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1、学科：数学教学内容：导数与微分经点答疑(一)【学法旨要】1.本章的学习目标是什么？(1)掌握导数的定义，灵活运用导数的定义计算函数在某一点的导数.（2）掌握函数在某点的可导性与连续性的关系，即函数在某点可导必连续，连续不一定可导，不连续一定不可导.（3）掌握求导法则，尤其是复合函数的求导法则；能熟练地应用求导法则与基本公式求初等函数的导数；会求隐函数和参数方程所确定的函数的导数；并熟练地计算某些简单的初等函数的高阶导数.（4）理解中值定理特别是拉格朗日中值定理，初步具有应用中值定理论证问题的能力.（5）能熟练地运用洛必达法则准确地计算各种不定式的极限.（6）理解泰勒公式的意义，能熟练地写出泰勒
2、公式与马克劳林公式.2.学好本章知识的关键是什么？由于导数是从许多的实际问题中抽象出来的一个数学概念，所以要知道导数的构造性定义，正确理解导数概念；知道导数是一种特殊类型的极限，即函数f（X）在点X。处的函数的增量f（x0+Ax）-f（x。）与相应的自变量的增量（x。+Ax）-x。=Ax（A x工0）的比值+A t）-/（/）Ax当自变量的增量x-O时的极限值.复合函数的求导是本章的重点，同时也是难点，熟练掌握和运用复合函数的求导法则对学好本章的知识具有重要作 用.复合函数求导的关键在于搞清复合函数的结构，明确复合次数，把一个初等函数由外向内分解成基本初等函数，以便利用导数公式(基本初等函数的
3、导数).在求导过程中，比如，函数)，=/疝(g(x)可 看 作y=f(U)M =(p G =w(f),r =g(x)儿个基本初等函数复合而成，顺次先将最外层的f关于U求导，再将次外层的中关于u求导，后将第三层的t p关于t求导，即逐次由外向内关于相应的中间变量求导，直至最内层的函数g关于自量X求导为止，并把这些所求得的导数顺次相乘即得.【经点答疑】1.怎样理解导数概念？在生产实践和科学实验中，常常需要研究函数相对于自变量的变化快慢程度.例如，要预报人造地球卫星飞过各大城市的时间，就需要知道卫星的飞行速度；要研究轴和梁的弯曲变形问题，就必须会求曲线的切线斜率等 等.求速度和曲线的切线斜率问题，叫
4、做求变化率问题，数学上称为求导数.下面，我们将从儿个实际问题入手，引入导数的概念.引例1求变速直线运动的瞬时速度.解 设有一质点M在直线AB上 自O点开始作直线运动(如图3-1).经过时间t后，该质点离O点的距离是t的函数s =s(t).求质点M在时刻t。的瞬时速度.A O M B设在t。到t 0+A t一段时间内距离从s。变到s 0+A s,在 这 段 时 间内质点M所走的距离为A s =s(t0+A t)-s(t0),因此在at时间内，质点M的平均速度为A r A r若质点作等速运动，平均速度3就是质点M在时刻t。的瞬时速度 若质点M的运动是变速的，则G一般不会正好是t。的瞬时速度，但a
5、t愈小，工就愈接近t。的瞬时速度，所以当t-o时，工 就可较精确的表示出时刻t。的瞬时速度.因此，我们用极限V。=v（tn）=l i m v =u/t ol i m 丝=l i mS（to+）-s（t。）A t-0 t 2 0 t来定义质点M在时刻t。的瞬时速度.瞬时速度v反映了路程函数s (t)相对时间t变化的快慢程度,称为函数s(t)对于自变量t的变化率.引例2切线的斜率.解 如图3-2,求曲线y=f(x)在其上一点p(x,y。)处的切线P T的斜率.y点P处的切线不是孤立的概念，它与已知的割线联系着.在曲线 上 任 意 另 取 一1点Q，设 它 的 坐 标 是（X。+A x,y 0+A
