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1、计算方法习题答案王新民术洪亮编2012/5/10第一章习题答案1.已知/(-1)=2,/=1,/=1,求/(x)的L a g/w z ge插值多项式。解：由题意知：=1,X =1,/=2；%=2,x =1,y2 1_ (x-x,X x-X j)_ (x-l)(x-2),0(尤0尤 )(尤0 2)6/二。一/3-/)_(x +l)(u-2)1(菁 一 刀0)(无I 一 元2)一2/r(%-0)(4-苍)_*+1)(1)2(马 九0)(*2 一玉)3这“(+3匕乡2 +殳工21+史3x 16-2 32.取节点4 =0,%=1,=g,对y =e，建立Lagran ge型二次插值函数，并估计差。解1)
2、由题意知：J_ 1X。=0,玉=1,%2 =5；o =1，X =/,%=e 2则根据二次L a gra nge插值公式得：L=5 _)(尤_X2)y+(尤 _ 玉)(_)y+(X 7 o)(X _ X|)y(XO-)(XO-X2)0(一一.)(七一工2)(X2-XO)(X2-X,)2=2(x-l)(x -0.5)+2 x(x -0.5)e-1-4x(x -l)5=(2 +2 e T 4 e 0-5)x2+(4 -e-3)x+l2)根据L a gra nge余项定理，其误差为I R,(x)1=1%(x)1=1 je x(x-l)(x-0.5)|3!o m a x|x(x-l)(x-0.5)J w
3、 (0,1)6 0 A l取 x)=x(x l)(x -0.5),并令 f(x)=3x2-3x +0.5 =0可知当=三 =0.2 1 1 3时，f(x)有极大值6.,.|?2(X)|-XO.2113X(0.2 1 1 3-l)x (0.2 1 1 3-0.5)=0.0 0 80 23.已知函数y=在x=4,x=6.25,x=9 处的函数值，试通过一个二次插值函数求近的近似值，并估计其误差。解：由题意y=知：/=4,4=6.25,泡=9;)办=2,y=2.5,必=32(1)采用Lagrange插值多项式丁 =石 a/(x)=2 3%)与;=0y A/7*J(x)|*=7(x-x,)(.x-x2
4、),1 (X-XO)(X-X|)(xo-xt)(xo-x2)(%一/)(再一元2),(%2一 工0)(工2一%)2_(7-6.25)(7-9)“J 7 -4)(7-9)“.(7-4)(7-6.25)2.25x5=2.6484848其误差为-2.25x2.752.75x5R,=f(7-4)(7-6.25)(7-9)3!a-又/(x)、S则 max|/*)|=。2 0.01172149 8R|K 4 x-x0.x-x1.x-x3 _ x-0 x-1 x-4赴一x（）%一%一工 2 0 2 1 2 4丁 +4x4，3(X)x-xQ.x-x,.X-X2 _ x-0 x-l x-2 _ x3-3x2+2
5、x“3 一 天 W 一 百 /一/4 0 4 1 4 2 24k (x)=(XT)(X_ 2)(X_ 4)*+(x-0)(x_2)(x_4)、9+(0-1)(0-2)(0-4)(1-0)(1-2)(1-4)(x-0)(x T)(x-4)。-0)(-2)(2-0)(2-1)(2-4)-(4-0)(4-1)(4-2)-3x+2)(x-4)+3x(x-6x+8)xx-5x+4)+x(一 人+竺+4 4 2(2)Newton插值多项式kXk于 5)一阶差商二阶差商三阶差商00111982223143343-10-8-%M(x)=)+f(x0,玉)(x-x0)+f(x0,x1,x2)(x-x0)(x-x
6、t)+f(x0,xt,x2,x3)(x-x0)(x-%)(x-x2).HX3 +45X2_1X+14 4 2由求解结果可知：4(X)=N 3(X)说明插值问题的解存在且唯一。6.已知由数据(0,0),(0.5,y),(1,3)和(2,2)构造出的Lagrange插值多项式L,(x)的最高次项系数是6,试确定乂。叼，/、x x.x x,x-x.x-0.5%1 x 2 3 7 2 7,解：/(%)=-Lx-=-x-x-=-x+-X x+1XQ%|XQ%2 玉)一 刍 0 0 5 0 1 0 2 2 21，./(x、)=x-x()且 x x-x22-x x-x=.-x-0-x-x-1-x-x-2-=
