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1、 2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题文（全国卷3，含解析）注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试终止后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，则A. B. C. 【答案】C D. 【解析】分析：由题意先解出集合A,进而得到结果。 详解：由集合A得 , 因此故答案选C. 点
2、睛：本题要紧考查交集的运算，属于基础题。2. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：由复数的乘法展开即可。故选D. 点睛：本题要紧考查复数的四则运算，属于基础题。3. 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼俯视图能够是 的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的1 / 16 A. A B. B C. C D. D 【答案】A 【解析】分析：观看图形可得。 详解：观擦图形图可知，俯视图为故答案为A. 点睛：本题要紧考擦空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。 4. 若，
3、则A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：由公式可得。 详解：故答案为B. 点睛：本题要紧考查二倍角公式，属于基础题。 5. 若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 【答案】B 【解析】分析：由公式运算可得 详解：设设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付， 2 / 16 则因为因此故选B. 点睛：本题要紧考查事件的差不多关系和概率的运算，属于基础题。 6. 函数的最小正周期为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析:将函数进行化简即可 详
4、解：由已知得的最小正周期故选C. 点睛：本题要紧考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题 7. 下列函数中，其图像与函数 的图像关于直线对称的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：确定函数 过定点（1，0）关于x=1对称点，代入选项验证即可。 详解：函数过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点依旧（1，0），只有过此点。 故选项B正确 点睛：本题要紧考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题。 8. 直线分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆上，则面积的取值范畴是 A. B. C. 【答案】A D. 【解析】分析：先求出A，B两点坐标得到公式运算即可 再运算圆心到直
5、线距离，得到点P到直线距离范畴，由面积详解： 直线分别与 轴， 轴交于 ， 两点 3 / 16 ,则点P在圆上 圆心为（2，0），则圆心到直线距离故点P到直线则的距离 的范畴为故答案选A. 点睛：本题要紧考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题。 9. 函数的图像大致为 A. A B. B C. C D. D 【答案】D 【解析】分析：由专门值排除即可 详解：当时，排除A,B. ,当时， ,排除C 故正确答案选D. 点睛：本题考查函数的图像，考查了专门值排除法，导数与函数图像的关系，属于中档题。 4 / 16 10. 已知双曲线的离心率为 ，则点 到 的渐近线的距离
6、为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：由离心率运算出 ，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式运算即可。 详解：因此双曲线的渐近线方程为因此点（4，0）到渐近线的距离故选D 点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题。 11. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， 若 的面积为，则A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：由面积公式和余弦定理进行运算可得。 详解：由题可知因此由余弦定理因此故选C. 点睛：本题要紧考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理。 12. 设 ， ， ， 是同一个半径为4的球的球面上四点，体积的最大值为 为等边三角形且
7、其面积为 ，则三棱锥A. B. C. D. 5 / 16 【答案】B 【解析】分析：判定出当 平面 时，三棱锥详解：如图所示， 体积最大，然后进行运算可得。 点M为三角形ABC的重心，E为AC中点， 当 平面 时，三棱锥现在，体积最大 , 点M为三角形ABC的重心 中，有故选B. 点睛：本题要紧考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判定出当 平面 时，三棱锥体积最大专门关键，由M为三角形ABC 的重心，运算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型。 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13. 已知向量【答案】，若，则 _ 6 / 16
