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1、第 3 讲 概率、随机变量及其分布列 考情研析1.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应 用.2.考查条件概率、相互独立事件的概率及独立重复试验的概率.3.以实际问题为背景，多与统计结合考查离散型随机变量的分布列、均值、方差.热点考向探究考向1古典概型与几何概型例1 （1）（20 2。山东省烟台市模拟）窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境.从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等.如图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，。为正八边形P山2P8的中心，P i R l x轴，现用如下方法等
2、可能地确定点M,点M满足2加+舁,+舁 产0（其中iWi,_/W8,且i,ij）,则点M（异于点O）落在坐标轴上的概率为（）3727（2）从区间 0,1随机抽取2个 数 孙X2,Xn,yi,2,，yn,构成个数对3,y i）,（X2,*）,，（X,/）,其中两数的平方和小于1的数对共有个,则用随机模拟的方法得到的圆周率兀的近似值为（）方法指导1.利用古典概型求概率的关键及注意点(1)关键：正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数，这常常用到排列、组合的有关知识.(2)注意点：对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏.2.几何概型的适用条件及求解关键(1)适用条件：当构成试验的
3、结果满足无限且等可能性时，应考虑使用几何概型求解.(2)求解关键：根据试验要求构造几何模型，如长度、面积、体积、夹角等，找出对等几何量，再做比值.对点精练1.记 刈表示不超过机的最大整数.若在X (,上随机取1 个实数，则使得 log”为 偶 数 的 概 率 为()A.1 B,C.D.不2.(20 20.山东省临沂市一模)三名旅游爱好者商定，新冠肺炎疫情全面结束后,前往湖北省的武汉、宜昌、黄冈三个城市旅游.如果三人均等可能地前往上述三个城市之一，则他们选择同一个城市的概率是_ _ _ _ _ _ _.考向2相互独立事件和独立重复试验例 2(1)(20 20.山东省济南市二模)5G指的是第五代移
4、动通信技术，比第四代移动通信技术的数据传输速率快数百倍，某公司在研发5 G 项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门攻克该技术难题的概率为0.6,乙部门攻克该技术难题的概率为0.5.则该公司攻克这项技术难题的概率为(2)(20 2。河 北 省 保 定 市 一 模)抛 掷 一 枚 质 地 均 匀 的 硬 币，记an=1,第次正面向上，1-1,第次反面向上.为 数 列 的 前 项 和 则 网=1 且 24的概率为方法指导求复杂事件概率的方法及注意点（1）直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件的积事件或独立重复试验问题，然
5、后用相应概率公式求解.（2）间接法：当复杂事件正面情况较多，反面情况较少时，可利用其对立事件进行求解.对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解.（3）注意点：独立重复试验的基本特征：在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；在每次试验中，事件发生的概率相同.对点精练1.（202。山东省济宁市模拟）已知n是一个三位正整数，若n的十位数字大于个位数字，百位数字大于十位数字，则称 为三位递增数.已知a*,c 0,2,3,4,设事件A 为“由a,A,c 组成三位正整数”，事件B 为“由a,b,c 组成三位正整数为递增数，则 P（矶4）=（）A 3B工A.5 io八 2一12C-25D-25
6、2.（202。广东省广州市二模）甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为2“三局两胜”制（无平局），甲在每局比赛中获胜的概率均为?且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为（）A-3B.|C-3D-5考向3离散型随机变量的分布列例 3（2020.山东省威海市二模）携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就能转换运营商，并享受其提供的各种服务.2019年 11月 27日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动.某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，13 2其中业务水平的满意率为启，服务水平的满
7、意率为不对业务水平和服务水平都满意的客户有180人.(1)完成2X 2列联表，并分析是否有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关;对服务水平满意人数对服务水平不满意人数合计对业务水平满意人数对业务水平不满意人数合计(2)为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2 名征求改进意见，用X 表示对业务水平不满意的人数，求X 的分布列与期望；(3)若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为5%,只对其中一项不满意的客户流失率为34%,对两项都不满意的客户流失率为85%,从该运营系统中任选4 名客户，则在业务服务协议终止时至少有2 名
8、客户流失的概率为多少？附：n(ad-be)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2 初0.100.050.0250.0100.0050.001ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828n=a+b+c+d.历法指导,解决随机变量分布列问题的两个关键点(1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值时所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率.(2)求随机变量的均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列.若随机变量服从特殊分布，则可直接使用公式求解.r对点精练(2020.河北省保定市一模)习近平总书记在2020年元旦贺词中勉励大家：“让我们只争