7、8-/(x3 -3 x2 +c2x、)%X。X 1-x,X 无3 0.5 0 0.5 1 0.5-2 3=21+5/一2%工2 一毛 工2 X*2 一 *3 1 -0 1 0.5 1 2L，(/X、)=-x-x-n x-x-x-,x x-x-.=x-0-xx-0-.-5-x-x-=1 x1 3 1x 2 +1x%3 _ 玉)百 工3 _ X，2 0 2 0.5 21 3 2 6Q 1 7右(幻中最高次项系数为：0 x(-1)+1%+(-2)x 3+x 2 =6 =y=彳7.设/(x)=%4,试利用“避“余 项 定 理 给 出/(力 以-1,0,1,2为节点的插值多项式L,(x)。解：由Lag
8、r an g e余项定理&(x)=/(x)-。(X)=三4+1(X)&e a,b(H +1)!可知：当=3时，,f(+i)C)=f4)(%),考=4!中右 “一刖(F(他 一 七)=x4-(x+l)(x-0)(x -l)(x-2)-2 x8.求 作/（x）=x+i关于节点.（i =0,l,）的Lag r aag e插 值 多 项 式，并利用插值余项定理证明以（0）=（一1）力 x,/=0 z=0式中4,（x）为关于节点玉（i =0,l,，冷 的Lag r an g e插 值 基 函 数。解：注意到/（%）=关于节点X.。=0,1,）的插值多项式为 Y_ 丫 _，14。）=2（：1广7=2为（幻
9、y=0/=0 xi xi 六0Hj其插值余项为“（/+”叫“”工引+川）口（卜山,）j=0 U 十 工N i=o/=0据此令x=0即得之 染%（0）=（7）力 广；=O/=0附加题：设4（x）为关于节点不（i =O,l,的Lag r an g e插 值 基 函 数，证明E z=o,p =o,1,六。4+1(弓)而/（x。，X,，尤“+）H）（+1）!in（x-x,.）（,+,）/=05+D!3=1（+1）!1 1.设 首 项 系 数 为 1 的 n 次式有n 个互异的零点七（i=l,2,），证明nEJ=IXJ0,左=0,1,n-2小）一11次n-证明：按题设，/（X）有表达式/（x）=n（x-
10、x,.）Z=1故原式左端k kfl xK n V*r f （日立卜七）i=lMj注意到上式右端等于g（x）=x关于节点看（，=1,2,.,）的-1阶差商且 储,工 ）（见 第 10页 2.1式）利用差商与导数的关系（见 2.11式）得知s（x.工 T一 =0，-2g1”2,，当 卜（_ ）!-卜次=1 3.设节点玉（j=0,l,n）与点、a互 异,试对“司二一二证明C l X f（x0,xt,及）=-，左=0,L,ni=a-xi并给出/（x）的Newton插 值 多 项 式。解 依 差 商 的 定 义/*。）=1a-X。/（%）/（X。）一 1,1 1 、一 1一?一 七一/Xj-x0 a x
11、x a-xQ（a-x a x一般地，设%z）=-=-n（-x,.）七）i=0则f（Y _ /（X，*2，）/（X。，1，光A）J A0，4，Ajt+1）X#+l “01 A+l 1%+1一%A-1 1%n-a-x,xk+-x a-xMk 1-n）七?。-七1 1 1k+ln/=01故/（x）=-一 的N e wto n插值多项式为a-xM（X）=/（%）+/（Xo，%）（X _ X o）+,+/（Xo，Xl，“，Z）（X _%o）（X _ D-（X_ X-l）1 ,x-%0 ,（x-x0）（x-x1）-（x-x _t）=-1-1-1-a-x0（a-尤o）（a 再）（。一项5 ）（a-x”）nn
12、1、x-xt（。一%3才。一玉714.设P（x）是任意一个首项系数为1的n+1次多项式，试证明 尸 一苫尸（为 弦（x）=4+G）4=0（2）P（x）/%（x）=l +M;W）其中。4+G）=n（xf）。/=0解；由 题 意，可设 P（x）=x+平 +4,则 M+DO hS+l）!,由 La g r a n g e插值余项公式得P（M G）P）4（x）（n +l）!向（无）=%（X）洪 中 4（X）=P（X k 儿（X）k=0故有 P（x）-Z P（X k ）lk（x）=例+（X）4=0（2）由（1）式可知，P(X)=%(X)+P(x 儿(x)=4+1 (x)+之尸(8)-一%”)A=0 k=
13、0 1%。+1故有,a k=i+汽 pg4+i(%)A=O(x -xQs D1 5.给定数据表：X1%02f(x)3%3%构造出函数/（x）的差商表，并写出它的三次N e w。插值多项式.解：利用New t on插值公式：M（x）=/（x0）+（x-x（）/（xo,X）+（九 一 M X%-%）/（%，X，%）+。一%）（%一）。一 2）/（与,尤|,工2，工3）先作出差商表k%/(0+4(x)M +稣(X)%+与(X)X=(x-l)2(2x+l)xl +x2(-2x+3)x2+x(x-l)2 x+x21 ,1 ,=-x+-X+12 2(x-l)x21 7.设 x)充 分 光 滑,/(a)=/