8、 【解析】分析：由两向量共线的坐标关系运算即可。 详解：由题可得,即故答案为点睛：本题要紧考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题。 14某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评判有较大差异为了解客户的评判，该公司预备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是_ 【答案】分层抽样 【解析】分析：由题可知满足分层抽样特点 详解：由于从不同龄段客户中抽取，故采纳分层抽样 故答案为：分层抽样。 点睛：本题要紧考查简单随机抽样，属于基础题。 15. 若变量 满足约束条件则的最大值是_ 【答案】3 【解析】分析：作出可行域，平移直线可得
9、 详解：作出可行域 7 / 16 由图可知目标函数在直线故答案为3. 与 的交点（2，3）处取得最大值3 点睛：本题考查线性规划的简单应用，属于基础题。 16. 已知函数，则_ 【答案】【解析】分析：发觉可得。 详解：,则故答案为：-2 点睛：本题要紧考查函数的性质，由函数解析式，运算发觉和关键，属于中档题。 三、解答题：共70分，解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤，第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生依照要求作答 （一）必考题：共60分 17. 等比数列 中， （1）求 的通项公式； （2）记 为的前 项和若，求 8 / 16 【答案】（1）（2）或
10、 【解析】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m。 详解：（1）设 的公比为 ，由题设得 由已知得故，解得 （舍去）， 或 或（2）若，则由得，此方程没有正整数解 若，则由得，解得 综上， 点睛：本题要紧考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题。 18. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式依照工人完成生产任务的工作时刻（单位：min）绘制了如下茎叶图： （1）依照茎叶图判定哪种生产方式的
11、效率更高？并说明理由； （2）求40名工人完成生产任务所需时刻的中位数 ，并将完成生产任务所需时刻超过 和不超过数填入下面的列联表： 的工人超过不超过第一种生产方式 第二种生产方式 （3）依照（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附：， 【答案】（1）第二种生产方式的效率更高理由见解析 9 / 16 （2）超过15 5 不超过5 第一种生产方式 第二种生产方式 15 （3）有 【解析】分析：（1）运算两种生产方式的平均时刻即可。 （2）运算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表。 （3）由公式运算出 ，再与6.635比较可得结果。 详解：（1）第二种生产方式的效率更高
12、 理由如下： （i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时刻至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时刻至多79分钟因此第二种生产方式的效率更高 （ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时刻的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时刻的中位数为73.5分钟因此第二种生产方式的效率更高 （iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时刻高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时刻低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高 （iv）由茎叶图可知：用第一种生产
13、方式的工人完成生产任务所需时刻分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时刻分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时刻分布的区间相同，故能够认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时刻比用第一种生产方式完成生产任务所需的时刻更少，因此第二种生产方式的效率更高 以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分 （2）由茎叶图知列联表如下： 超过不超过10 / 16 第一种生产方式 第二种生产方式 15 5 5 15 （3）由于，因此有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异 点睛：本题要紧考查了茎叶图
14、和独立性检验，考察学生的运算能力和分析问题的能力，贴近生活。 19. 如图，矩形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 ， 的点 （1）证明：平面平面 ； （2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？说明理由 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，理由见解析 【解析】分析：（1）先证,再证，进而完成证明。 （2）判定出P为AM中点，证明MCOP，然后进行证明即可。 详解：（1）由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD 因为BCCD，BC 平面ABCD，因此BC平面CMD，故BCDM 因为M为 上异于C，D的点，且DC为直径，因此DMCM 又BCCM=C，因此DM平面BMC 而DM