6、y）,其中x w O.A y =f（x0+A x）-f（x0）,则过点 P（X o，y（,）与 Q（x（）+A x,y（）+A y）的割线斜率k，（即 对 的 平 均 变 化 率）是A y _ f（x0+A x）-f（x0）K .A x A x当变化时，即点Q在曲线上变化时，割线P Q的斜率k，也随之变化.当Kxl较小时，取割线P Q的斜率k，作为点P的切线斜率的近似值.当IZXXI越小，这个近似程度也就越好.于是，当无限趋于0时，即点Q沿着曲线无限趋于P时，割线P Q的极限位置就是曲线过点P的切线，同时，割线P Q的斜率k，的极限k就是曲线过点P的切线斜率（即y=f（x）在点x。处变化率）即
7、k =t a n a=l i m 包=l i m +）一 心。）A xf 0 AX Ax-0 A x这样就把求曲线在点p处的斜率问题转化成求上面的极限问题.引例3求电流强度.解 设电流通过导线的横截面的电量是Q （t）,它是时间t的函数，求任一时刻t。的电流强度.我们知道，在直流电路中，电流强度是单位时间内通过导线横截面的电量，即电 流 强 度=黑.时间在交流电路中，电流大小是随时间而改变的，不能直接按上述公式求时刻t。的电流强度.我们可通过以下方法得到：设 在t。到t+A t（A t，O）一 段 时 间 内 通 过 导 线 的 电 量 是A Q =Q（t0+A t）-Q（t0）.因此在这段时
8、间内，平 均 电 流 强 度 加=冬易知，at取得越小，i就越接近时刻t。的电流强度L若当At-0时，i的极限存在，则平均电流强度i的极限就是时刻t。的电流强 度.因此，我们定义：/二一 八 一 二 一 加 如。+加）一如。）.AffO ArrO z 4-0 z这样，我们又把求瞬时电流强度问题归结为求上面的极限问题.通过以上三个实际问题，我们可以看到，虽然三个问题的实际意义完全不同，但解决实际问题的数学结构是完全相同的，即只从数学结构来考虑，它们可归结为（完全相同的数学结构）函数f（X）在某点X。处函数的增量A y =f（x。+x）-f（x。）与相应的自变量的增量x（xWO）的比 值 当 自
9、变 量 无 限 趋 于。时的极限.即l im包=l im也 支 出.-Ax AX-O AX在实际问题中，还有许多其他的问题也可归结为上面的极限来解决.我们把这些问题中出现的共同的数学结构抽象出来，就是我们的导数的概念，即导数是从这些实际问题中抽象出来的一个数学概念.设 函 数y=f（x）在点x。的某邻域内有定义，当自变量有增量 x （xW O）时（Ax可正可负）函数有相应增量A y =f（x。+故）-f（x。）.若极限l im包=l im也存在，则称函数f（X）在点x。可AXTO AX AXTO AX导，并称该极限值为函数f （x）在点X。（对X）的导数，记作f，（x。）,即也可记作W。，用或
10、誓,1-0若上面的极限不存在，则称函数f（X）在点X。不可导.有时,我们把X o +A x记作X,于是A x =x-x（）,当 x-0时，有x -x 0,则上面的极限可改为（鼠）=加。）.X-XQ导数定义的这两种表示法，在以后的应用中都要用到.引入了导数概念之后，上面开始的三个引例都可用导数来描述，即要求质点在时刻t。的瞬时速度，只要求出路程函数s （t）在t。的导数即可；要求曲线y=f（X）在点p（x ,f（x ）处的切线斜率，只要求出函数f(x)在点X。处的导数即可；要求时刻t。的电流强度，只要求出电量函数Q (t)在t。的导数即为所求时刻t。的电流强度.很明显，函数增量与自变量增量之比”
11、是函数在以X。和x+A xAx为端点的区间上的平均变化率，而导数/(X。)则是函数y=f (x)在点x。处的变化率，它反映了函数f (x)在点x。处随自变量的变化而变化的快慢程度.注：从导数的定义中可以看出，导数实质上就是一种特殊的极限值，即 函 数f(X)在点X。处函数的增量Ay=f(x o+A x)-f(x 0)与相应的 自 变 量 的 增 量(人 士。)的 比 值 包，当 自 变 量 的 增 量 无 限Ax趋于。时的极限/加电.但极限值并不一定是导数,如l i m c o s x.A x-o A r A t-o若只讨论函数在点X。的左邻域(或右邻域)上的变化率，我们需引入单侧导数的概念.