14、S)=r(a)=O,求证黯火小系八城黯(到证明：显然，满足条件“2(。)=2 =；(4)=0 的插值多项式”2(6 =0由Her m it e插值余项公式得f(x)=/(%)-2(X)=(X -。)2(X -b)由于期()/叫卜4故1 8.期,(小 篝()3蜷上(止意()3喇尸求 作 满 足 条 件”3(0)=1，”3 (1)=2,“3(2)=9,H；(1)=3 的插值多项式 3(X),并估计其误差。解 法 1：由已知条件X012y129y3用 基 函 数 方 法 构 造“3(力。令“3(%)=4(x)%+4(%)K+&(%)y2+4(尤)yi其 中，4(x)，4(x),&(x)，4(x)均
15、为 三 次 多 项 式，且满足条件4(0)=1 4(i)=A；(i)=A,(2)=oA(i)=i A(0)=A(i)=A(2)=04。)=1 4(o)=4(i)=4(2)=o4(2)=1 A(O)=A2(I)=A(I)=O依 条 件 可 设 4(X)=C(X1)2(X2),由 4(0)=1,可得:C=-g,4)(x)=一;(尤-1)(x-2)10同 理，A(x)=x(x2),A2(x)=X(x I)“,4(x)=x(xl)(x 2)3(X)=-；(X-1)2(X2)X1-X(X-2)X2 X(X-1)(%-2)X3+X(X-1)-X9=%3+1误 差 为：R3(x)=4(%)=络(x2)解 法
16、2：用 承 袭 性 构 造“3 (x)由条件“3(O)=1，3=2,”3(2)=9先构造一个二次多项式M(x)作差商表：i天P(x,)一阶差商二阶差商001112122973于是有：乂&)=l +l x(x-0)+3(x-0)(x 1)=3 f -2x+l令所求插值多项式W3(x)=但(%)+。(%-七)(%毛)(-)利用剩下的一个插值条件；(1)=3,得N2(xl)+c(xl-x0)OI-W)=力(百)由此解出3-4 7(王一玉)(%一 工2)(1一)(1一2)故有 p(x)=但(x)+x(x-1)(九 -2)=d +11 9.求作满足条件 H3(X,.)=/(X,.)(Z=0,1),H3W
17、(%)=f(k M(k=1,2)的插值多项式P(x)。并给出插值余项。解：令“2(%)=/(公)+./(%)(%-/)+。)(*-丁)2H,(X)=2(X)+C(X-XO)3利用插值条件&(玉)=/1(%)定 出：c=,()二 (龙 一/)注意到这里1是三重零点，%是单零点，故插值余项为/(x)-4 3(x)=4，)(1。丫(11)20.求作次数4 4的多项式P(x),使满足条件P(0)=-l,P(l)=0,P(0)=-2,尸(1)=1 0,尸=4 0并列出插值余项。解 法1：由 于 在x=0处有直到一阶导数值的插值条件，所以它是“二重节点”；而在x=l处有直到二阶导数值的插值条件所以x=l是
18、“三重节点”。因此利用重节点的差商公式：/1尸 rb n f(xA小 力0,xl,.,xk_l,x)=-T-2-I*+1 )fk!可以作出差商表X jfM一阶二阶三阶四阶0-i0-i-21013101096101020115根据New t on插值多项式，有P(x)=/)+/(xox)(x x 计/(x，书，/)(不 一%)2 0+/(x0,x0,x|,x1)(x-x0)2(X-X 3+/(o o%r%rxi)(x-%o)2(%一%)?=P(x)=-1 -2x+3x2+6 x2(x-1)+5x2(x-1)2,且插值余项为 x)P(x)=2/21.设分段多项式x3+x2,0 x 1S(x)=2x
19、3+bx2+cx-l,1 x 2是 以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数 c的值。解：由 S(x-0)=S(x+0)和S (x0)=S (x+0)可得5(1-0)=5(1 +0)和S (1 -0)=S (1 +0)b=-2c =32=2+0+c-l解得3+2=6 +2b+c即22.根据给定的数据表X123/(%)241 2fM1-1建 立 一 个 三 次 样 条 插 值 函 数S(x)。解：由已知作差商表kf)/(/,Z+i)f (X k，Xk+i，Xk+2)0121242231 283节点等距4 =毛+1h=1,A-=-=0.5M+/i从=1 -4 =0.54 =6(/(%,%)-%