15、平面AMD，故平面AMD平面BMC （2）当P为AM的中点时，MC平面PBD 证明如下：连结AC交BD于O因为ABCD为矩形，因此O为AC中点 连结OP，因为P为AM 中点，因此MCOP MC 平面PBD，OP 平面PBD，因此MC平面PBD 11 / 16 点睛：本题要紧考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问先断出P为AM中点，然后作辅助线，由线线平行得到线面平行，考查学生空间想象能力，属于中档题。 20. 已知斜率为 的直线与椭圆（1）证明： ； 交于 ， 两点线段 的中点为 （2）设 为 的右焦点， 为 上一点，且【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析
16、证明： 【解析】分析：（1）设而不求，利用点差法，或假设直线方程，联立方程组，由判别式和韦达定理进行证明。 （2）先求出点P的坐标，解出m，得到直的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解。 详解：（1）设，则， 两式相减，并由得 由题设知由题设得，因此 ，故 （2）由题意得F（1，0）设，则 由（1）及题设得， 又点P在C上，因此 ，从而， 因此12 / 16 同理 因此故 点睛：本题要紧考查直线与椭圆的位置关系，第一问利用点差法，设而不求可减小运算量，第二问由已知得求出m，得到 ,再有两点间距离公式表示出，考查了学生的运算能力，难度较大。 21. 已知函数（1）求曲线 在点 处的切线方程
17、； （2）证明：当 时，【答案】（1）切线方程是（2）证明见解析 【解析】分析：（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程。 （2）当 时，详解：（1）,令，只需证明即可。 ， 因此曲线在点 处的切线方程是 （2）当 时，令 ，则 当时，单调递减；当 时，单调递增； 因此因此 点睛：本题考查函数与导数的综合应用，由导数的几何意义可求出切线方程，第二问当 时，,令，将问题转化为证明专门关键，本题难度较大。 （二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。假如多做，则按所做的第一题计分22. 选修44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中， 的参数方程为（ 为参数），过点且倾斜角为
18、的直线与交于 两点 （1）求 的取值范畴； 13 / 16 （2）求 中点 的轨迹的参数方程 【答案】（1）（2）为参数，【解析】分析：（1）由圆与直线相交，圆心到直线距离 可得。 （2）联立方程，由根与系数的关系求解 详解：（1） 的直角坐标方程为 当 时，与当 时，记交于两点 ，则的方程为 与 交于两点当且仅当，解得或，即或综上， 的取值范畴是 （2）的参数方程为为参数， 设 ， ， 对应的参数分别为 ， ， ，则，且 ， 满足 因此，又点 的坐标 满足因此点 的轨迹的参数方程是为参数， 点睛：本题要紧考查直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考查求点的轨迹方程，属于中档题。 23. 选修45
19、：不等式选讲 设函数 （1）画出（2）当的图像； ，求 的最小值 14 / 16 （2） 的最小值为【解析】分析：（1）将函数写成分段函数，再画出在各自定义域的图像即可。 （2）结合（1）问可得a，b范畴，进而得到a+b的最小值 的图像如图所示 15 / 16 （2）由（1）知， 的图像与 轴交点的纵坐标为 ，且各部分所在直线斜率的最大值为 ，故当且仅当且 时， 成立，因此 的最小值为 点睛：本题要紧考查函数图像的画法，考查由不等式求参数的范畴，属于中档题。 在16 / 16 2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（课标全国卷，解析版）【教师简评】2020年黑龙江、海南、宁夏、吉林高
20、考数学试题从整体看，体现“总体稳定，深化能力”的特点，在保持2020年特点的同时，又力争创新与变化；试题不仅注意对基础知识的考查，更注重了对能力的考查。从考生角度来说，试卷总体相对基础。有较好的梯度，注重认知能力和数学运用能力的考查，稳中求新。 1. 忠实地遵循了普通高中新课程标准教学要求和2020年考试说明。 2. 题型稳定，突出对基本知识但考查，全卷没有一道偏题、怪题。全卷结构、题型包括难度基本稳定。填题空比较平和。 不需要太繁的计算，考生感觉顺手。许多试题源于课本，略高于课本。附加题部分，选做题对知识的考查单一，解决要求明确，学生容易入手。 3. 多题把关，有很好的区分度。能有效区分不同
21、能力层次的考生群体。 4. 深化能力立意。知识与能力并重。全卷在考查知识的同时，注重考查学生的数学基本能力。许多试题实际上并不难，知识点熟悉，但需要考生自主综合知识，才能解决问题。关注联系，有效考查数学思想方法，如函数与方程思想，分类讨论思想等。 5. 加大数学应用题考查力度，体现“学数学，用数学的基本思想。” 参考公式：样本数据x,x L x 的标准差 锥体体积公式12n11x x V sh= (- )+(- )2+L+(- )=23nsx x x x2n12x其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式3pp3V=Sh S=4 R2,V= R4其中S为底面
22、面积，h为高 其中R为球的半径第卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合A=x x2,xR,B=x| x4,xZ |，则AI B=（A）（0，2） （B）0，2 （C）|0，2| （D）|0，1，2| 【答案】D 【命题意图】本试题主要考查集合的概念和基本运算中的交集问题。 Q A=x|-2x2 ,B=0,1,2选D 【解析】（2）a，b为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a，b夹角的余弦值等于8 （B）-81616-65 （C）65 （D） （A）6565 【答案】C 【命题意图】本试题主要考查向
