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1、三角函数恒等变换解答题 一填空题（共 9 小题）1（2016 春?南京期中）cos75=2（2015?四川）sin15+sin75的值是 3（2015?江苏）已知 tan=2，tan（+）=，则 tan 的值为 4（2016 春?上饶校级期中）已知 tan（）=，tan（）=，则tan（）=5（2016?黄浦区一模）函数 y=cos2xsin2x 的最小正周期 T=6（2015?浙江）函数 f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是 ，最小值是 7（2015?普陀区二模）函数的最小正周期为 8（2012?温州一模）函数的最小正周期为 9（2015 春?福州校级期末）已知函数 f（
2、x）=sin（x+）+cos（x+），且函数 f（x）是偶函数，则 的值为 二解答题（共 12 小题）10（2016 春?兰州校级期中）已知 tan=2（1）求的值；（2）求 2sin2sin cos+cos2 的值 11（2015 秋?张家界期末）已知，（1）求 tan 的值；（2）求的值 12（2015 春?商丘期中）已知，（）求 sin 的值；（）求的值 13（2014?祁东县一模）已知函数（1）求的值；（2）设的值 14（2014?甘肃二模）已知函数 f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x（）求函数 f（x）的最小正周期及单调递增区间；（）已知 f（a）=3，且（0，）
3、，求 的值 15（2014?惠州模拟）已知函数 f（x）=cos2x+sinxcosx，xR（1）求 f（）的值；（2）若 sina=，且 a（，），求 f（+）16（2014?西城区二模）已知函数 f（x）=cosx（sinx cosx）+1（）求函数 f（x）的最小正周期；（）当 x，0 时，求函数 f（x）的最大值和最小值 17（2013?雁塔区校级一模）已知函数为偶函数，且 0，（1）求 的值；（2）若 x 为三角形 ABC的一个内角，求满足 f（x）=1 的 x 的值 期为春福州校级期末已知函数且函数是偶函数则的值为二解答题共小题春兰州校级期中已知求的值求的值秋张家界期最小正周期及单
4、调递增区间已知且求的值惠州模拟已知函数求的值若且求西城区二模已知函数求函数的最小正周期当区校级模拟已知函数其中且的最小正周期为求的单调递增区间利用五点法作出在上的图象秋九原区校级期中已知函数18（2012?宝安区校级模拟）已知函数 f（x）=x+2sin x?cos x+x，其中 0，且 f（x）的最小正周期为 （）求 f（x）的单调递增区间；（）利用五点法作出 f（x）在，上的图象 19（2011 秋?九原区校级期中）已知函数 f（x）=2asin2x+2sinxcosx a 的图象过点（0，）（1）求常数 a；（2）当 x0，时，求函数 f（x）的值域 20（2011 春?长沙校级期末）已
5、知函数 f（x）=2asinx?cosx+2cos2x+1，（1）求实数 a 的值；（2）求函数 f（x）在的值域 21（2011 秋?保定校级期末）已知 为第三象限角，（1）化简 f（）；（2）若，求 f（）的值 三角函数恒等变换解答题 参考答案与试题解析 一填空题（共 9 小题）1（2016 春?南京期中）cos75=【分析】将所求式子中的角 75变形为 45+30，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，即可求出值 期为春福州校级期末已知函数且函数是偶函数则的值为二解答题共小题春兰州校级期中已知求的值求的值秋张家界期最小正周期及单调递增区间已知且求的值惠州模拟已知函数求的值
6、若且求西城区二模已知函数求函数的最小正周期当区校级模拟已知函数其中且的最小正周期为求的单调递增区间利用五点法作出在上的图象秋九原区校级期中已知函数【解答】解：cos75=cos（45+30）=cos45cos30sin45sin30=故答案为：【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键 2（2015?四川）sin15+sin75的值是 【分析】利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可【解答】解：sin15+sin75=sin15+cos15=（sin15cos45+cos15sin45）=sin60=故答案为：【点评】本题考查两角和的正弦