12、设 函 数y =f(x)在 点X。的某右邻域 x o，x。+6 上有定义，若 右 极 限lim 包=lim A%。)。s A x O+A x存在，则称f(X)在点X。右可导，并称该极限为f(X)在点X。的右导数，记作f：(x0).若极限lim包不存在，则称f(X)在点X。右不可导.A x f 0+A Xf i(x0)=l im f(Xo+Ax)-f(Xo)G 3 A x 0 x利用导数定义求导数的难点是有一些比值包的解析式不便于A x取极限，还需将其变形或化简，使极限所包成为已知极限的形式,Ax-0 AX以便于计算.例 1求函数y =x 2 在点x =3的导数.思路启迪 利用导数定义求函数的某
13、点的导数时，应先求出当自变量在某点有增量(xW O)时对应的函数的 增 量 然后计算与的比值的极限.规范解法(1)求y在点x=3处的增量.取A x工0,Ay=(3 +Ax)2-32=6 Ax+(Ax)2(2)算比值.Ay 6 Ax+(Ax)2.A=-.=6 +Ax.Ax Ax(3)取极限.f z(3)=l i m =l i m(6+Ax)=6.Ax-o AX AX-O点评 求函数在某点X。处的导数，首先应判断函数在点X。处是否可导，即极限l i m”是否存在且有限.若极限存在且有限，则函xfO X数在该点可导，此时，极限即为所求的导数；若极限不存在或极限为8 则函数在该点不可导.例2 证明函数
14、f (x)=1x1在点x=O处不可导.思路启迪 首先要求函数f (x)在点x=O处的左、右导数是否存在，若都存在且相等，则f (x)在x=O处的可导，若至少有一个单侧导数不存在，或两两个单侧导数都存在但不相等，则函数f(X)在点x=O处不可导.规 范 证 法因为x 01x1XLx 0,x 0+尸(o)=/)7()7 x-0=lim(-1)=1.因为力(o)w (0),所以/(x庵点x=o处不可导.点评判别分段函数在分段点处的导数是否存在时，由于在分段点的两侧函数的表达式不相同，故 函 数 的 增 量 的 结 构 在 分 段点的两侧也不相同，此时不能直接计算极限l i m包，而应首先分别XTO
15、AX判 断f(X)在分段点的两个单侧导数是否存在，即首先判断极限l i m包与极限l i m包的存在性，并由此而确定函数在分断点的可导AXTO+AX AX-O-AX性.例3 证 明：若fx。府在，则l i m史 上 正 皿 二 区=2 f 1x0).xfO x思路启迪 已知f，(x。)存在，也即是极限l i m f(X。+,)-f(X。)存在且TO AX等于f，(x),只要紧扣导数的定义，并把等式中的左端化成f(X)在点X。处的导数的结构，该题的证明将容易得到.规范证法出/(%+醺)/3-Ax)Ar。A%/N o +词-(无。)-/G o+Ax)lim.A sO A%,/(x0+Ax)-/(x
16、0)/(x0-Ar)-/(x0)=lim-F lim-AI TO AX-Ar-0 Ax=f (%)+/Z(xo)=2 /(%)点评 在 导 数 的 结 构(定 义)l i m如 3血)中,函数的增量XTO AX1。+刈)-改。)与自变量的增量4*是相应的，即自变量有增量A x时，相应的函数的增量是f(x0+Ax)-f(x),而在上面第二个极限中，函数的增量f(x0-Ax)-f(x0)所对应的 自 变 量 的 增 量 是 一(而非x),这一点是至关重要的.因此应该有(易知 x-*o时，一4 X f 0).l i mf(x()-A x)-)Ax-0 A X|im(X。-Ax)-f(xJ一 Ax 0
17、 AX=f(Xo)例4证明：若函数f (x)与g (x)当x=O时等于零，并且存在导数，且g，(o)wo则所哄=等1xfOg(x)gr(o)思 路 启 迪 由已知条件，我 们 有f(x)-f(O)里=半 同=瞥 里=*而，又(0)与g，(O)存在且g，(。)。，故上面g(x)g(x)-0 g(x)-g(O)g(x)-g(0)x-0分式当x-0时分子与分母的极限存在且分母的极限不为零.于是由极限的四则运算即可给出证明.规范证法 由已知有f(o)=g(o)=0,广(0)与 父(0府在且g 0)/0.当0时f(x)-f(o)f(x)g(x)g(x)-g(o)g(x)-g(o)，x-0f(x)-f(o
18、)干口 l i mf(x)_ x-0 ff(o)l S)-l i m g(x)-g(o)-F(6)-XTO X-0例 5 设/(x)=.g 3 s 4、*且已触(0)=8，(0)=0.求/(0).0 x=0.思 路 启 迪 直接利用导数的定义和正弦函数血 的 有 界 性.X规 范 解 法 ./加小)7()=/而 也t=/加g(x)-g(。).sinL1 X-0 I。X 0 XT。X-0 X又因为si n l是有界量,l i m 也 遇 =g (O)=O,X XT X 0所以i i m(x)Y(),si n L=O.于是,嵌底点乂=0可导且(0)=0.X TO X-0 X例6 设f(x)=(x-