9、朝夕，不负韶华，共同迎接2020年的到来.”其 中“只争朝夕，不负韶华”旋即成了网络热词，成了大家互相砥砺前行的铮铮誓言，激励着广大青年朋友奋发有为，积极进取，不负青春，不负时代.“只争朝夕，不负韶华”用英文可翻译为:seize the day and live it to the full.”(1)求上述英语译文中，e,i,t,a 四个字母出现的频率(小数点后面保留两位有效数字)，并比较四个频率的大小(用连接)；(2)在上面的句子中随机取一个单词，用 X 表示取到的单词所包含的字母个数，写出X 的分布列，并求出其数学期望；(3)从上述单词中任选两个单词，求其字母个数之和为6 的概率.考向4与
10、正态分布相关的概率统计例 4(2020山东省高三第一次仿真联考)某公司采购了一些零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测120个零件的长度(单位：分米)，按数据分成1.2,1.3,(13,1.4,(1.4,1.5,(1.5,1.6,(1.6,1.7,(1.7,1.8这 6 组，得到如图所示的频率分布直方图，其中长度大于或等于L59分米的零件有20个，其长度分别为 1.59,1.59,1.61,1.61,1.62,1.63,1.63,1.64,1.65,1.65,1.65,1.65,1.66,1.67,1.68,1.69,1.69,1.71,1.72,1.74,以这120个零件在各组的长度的
11、频率估计整批零件在各组长度的概率.(1)求这批零件的长度大于1.60分米的频率，并求频率分布直方图中，n,t的值；(2)若从这批零件中随机选取3 个，记X 为抽取的零件长度在(1.4,1.6的个数，求 X 的分布列和数学期望；(3)若变量 S 满足+7)-0.68261 W0.05 且|尸 一 2rSW+2。)一0.95441 W0.05,则称变量S 满足近似于正态分布M/,4)的概率分布.如果这批零件的长度丫(单位：分米)满足近似于正态分布N(L5,0.01)的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收.试问，该批零件能否被签收？方法指导(1)正态分布的核心是正态密
12、度曲线的对称性，利用对称性，可以由已知区间上的概率求未知区间上的概率.(2)如果某个总体服从正态分布，则某个个体在指定区间内的概率就是一个固定值，若干个个体在该区间上出现的情况就是独立重复试验.一 对点精练(2020.山东省潍坊市三模)为了严格监控某种零件的一条生产线的生产过程，某企业每天从该生产线上随机抽取10000个零件，并测量其内径(单位：cm).根据长期生产经验，认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径X 服从正态分布NQi,o2).如果加工的零件内径小于-3。或大于+3a均为不合格品，其余为合格品.(I)假设生产状态正常，请估计一天内抽取的10000个零件中不合格品的个数约为多少？(
13、2)若生产的某件产品为合格品，则该件产品盈利；若生产的某件产品为不合格品，则该件产品亏损.已知每件产品的利润L(单位：元)与零件的内径X 有如下关系：-5,4,/-3。-a,L=z.求该企业一天从生产线上随机抽取10000个6,一 aWXA”+3a,/i+3。.零件的平均利润.附：若随机变量x 服从正态分布M/Z,)，则+=0.6826,P(/z-2rrXW +2rr)=0.9544,P(/z-+3。)=0.9974.真题治押题 真题检验1.（2020.新高考卷I）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜
14、欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A.62%B.56%C.46%D.42%2.（202。全国卷I）设。为正方形ABC。的中心，在 O,A,B,C,。中任取 3 点，则取到的3 点共线的概率为（）3.（2020.浙江高考）一个盒子里有1个红1个绿2 个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为。，则。（。=0）=；E=.4.（2020.江苏高考）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2 次，观察向上的点数，则点数和为5 的概率是_ _ _ _ _ _ _.5.（2020全国卷I）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛
15、的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为;.（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.6.（2020.江苏高考）甲口袋中装有2 个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为刘，恰有2 个黑球的概率为p”，恰 有 1 个黑球的概率为qn.求 p-q 和 P22；(2)求2pl t+
16、qn与2p“+如的递推关系式和 的数学期望E(XQ(用 表示).押题7.某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以内为首项，公比为2的等比数列，相应奖金是以70 0元为首项，公差为-140元的等差数列，则参与该游戏获得奖金的数学期望为 元.8.某班级50名学生的考试分数x分布在区间 50,10 0)内，设考试分数x的分布频率是X x)且I-0.4,10 Wx 10(+1),n=5,6,7,於n 一5+匕，10 Wx 10(+1),=8,9.考试成绩采用“5分制”，规定：考试分数在 50,60)内的成绩记为1分，考试分数在 60,70)内的成绩记为2分，考试分数在 70,80)内的成
17、绩记为3分，考试分数在 80,90)内的成绩记为4分，考试分数在 90,10 0)内的成绩记为5分.在50名学生中用分层抽样的方法，从成绩为1分，2分及3分的学生中随机抽出6人，再从这6人中随机抽出3人，记这3人的成绩之和为氢将频率视为概率).(1)求方的值，并估计该班的平均考试分数；求P=7);(3)求4的分布列和数学期望.专题作业一、选择题1.某英语初学者在拼写单词“s te a k”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“葭飞”女 三个字母组成并且“1 ”只可能在最后两个位置，如果他根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为()AC1-31-41-2B.D.2.（2020.