7、函数，三角函数的化简求值，考查计算能力 3（2015?江苏）已知 tan=2，tan（+）=，则 tan 的值为 3 【分析】直接利用两角和的正切函数，求解即可【解答】解：tan=2，tan（+）=，可知 tan（+）=，即=，解得 tan=3 故答案为：3【点评】本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查 4（2016 春?上饶校级期中）已知 tan（）=，tan（）=，则tan（）=1 期为春福州校级期末已知函数且函数是偶函数则的值为二解答题共小题春兰州校级期中已知求的值求的值秋张家界期最小正周期及单调递增区间已知且求的值惠州模拟已知函数求的值若且求西城区二模已知函数求函数的最小正周期当区校
8、级模拟已知函数其中且的最小正周期为求的单调递增区间利用五点法作出在上的图象秋九原区校级期中已知函数【分析】观察三个函数中的角，发现=（），故 tan（）的值可以用正切的差角公式求值【解答】解：=（），tan（）=1 故答案为 1【点评】本题考查两角和与差的正切函数，解题的关键是观察出=（），即利用角的变换把要求三角函数值的角用另两个已知三角函数值的角的线性组合表示出来，再利用差角公式求出 tan（）的值，先进行角的变换，探究三角函数之间的关系，是此类求三角函数值的题常用的入手策略，要善于用此技巧本题对观察推理能力要求较高，题后应好好总结规律 5（2016?黄浦区一模）函数 y=cos2xsin
9、2x 的最小正周期 T=【分析】先利用二倍角的余弦化简，再求出函数 y=cos2xsin2x 的最小正周期【解答】解：y=cos2xsin2x=cos2x，函数 y=cos2xsin2x 的最小正周期 T=故答案为：【点评】本题考查二倍角的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题 6（2015?浙江）函数 f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是 ，最小值是 【分析】由三角函数恒等变换化简解析式可得 f（x）=sin（2x）+，由正弦函数的图象和性质即可求得最小正周期，最小值【解答】解：f（x）=sin2x+sinxcosx+1 期为春福州校级期末已知函数且函数是偶函数则的值为
10、二解答题共小题春兰州校级期中已知求的值求的值秋张家界期最小正周期及单调递增区间已知且求的值惠州模拟已知函数求的值若且求西城区二模已知函数求函数的最小正周期当区校级模拟已知函数其中且的最小正周期为求的单调递增区间利用五点法作出在上的图象秋九原区校级期中已知函数=+sin2x+1=sin（2x）+最小正周期 T=，最小值为：故答案为：，【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查 7（2015?普陀区二模）函数的最小正周期为 【分析】利用倍角公式和正弦函数的周期公式即可得出【解答】解：函数=sin2x，故答案为 【点评】熟练掌握倍角公式和正弦函数的周
11、期公式是解题的关键 8（2012?温州一模）函数的最小正周期为 【分析】先利用正弦函数的差角公式进行化简，然后利用二倍角公式和辅助角公式将其化成 f（x）=Asin（x+）+B，最后根据周期公式解之即可【解答】解：=sinx（sinxcoscosxsin）=sin2xsinxcosx=sin2x=（sin2x+cos2x）+=sin（2x+）+T=期为春福州校级期末已知函数且函数是偶函数则的值为二解答题共小题春兰州校级期中已知求的值求的值秋张家界期最小正周期及单调递增区间已知且求的值惠州模拟已知函数求的值若且求西城区二模已知函数求函数的最小正周期当区校级模拟已知函数其中且的最小正周期为求的单调
12、递增区间利用五点法作出在上的图象秋九原区校级期中已知函数故答案为：【点评】本题主要考查了三角函数的周期，解题的关键是二倍角公式和辅助角公式的应用，属于中档题 9（2015 春?福州校级期末）已知函数 f（x）=sin（x+）+cos（x+），且函数 f（x）是偶函数，则 的值为 【分析】首先对函数关系式进行恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的奇偶性求出结果【解答】解：f（x）=sin（x+）+cos（x+）=2（）=当（kZ）即：由于：所以：当 k=0 时，=故答案为：【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数奇偶性的应用属于基础题型 二解答题（共 12