19、a)9(x),其中函数0(x*E x=a处是连续的，求f(a).思路启迪 求年)，即是求极限l i m f(a +Ax)-f”即i m O意到函数(p(x)在X =a处是连续的，即/i m(p(a +A x)=(p(a),即可得出结果.A x70规范解法 f，(a)=l im U止 幽AX TO A X1 .A X 0(a +A x)-0=li m -AX TO A X=li m e(a +A x).A x-0由于(x)f tx =a连续，故 li me(a +A x)=(a),于是f a)=p(a).A x f 0例7 比)=颐-|皿),其中必()为连续函数及夕伍)*0,证明：此 函 数 在
20、 点a没有导数.思路启迪 这 里f (x)是一个分段函数，点a是f (x)的分段点，讨论分段点的可导性，需要利用函数在某点的可导性与该点的两个单侧导数的存在性的关系.规 范 证 法 取x W O,包=3(p(a +Ax)*Ax)A x 0,A x A x -(p(a 4-A x)A x 0.由 于tp(x)4点a连续，故 有 /i m 0于 =lim -lim-(p(a+A x)=一A x fo A r A X T O/(tz)=lim =lim(pa+M-O+AX-+由 于 夕(a)W 0,故/。6(a)因 此/(x庵点a没 有 导 数.例 8设市)=卜2 X4X。,为了使函数f (x)于点
21、x=x。处连续而且a x +b x x0.可导，应当如何选取系数a和b?思路启迪 由于x=x。是分段函数f (x)的分段点，要使分段函数在分段点处连续且可导，须考虑使如下等式成立：(l)f(xo-O)=f(xo)=f(xo+O).(2)f l(x0)=f*(x0).规范解法 v f(x0)=X Q.f(x0-0)=li mf(x)=li mx2=x；.x-x0 x-x0f(x0+0)=li m f(x)=1 i m(a x +b)=a x0+b.x-xo XTX0.,.当就=a x(,+b时，函数f (x)在x =x()处连续.又f：(x 0)=1亚W。+词-中0)=li m(x9+A x)2
22、-x j=2 x oA x-x0 A X A x-x0 Xf：(x 0)=i i ma(x+Ax)+b T =a A x +ax。+b-x A xfx。A x Ax-x0 A x当2 =2 x 0时函数在点X。处可导.从而得:X：=2XQ+b,b =x j.故所求的系数为a =2 x 0,b =-x j.学科：数学教学内容：导数与微分经点答疑(二)2.函数f(x)的不可导点有哪些类型?(1)函 数f(x)在不连续点不可导.如，符 号 函 数sgnx,在x=0点不连续，在x=0点不可导.(2)函 数f(x)在连续点不可导有以下儿种类型：左、右可导，但左、右导数不相等；例如，函 数f(x)=1x1
23、,在 点x=0左、右可导，但左、右导数不相等.左、右两侧至少有一侧不可导；,1 八例如，函婀(x)=叱 0 x 0+x左导数f (o)=li m 2 =0存在，即 左 可 导.AX-O-A x左、右导数至少有一个是无限大.例如，f(x)=W在x =0时,右导数f：(0)=li m i im-=-H；A X T O，A x A x-(r x)；左导数f：(0)=li m*=li m-J =+oo.A x 5 0 x)53.函 数f(x)在 点X。可导，是 否 函 数f(x)在点无。的某邻域内每一点都可导？不 一 定，函 数f(x旃点X。可 导 是 一 个 局 部 概 念，它 在 点X。的 邻 域
24、 内 不 一 定 可 导.例 如，函 数f(x)=?曾 碧，在 点0可导，(当然在点0连续)，事0当X为 无 理 数 时1实上/（0）=lilim-=lim=0当X为有理数时,lim =0X TO x当X为无理数时.显然，函数f(x)在任意点xWO都不连续，即除点。外，函数 f (x)在任意点都不可导.由此可见，一个函数可能仅仅在一点可导.4.什么是导函数？导数与导函数有什么区别与联系？怎样求导函数？如果函数f (x)在开区间(a,b)内每一点都可导，称函数f (x)在开区间(a,b)内可导，并称函数f(x)是(a,b)内的可导函数.如果函数f(x)在闭区间 a,b 内可导，且f：(a)与f：
