积 用最大与最小数之积作内项(或外项)的积,剩的相乘为外项(或内项)的积,由比例基本性质知 交换所得比例式各项的位置,可很快列出全部的八个比例式。5.由得数想 例如,思考题:在五个 0.5 中间加上怎样的运算符号和括号,等式就成立?其结果是 0,0.5,1,1.5,2。从得数出发,想:两个相同数的差,等于 0;一个数加上或减去 0,仍等于这个数;一个因数是 0,积就等于 0;0 除以一个数(不是

5、 0),商等于 0;两个相同数的商为 1;1 除以 0.5,商等于 2;解法很多,只举几种:(0.5 0.5)0.5 0.5 0.5 0 0.5 0.5(0.5 0.5)0.5 0 (0.5 0.5 0.5)(0.5 0.5)0 (0.5 0.5 0.5 0.5)0.5 0 (0.5 0.5)0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 说明理由思路一易知两个四位数的四个数码之和相等奇数奇数偶数偶数偶数偶数这两个四位数相加的和必为偶数相应和的只有一种拆法另一个只可能与组成只可能与组成这样个位上的两个数码是不可能的不要把数码调换了位置误解为两个数由题意知两数的尾

6、数和是乙数的末位和甲数的十位数字都是由两数十位数字之和是知乙数的十位和甲数的百位 (0.5 0.5)(0.5 0.5 0.5)0.5 (0.5 0.5)0.5 0.5 0.5 0.5 (0.5 0.5)0.5 0.5 0.5 1 0.5 0.5(0.5 0.5)0.5 1 (0.5 0.5)0.5 0.5 0.5 1 (0.5 0.5)0.5(0.5 0.5)1 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1.5 (0.5 0.5)0.5 0.5 0.5 1.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5

7、2 (0.5 0.5)0.5 0.5 0.5 2 (0.5 0.5 0.5 0.5)0.5 2 (0.5 0.5)0.5 0.5 0.5 2.想平均数 思路一:由“任意三个连续自然数的平均数是中间的数”。设第一个数为“1”,则中间数占 知这三个数是14、15、16。二、一个数分别为 16115,15114 或 16 214。若先求第一个数,则 思路三:设第三个数为“1”,则第二、三个数,知是 15、16。思路四:第一、三个数的比是 78,第一个数是 2(8 7)714。若先求第三个数,则 2(8 7)816。7.想奇偶数 例 1 思考题:在 1、2、3、4、5、6、7、8、9 九个数字中,不改

8、变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号,使所得的结果都等于100。例如 123456789100123456789100 你还能想出不同的添法吗?12345678945。若去掉 7 和 8 间的“”,式左为 123456789,比原式和增大了 78(7 8)63,即 123456789 4563108。为使其和等于 100,式左必须减去 8。加 4 改为减 4,即可 123456789100。说明理由思路一易知两个四位数的四个数码之和相等奇数奇数偶数偶数偶数偶数这两个四位数相加的和必为偶数相应和的只有一种拆法另一个只可能与组成只可能与组成这样个位上的两个数码是不可能的不要把数码调换了位置误

9、解为两个数由题意知两数的尾数和是乙数的末位和甲数的十位数字都是由两数十位数字之和是知乙数的十位和甲数的百位“减去 4”可变为“减 1、减 3”,即123456789100 二年级小学生没学过负“1”,不能介绍。如果式左变为 123456789。12(1 2)89(8 9)81。即 12 3456789458110026。要将“”变为“”的数和为 13,在 3、4、5、6、7 中有 67,346,因而有 123456789100,123456789100,同理得 123456789100,123456789100,123456789100,123456789100,123456789100,12

10、3456789100。为了减少计算。应注意:(1)能否在 1、23、4、5、6、7、89 中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号),结果为 100 呢?1、23、5、7、89 的和或差是奇数,4、6 的和或差是偶数,奇数偶数奇数,结果不会是 100。(2)有一个是四位数,结果也不可能为 100。因为 1234 减去余下数字组成(按顺序)的最大数 789,再减去余下的 56,差大于 100。例 2 求 59199 的奇数和。由从 1 开始的连续 n 个奇数和、等于奇数个数 n 的平方 1357(2n 1)n2 奇数比它对应的序数 2 倍少 1。用 n 表示任意一个自然数,它对应的奇数为 2n1。