18、山东省青岛市模拟）已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额式单位：元）服从正态分布M2000,IO。）则该市某居民手机支付的消费额在（1900,2200）内的概率为（）附：随机变量4服从正态分布N3,（?）,贝 12（/，-。4 +7）=0.6826,一 2 +2c）=0.9544,-3 +3a）=0.9974.A.0.9759 B.0.84C.0.8185 D.0.47723.口袋中有5 只球，编号分别为123,4,5,从中任取3 只球，以X 表示取出的球的最大号码，则 X 的数学期望E（X）的值是（）A.4B.4.5C.4.75 D.54.如图，在区域：f+y2W 4内取一点，则该
19、点恰好取自阴影部分（阴影部分为“r +y2W4”与“（X1）2 +1）2 2”的公共部分）的概率是（）A 2 2兀5.一个篮球运动员投篮一次得3 分的概率为a,得 2 分的概率为b,不得分的概率为c（a,仇 c（0），已知他投篮一次得分的均值为2（不计其他得分情况）,则ah的最大值为（）A今 B.古C五 D-66.五个人负责一个社团的周一至周五的值班工作，每人一天，则甲同学不值周一，乙同学不值周五，且甲、乙不相邻的概率是（）3 c 7A-10 B-20C 2 D总J 5u-307.（2020.山东省聊城市模拟）在 2019年女排世界杯比赛中，中国队以十一连胜的骄人成绩夺得了冠军，成功卫冕，收到
20、习近平总书记的贺电，团结协作、顽强拼搏是中国女排精神，为学习女排精神，A,B 两校排球队进行排球友谊赛，采取五局三胜制，每局都要分出胜负，根据以往经验，单局比赛中A 校排球队胜8校排球队的概率为|,设各局比赛相互间没有影响，则在此次比赛中，四局结束比赛的概率为（）72 78A-625 B-625C四 D出J 625 u-6258.（2020.河北省石家庄市模拟）一台仪器每启动一次都随机地出现一个3 位的二进制数4=固 画 质 ,其中A 的各位数字中，以 a=123）出现0 的概率为，2出现1的概率为不若启动一次出现的数字为A=100,则称这次试验成功.若成功一次得2 分，失败一次得-1 分，则
21、 81次这样的重复试验的总得分X 的数学期望和方差分别为（）A.-63,y B.-63,50,5 0 ,C.6,石 D.6,507二、填空题9.一个盒中有形状、大小、质地完全相同的5张扑克牌，其中3张红桃，1张黑桃，1张梅花.现从盒中一次性随机抽出2张扑克牌，则这2张扑克牌花色不 同 的 概 率 为.10.（2020山东省淄博市模拟）设随机变量4N（4,9）,若实数。满足P（2。1）,贝a 的值是.1 1.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大，动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源
22、汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%,充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了 2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率 为.12.（2020.百校联盟6月质检）2020年新型冠状病毒疫情期间，大学生小白同学在家里根据某款运动软件安排的训练计划进行运动，每天训练一次，连续3天为一个运动周期，若小白每天不能参加训练的概率为，假设小白每天的训练是相互独立的，若一个训练周期内出现2次不能参加训练，则停止该训练计划，则这个 训 练计划在第二个完整周 期后结束的概率为.13.（2020山东省济南市二模）2020年4月2 1日，习
23、近平总书记到安康市平利县老县镇考察调研，在镇中心小学的课堂上向孩子们发出了“文明其精神，野蛮其体魄”的期许.某市教育部门为了了解全市中学生疫情期间居家体育锻炼的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每周参加体育锻炼的时长，如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图.(1)已知样本中每周体育锻炼时长不足4 小时的中学生有100人，求直方图中a,b的值；(2)为了更具体地了解全市中学生疫情期间的体育锻炼情况，利用分层抽样的方法从10,12)和12,14两组中共抽取了 6 名中学生参加线上座谈会，现从上述6名学生中随机抽取2 名在会上进行体育锻炼视频展示，求这2 名学生来自不同组的概率.