25、(b)都存在，称函数f(x)在闭区间 a,b 上可导，此时称f (x)为闭区间 a,b 上的可导函数.如果函数f (x)在区间I 可导，此时对每一个点xL都有惟一一个导数f，(x)与之对应，这样按照函数的定义，在 I上定义了一个新的函数，称为函数f (x)在 I 上的导函数，记作:(x),y 域立即ax注意到，前面介绍的函数f(X)在点x。处的导数是一个值，这里给出的导函数是一个函数，这是二者的根本区别.函数f(x)在点x w l的导数f，(x。)与函数f(X)在 I 上的导函数f x。)的关系是：导数 等 于 导 函 数 f，(x)在点X。处的函数值，即f(xo)=f(x)lx=Xo,而前面
26、导数的记号y 正是利用这种关系来表示的.有时，在导函数与导数不至于发生混淆的情况下，导函数简称导数.例如，求某一函数的导数，而没有特别指明是某一点的导数,这时实际上是求导函数的.从导函数的结构我们可以看出，导函数的结构从形式上就是函数f(X)在任一点X处的导数.因此要求函数f(X)在区间I上的导函数，只需要求出f(X)在I上任一点X处的导数即可，而要求f (x)在点X处的导数，只需把极限l i m 3 1 区求出来即可AXTO AX例 1求函数y=x的导数.思路启迪 在本题中，实际上是求函数y=f (x)的导函数的,只须把函数f (x)在任一点x处的导数求出来即可.规范解法(x)=x,f (x
27、+A x)=X+AX,AX T O,y=f (x+A x)f (x)=x+A x x=A x.Ay _ Ax _ Ax Axy=lim =lim 1 =1.x-o AX AXTO即(x)=L例 2求函数y=/的导数思路启迪 这里是求导函数的，可先求出X。处的导数，再把X。换成X即为所求.规 范 解 法 任 取/eRAwO./G o）=x；，/（/+A x）=（x0+A r）3,区吟=3君+3/如）+如）2,A x A xV L=x0 =网?=imbxo+3x0（A x）+（A x）2=3X；.0 -A x A v-0用X代X。即 得 函 数y=d的 导数为j =3x2.5.导数的几何意义是什么
28、？它有哪些物理意义？由引例2,我们知道，若函数f （x）在点x。可导，贝I J曲线y=f（X）在点P（x0,f（x。）的切线存在，且切线的斜率k就是函数f （x）在点X。处的导数f，（x0）,即k=f，（x0）.故函数y=f（x）在点X。处的导数的几何意义是：（X。）表示曲线y=f（X）在点（X o，f（x0）处切线的斜率，即t a n a =X o）.因此，若函数f （x）在点X。处可导，则曲线y=f （x）在点p（x，y）（y 0=/（x。）处的切线方程是：y-y0-f1x-xQ）.法线方程是y-%=（X -X。）（/&H。）导数的物理意义，根据函数f（X）的物理意义不同而不同.如若当函数
29、f （x）表示质点作变速直线运动的路程时（X表示时间），其导数l（X）表示质点在时刻X的瞬时速度；当函数f（X）表示质点的速度函数时，其导数f，（x）表示质点的瞬时加速度；当函数f（X）表示电量函数时（X表示时间），其导数f x）表示时刻X的瞬时电流强度.等等.例 1求曲线y=x 在 点（1,1）处的切线方程与法线方程.思路启迪按照导数的几何意义，只要求出函数y=x，在点X=1处的导数即为该曲线在点（1,1）处的切线斜率，再利用直线的点斜式方程即可求出切线与法线方程.规范解法 根据导数的儿何意义可知，所 求 切 线 的 斜 率 为l=y L.由 于y=（x）=3x2,因 此I =yL=i=3x
30、2=3.于是所求的切线方程为y1 =3（x 1），即3xy2=0.所 求 法 线 的 斜 率 为 的=-从 而 所 求 的 法 线 方 程 为y-1 =-1）,即x+3-4=0.例 2 求曲线y=3上哪些点 的 切 线 平 行 于 直 线y=3 x-3.思路启迪 根据导数的几何意义，求 曲 线y=f（X）上切线平行于已知直线的点，也即是求函数y=f （x）在哪些点的导数与一知直线的斜率相等.因此，只要找出函数y=f（X）与已知直线的斜率相等的点即可.规范解法 已 知 直 线y=3 x-3的 斜 率k=3,函 数y=x?的 导 数y，=3x2.设 3x?=3,得 x=1,当 x=l 时,y=l；
31、x=-l时，y=-1.故所求的点是（1,1）和（1,-1）.点评解决此题的关键是能正确理解并掌握导数的儿何意义.6.函数的可导性与连续性的关系是什么？设 函 数y=f(x)在 点x可导，g p i i m =r(x)A X TO x由具有极限的函数与无穷小量的关系我们知道，存在一个当X-*O时的无穷小量a ,使得包=f 0 AX T(IL即函数y=f(x)在点x处连续.因此我们有：若函数y=f(x)在点x可导，则函数y=f(x)在点x必连续.反之，不一定成立，即若函数y=f(x)在 点x处连续，但它在点x不一定可导.例 函 数/(x)=尤X-0-x x 0+x-0+l i m f(x)=l i