13、小题）10（2016 春?兰州校级期中）已知 tan=2（1）求的值；（2）求 2sin2sin cos+cos2 的值 期为春福州校级期末已知函数且函数是偶函数则的值为二解答题共小题春兰州校级期中已知求的值求的值秋张家界期最小正周期及单调递增区间已知且求的值惠州模拟已知函数求的值若且求西城区二模已知函数求函数的最小正周期当区校级模拟已知函数其中且的最小正周期为求的单调递增区间利用五点法作出在上的图象秋九原区校级期中已知函数【分析】把所要求的式子得分母添项并作代换：1=sin2+cos2，然后分子、分母同时除以 cos2，把已知代入可求【解答】解：tan=2（1）=（2）=【点评】本题主要考查
14、了同角平方关系 sin2+cos2=1 在三角化简中变换的技巧：若已知三角函数的正切值，求有关正余弦的二次三角函数值，常在原式上添 1，并作代换 1=sin2+cos2，然后分子、分母同除以 cos2，从而化为”切“11（2015 秋?张家界期末）已知，（1）求 tan 的值；（2）求的值【分析】（1）由角的范围及同角三角函数基本关系式的应用可求 cos 的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求 tan 的值（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求，利用（1）的结论即可计算求值【解答】（本题满分为 12 分）解：（1），（3 分）期为春福州校级期末已知函数且函数是偶函数则的值为二解答
15、题共小题春兰州校级期中已知求的值求的值秋张家界期最小正周期及单调递增区间已知且求的值惠州模拟已知函数求的值若且求西城区二模已知函数求函数的最小正周期当区校级模拟已知函数其中且的最小正周期为求的单调递增区间利用五点法作出在上的图象秋九原区校级期中已知函数；（6 分）（2）原式=，（9 分）=（12 分）【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 12（2015 春?商丘期中）已知，（）求 sin 的值；（）求的值【分析】（）由已知利用同角三角函数基本关系式可得，结合角的范围可得 sin 0，即可计算求解（）利用诱导公式化
16、简所求，即可计算求值【解答】解：（），（2 分），sin 0，（6 分）（）原式=（12 分）【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题 13（2014?祁东县一模）已知函数（1）求的值；期为春福州校级期末已知函数且函数是偶函数则的值为二解答题共小题春兰州校级期中已知求的值求的值秋张家界期最小正周期及单调递增区间已知且求的值惠州模拟已知函数求的值若且求西城区二模已知函数求函数的最小正周期当区校级模拟已知函数其中且的最小正周期为求的单调递增区间利用五点法作出在上的图象秋九原区校级期中已知函数（2）设的值【分析】（1）把代入 f（x）即可得出；（2
17、）把，3+2 分别代入 f（x）化简整理再利用平方关系，再利用两角和的余弦公式、倍角公式即可得出【解答】解：（1）=（2）=2sin=，=，解得，cos（+）=coscos sin sin=，0，=【点评】本题综合考查了三角函数的平方关系、两角和的余弦公式、倍角公式等基础知识与基本方法，属于基础题 14（2014?甘肃二模）已知函数 f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x（）求函数 f（x）的最小正周期及单调递增区间；（）已知 f（a）=3，且（0，），求 的值【分析】（）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式进行化简整理求得函数解析式，利用三角函数的性质求得其最小正周期 T
18、和单调增区间（）利用 f（a）=3 求得 sin（2a+）的值，进而求得 a【解答】解：（）f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，=sin2x+2+1 期为春福州校级期末已知函数且函数是偶函数则的值为二解答题共小题春兰州校级期中已知求的值求的值秋张家界期最小正周期及单调递增区间已知且求的值惠州模拟已知函数求的值若且求西城区二模已知函数求函数的最小正周期当区校级模拟已知函数其中且的最小正周期为求的单调递增区间利用五点法作出在上的图象秋九原区校级期中已知函数=sin2x+cos2x+2=2sin（2x+）+2 所以最小正周期为：T=当+2k2x+2k（kZ），即+kx+k（kZ）