11、例如,32 对应奇数 232163。奇数 199,从 1 起的连续奇数中排列在 100(2n1199,n100)的位置上。知 1199 的奇数和是 100210000。此和包括 59,2n157、n29、157 的奇数和为 292841。所求为 10000 8419159。或者 59 3021,302900,10000900599159。例 1 思考题:在 1、2、3、4、5、6、7、8、9 九个数字中,不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号,使所得的结果都等于 100。例如 123456789100123456789100 你还能想出不同的添法吗?12345678945。若去掉 7

12、和 8 间的“”,式左为 123456789,比原式和增大了 78(7 8)63,即 123456789 4563108。为使其和等于 100,式左必须减去 8。加 4 改为减 4,即可 123456789100。说明理由思路一易知两个四位数的四个数码之和相等奇数奇数偶数偶数偶数偶数这两个四位数相加的和必为偶数相应和的只有一种拆法另一个只可能与组成只可能与组成这样个位上的两个数码是不可能的不要把数码调换了位置误解为两个数由题意知两数的尾数和是乙数的末位和甲数的十位数字都是由两数十位数字之和是知乙数的十位和甲数的百位“减去 4”可变为“减 1、减 3”,即123456789100 二年级小学生没

13、学过负数“1”,不能介绍。如果式左变为 123456789。12(1 2)89(8 9)81。即 12 3456789458110026。要将“”变为“”的数和为 13,在 3、4、5、6、7 中有 67,346,因而有 123456789100,123456789100,同理得 123456789100,123456789100,123456789100,123456789100,123456789100,123456789100。为了减少计算。应注意:(1)能否在 1、23、4、5、6、7、89 中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号),结果为 100 呢?1、23、5、7、89 的和或差

14、是奇数,4、6 的和或差是偶数,奇数偶数奇数,结果不会是 100。(2)有一个是四位数,结果也不可能为 100。因为 1234 减去余下数字组成(按顺序)的最大数 789,再减去余下的 56,差大于 100。例 2 求 59199 的奇数和。由从 1 开始的连续 n 个奇数和、等于奇数个数 n 的平方 1357(2n 1)n2 奇数比它对应的序数 2 倍少 1。用 n 表示任意一个自然数,它对应的奇数为 2n1。例如,32 对应奇数 232163。奇数 199,从 1 起的连续奇数中排列在 100(2n 1199,n100)的位置上。知 1199 的奇数和是 100210000。此和包括 59

15、,2n157、n29、157 的奇数和为 292841。所求为 10000 8419159。或者 59 3021,302900,10000900599159。8.约倍数积法 任意两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积,等于这两个自然数的积。证明:设 M、N(都是自然数)的最大公约数为 P,最小公倍数为 Q、且 M、N不公有的因数各为 a、b。那么 MNPaPb。而 QPab,所以 MNPQ。例 1 甲乙两数的最大公约数是7,最小公倍数是 105。甲数是 21,乙数是多少?例 2 已知两个互质数的最小公倍数是 155,求这两个数。这两个互质数的积为 1155155,还可分解为 531。说明理由思

16、路一易知两个四位数的四个数码之和相等奇数奇数偶数偶数偶数偶数这两个四位数相加的和必为偶数相应和的只有一种拆法另一个只可能与组成只可能与组成这样个位上的两个数码是不可能的不要把数码调换了位置误解为两个数由题意知两数的尾数和是乙数的末位和甲数的十位数字都是由两数十位数字之和是知乙数的十位和甲数的百位所求是 1 和 155,5 和 31。例 3 两数的最大公约数是 4,最小公倍数是 40,大数是数的 2.5 倍,求各数。由上述定理和题意知两数的积,是小数平方的 2.5 倍。小数的平方为 4402.5 64。小数是 8。大数是 82.5 20。算理:4408208(8 2.5)822.5。9.想 份

17、数 10 巧用分解质因数 例 1 四个比 1 大的整数的积是 144,写出由这四个数组成的比例式。1442432 (22 3)(2 3)2 (4 3)(6 2)可组成 4623 等八个比例式。例 2 三个连续自然数的积是 4896,求这三个数。4896253217 2417(2 32)161718 17282633(22 3)3 123 3855711 例 4 1992 年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题 3:找出 1992 的所有不同的质因数,它们的和是多少?1992222383 238388 例 5 甲数比乙数大 9,两数的积是 1620,求这两个数。162022345 (32 22)(