20、)=6(2 -1)=6二.4 =6/(X0,X1,X2)=18/2=6(2-/(x,x2)=6(-1-8)=-5 4得 的 线 形 方 程 组0.5121、管。、0.5 M2 ,f6 1 8、一 5 4,解得:%=_7,%=20,%=_3 7又在上(虫一*)3 ，(x-x,)3,邑3=f一 +Mk:+(yj6*6 4%=/一4Mu町-X a优X-k.当x el,2 时(2 A)，(x 1)7 2 0S?。)=-7-+2 0-+(2 -)(2 -%)+(4-)(x-1)6 6 6 6=(9X3-34X2+43X-14).S3(x)=1 ,2-(9X3-34X2+43X-14)1 3 2-(-19
21、X3+1 34X2-293X+210)x el,2 x e2,3.当x w2,3时S3(X)=2 0 -3 7 -+(4-)(3-X)+(1 2-)(X-2)6 6 6 o1 .9=-(-19X3+1 3 4 f -293X+2 1 0)第二章习题答案1.计 算 下 列 函 数“力关于co,i的|九,114,114:注：8 8=则/（力|加=口/（小，8 2=。：/同(l)/(x)=(x-l)3(2)/(x)=|x-1|(3)/(x)=x (x-l),相 与 为 正整数(4)/(x)=(x+l)%-A解：y(x)=(x-i)3l l/WL =ma N/(x =m a#1)=1口 川=g(x)=
22、J；(17)=；x)=|/(x)L =ma x|/(x)|=ma:H L =J；公=J?g x心+(”公=；82 =f /W dxJ a(3)/(x)=-与j为正整数|/|0 0=ma x|xm(x-l)n|=M L=I卜(1)伽见=口如一1产(2 !(2)！；(2/77+2 71 +1)!(4)/(x)=(x+l)l l)x|/|oo=m a x(x+l)10=2 e-1|/=g+l)10 e f市=98 641 01-26813184e仅857623833199 506713671a3209V 8 8e22.令7；：(x)=7；(2 x 试证 骞 是在 0,1 上带权4(x)=J 的正交多
23、项式,并求霍(力,邛(力,雪(0,7；(力。Jx-x2解：(l：Z)=J；。(x)T：(X)I：(X)公=T“(2x-1)7；,(2x-WY尤 x令,则 有(ZZ)=J：Ir+1;I、M(玩 :力=J：告 再 工，山=(如 幻r+1 A z vi-t 窘(x)是在 0,1 上带权o(x)=-厂 1 -,的正交多项式。Jx-x2*(%)=(2D =1Z*(x)=7；(2 x _ l)=2 x _ l4(x)=T2(2 x -1)=-8 x +17；(x)=7；(2 x-1)=32/-48?+1 8 x-l3.MG)：。是区间 0,1 上带权(x)=x的最高次项系数为1的正交多项式族，其中 外(X
24、)=l,求 上切式同公和外(X)。解法一：x 93(x)dx=J：Q(x W,(幻。0(x)必；尔 幻 心 是 区 间 0,1 上带权2。)=弟勺最高次项系数为1的正交多项式.,J。p(x)(p3 x (p(x)dx=0,即J。x 0(x)公=0由 于%(x)=1 n /(A；)=x-/(尤)=-=X-(例(x)#0(x)产 L 3解法二：设G(x)=x+c,则由 Ix(x +c)d L r=-+-=Oc=-尸 3 2 34.求。力，使积分。3+匕-s i nx)以取得最小值。解：题 意 即 为 在 中=s pw l,x 中 求/(H =s i nj的 最 佳 平 方 逼 近 多 项 式6(x
25、)=q)+4 x,故4,q满足法方程(%。),00(幻)+(%(尤),例(幻)4 =(),/(幻)Q(x),(p0(x)a0+3 (x),/(x)q=(y,(px(x)积分可得:71 乃27ao=1L O开 2 71、-%H-q=1 8 0 2 4 1,8 万-2 4%=b=71 a 0.664438 9,/?0.1 1 47707.96 2 4%或者按下述方法：因为J?(x+8-s i nx)2 d x =(a 2 J+华 兀。-2a+b +-2 b上式分别对-a力求偏导，并令其为零，有ada=a7ty 4-7T2 2 =01 2 4-=-a 7 T2+b 万一 2 =0dh 4从而也有96