32、 m (-x)=0 =f(0),即 在 点x =0左 连 续.x-0 x f(T故f(x)在点x=0连续.但是，f (x)在点x=0不可导(见1中的例2).由上面的讨论可知，函数f (x)在点x连续是函数f (x)在点x可导的必要条件，但非充分条件.即函数f(x)在点x处可导必连续，连续不一定是可导，不连续一定不可导.7.若函数f(x)与g(x)在点x。都不可导，它们的和H(x)=f(x)+g(X)与积G(x)=f(x)g(X)在点X o是否也不可导？不一定.例如，函数f (x)=1 x 1与g(X)=I x l.在x=0都不可导，但是，它们的和与积H(x)=f (x)+g (x)=0 与 G
33、(x)=f(x)g(x)=-x 2 在 X =0 却都可导.8.求哪些函数个别点的导数或左、右导数应用导数的定义？(1)函数在个别点的函数值单独定义的，其余点的函数值用统一解析式定义的(函数在个别点连续).例如，函数 xa co s 7-当x w 0,a l,p 0,=xp0 当x =0.在点x =0的导数要应用导数的定义.(2)求分段函数在分段点的导数.例如，函数I X X e(-0 0,0),f(x)=0,g(x)=0 A x&x-0公式(2)卜口上.为正整数.证明：设y=f(x)=x ,A y=f(x +A x)-f(x)=(x +A x)n-xn=n xn-1A x +；.xn-2(A
34、 x)2+(x)n,-=n x T +1,二1)x +(x)n-1,A x 2.1 7r.f(x)=(x )=l i m =n x1 1-1.A x r O A x 注：以后可以证明，当n取任意实数时，这个公式仍然成立.例1求(一).规范解法 3 j =9 x9-=9 x8.公 式(3)(s加x)=COS X.证明;设y=sin x,A y=s i n(x +A x)-s i n x =2 co sA x .A xx d-s i n ,2 J 22A y(A x=COS X 4-A x I 2.A xs m _ _ _ _ 2 _A xTyf=(s i n x)=l i m =l i m co
35、 s f x +Ax-0 A x AX TO IA x,A xs i n .2 hm-=co s x.X TO AX2公式(4)(co s x)=-s i n x.请读者自己证明.公式(5)(l o gax)-,(a0,a H 1).x l n a证明：设y=yl o ga(x +A x)-l o gax =l o g f l +yA xA X1 0 g a|1+f O g l +x ；X XT，y =(1 0 g aX)=啊?产明 O g/1 +x 1 0 AX X x 70 I X1 1 1特别，当a=e时，有公 式(6)(I nx)-X公 式(7)(ax)，=axl n a,(a 0)证
36、明：设 丫 =Ay =ax+Ax-ax=ax(aAx-l),A y*ax-1=a-,A x A r令l =f,则 Ax=1 0 g a(l +t),又当-*()时，有t*0,于是lim 一1Ax=lim-lo gu(l+t)=lim-o 1loga(+t)-=In a,logaey=(a、)=l i m -axl n a x-o A x特别，当a=e时，有公式(ex)=ex.例2求仅j.规 范 解 法(3 1 =3 1 3.法 则(1)两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差).即I(+V)=u+v.证明：设 丫 =u(x)v(x),u(x v(x 匀可导.当x有增量A x时
37、，有相应的增量A u,A v,A y,A y=u(x +A x)v(x +A x)-u(x)v(x)=A u +A v.A y u A v-=-1-.x A x A x/,Ty,.A u A v ,.(u v 1-l i m -l i m l i m =u vA x-0 X A X-O A X A X-O A X用同样的方法可将此结果推广到有限个函数代数和的导数情形.例3求下面函数的导数(l)y=x4-x3+sinx+ex.(2)y=x7+x3-x+10.思路启迪 这两个函数都是由几个初等函数的代数和构成，求它们的导数只要利用和与差的求导法则及前面的导数公式即可得出正确的答案.规范解法(l)y