24、14.(2020北京市顺义区二模)在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查,统计学生每天的学习时间，将样本数据分成34),4,5),5,6),6,7),7,8五组，并整理得到如下频率分布直方图：(1)已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达到5 小时及以上的学生人数；(2)已知这两个班级各有40名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3 人，记从甲班抽到的学生人数为X,求X 的分布列和数学
25、期望；(3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为。I,。2,试比较。与的大小.(只需写出结论)15.今年学雷锋日，某中学计划从高中三个年级选派4 名教师和若干名学生去当学雷锋文明交通宣传志愿者，用分层抽样法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成文明交通宣传小组，学生的选派情况如下：(1)求x,y 的值;年级相关人数抽取人数高一99X高二27y高三182(2)若从选派的高一、高二、高三年级学生中抽取3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高三年级学生的概率；(3)若4 名教师可去A,B,C三个学雷锋文明交通宣传点进行文明交通宣传,其中每名教师去A,B,C三个文明交通宣传点是等可能的，
26、且各位教师的选择相互独立.记到文明交通宣传点A 的人数为X,求随机变量X 的分布列和数学期望.16.(2020.广东省广州市一模)某种规格的矩形瓷砖(600 mmX600 mm)根据长期检测结果，各厂生产的每片瓷砖质量x(kg渚R 服从正态分布N,(?),并把质量在a-30,+3之外的瓷砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品.(1)从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取10片进行检查，求至少有1 片是废品的概率；(2)若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为a(mm),伏m m),则 尺寸误差”为|a 600|+|b 600|(mm),按行业生产标准，其 中“优等
27、”“一级”“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是0,0.2,(020.5,(0.5,1.0(正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于1.0 mm的瓷砖)，每片价格分别为7.5元、6.5元、5.0元.现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取100片瓷砖，相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下：甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表乙厂瓷砖的“尺寸误差”条形图尺寸误差00.10.20.30.40.50.6频数103030510510用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率.记甲厂该种规格的2片正品瓷砖卖出的钱数为岂元），求4的分布列及数学期望凤。；由图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”“一级”
28、两种，求5片该规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于36元的概率.附：若随机变量Z服从正态分布N a,/），贝lJP0，-3oZ+3 5-0 2 4 1 所以有 97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关.（2）由题意，知随机变量X 的可能取值分别为0,1,2;计算 X-。）-c%o-495,P T，一 n _C4oC%_ 16O_ 32P（X=1）=c?（x）=495=99，X =2）=c+oo=495,所以X 的分布列为X0123163219r49599495x 的期望为 E(x)=ox|+1 x 1 1+2 X 募=|.（3）在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平都满意的客户流失的概率为30