26、 2 4万8 万一2 4b=5.对/(x),g(x)eCa,8 ,定义(/，g)=f/(x)g (x)公(/，g)=J：，(x)g (x W+/(a)g(a)问它们是否构成内积？(1)显然有(f g)=(g,f),(炉,g)=c(f g),c 是常数(0 这是因为(/,/)=/(/(切2公=0J a推出r(x)=o,即/为 常 数，但不一定为o,故(1)不构成内积。(2)显然内积公理的1),2),3)均满足，考察第四条=+尸 若 x)=O,则必有(九/)=0 反之，若(”=0,则7(0=0且/2(4)=0,由此可推得了(0=0,即内积公理第四条满足，故(2)构成内积。6 .对权函数P(九)=l
27、+f ,区间 一 1,试 求 首 项 系 数 为 1的正交多项式名(%),=0,1,2,3。解：。0 =1a，%).f G+/皿/=-7-(X)=-;-=X(恁，%)1(P-,(X)=X -%(X)-!-仍 (%)3)(x),0 o(x)(例(幻序(幻)f(1 +x2)x2dx f(1 +x2)x3dx ,2一 /一 J d-2 1-x=f ；(1 +x2)dx j(l +x2)x2t/x 53 ，,外(幻)(/,夕(幻)(Vo (幻)0 3 (x)=x-5(x)-!-(P (x)-%(%)(%(x),%(x)S(x)#(x)”2(力,夕 2(%)=X23 (l+x2)x 3dx,(l +x2
28、)x3x3x-%2-l32dx2=JT1;小2 1X 359.用最小二乘原理求矛盾方程组Xj-%2 =1,一%1 +%2=2,2x,-2X2=3,3%+x,=4.的最小二乘解。注：给定线性代数方程组A r =b,A =Ag,当机时，称其为超定方程组。求x*使得A-A忒取最小值。应用微分学中多元函数求极值的方法可以证明X为方程组A1 Ax=ATb的解。称x*为超定方程组Ax=6的最小二乘解。解法一:15=-9-9729所以X 1=2-13即是所求的最小二乘解。误差平方和为6=(内%2 I)-+(一 玉 +x,2)+(2玉 2x 3)+(3xj+x,4)解法二：求 占,当，使误差平方和8(玉%2
29、1)2+(一 芭 +%)2)+(2%2x 3)+(3Xj+x,4)为最小，令/=。,曳=。dx dx2得方程组如下:3 0.1 -1 8 x2=1 41 8 xj+1 4%2=229 1 3解方程组有：Xj=,x2=1 2 41 0.用最小二乘法求一个形如丁 =4 +加 2的经验公式，使它与下列数据相拟合，并估计平方误差。Xk1 9253 13 84 4yk1 9.03 2.34 9.07 3.397.8解：。0(%)=1，0 1(*)=*2例=(1,1,1 ,1)(P、=(3 6 1,6 25,96 1,1 4 4 4,1 93 6),y=(1 9.0,3 2.3,4 9.0,7 3.3,9
30、7.8)，0,J =l xl +l xl +l xl +l xl +l xl =5=1 x3 6 1 +1 x6 25 +1 x96 1+1 x1 4 4 4 +1 x1 93 6 =5 3 27(件%)=7 27 7 6 99(y,%)=3 6 93 21.5(y#0)=27 1.4 5 a +5 3 27/?=27 1.4 p =0.97 25 29 5 3 27 a +7 27 7 6 9%=3 6 93 21.5 =b =0.0 5 0 0 3 5 1公式是y=0.97 25 29+0.0 5 0 0 3 5 l x2将 尤=19,25,31,38,44分 别 代 入 旷=0.97+0
31、.0 5 尤 2,得y；=1 9.0 2,y*=32.22,y*=4 9.0 2,y；=7 3.1 7,y*=97.7 7.所以误差力(y _ y *)2=0.0 25k=01 1.求形如y=o*(。力为常数)的经验公式，使它能和下表给出的数据相拟合。Xi2345678y1 5.320.527.43 6.64 9.16 5.68 7.81 1 7.6解：设丁=。灰，两边取对数得I n y=l n a +/z ,令 y=l n a=n a,=b,X=x,则有Y=4+qX设0o(x)=1,囚(x)=X?,于是得到正规方程组：(%，仰+(。0，0)卬=(匕%)(外,%)flo+(外，/居=亿 例)其
32、 中，p=(1,1,1,1,1,1,L i)7 ，(p、=(1,2,3,4,567,8)7V =(Inl5.3,In20.5,In27.4,In36.6,ln49.1,In65.6,In87.8,lnll7.6)r=(2.727853.020423.310543.600053.8938 中.1835“.4 7 5 0 0 4.7 6 7 2 9 3O，%)=8(%,0i)=l+2+3+4+5+6+7+8=363，0i)=F+22+3,+42+52+62+72+82=204(K,)=(lnl53+ln20.5+ln27.4+ln36L6+ln49.1+ln65.6+ln87.8+lnll76)=