38、-(x4)-(x3)+(sin x)+(e*)=4 x3-3 x2+cos x+ex.(2万 =()+(x3)-(x)+(1 0)=7/+3%2 _ 1.法 则(2)两个函数乘积的导数，等于第一个函数的导数乘以第 二 个 函 数，再 加 上 第 一 个 函 乘 以 第 二 个 函 数 的 导 数.即f(M V)=UrU+UV.证明：设y=u v,u (x)、/(x)均可导，当x取增量A x (x#0)时，有相应的增量、Av A y,于是在x处Ay=+Ar)v(x+Ax)-(工 卜(工)=+Ax)v(%+Ax)-心+&)+心+Ax)-w(x)v(x)=Awv(x+Ar)+Av,-=v(x+Ar)
39、+M(x)-.Ax x由 于v(x施点 乂 可 导，从而连续，于是当A x f 0时，v(x+u x)f v(x),于 是(u v)=l i m-Ax-0 x=lim lim v(x+A x)+u(x)l i mA x-0 A X-AX TO AX=u v+u v.特 别v=C(C是 常 数)1寸，(Cu)=C u +Cu =0 +Cu =Cu .也就是说，常数与函数的积的导数，等 于 常 数 乘 以 函 数 的 导 数.即(Cu)=Cu .对于有限个函数的乘积的导数可类推.例如三个可导的函数U(X),心)和W(x)的乘积的导数是:（HVW）=U VW+W V W+UVW例 4求函数y=x3
40、cos x的 导 数y.思路启迪 该函数是由两个基本初等函数x3与CO S X的积所构成，而x3与C O S X的导数(公式)我们知道，两个函数的积的求导法法则我们学过，因此只要能正确运用两个函数的积的求导法则与X 和C O S X的求导公式，该题将迎刃而解.规范解法由两个函数和积的求导法则得yr=(x3 C O S x=(x3)+O 2 3=3x cosx-x sin x.例5设 厂x3 sin xlnxf思路启迪 本例与上例基本相同，所不同的是本函数是由三个函数的积所构成，因此只要正确运用积的求导法则及公式即可.)J=Q 3 s i n X In 4=(x3)s i n x In x+%3
41、(s i n x)l n x+x3 s i n x(l n x)=3 x2 s i n xl n x+%3 c o s xl n x+x2 s i n x=x 之(3 s i n x In x+x c o s x In x+s i n x)例6 当p、q满足何条件时，三 次 抛 物 线y=x3+px+q与0 x轴 相 切.思路启迪要使抛物线y=x+px+q在 某 点 与O x轴相切，须使该点满足：y=y，=0.规范解法 由 方 程 y=x3+px+%求 得 y，=3 x2+p.要 使 此 曲 线 与O x轴相切，必 须 满 足+P =，(1)x3+px+q =0.(2)由式得x(x2+p)=一
42、q,两端平方，则x2(x2+p)2=q2 将式代入式得:-匕-R +p=q2.3 I 3 J2即（）,即为所求的条件.法 则（3）两个可导函数之商的导数仍是一个商，这个商的分子等于原来的商的分子的导数乘以分母，再减去分子乘以分母的导数；它的分母是原来的商的分母的平方.即:UU V-U V /丁,(5).证明：设y=4,V(X)N O,u(x),v(x)f t x可导。v(x)u(x+A x)-u(x)=Au,v(x+Ax)-v(x)=A v.y _ u(x+Ax)u(x)_ u(x)+A u u(x)_ A u -v(x)-u(x)A vu(x+A x)v(x)v(x)+A v v(x)u(x
43、)+A vv(x)因为u(x),v(x)在点X可导，从而连续，于是：y j i m U X f 0 x1 .A u (.A vl i m-vl xl-u l xl l i m AX TO Q x xv(x)+l i m v”光)/Ax-0u,(x)v(x)-u(x)v,(x)例 7 设 y=tan x,求yl思路启迪 注意到正切函数tanx是由正弦函数sinx与余弦函数cosx的商所构成，商的求导法则我们学过，而正弦函数与余弦函数的导数（公式）我们知道，因此若能正确地运用求导法则及求导公式，该函数的导数也就解决了.规 范 解 法tanx=cosx，?.yf=(tanx)(c o s x)_(s