29、 0*5 4-30 0,只对一项满意的客户流失的概率为罂X34%=薪，20 17对两项都不满意的客户流失的概率为丽X 85%=砺，9+34+17 1所以从该运营系统中任选一名客户流失的概率为一血一=5所以业务服务协议终止时，从该运营系统中任选4名客户，至少有2名客户流失的概率为p=1-c lx jx方法指导解决随机变量分布列问题的两个关键点(1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值时所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率.(2)求随机变量的均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列.若随机变量服从特殊分布，则可直接使用公式求解.一 对点精练(2020河北省保定市一
30、模)习近平总书记在2020年元旦贺词中勉励大家：“让我们只争朝夕，不负韶华，共同迎接2020年的到来.”其 中“只争朝夕，不负韶华”旋即成了网络热词，成了大家互相砥砺前行的铮铮誓言，激励着广大青年朋友奋发有为，积极进取，不负青春，不负时代.“只争朝夕，不负韶华”用英文可翻译为：“seize the day and live it to the(1)求上述英语译文中，e,i,t,a四个字母出现的频率(小数点后面保留两位有效数字)，并比较四个频率的大小(用“”连接)；(2)在上面的句子中随机取一个单词，用X表示取到的单词所包含的字母个数，写出X的分布列，并求出其数学期望；(3)从上述单词中任选两个
31、单词，求其字母个数之和为6的概率.解(1)英语译文中共有2 9个字母，e,i,t,a四个字母出现的次数分别为5 3 4 25,3,4,2,所以它们的频率分别为药0.17,29 0.10,芯心0.14,西20.0 6 9,其大小关系为：e出现的频率t出现的频率i出现的频率a出现的频率.(2)随机变量X的所有可能取值为2,3,4,5,2 4 2 1P(X=2)=;P(X=3)=;P(X=4)=g;P(X=5)=g.所以X 的分布列为X2345294929192 4 2 1 29所以其数学期望为E(X)=2 X g +3 X g +4 X g +5X=.(3)满足字母个数之和为6的情况分为两种：从含
32、两个字母的两个单词中任取一个，再从含4个字母的两个单词中任取一个，其取法个数为a己=4;从含3个字母的4个单词中任取两个，其取法个数为Cl=6,C J G +CZ 4+6 5故所求的概率为P=-d 二千二夜.考向4与正态分布相关的概率统计例4(20 20山东省高三第一次仿真联考)某公司采购了一些零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测120个零件的长度(单位：分米)，按数据分成1.2,13,(13,1.4,(1.4,1.5,(1.5,1.61,(1.6,1.7,(1.7,1.8这 6 组，得到如图所示的频率分布直方图，其中长度大于或等于L5 9分米的零件有2 0个，其长度分别为 1.59,
33、1.59,1.61,1.61,1.62,1.63,1.63,1.64,1.65,1.65,1.65,1.65,1.66,1.67,1.68,1.69,1.69,1.71,1.72,1.74,以这120个零件在各组的长度的频率估计整批零件在各组长度的概率.频率/组距 1.2 1.3 1.41.5 1.61.71.8 零件长度/分米(1)求这批零件的长度大于L 6 0分米的频率，并求频率分布直方图中n,t的值；(2)若从这批零件中随机选取3个，记X为抽取的零件长度在(1.4,1.6的个数，求X的分布列和数学期望；(3)若变量 S 满足 +7)-0.68261 W0.0 5 且|尸 2r SW +2
34、。)一0.95441 W0.0 5,则称变量S满足近似于正态分布N(/,)的概率分布.如果这批零件的长度丫(单位：分米)满足近似于正态分布ML5,0.0 1)的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收.试问，该批零件能否被签收？解(1)由题意可知120个样本零件中长度大于1.60分米的共有18件，则这1 Q批零件的长度大于L 6 0分米的频率为询=0.15.3记丫为零件的长度，则 P(L2Wy W1.3)=P(1.7YWL8)=a=0.0 25,尸(1.3YW 1.4)=P(1.6YW 1.7)=需=0.125,尸(1.4YW 1.5)=P(1.5r 1.6)=X(
35、l-2 X 0.0 25-2X0.125)=0.35.-0.0 25 0.125 0.35 一故 in Q|=0.25,n=O =1.25,，=0 =3.5.(2)由(1)可知从这批零件中随机选取1个，长度在(L4J.6的概率P=2X0.35=0.7,且随机变量X服从二项分布，即X以3,0.7),贝l j P(X=0)=C9X(l-0.7)3=0.0 27,P(X=1)=C1X(1-0.7)2X0.7=0.189,P(X=2)=C 5 X(1 0.7)X0.72=0.441,P(X=3)=d X 0.73=0.343.故随机变量X的分布列为E(X)=0 X0.0 27+1X0.189+2X0.