19、时函数单调增，函数 f（x）的单调增区间为+k，+k（kZ）（）f（x）=2sin（2x+）+2，f（）=2sin（2+）+2=3，sin（2+）=，2+（，），2+=，=【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用，三角函数的图象和性质要充分利用好三角函数的图象，利用数形结合的思想来解决三角函数的相关问题 15（2014?惠州模拟）已知函数 f（x）=cos2x+sinxcosx，xR（1）求 f（）的值；（2）若 sina=，且 a（，），求 f（+）【分析】（1）把 x=代入函数，利用特殊角的三角函数值即可求解；（2）利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据 sin 的值
20、求出 cos，代入 f（）进行化简【解答】解：（1）f（）=cos2+sin 期为春福州校级期末已知函数且函数是偶函数则的值为二解答题共小题春兰州校级期中已知求的值求的值秋张家界期最小正周期及单调递增区间已知且求的值惠州模拟已知函数求的值若且求西城区二模已知函数求函数的最小正周期当区校级模拟已知函数其中且的最小正周期为求的单调递增区间利用五点法作出在上的图象秋九原区校级期中已知函数=（）2+（2）f（x）=cos2x+sinxcosx=f（）=sin=，且（，）cos=f（）=【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键 16（2014?西城区
21、二模）已知函数 f（x）=cosx（sinx cosx）+1（）求函数 f（x）的最小正周期；（）当 x，0 时，求函数 f（x）的最大值和最小值【分析】（）对函数解析式进行化简，求得关于正弦函数的解析式，利用正弦函数的性质求得最小正周期 T（）根据 x 的范围，求得 2x的范围，利用正弦函数的单调性求得函数 f（x）的最大和最小值【解答】解：（）f（x）=sinxcosx cos2x+1 期为春福州校级期末已知函数且函数是偶函数则的值为二解答题共小题春兰州校级期中已知求的值求的值秋张家界期最小正周期及单调递增区间已知且求的值惠州模拟已知函数求的值若且求西城区二模已知函数求函数的最小正周期当区
22、校级模拟已知函数其中且的最小正周期为求的单调递增区间利用五点法作出在上的图象秋九原区校级期中已知函数=sin2x+1=sin2x cos2x+=sin（2x）+，函数 f（x）的最小正周期为 T=（）x，0，2x 1sin（2x），sin（2x）+1，即f（x）1；当 2x=时，即 x=时，函数 f（x）取到最小值，当 2x=，即 x=时，函数 f（x）取到最大值 1【点评】本题主要考查了三角函数的图象和性质，三角函数的恒等变换的运用注意对三角函数图象，性质，以及倍角公式等公式的熟练掌握 17（2013?雁塔区校级一模）已知函数为偶函数，且 0，（1）求 的值；（2）若 x 为三角形 ABC的
23、一个内角，求满足 f（x）=1 的 x 的值【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过函数是偶函数，求出 的值；（2）若 x 为三角形 ABC的一个内角，通过 f（x）=1 得到三角函数的方程，然后求出 x 的值 期为春福州校级期末已知函数且函数是偶函数则的值为二解答题共小题春兰州校级期中已知求的值求的值秋张家界期最小正周期及单调递增区间已知且求的值惠州模拟已知函数求的值若且求西城区二模已知函数求函数的最小正周期当区校级模拟已知函数其中且的最小正周期为求的单调递增区间利用五点法作出在上的图象秋九原区校级期中已知函数【解答】解：（1）=由 f（x）
24、为偶函数得又（2）由 f（x）=1 得 又 x 为三角形内角，x（0，）【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简求值，二倍角公式、两角和的正弦函数的应用，考查计算能力，常考题型 18（2012?宝安区校级模拟）已知函数 f（x）=x+2sin x?cos x+x，其中 0，且 f（x）的最小正周期为 （）求 f（x）的单调递增区间；（）利用五点法作出 f（x）在，上的图象【分析】（1）由二倍角公式、辅助角公式对已知函数化简可得，f（x）=2sin（x+），利用周期可求，进而可求函数解析式，结合正弦函数的性质可求函数的单调递增区间（2）列表，利用五点法作出函数在所给区间上的图象【解答】解：（1）
