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1、专项五解析几何考点2解析几何中的最值和取值范围问题大题拆解技巧【母题】(2021年全国乙卷)已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=l 上点的距离的最小值为4.求P；若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点，求4PAB面积的最大值.【拆解1】已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=l上点的距离的最小 值为4,求p.【拆解2已知条件不变，抛物线C的方程为x2=4y,若点P(x(),y)在M上,PA,PB是C的两条 切线,A,B是切点，求直线AB的方程.【拆解3】已知条件不变，且直线AB的方程为xox-2y-2
2、yo=O.求4PAB面积的最大值.小做变式训练设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为P,过点Q(l,0)且与x轴不重合的直线交圆P于M,N两点，过点Q 作MP的平行线交PN于点E.证明|EP|+|EQ|为定值，并写出点E的轨迹R的方程.(2)已知点A(-2,0),B(2,0),过点P(-l,0)的直线1与曲线R交于C,D两点,记ZkABD和4ABC的面 积分别为Si和S2,求IS1SI的最大值.【拆解1】设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为P,过点Q(1,O)且与x轴不重合的直线交圆P于M,N 两点，过点Q作MP的平行线交PN于点E.证明|EP|十|EQ|为定值.【拆解2已知条件不变,|EP
3、|+|EQ|=4,写出点E的轨迹R的方程.22【拆解31已知曲线R的方程为十+q=1(疗0),点A(-2,0),B(2,0),过点P(-1,O)的直线1与曲线R交于C,D两点.记4ABD和aABC的面积分别为Si和S、求|SiS|的最大值.通法技巧归纳圆锥曲线中的最值问题的解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题,然后利用基本 不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.突破实战训练基础过关221 .已知椭圆C:号喂=l(ab0)的左、右焦点分别为F1R,点P(0)在椭圆上,底严
4、2是直角三 角形.求椭圆C的标准方程；(2)如图,动直线l:y=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点,M,N是直线1上的两点，且FiM1EN JJ,求四边形F)MNF2的面积S的最大值.已知椭圆点=l(ab0)过点弓”),且离心率为: a b2 23求椭圆C的标准方程.(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A,B,点P在椭圆C外且位于第一象限，直线PA和PB分别 交椭圆C于另外两点M和N(M,N在x轴的异侧).若NMBN90。,求点P的横坐标的取值范 围.2 .已知椭圆C：4*l(ab0)的离心率为;，且椭圆上动点P到右焦点的最小距离为1.求椭圆C的标准方程；点M,N是曲线C上的两点,0是坐标原点,|
5、MN|=2企，求AMON面积的最大值.224.已知点P在椭圆C:号+9=l(ab0)上，点FiR分别为椭圆C的左、右焦点,设|丽+可|的最 az bz大值和最小值分别为4和23.(1)求椭圆C的方程；过点F2的直线I交椭圆C于M,N两点，求MFiN内切圆面积的最大值.能力拔高225.已知椭圆E：3+=l(ab0)的左,右焦点分别为Fi,F2,P为椭圆E上的一个动点，且|PFR的最 a d22大值为2+8,椭圆E的离心率与椭圆C：Aj=l的离心率相等. 28(1)求椭圆E的方程；(2)直线1与交椭圆E于M,N两点(M,N在x轴的同侧)，当FiMF2N时，求四边形FjF2NM面积的最大值.22.已
6、知椭圆烹+/l(ab0)的左焦点为F,A,B是椭圆上关于原点。对称的两个动点，当点A的坐标为(1,?)时,4ABF的周长恰为7V2.求椭圆的方程；(2)过点F作直线1交椭圆于C,D两点，且而=入跖(入R),求4ACD面积的取值范围.拓展延伸.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(b,0),直线 止空动点P满足到点A的距离与到直 线1的距离之比为百：2;已知点S,T分别在x轴,y轴上运动，且|ST|=3,动点P满足 丽=|丽+：所;已知圆C的方程为x2+y2=4,直线1为圆C的切线，记点A(遮,0),B(-遮,0)到直 OO线1的距离分别为出计,动点P满足|PA|=di,|PB|=d2.在这三个条件中任选一个，求动点P的轨迹方程；(2)记(1)中动点P的轨迹为E,经过点D(l,0)的直线I交E于M,N两点,若线段MN的垂直平分线与y轴相交于点Q,求点Q的纵坐标的取值范围.6 .已知动圆过定点P(l,0),且与定直线l:x=-l相切，点C在1上.(1)求动圆圆心的轨迹M的方程；(2)设过点P且斜率为-百的直线与曲线M相交于A,B两点.AABC能否为正三角形?若能，求点C的坐标;若不能，说明理由;当4ABC为钝角三角形时，求此时点C的纵坐标的取值范围.