36、441+3X0.343=2.1(或 E(X)=3X0.7=X0123P0.0 270.1890.4410.3432.1).(3)由题意可知=1.5,(T=0.1.贝 i j p g+T)=p(i .4y w 1.6)=0.7,P(/i-27+2a)=P(1.3y 1.7)=0.125+0.35+0.35+0.125=0.95.因为|0.7 0.68261=0.0 174W0.0 5,10.95 0.95441=0.0 0 44W0.0 5,所以这4匕 零件的长度满足近似于正态分布M1.5,0.0 1)的概率分布，应认为这批零件是合格的，将顺利被公司签收.I方法指导,(1)正态分布的核心是正态密
37、度曲线的对称性，利用对称性，可以由已知区间上的概率求未知区间上的概率.(2)如果某个总体服从正态分布，则某个个体在指定区间内的概率就是一个固定值，若干个个体在该区间上出现的情况就是独立重复试验.对点精练(2020.山东省潍坊市三模)为了严格监控某种零件的一条生产线的生产过程,某企业每天从该生产线上随机抽取10000个零件,并测量其内径(单位：cm).根据长期生产经验，认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径X 服从正态分布NQi,o2).如果加工的零件内径小于-3c或大于 +3c均为不合格品，其余为合格品.(I)假设生产状态正常，请估计一天内抽取的10000个零件中不合格品的个数约为多少？(2
38、)若生产的某件产品为合格品，则该件产品盈利；若生产的某件产品为不合格品，则该件产品亏损.已知每件产品的利润单位：元)与零件的内径X 有如下关系：5,X 3。，4,一 3cWXv一%L=r,求该企业一天从生产线上随机抽取10000个o,一+/i+3 7.零件的平均利润.附：若随机变量x 服从正态分布N a,)，则 P a-cX W +0)=0.6826,P(/i-2rrXW +2(T)=0.9544,P(/i-3rrXW +3(r)=0.9974.解(1)抽取的一个零件的尺寸在a-3%+3内的概率为0.9974,从而抽取一个零件为不合格品的概率为0.0026,因止匕一天内抽取的10000个零件中
39、不合格品的个数约为10000X0.0026=26.(2)结合正态分布曲线和题意可知，P(X -3 T)=0.0013,P g 3ZX/+3a)=0.0013,故该企业一天从生产线上随机抽取10000个零件的平均利润为10000X(-5X 0.0013+4X0.1574+6X 0.8400-5X 0.0013)=56566 元.真题收押题 真题检验1.(2020.新高考卷I)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%答 案 C解析
40、 记“该中学学生喜欢足球”为 事 件 上“该中学学生喜欢游泳”为事件 5则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+d 该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A3,由题意可知P(A)=0.6,P =0.82,P(A+B)=0.96,所以 P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.6+0.82-0.96=0.46,所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选C.2.(202。全国卷I)设。为正方形ABC。的中心，在 O,A,B,C,。中任取 3 点，则取到的3 点 共 线 的 概 率 为()答 案 A解 析 如图，从。，A,B,C,。5 个点中任取3 点有。，A,
41、B,O,A,C,O,A,D,O,B,C,O,B,D,O,C,D,A,B,C,A,B,D ,A,C,D,B,C,Q 共 10种等可能的不同取法，3 点共线的有 A,O,C 与 3,O,0 共 2 种取法.由古典概型的概率计算公式，知取到3 点共线的概2 1率为15=5,故选A 3.(2020.浙江高考)一个盒子里有1个红1个绿2 个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为算则P 4=0)=；风加.答 案|1解析 因为4=0 对应的事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球,所以尸(。=0)=1+4=；.随机变量4的所有可能取值为0,1,2/(。=1)=9；+1 x
42、|x 1 +|x|x|=|,P(=2)=1 =所以 E=0X；+1 x|+2x1=1.4.(2020.江苏高考)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2 次，观察向上的点数，则点数和为5 的概率是_ _ _ _ _ _ _.答 案|解析 根据题意可得基本事件数共有6X6=36个，点数和为5 的基本事件有(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),共 4 个，所以向上的点4 1数和为5 的概率为石=.5.(2020.全国卷I)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一