33、29.9787(y,2)=147.135正规方程组化为：8 4+36al=29.978736o+2O4/%,0,1;(4)f(x)=e*,-1,1.解：设%(x)=l,0(x)=x3。，p o.()+(%，。=(%)出,-Mo+(y，.)(1)/(x)=arctan x,0,1(仰，/)=J*=1,(%用)=J：皿=1/2,用)=1丁 小=i/3(y，%)=J；arctgxdx=in 2,(y,)=xarctgxdx=?-g1 万 11 cH ci.=-In 22 1 4 2=1 1 7T 1a(、+-a.=-2 3 4 271%=-21n2+32a,-6+3 In 22jrn y=-21n2
34、+3+唠-6 +31n2)x(2)f(x)=cos zrx,0,lSo,死,o=A=-r%o-a0+-,=-4 7t K K K12 3 1(3)X)=4 0,1 1 1(%，%)=J；公=1，(网 阳)=J；9=1/2,用)=公=1/3(%)=1 6办=：,(序)=右 公=|1%+巧=1 13 ao23 4 4 4 4n a=a.=-n y=H x=2 0 15 1 5-15 5-5(4)/(x)=e-l,l (外,eo)=J 1公=2,(%,例)=J 产 公=0,3,例)=J 32公=2/3(y,%)=j exdx=e-e y,(p=xedx=2e2aa=e-e 1 e_e-3 e-e 3
35、2 0-i n%=,q=-n y =-F-XO_/=2 e 2 e 2 e1313.x)=N，在 1,1上求关于=spanl,x2,x4的最佳平方逼近多项式。解：Legendre是-1,1上的正交多项式取，o(x)=1，2(%)=g(3/-1)，P4(尤)=1(35x4-30 x2+3)2(p*(x),p 式 x)=-(k=0,2,4)2 K+1(/,p()(x)=j (-x)dx+J。xdx-1(7,P2(x)=J：-g A-|f3.v2-)dx+x (3/一 1)公=1(7,P4(x)=:(3 5/-30 x2+3)xdx+-(3 5 x4 3 0 f+3)她=(1 1 5 5 9 3%=
36、彳(/，。0。)=不。2=7(/，P2(X)=7，a4=-(/，P4(X)=-772 Z Z o Z 1 o所以 p；(x)=p0(x)+a2 p2(x)+a4 p4(x)=-0.8203125x4+1.640625%2+0.257812514.求，（x）=e 在 上 的 三 次 最 佳 平 方 逼 近 多 项 式。3解：的(x)P(X)=Z G 4(X)k=Q（/，）2Z+1记，丹）一 2C o=g j：e k =；(e )=1.175694G=子3 ri严2 r=1.1036385 C,=_/一-e 办=0.357805-2J-2 2；C3=j j|x3-1 x vtZr=0.070518
37、所以p(x)=Z4(x)=1 175694+1.103638x+0.3578051-x2A=0 2=0.996289+0.99786 lx+0.536708%2+0.176295x31+0.070518|?-|x j1 5.已 知 勒 让 德 多 项 式4=l，6=x，6=g（3无2 1）,试 在 二 次 多 项 式 类=卯。1,尤2中求一多项式月（同，使 其 成 为 力=，在11,1上的最佳平方逼近函数。解：由此,匕鸟构造月（x）,设 月（x）=C o6+q4+C 26由 题 意 可 知q=0即：P2(x)=c0F +c2P2（4,4）（4,）色、，4）仍，鸟”匕，力2cb-ee 2.350
38、388即：2Q 0.1431241.5 -解 得：1.175194 0.357812(x)=0.536715/+0.9962891 6.求 x)=l n x在 1,2 上的二次最佳平方逼近多项式，并估计平方误差。解：设1+2 2-1x =+-2 223 I/=5 +7人则/(x)=l n x =In3 1+2 2p；攵=0In7/)=、一l n f|+|c o s j =-l.1 5 5 1 9x l n。+71 71 J T7 i-f1 2dtc o s。x In L；c o s。)。=1.5 2 0 5 75c o s 2 x In|+lcosA-0.4 6 2 0 4VT7所以；=-1.