18、32 5)甲数是 45,乙数是 36。例 6 把 14、30、33、75、143、169、4445、4953 分成两组,每组四个数且积相等,求这两组数。八个数的积等于 272353113551113131357127313127。说明理由思路一易知两个四位数的四个数码之和相等奇数奇数偶数偶数偶数偶数这两个四位数相加的和必为偶数相应和的只有一种拆法另一个只可能与组成只可能与组成这样个位上的两个数码是不可能的不要把数码调换了位置误解为两个数由题意知两数的尾数和是乙数的末位和甲数的十位数字都是由两数十位数字之和是知乙数的十位和甲数的百位 每组数的积为 23252711132127。两组为 例 7 6

19、00 有多少个约数?6006100232255 23352 只含因数 2、3、5、23、25、35、235 的约数分别为:2、22、23;3;5、52;23、223、233;25、225、235、252、2252、2352;35、352;235、2235、2335、2352、22352、23352。不含 235 的因数的数只有 1。这八种情况约数的个数为;3123626124。不难发现解题规律:把给定数分解质因数,写成幂指数形式,各指数分别加 1 后相乘,其积就是所求约数的个数。(3 1)(1 1)(2 1)24。【小学数学解题思路大全】巧想妙算文字题 17.想 法 则 用来说明运算规律(或方

20、法)的文字,叫做法则。子比分母少 16。求这个分数?由“一个分数乘以 5,是分子乘以 5 分母不变”,结果是分子的 5 倍比 3 倍比分母少 16。知 分子的 532(倍)是 21618,分子为 1829,分母为 95243 或 931643。18.想 公 式 证明方法:以分母 a,要加(或减)的数为 (2)设分子加上(或减去)的数为 x,分母应加上(或减去)的数为 y。19.想 性 质 例 1 1992 年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题 6:有甲、乙两个多少倍?说明理由思路一易知两个四位数的四个数码之和相等奇数奇数偶数偶数偶数偶数这两个四位数相加的和必为偶数相应和的只有一种拆法另一个只可

21、能与组成只可能与组成这样个位上的两个数码是不可能的不要把数码调换了位置误解为两个数由题意知两数的尾数和是乙数的末位和甲数的十位数字都是由两数十位数字之和是知乙数的十位和甲数的百位 2001612.5(倍)。例 2 思考题:三个最简真分数,它们的分子是连续自然数,分母大于 10,且它们最小公分母是 60;其中一个分数的值,等于另两个分数的和。写出这三个分数。由“分母都大于 10,且最小公分母是 60”,知其分母只能是 12、15、20;12、15、30;12、15、60。由“分子是连续自然数”,知分子只能是小于 12 的自然数。满足题意的三个分数是 (二)第 400 个分数是几分之几?此题特点:

22、(2)每组分子的排列:假设某一组分数的分母是自然数 n,则分子从 1 递增到 n,再递减到 1。分数的个数为 nn12n1,即任何一组分数的个数总是奇数。(3)分母数与分数个数的对应关系,正是自然数与奇数的对应关系 分母:1、2、3、4、5、分数个数:1、3、5、7、9、(4)每组分数之前(包括这组本身)所有分数个数的和,等于这组的组号(这一组的分母)的平方。例如,第 3 组分数前(包括第 3 组)所有分数个数的和是 32=9。10216=13(个)位置上。分别排在 81788(个),8113=94(个)的位置上。或者 102=100,100 12=88。100694,88 694。问题(二)

23、:由上述一串分数个数的和与组号的关系,将 400 分成某数的平方,这个数就是第 400 个分数所在的组数 400202,分母也是它。第 400 个分数在第 20 组分数中,400 是这 20 组分数的和且正好是20 的平方无剩余,故可断定是最后一个,即 若分解为某数的平方有剩余,例如,第415 个和 385 个分数各是多少。逆向思考,上述的一串分数中,分母是35 的排在第几到第几个?352(35 21)1 12256911157。排在 11571225 个的位置上。20.由规则想 例如,1989 年从小爱数学邀请赛试题:接着 1989 后面写一串数字,写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的