43、人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为亍(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率.解(1)记事件M 为甲连胜四场，则 P(M)=g)=(2)记事件A 为甲输，事件B 为乙输，事件。为丙输，则四局内结束比赛的概率为P=P(ABAB)+P(ACAC)+P(BCBQ+P(BABA)4一一1-4=3所以需要进行第五场比赛的概率为尸=1-P=4.(3)记事件A 为甲输，事件8 为乙输，事件。为丙输，事件M 为甲赢，事件N 为丙赢，则甲赢的基本事件包
44、括BCBC,ABCBC,ACBCB,BABCC,BACBC,BCACB,BCABC,BCBAC,所以甲赢的概率为尸(M =&+7 Xa=看由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，9 7所以丙最终获胜的概率为P(AO=1-2X =-.6.(20 20.江苏高考)甲口袋中装有2 个黑球和1个白球，乙口袋中装有3 个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为X”，恰有2 个黑球的概率为”，恰 有 1 个黑球的概率为qn.求pr q i和阿伙；(2)求2P/I+qn与2/7,.1+如的递推关系式和X”的数学期望E(X”)(用 表示).G 1X3 1
45、2X3 2解 *=荻 i=?q =3X3=3故 pig=9.727-2-9X2-313-1-32X3 1 X 1 +2X2 1 2 2 5 162=P，X3X3+X-3X3-=3X3+3X9=27,-112故 P2-Q2=729。1X3 2 X 1 1 2(2)p“=p,_i x2X3 I X 1+2X2Q n=p _ i X 3x3+4 _ X 3x33X2 1 2+(1-p”-1-W-DX3X3=_ gCjn_+g,因 止 匕，2p”+Q n=-1 +-1 +g，1 2从而 2pa+q”=1(2p_i+4_ i)+q,所以 2p”+7 1 =q(2/?”-1 +/_ i 1),即 2p”+
46、q”-1 =(2pi+qi-1所以 2p,i+q”=1 +标因为X的分布列为X”012p1 p”-(JnPn故 E(XQ=2 +4”=1 +3.金版押题7.某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以0为首项,公比为2的等比数列，相应奖金是以700元为首项，公差为-140元的等差数列,则参与该游戏获得奖金的数学期望为 元.答 案500解析 由随机变量概率分布的性质，得ai+2m+4al=1,2 4ai=7，从而 2al 7,4al 7.因此，获得奖金4的分布列为70 0560420P1727471 2 4E（）=70 0 X +560 X +420 X =50 0,故参与该游戏获得奖
47、金的数学期望为50 0元.8.某班级5 0名学生的考试分数x分布在区间 50,10 0）内，设考试分数x的分布频率是x x）且njg-0.4,10 Wx 10(+1),n=5,6,7,於）=一g+匕，10 nx 10(/?+1),=8,9.考试成绩采用“5分制”，规定：考试分数在 50,60）内的成绩记为1分，考试分数在 60,70）内的成绩记为2分，考试分数在 70,80）内的成绩记为3分，考试分数在 80,90）内的成绩记为4分，考试分数在 90,10 0）内的成绩记为5分.在50名学生中用分层抽样的方法，从成绩为1分，2分及3分的学生中随机抽出6人，再从这6人中随机抽出3人，记这3人的成
48、绩之和为。（将频率视为概率）.（1）求方的值，并估计该班的平均考试分数；求P=7）;（3）求4的分布列和数学期望.解（1）因为f e-0.4,10 410（+1）,=5,6,7,於H -5 +仇 10 n x 10（n+1）,7?=8,9,所以（得一0 4）+（9-0.4）+舄一0.4）+-+（-2 +1,所以。=1.9.估计该班的平均考试分数为&-0 4）X 55+凭-0.4）X 65+扁-0.4 X 75+（一|+1.9 卜 85+（-|+1.9 X95=76.（2）由题意可知，考试成绩记为1分，2分，3分，4分，5分的频率分别是0.1,0.2,0.3,0.3,0.1,用分层抽样的方法分别
49、从考试成绩记为1分，2分，3分的学生中抽出1人，2人，3人，再从这6人中抽出3人，所以尸（。=7）=，e g -3lo-(3%=5,6,7,8,9,“八 CI C2 1%=5)=万=而*_ 6”鱼一旦P(g=6)=a=10 P(4=7)=东p-宜P(q _ 8)_ a-1 0,4的分布列为56789P1203103103101201 3 1()=5 X +(6+7+8)X-+9 X =7.专题作业一、选择题1.某英语初学者在拼写单词“s te a k”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“屋飞”“三个字母组成并且2”只可能在最后两个位置，如果他根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确
50、的概率为（）答 案 B解析 满足题意的字母组合有四种，分别是eka,ake,eak,aek,拼写正确的组合只有一种eak,所以所求概率为2=B选故1-42.(2020山东省青岛市模拟)已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额口单位：元)服从正态分布N(2000,IO。,则该市某居民手机支付的消费额在(1900,2200)内的概率为()附：随机变量4服从正态分布N,o2),贝+7)=0.6826,P3一 2a+2c)=0.9544,-3+3c)=0.9974.A.0.9759 B.0.84C.0.8185 D.0.4772答 案 C解析服从正态分布 M2000,IO。2)，:.=2000