39、1 5 5 1 9+1.5 2 0 5 75 x 0.4 6 2 0 4(2 x2-l)=-0.9 2 4 0 8%2+1.5 2 0 5 75%-0.6 9 3 1 5其误差为 In 信 +；f)-p；(f)x 0.0 0 0 0 2 0 5 5第三章习题答案1.分别用梯形公式、S i m p s o n公式、C o t e s公式计算积分/=广 公，并估计误差。J 0.5解：1)用梯形公式有:詈(l)+/(O.5)=小+用 0.4 2 6 78(b-aV n s3 T 1?(7)=1 L f”5)=_ L 与 2=2.6 0 4 2 x 1 0-3 2 7.3 6 5 7X1 0-31 2
40、 1 2 I 4 ,事实上，/(x)=f x j -/x dx =0.4 3 0 9 6 4 4I*y /(0.5)+/(l)=0.4 2 6 776 7.戌(/)=1)=0.0 0 4 1 8 772)S i m p s o n 公式J/小号图+吗)5口用卦。4 3。9 3b-a 1SOM4i严（力 一 席1Y (1 5 二、上-H1 1.18377x10-42 I 8 7 J7E%)i=-(初?奈事实上，炉（/）=工5三比/（0.5）+”（笠1卜/=0.0 0 0 0 3 0 43）由C o t e s公式有：J1 5导7/(0.5)+3 2/(1)+1 2/(2)+3 2/(2)+7/(
41、1)击(4.9 4 9 75 +2 5.2 9 8 2 2 +1 0.3 9 2 3 0 +2 9.9 3 3 2 6 +7)=0.4 3 0 9 6焉郎+3 2/+噬+7)=-2 x 1_ 29 4 5/6弓 (9 4 5 -y/工 X -n 2 2.6 9 74 X1 0-64 L 6 4 Z Jk 75 5=I卷必呻!事实上，Ec(/)=0.0 0 0 0 0 0 32.证明S i m p s o n公式（2.8）具有三次代数精度。证明:令X)=F则/=优/伍人左边二1 7(、协=?=-a右 边=彳1+”(-)+3卜彳故该公式的代数精度是3。而当/(6=/时左侧:J：/(x)=J：x=g
42、 电-叫右侧：(力 )+/卜等卜+4 x”+/5b5-5a5-a4b-2a3b?+2a2b3-abA 3 2左侧不等于右侧。所以Simp s o n具有三次代数精度.3.分别用复化梯形公式和复化公式Simp s o n计算下列积分.(1)(3)14xdx,n =4,(4)j4-s in 2 9d夕,=6解：(1)用复化梯形公式有:,b-a 1-0 1h=-=-=n 8 84)+2(醺+/(|卜/+1)-0+2 x(0.0 3 1 1 2 8 +0.0 6 1 5 3 8 +0.0 90 5 6 6+0.1 1 7 6 5 +0.1 4 2 3 5 +0.1 6 4 3 8 +0.1 8 3 6
43、 1)+0.2 =0.11 4由复化Simp s o n公式有:风/却(O)+2 x(省+冏+膈)+/+4(卜用+姬)+呜)-0+2 x(0.0 6 1 5 3 8 +0.1 1 7 6 5 +0.1 6 4 3 8)+4 x(0.0 3 1 1 2 8 +0.0 90 5 6 6 +0.4 1 2 3 5 +0.1 8 3 5 1)+0.=0.1 1 1 5 72 解(3)：=4由复化梯形公式有:看=；X2(/(1)+9)+2(3)+5)+7)=(1+3+2 x(6 +石 +卜 17.2277由复化Simpson公式有：S=3 4(1)+9)+25)+4(3)+7)=|X(1 +3 +2XV
44、 5 +4(A+V 7)17.3220(4)解：-J4-sin2(pd(p,=6由复化 梯 形 公 式：-0.D -Q T C ._ _._h=-=-=。+kh,k=1,2,3,4,5n 6 367；=4 +/(外)+/=勺/(0)+2。整 +/径)=1 8 5 621 2 k=i 36 A：=I 3O7由 复 化Simpson公 式：I 2 5 (、卜S -Tb+-H.,H h f cp,，。亍k=0,123,4,53 3 百 I .2W6=V/+|=1.035834873S4=1.03576388636*=0 2 5 6)所以取=26。则h=3=7 T(0)+/(9+2 Z/(x )“2