24、个位数字。例如,8972,在 9 后面写 2,9218,在 2 后面写 8,得到一串数:1989286 这串数字从 1 开始往右数,第 1989 个数字是什么?先按规则多计算几个数字,得 1989286884286884显然,1989 后面的数总是不断重复出现 286884,每 6 个一组。(1989 4)63305 说明理由思路一易知两个四位数的四个数码之和相等奇数奇数偶数偶数偶数偶数这两个四位数相加的和必为偶数相应和的只有一种拆法另一个只可能与组成只可能与组成这样个位上的两个数码是不可能的不要把数码调换了位置误解为两个数由题意知两数的尾数和是乙数的末位和甲数的十位数字都是由两数十位数字之和

25、是知乙数的十位和甲数的百位 最后一组数接着的五个数字是 28688,即第 1989 个数字是 8。21.用 规 律 例 1 第六册 P62第 14 题:选择“、”中的符号,把下面各题连成算式,使它们的得数分别等于 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。(1)2 2 2 2 20 (2)2 2 2 2 21 (10)2 2 2 2 29 解这类题的规律是:先想用两、三个 2 列出,结果为 0、1、2 的基本算式:220,221;再联想 2221,2222,2223,每题都有几种选填方法,这里各介绍一种:222220 222221 222222 222223 222224 222225 2222

26、26 222227 222228 222229 例 2 第六册 P63题 4:写出奇妙的得数 219 3129 41239 512349 6123459 得数依次为 11、111、1111、11111、111111。此组算式的特点:第一个加数由 2 开始,每式依次增加 1。第二个加数由乘式组成,被乘数的位数依次为 1、12、123、继续写下去 71234569=1111111 812345679=11111111 9123456789111111111 1012345678991111111111 1112345679009=11111111111 12123456790119=1111111

27、11111 很自然地想到,可推广为 (1)当 n=1、2 时,等式显然成立。(2)设 n=k 时,上式正确。当 n=k1 时 k1123k9 =k1123(k 1)10k9 =k1123(k 1)9109k 说明理由思路一易知两个四位数的四个数码之和相等奇数奇数偶数偶数偶数偶数这两个四位数相加的和必为偶数相应和的只有一种拆法另一个只可能与组成只可能与组成这样个位上的两个数码是不可能的不要把数码调换了位置误解为两个数由题意知两数的尾数和是乙数的末位和甲数的十位数字都是由两数十位数字之和是知乙数的十位和甲数的百位 =k123(k 1)9 101 根据数学归纳法原理,由(1)、(2)可断定对于任意的

28、自然数 n,此等式都成立。例 3 牢记下面两个规律,可随口说出任意一个自然数作分母的,所有真分数的和。(1)奇数(除 1 外)作分母的所有真分数的和、是(分母1)2。=(211)2=10。22.巧想条件 比 5 小,分母是 13 的最简分数有多少个。764 为 64(7 1)58(个),去掉 13 的倍数 13、26、39、52,余下的作分子得54 个最简分数。例 2 一个整数与 1、2、3,通过加减乘除(可添加括号)组成算式,若结果为 24 这个整数就是可用的。4、5、6、7、8、9、10 中,有几个是可用的。看结果,想条件,知都是可用的。4(1 23)24 (5 12)324 6(3 21

29、)24 731224 83(2 1)24 931224 1021324 23.想和不变 无论某数是多少,原分数的分子与分母的和 711=18 是不变的。而新分数的分子与分母的和为 12=3,要保持原和不变,必同时扩大 1836(倍)。某数为761 或 12111。24.想和与差 算理,原式相当于 说明理由思路一易知两个四位数的四个数码之和相等奇数奇数偶数偶数偶数偶数这两个四位数相加的和必为偶数相应和的只有一种拆法另一个只可能与组成只可能与组成这样个位上的两个数码是不可能的不要把数码调换了位置误解为两个数由题意知两数的尾数和是乙数的末位和甲数的十位数字都是由两数十位数字之和是知乙数的十位和甲数的

30、百位 求这个分数。25.想差不变 分子与分母的差 41356 是不变的。新分数的此差是 871,要保持原差不变,新分数的分子和分母需同时扩大 616(倍)。某数为 42357,或 48417。与上例同理。231112,312,1226,某数为 1165 或 23185。分子加上 3 变成 1,说明原分数的分子比分母小 3。当分母加上 2 后,分子比分母应小 32=5。26.想差的 1/2 对于任意分母大于 2 的同分母最简真分数来说,其元素的个数一定是偶数,和为这个偶数的一半。分母减去所有非最简真分数(包括分子和分母相同的这个假分数)的个数,差就是这个偶数。例 1 求分母是12 的所有最简真分