23、量的运算及夹角公式 r rab 16rrr r( ) ( )【解析】由题知a=4,3,b=-5,12cos a,b =r uur=|a|b| 65选C 3+i（3）已知复数z=i，则 =(1- 3i)211(A) （B） （C）1 （D）2 42【答案】B 【命题意图】本试题主要考查复数的除法运算问题，以及复数模的含义 3+i 3-i 1( )【解析】Q Z =-=- |Z |=选B4 22 1+ 3i（4）曲线y=x2-2x+1在点（1,0）处的切线方程为 （A）y=x-1 （B）y=-x+1 （C）y=2x-2 （D）y=-2x+2【答案】A 【命题意图】本试题主要考查导数的几何意义的运用
24、，求曲线的切线方程。 【解析】Q y=3x2-2k =1，由点斜式得切线方程为y=x-1选A 切x（5）中心在远点，焦点在 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为 6 （A） （B）5 6 （C） （D）522【答案】D 【命题意图】本试题主要考查双曲线方程的设法，及离心率的求法 x2 y【解析】由题双曲线为标准双曲线设为：a2 b- =1淅近线为：y=bx又因点 4,-2( )2a2c a2+b2 5在淅近线上所以a=2be= =a a 2 选D p （6）如图，质点 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位p 2 -2p x置为 （ ， ），角速度为 1，那么点 到 轴距0
25、dt离 关于时间 的函数图像大致为 【答案】C 【命题意图】本试题主要考查观察能力 【解析】由图知当t=0时d = 2，且开始时 先减小再增加故选C d (7) 设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 pppp2 （A）3 a2 （B）6 a2 （C）12 a2 （D） 24 a【答案】B 【命题意图】本试题主要考查长方体外接球半径的求法 ()2a +a2+a226a2【解析】因长方体的外接球球心为体角线的中点R =R =，所以2pS =6 a球2选B（8）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于5（A） （B）4546（C） （D）556【答案】
26、D 【命题意图】本试题主要考查程序框图的运用，重点是理解循环结构的表示的含义 1( )1 1= -【解析】由图知，当N=5时循环体共运行5次，因k k+1 k k+1所以输出数为 11 1 1 1 1 1 5+.+ =1- + - +.+ - =选D 1256 2 2 3 5 6 6 ( )(9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4 (x0），则 x f x-2 0= （A）xx4 （B）xx4（C）xx6 （D）xx2【答案】B 【命题意图】本试题主要考查函数的奇偶性质的运用及不等式的解法 () () ()【解析】当x0 f x f x =f -x =2-x-4。故，因 为偶函数，()(
27、)解 f x 0得x2所以 f x-2 0 x-22故选B psin(a+ )= 44（10）若 = - ，a是第一象限的角，则sina57 27 22（A）- （B） （C） （D）2 -10101010【答案】A 【命题意图】本试题主要考查角的诱导公式，两角和的正弦公式 p 4 p3 sina=-1-cosa=- sina+ =sinasin4aQ【解析】 为第三象限5p7 2+cos cos =-4 10a选A Y Y（11）已知 ABCD的三个顶点为A（-1，2），B（3，4），C（4，-2），点（x，y）在 ABCD的内部，则z=2x-5y的取值范围是 （A）（-14，16） （B）
28、（-14，20） （C）（-12，18） （D）（-12，20） 【答案】B 【命题意图】本试题主要考查线性规划的运用 ( )【解析】因四边形为平行四边行，所以AC中点与BD中点重合，得点D为 0,-4 在平面直角坐标系内做出YABCD，如图所示作直线l:2x-5y=0，平移直线 l到过点 D时 z最大为20，过点B时z最小为-14，又因线直过平行四边行内部的点所以选 B(3,4)B2x-5y=0(-1,2)A lgx1,00 若a，b，c均不相等，且f(a)= f(b)= f(c)，则abc2的取值范围是 （A）（1，10） （B）(5，6) （C）(10，12) （D）(20，24) 【答
29、案】C 【命题意图】本试题主要考查数形结合思想来解求范围问题。 1 ()()( )( )()【解析】Q f x 在 0,1,1,10 ,10,+ f =f 10 =1,且 10 () ()f 1 =f 12 =0作草图如图所示，不妨设abc， () () ()( )f a =f b =f c =t 则a=10-t,b=10t,c=12-2t 0t6.635所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. 8分 （3）由于（2）的结论知，该地区的 老年人是否需要帮助与性别有关，并且从（20）（本小题满分12分） y2设 1 , 2 分别是椭圆 E：x2+ =1（0b1）的左、右焦点
30、，过 1 的直线l与 E 相交FFFb2AF AB BF于A、B两点，且 ， ， 成等差数列。 22（）求 AB （）若直线l的斜率为1，求b的值。 【答案】 解： （1）由椭圆定义知|AF |+|AB|+|BF |=422 又2|AB=A|F |+|BF |得,|AB|=4322 （2） 4= 2|x -x |2即 . 1389=(x +x ) -4xx =4(1-b2) 4(1-2b2) 8b4-=则2(1+b ) 1+b 1+b2121 22 222解得 b=. 2（21）本小题满分12分） ( )设函数 f =x e -1 -axx2()x1（）若a=，求 的单调区间； f2()xx f（）若当 0时 0，求a的取值范围 ()x【答案】 解： （） a=1 时， f(x)=x(ex-1)-1x2， f()x =ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1)。当22( )( )( )时，x-,-1 f()x 0;当x-1,0 f()x 0。故时时，( )( )f(x)在 -,-1 ， 0,+单调增加，在（-1，0）单调减少。 （） f(x)=x(xa -1-ax)。令g(x)=xa -1-ax，则g()x =ex-a。若a1，则当( )x0,+ g()x 0，g(x)为减函数，而g(0)=0，从而当x0时g(x)0，即 f