45、2 k=l 区=X *0 +1 +2 s in(卷)+s in(言)+s in(1 )+.+s in(等)=0.94 6 596/八7 1，”。，5(2)EQ=-需(/%)=-磊x g x却4.71 71贝 崎 琲 磊x g x 94(=26)=系义(权畀)4=7、1。-9I 11 I 180 2 2n 180 2 2n冗(3)E曰 _ 2 x(lx )4 =86.用Romberg求积方法计算下列积分，使误差不超过104。(1)y J e dx；02万(2)x s in x t Z r；(3)JoJ X yj 1 +%2 clx;(4)J。-dx解(1)：2 1(a)在 0,1上 用 梯 形
46、公 式：7；=关 上(0)+/=0.7717433321兀2二 等分:2H,F0.684396561=；(7；+J=0.728069946,4 1S、=-7；-7；=0.71351215(c)0,l四 等 分：*=禺f(!)+于(=)=0705895578,T4=(7；+W2)=0.716982762兀252=j7；-7；=0.71328703 算 =S=0.71327202(将0,1八 等 分：儿 T 山小静/励 W7I1 4 14=5(方+4)=0 714200164=4一5/=0.71327263442 1C,S4-S,=0.7132716744-1 4-1居 43 1 =0.71327
47、166,居 一 1 ,=3.52x10.1 0-5,计 算 可 以 停 止。J,2几x sm x dx0)在。2 刈上用梯形公式得：T,=寸 (0)+/(2 7)=0S)将。2 m 二等分：1 4 1g=2 叭万)=0,n=/(1+n)=(),=0(c)将 0,2 洞四等分:“2,1-7T2=-9.8 6 96 0 4 4 0,1 7；=-(7；+H2)=-4.93 4 8 0 2 2 04 1 42 1S2=-T4-7 =-6.5 7 97 3 6 2 6 7,S2-S,=7.0 1 8 3 8 5 3 5 2S)将。2 扪八等分：乃g J 7 i兀-6.97 8 8 6 4 2 7；=9+
48、也)=5.9 5 6 8 3 3 2 014 1S4=科7；=-6.2 9 75 102 c 2 =424 1S.-S,=-6.2 78 6 9 5 12 94 4 2 1 2居4343-1C,-?!C,=-6.2 6 6 9 5 4 0144 -1(e)将 0,2 加十六等分%=万*G%+)力，乃)一 6.4 4 76 2 9 7町 6 =g (+&)=-6.2 02 2 3 14 9 7Ss=4/6-资1 =-6.2 8 4 03 09 2 算4 =正42 寸-1不=-6.2 8 3 13 2 3 143 1 44 1R,=C.一 一-G =-6.2 8 3 2 02 74 2 X.=R,
49、一-R.=-6.2 8 3 2 6 6 4 6 32 43-1 4 43-1 2 1 44-1-44-1 1(7)将 0,2 万 三十二等分 16 =+同=-6.3 2 3 74 03 9.2 =；(2+/)=-6.2 6 2 9 8 5 9 4 54 1 42 1Si(,=T32-76=-6.2 8 3 2 3 74 2 =-516-S8=-6.2 8 3 18 4 5 2 843 1 44 1R,=Q-O4 =6.2 8 3 18 5 3 5%R,-R,=6.2 8 3 18 5 2 8 84 43-1 8 43-1 4 2 44-1 4 44-1-45 1Y,=一 X,一 X.=-6.2
50、 8 3 18 5 2 091 45-1 2-45-1 1(g)将 0,2 加六十四等分：*3俱 *卧-6.2 9 3 2 8 9 8 5 孤=4+/)“32=-6.2 78 13 78 9 942=-6.2 8 3 18 8 5 5,1CI6=S3 2二S16=-6.2 8 3 18 5 2 9 242-1 1643 1 44 1&8 =4W3 _J G616 -43r C8g=-6.2 8 3 18 5 3 04=R -R.=6.2 8 3 18 5 3 0,4 44 _ 8 44 _ j 445 1 46 1Y2-x2=-6.2 8 3 18 5 3 0名=Y2-=-6.2 8 3 18