31、数的和。由 12 中 2 的倍数有 6 个,3 的倍数有 4 个,(2 3)的倍数 2 个,知所求数是 例 2 分母是 105 的,最简真分数的和是多少?倍数 15 个,(3 5)、(5 7)、(3 7)的倍数分别是 7、3、5 个,(3 57)的倍数1 个。知 105(35 2115)(3 57)148,48224。27.借助加减恒等式 个数。若从中找出和为 1 的 9 个分数,将上式两边同乘以 2,得 说明理由思路一易知两个四位数的四个数码之和相等奇数奇数偶数偶数偶数偶数这两个四位数相加的和必为偶数相应和的只有一种拆法另一个只可能与组成只可能与组成这样个位上的两个数码是不可能的不要把数码调

32、换了位置误解为两个数由题意知两数的尾数和是乙数的末位和甲数的十位数字都是由两数十位数字之和是知乙数的十位和甲数的百位 这九个分数是 28.计算比较 例如,九册思考题:111、211、3111011。想一想,得数有什么规律?可见,除数是 11,被除数是 1 的几倍(倍数不得大于或等于 11),商 1711(11 6)111111611 凡商是纯循环小数的除式,都有此规律;不是纯循环小数的,得数不存在这一规律。不难发现,它们循环节的位数比除数少1,循环数字和顺序相同,只是起点不同。只要记住 17 的循环节数字“142857”和顺序,计算时以最大商的数字为起点,顺序写出全部循环节数字,即可。29.由

33、验算想 例如,思考题:计算 1212101,3939303,你能从计算中得到启发,很快说出下面各题的得数?4848202,7575505,3939303 (3030 909)303 3030303909303 10313 备课用书这种由“除法的分配律”解,要使三年级学生接受,比较困难。若从“除法的验算”推导 由 3939303(),商百位上的 3 和 13 相乘才可得 39,商个位上的 3 也必须与 13 相乘得 39,除数是13 确定无疑。显然,在被除数上面写上除数,使位数对齐,口算很快会得出结果。所以商是 12。30.想 倍 比 31.扩 缩 法 例如,两数和是 42,如果其中一个数扩大

34、5 倍,另一个数扩大 4 倍,则和是 181。说明理由思路一易知两个四位数的四个数码之和相等奇数奇数偶数偶数偶数偶数这两个四位数相加的和必为偶数相应和的只有一种拆法另一个只可能与组成只可能与组成这样个位上的两个数码是不可能的不要把数码调换了位置误解为两个数由题意知两数的尾数和是乙数的末位和甲数的十位数字都是由两数十位数字之和是知乙数的十位和甲数的百位求这两个数。若把和,即这两个数都扩大 4 倍,则得数比 181 小,因为原来扩大 5 倍的那个数少扩大了 1 倍。差就是那个数。18142413 421329 若把两数都扩大 5 倍,结果比 181 多了原来扩大 4 倍的那个数。42518129,

35、422913。若把 181 缩小 4 倍,则得数比 42 大。因为其中的一个数先扩大 5 倍,又 若把 181 缩小 5 倍,得数比 42 小。因为先扩大 4 倍的那个数,又缩小 5 最佳想法:两数扩大的倍数不同,181 不会是 42 的整倍数。相除就把多扩大 1 倍的那个数以余数形式分离出来。181424 余 13。另个数可这样求 32.分别假设 例如,1992年中学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题5:把一个正方形的一边减少20,另一边增加 2 米,得到一个长方形,它与原来的正方形面积相等。那么,正方形的面积是多少平方米。设正方形的边长为 1,另一边增加的百分数为 x,则 (1 120)(1 x)1,正方形边长 2 258(米),面积 8 864(平方米)。此日志通过 TT-空间极速版一键转载生成。说明理由思路一易知两个四位数的四个数码之和相等奇数奇数偶数偶数偶数偶数这两个四位数相加的和必为偶数相应和的只有一种拆法另一个只可能与组成只可能与组成这样个位上的两个数码是不可能的不要把数码调换了位置误解为两个数由题意知两数的尾数和是乙数的末位和甲数的十位数字都是由两数十位数字之和是知乙数的十位和甲数的百位

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