25、f（x）=x+2sin x?cos x+x，=（xx）+2sin xcos x=cos2 x+sin2 x=2sin（x+）T=期为春福州校级期末已知函数且函数是偶函数则的值为二解答题共小题春兰州校级期中已知求的值求的值秋张家界期最小正周期及单调递增区间已知且求的值惠州模拟已知函数求的值若且求西城区二模已知函数求函数的最小正周期当区校级模拟已知函数其中且的最小正周期为求的单调递增区间利用五点法作出在上的图象秋九原区校级期中已知函数=2，f（x）=2sin（2x+）令2x+可得，kZ f（x）的单调递增区间为k，k+，kz（2）列表如下：2x+0 2 x y 0 2 0 2 0 f（x）在，上的
26、图象如图【点评】本题主要考查了二倍角公式、辅助角公式的应用，正弦函数的性质及利用五点法作正弦函数的图象 19（2011 秋?九原区校级期中）已知函数 f（x）=2asin2x+2sinxcosx a 的图象过点（0，）（1）求常数 a；（2）当 x0，时，求函数 f（x）的值域【分析】（1）只需将点（0，）代入函数表达式，利用 0 弧度角的三角函数值即可解得 a 的值；（2）先利用两角差的正弦公式和特殊角三角函数值，将函数化为 y=Asin（x+）的形式，利用正弦函数的图象求 f（x）的值域即可【解答】解：（1）把点（0，）代入函数表达式，得=2asin20+2sin0cos0a，化简得 a=
27、（2）f（x）=2sin2x+2sin2x=sin2x cos2x=2sin（2x）期为春福州校级期末已知函数且函数是偶函数则的值为二解答题共小题春兰州校级期中已知求的值求的值秋张家界期最小正周期及单调递增区间已知且求的值惠州模拟已知函数求的值若且求西城区二模已知函数求函数的最小正周期当区校级模拟已知函数其中且的最小正周期为求的单调递增区间利用五点法作出在上的图象秋九原区校级期中已知函数因为 0 x，所以2x 所以sin（2x）1，所以2sin（2x）2，故 f（x）的值域为，2【点评】本题考查了三角变换公式的应用，y=Asin（x+）型的函数的图象和性质，特殊角的三角函数值 20（2011
28、春?长沙校级期末）已知函数 f（x）=2asinx?cosx+2cos2x+1，（1）求实数 a 的值；（2）求函数 f（x）在的值域【分析】（1）由利用已知及特殊角的三角函数值即可解得 a 的值（2）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得 f（x）=2sin（2x+）+2，由，可求 2x+的范围，利用正弦函数的图象和性质即可求得值域【解答】（本小题满分 12 分），可得：asin+2+cos=4，即，（2 分）解得：；.（3 分）（2）由（1）得：.（5 分）=（7 分），.（8 分）期为春福州校级期末已知函数且函数是偶函数则的值为二解答题共小题春兰州校级期中已知求的值求的值秋张家界期
29、最小正周期及单调递增区间已知且求的值惠州模拟已知函数求的值若且求西城区二模已知函数求函数的最小正周期当区校级模拟已知函数其中且的最小正周期为求的单调递增区间利用五点法作出在上的图象秋九原区校级期中已知函数令，则 y=sinz 在，上为增函数，在，上为减函数，（10 分），即 f（x）的值域为2，4（12 分）【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查 21（2011 秋?保定校级期末）已知 为第三象限角，（1）化简 f（）；（2）若，求 f（）的值【分析】（1）直接利用诱导公式化简求解即可（2）通过，求出 sin，然后求出 cos，即可得到 f（）的值【解答】解：（1）（2）从而 又 为第三象限角 即 f（）的值为【点评】本题是基础题，考查三角函数的诱导公式的应用，函数值的求法，注意角的范围的应用 期为春福州校级期末已知函数且函数是偶函数则的值为二解答题共小题春兰州校级期中已知求的值求的值秋张家界期最小正周期及单调递增区间已知且求的值惠州模拟已知函数求的值若且求西城区二模已知函数求函数的最小正周期当区校级模拟已知函数其中且的最小正周期为求的单调递增区间利用五点法作出在上的图象秋九原区校级期中已知函数