44、in x)cos x-sin x(cos x)(cos x)2cos2 x+sin2 x 1 2=-=-=sec x.cos2 Xcos2 X从而得公式(9)(tan x)=sec2 x.类似可得公式(10)(cot x)=-csc2 X.学科：数学教学内容：导数与微分经点答疑(三)例8设 二.次 乂 求 工思路启迪 利用三角函数的关系，将secx写成 匚，再利用商COSX的求导法则及COSX的导数公式即可求出(secx).规范解法 由于secx=，由法则3得COSX，f cos x-1-(cos x)(cos x)2sinx-=sec x tan x.(cos X)由上例得公式(11)(se
45、cx)=secxtanx.类似地可得公式(12)(cscx)=-cscxcotx.例9设y=sin 2羽 求规范解法 y =s i n 2 x=2 s i n x c o s x.由法则2得yr=(sin2x)=(2 sin x cos x)=2(sin x cos x)=2 (sin x)cosx+sin x(cosx)=2(cos2x-sin2x)=2cos2x.从上面的例子可以看出，y =s i n 2 x是一个复合函数，它由两个函 数y =s i n u与u =2x复合而成，s i n 2 x的导数是2 c o s 2 x而不是c o s 2 x,那 么s i n 2 x的导数与s i
46、 n u的导数和u =2 x的导数是什么关系呢?由于曳=csu,羽=2,而如迎=cosu.2=2cos2x=y，,即y对X的导数y，du dx du dx”等于y对中间变量u的导数再乘以中间变量u对x的导数.一般地,我们有复合函数的求导法则(4)法 则(4)设函数w =w(x)在 点x可导，函 数y=f (u)在其对应点”山)也可导，则复合函数y=在点X可导，且y对X的导数学等于y对中间变量的导数再乘以中间变量对自变量x的导数.即：dy _ dy dudx du dx证明：设自变量X有 增 量(x W O)时，中间变量u和函数y分别有相应增量口与?,由于=皿)在x处可导，从而连续,即 lim
47、Au=0.Ax-0由 包=包.包有Ax Aw Axdy Ay.Ay.Aw dy du=hm =lim hm =-,dx。Ar。Ax du dx即包=包 也dx du dx重复应用法则(4),我们可以把复合函数求导法则推广到多次(有限次)复合的情形，如设y =/（）,=W（u）,u =V（x）.则 重 合 函 数y =f w w（x）导数是：d y _ d y d u d vd x d u d v d x 注：求复合函数的导数，首先要把复合函数进行“分解”，即找出它是由哪几个“简单函数”复合而成.这里的“简单函数”是指基本初等函数或多项式函数.因为导数基本公式中都是基本初等函数的导数，而多项式函
48、数是幕函数的线性组合，其导数也易求.然后再利用复合函数的求导法则和导数的基本公式即可.如果“分解”得不彻底，即“分解”出来的函数不是基本初等函数或“多项式”函数，则在利用法则和公式时就要出现错误.例 10 y =（4x-1）2,求也dx思路启迪 该函数可以分解成y =M与U =4 x-1两个函数，对于这两个函数的导数可利用公式.只要正确运用复合函数求导法则及相应公式即可.规 范 解 法 设U =4x1,则y =（4 x-l）2可看作是由y =M与u =4 x-l复合而成的,由复合函数的求导法则得:$M.*=（U2）（4XT）=2U-4=8（4 x-l）例 11 y =c o$2 x,求 电.d
49、x规范解法 设U =C O S X 4 l J y =c o s 2 x可看作是由y =M与U =COSX复合而成，由复合函数的求导法则得关 啜 4(u“8 sx)=2u(csx)，=-2 cos x sin x=-sin 2x.例 12 y=sin In x,yf.思路启迪 函数y=sinlnx是由函数y=sinu与 u=lnx复合构成.这里写出中间变量u 只是为了初学者正确使用复合函数求导法则，其实，在复合函数求导法则运用熟练以后，中间变量就不必再写出来，但复合关系一定要清楚，并且心中记住复合函数求导的过程.规范解法 y=(sin In x)f=cos In x (in x),1 cos
50、In x=cos Inx-=-.X X例 13 y=arc cot f yf.x思 路 启 迪 函数y=是由函数),=arc cot u与忧=复合而成.x x规范解法 V=1 -1-1-1 +x2,例 14”而 下，求处dx思路启迪该函数是由两个函数y=d与U=a2 _ x 2复合而成，求y对X的导数，先 求y对U即对上求导，再乘以U即a2.x2对X的导数.规 范 解 法例15 y=tan x2,.dx思路启迪令”则),=3 1/可 看 作 由 函 数y=3t 与“=/两 个 函 数 复 合 而 成.规 范 解 法 =(tanx?)=sec2(x2)-(x2)ux=2x sec 2(x 2)例