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1、非对称韦达问题一题多解【方法概述】非对称韦达问题:在一些定点、定值、定线问题中，常出现需要证明类似 土生 kXX? + 6x2为定值的情形，但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种式子一般称 为“非对称韦达式对策：和积互换；先猜后证等【典例精析】已知椭圆氏=十二二1伍60)过点4(-2,0),4(2,0),点8为的上顶点，且 a- b直线A】B与直线2x + & = 0互相垂直.(1)求E的方程；(2)若不垂直于x轴的直线/过石的右焦点名，与交于C,。两点(C在X轴上方),直线4c,4。分别与轴交于邑7零点，。为原点，求证： 啜为定值.22【答案】(1)土 +匕=143【解析】(1)a
2、= 2,B(0,b),于是2(-二一1,解得人=行,22从土 +匕=1得43(2)【法一】和积互换设。区/)。区/2),直线/：X = 2P + 1(加W0)，代入(4 + 3m2故 :+ = 1 ；3)y2 + 6my-9 = 0 ,则%+% = J：,必 = : 4 + 3加4 + 3加直线 AyC: y (x + 2), 令 x = 0 得 汽=$ + 2 + 2 myx+ 3直线 A2D : y =(% - 2),令 x = 0 得力=:乂 -生_x2 -2x2 -2 my2 -1_ % _ my2 -yi9力少必+3%而 3,、 士3。3|而小%=5（乂+%），故而q而 3,、 士3
3、。3|而小%=5（乂+%），故而q3,、%=5(%+%)-=弘 + 3% = 1T(22)+ 3:3 -2-3【法二】先猜后证22设。（西,必）,。区/2），直线/ ：X = 2y + l，代入 ：3 + ? = 1得(4 + 3m2)y2 + 6my-9 = 0 ,则% + % = 一(4 + 3m2)y2 + 6my-9 = 0 ,则% + % = 一6m=7，4 +3m2 124 +3m2直线4c:尸Mx + 2),令X = O得=二91-$ + 2$ + 2 myx+ 3直线 4。：歹=(x 2),令 x = 0 得%,=二 =三二, x2 -2% - 2叼2 一 1则31 =_三1。
4、为 力3333当机=0时，直线/: x = l与E交于C（l,此时必 |OS|_一般地，要证吗一般地，要证吗OT只要证-三=,即证3匕,+4=0OT3r3 八力而 3% + % =力一二=皿52 -6(必 +%)=o , 便外 + 3 my2 -1 myx+ 3)(mj2 -1)【法三】巧用三点共线,y2设。(西,必),(123%)，直线/.x = my+ ,代入: +(4 + 3m2)j2 + 6my-9 = 0 ,则 M + % = (4 + 3m2)j2 + 6my-9 = 0 ,则 M + % = 6m=r， 4 +3m2 124 +3m2直线4C:y =(x + 2),令x = 0得
5、 = 2M$ + 2Xj +2直线 A2D : y = %(% -2),令 x = 0 得%.=2y2 , %2 2x? - 2则I OS |二打二天必一2% |OT| yT x,y2+2y2由G厂,。三点共线可得上=，即%必-%跖=必-为X -1 x2 -124/7?乂%+西% = 2加% + （凹+ %） = r，贝U工2,+ X% = 4（弘+ %）4 +加一由得、出=22/必=区,OTOTyT 匹+2% 3乂+98 3故 lSI二 % 二 /%2%二弘 +3% = 1 .【法四】一点控局：以动点C的坐标作为双参数控制动态过程设C（x。,）,直线1）,代入得 %1(15 6xq 8jVg
6、2x + 4y0? 12(x0 I)2= 0 ,2Xq 52Xq 5贝心。+/=/4解得%=段迎，于是力= 15 -6x05-2x0直线= Mx + 2),令x = 0得%x0+2x0+ 2又降;等r普则直线a。：”V。Xq+ 2(x - 2),令 x = 0 得 a = , x0+ 22打于是 S I_ _ Is_ 二0 + 2OT yT6y0Xq+ 2【变式演练】22已知椭圆E：A + A = 1(q60)过点4(-2,0)，4(2,0)，点3为的上顶点，且 a b直线A、B与直线2x + 43y = 0互相垂直.(1)求的方程；(2)若不垂直于轴的直线/过的右焦点石，与E交于C,。两点(
7、。在1轴上方),求证：标为定值.k&DTT【答案】(1) += 1 (2)-433【解析】当直线/斜率不存在时，此时N 1,，或1,-I 2j I 2；(3、N L-I 2j因此y,2I或一1-I，此时均有针?为定值;当直线/斜率存在时，设直线/： y =1),设(不必)，N(X2，%)，因此左=， k?= %玉+幺I2一幺k、%(x2 - 2)k(xx - l)(x2 - 2) x1x2 - 2xl -x2 + 22%(+2)k(x2 - l)(Xj + 2) xxx2 -X + 2x2 - 2联立亍+ ? = 消歹得(3 + 4/)2 _8入+ 4(r3) = 0, y = k(X-)易知
8、（），则8k2X + =73 + 4/4（/ _ 3）淮二13 + 4 左 2【方法一】和积转换6X + X2 =Y+ 2:;4%,因止匕 X1工2 = 3（X + ）_ 4 ,X. X2=7 + 13 + 4 4 2513_（X +） 4 2X 工2 + 2X H%2 2（X| + / ）-4 - X + 2/ - 2|M+ 12.6r为定值,得正【方法二】配凑半代换所以* -2区 +/2 ） +12 +2公 玉 x2-（X + 工2 ） + 3x2 - 2即2 =24（二_3）16k2。-9+ X7 + 23+ 4左23+ 4攵之4（左23）8左 292T+ 3工2 -2/ 7 2 + 3、2 33 + 4 左 23 + 4 左 23 + 4左9为定值得证.【方法三】先猜后证要证4即证纨，也即言r/h,即 3,-1） = k（D,即 3（$ _ 1）*2 2） = （x2 -1）（ + 2）, $ + 2 x2 - 2也即2x/2 5（否+）+ 8 = 0，也即8（左23）40左2+8（3+ 4左2）=0 ,显然成立,也即恒有为定值得证.